II LES VECTEURS 1. Définition Un vecteur est une «classe» de bipoints, un bipoint étant tout simplement un couple de points.

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1 Objecifs : L élèe doi êre capable de : - définir n ecer - cier les caracérisiqes d n ecer - représener n ecer - écrire les opéraions (somme, prodi scalaire, prodi ecoriel) sr les ecers - cier les propriéés de l addiion ecorielle, d prodi scalaire, d prodi ecoriel - représener les ecers correspondans réslan de ces opéraions e écrire les normes de ces ecers - écrire n ecer dans ne base orhonormée - écrire les formles d addiion e de ransformaion en rigonomérie - écrire les dériées première e seconde d ne foncion - écrire la relaion expriman ne progression arihméiqe - dire si n rièdre es direc o non direc I INTRODUCTION Dans l éde d n phénomène physiqe, il inerien esseniellemen dex aciiés : 1. L aciié d expérimenaion qi consise en l obseraion des fais, ler reprodcion si possible dans la siaion d obseraion por se conaincre de la consance des mêmes choses obserées. L aciié de mahémaisaion qi consise en l inerpréaion, l explicaion des fais expliqés, la dédcion de lois mahémaiqes applicables à d ares siaions analoges à celle édiée. La maîrise de l oil mahémaiqe deien donc indispensable dans cee phase de l aciié physiqe. II LES VECTEURS 1. Définiion Un ecer es ne «classe» de bipoins, n bipoin éan o simplemen n cople de poins. On pe encore définir le ecer comme n segmen de droie oriené.

2 . Noaion Lorsq n cople de poins (A, B) apparien à ne classe qi défini n ecer, ce dernier noé AB e on li «ecer AB». A es l origine (on préfère en physiqe l expression poin d applicaion d ecer) e B son exrémié. On pe assi écrire AB. 3. Caracérisiqes d n ecer To ecer AB es caracérisé par : son origine o poin d applicaion (le poin A) sa direcion, o son sppor o encore sa ligne d acion qi es la direcion de la droie AB qi sppore le ecer son sens (symbolisé par ne flèche à l exrémié B d ecer) son modle o sa norme o encore son inensié noée = AB =. 4. Opéraions sr les ecers ; propriéés 4.1 Somme de ecers (symbole +) L addiion ecorielle es l opéraion qi, à o cople de ecers, fai correspondre le ecer w. Le ecer w es appelé la réslane des ecers e Consrcion de la réslane de ecers w w Somme de dex ecers w Somme de rois ecers Somme de qare ecers

3 4.1. Norme o inensié d ecer réslan de dex ecers Si le ecer w = es la somme des ecers e, la norme w d ecer réslan s écri w w cos, (Théorème de Pyhagore). En pariclier Si, ecoriel es n riangle recangle) on a, les ecers e on des direcions perpendiclaires (le riangle w. Si, 0 w = +. o k, les ecers e son colinéaires, de même sens on a Si w = -., o (k + 1), les ecers e son colinéaires, de sens conraires on a 4. Le prodi scalaire de dex ecers (symbole ) 4..1 Définiion Le prodi scalaire es l opéraion qi associe à o cople, de ecers, le réel o scalaire. (On li «scalaire»). Exemple : Le raail W es n prodi scalaire : c es le prodi scalaire d ecer force f e d ecer disance l. W = f l f. l 4.. Valer d scalaire réslan d prodi scalaire de dex ecers La aler d scalaire W réslan d prodi scalaire enre les ecers f e l es donnée par la relaion W = f l cosf, l. En pariclier : Si f, l = 0 [k] les ecers f e l son colinéaires, de même sens e on a W = f l > 0: le raail es moer e sa aler es maximale (W = W max ). Si f, l = [(k + 1) ] les ecers f e l son orhogonax e on a W = f l = 0 : le raail es nl (W = 0). Si 0 < f, l <, 0 < W < Wmax le raail es moer.

4 Si f, l = [(k + 1)] les ecers f e l son colinéaires, de sens conraires e on a W = - f l < 0 : le raail es résisan e sa aler es maximale négaie (W = - W max ). Si < f, l< -, 0 < W < - Wmax le raail es résisan. Le prodi scalaire es commaif : 4.3 Le prodi ecoriel (symbole ) Définiion Le prodi ecoriel es l opéraion qi associe à o cople, de ecers le ecer. (On li «ecoriel») Caracérisiqes d ecer réslan d prodi ecoriel de dex ecers Le ecer w es déerminé par les caracérisiqes sianes : Sa direcion es perpendiclaire a plan, formé par les ecers e Son sens es el qe le rièdre,, w soi direc Sa norme es w sin, Propriéés d prodi ecoriel Le prodi ecoriel de dex ecers colinéaires es le ecer nl ( 0, ) = k Le prodi ecoriel n es pas commaif : Exemple de prodi ecoriel en physiqe : la force de Lorenz Une paricle de charge q, animée d n moemen de iesse dans n champ magnéiqe B sbi ne force magnéiqe F F q B. appelée force de Lorenz e elle qe III LA NOTION DE TRIEDRE DIRECT Un rièdre es ne figre géomériqe formée de rois demi-droies de même origine, mais non siées dans n même plan e limiée par les rois angles ayan ces demi-droies por coés.

5 Le rièdre sel es n repère orhonormé consié de rois axes Ox, Oy, Oz de ecers niaires respecifs i, j, k, recanglaires dex à dex ( i j k 1). Il es direc e représene l espace à rois dimensions. Un obseraer (bonhomme d Ampère) coché sian l axe Ox, la êe indiqan le sens de i, passe de j à k dans le sens rigonomériqe direc (sens conraire a sens de déplacemen des aigilles d ne monre). On pe égalemen érifier q n rièdre es direc o non par la règle des rois doigs de la main droie : poce, index, majer. Por roer le sens d ecer la pame de la main) e :, on fai coïncider l index e, le majer (dirigé ers a le sens d poce (dressé). On pe assi iliser la règle d ire-bochon de Maxwell : le ire-bochon orne dans le sens qi amène sr, son sens de progression donne le sens de. IV LES DERIVEES de Sens de progression d ire-bochon 1. Exemple 1 : Soi la foncion x f() = a + b dans laqelle x es l élongaion, la ariable, a e b des consanes. Por ne aler 1 de on a la aler x 1 de x elle qe x 1 = a 1 + b. Por la aler de on a x de x elle qe x = a + b. A la aler = - 1 correspond la aler x = x - x 1 = (a + b) (a 1 + b) x = a( - 1 ) o x = a. On en dédi x = a e 0, la limie x es ojors égale à a. On écri. Le même raisonnemen por d ares alers de, par exemple 3 e, 4 e 3, ec. on aboi a même résla.. Exemple : Soi la foncion x f() = a + b + c, a, b e c son des consanes. Por la aler 1 de on a x = x 1 = a 1 + b 1 + c. Por la aler de on a x = x = a + b + c.

6 A la aler = - 1 correspond la aler x = x - x 1 = a + b + c (a 1 + b 1 + c) x = a( - On en dédi 1 ) b( - 1 ). Comme - 1 = ( - 1 )( + 1 ) on a x = a( + 1 ) + b. x = a( + 1 ) + b. De la relaion = - 1 on ire = 1 + e l on a alors x = a( + 1 ) + b. Por 0, x x end ers sa limie qi es lim 0 = a 1 + b. Ce raisonnemen mené por d ares alers de donne les alers correspondanes de x lim, c es-à-dire por = 3 on a 0 x lim = a 3 + b, ec. 0 x lim = a + b, por = 4 3 on a 0 3. Conclsion Dans les exemples précédens on a associé ax foncions x = b + c e x = a + b + c, respeciemen les foncions foncion dériée. foncion x = f(). x lim 0 x x lim = a e lim = a + b par ne opéraion appelée 0 0 es appelée la dériée première (par rappor à la ariable ) de la dx La dériée de la foncion x() es noée o x o x d La dériée de la dériée première dx d d ne foncion x() es appelée la dériée d x seconde de cee foncion e es d, x o x. Ainsi la dériée première de la foncion x = a + b es dx = a e celle de la foncion d x = a + b + c, dx = a + b. d 4. Dériées des foncions selles x es ne foncion de la ariable (emps) Foncion x() Dériée première Dériée seconde x = a = consane dx/d = 0 d x/d = 0

7 x = a + b dx/d = a d x/d = 0 x = a dx/d = a d x/d = a x = a + b + c dx/d = a + b d x/d = a x = n (n enier o fracionnaire, dx/d = n n-1 d x/d = n(n 1) n- posiif o négaif) x = sin dx/d = cos d x/d = - sin x = cos dx/d = - sin d x/d = - cos x = dx/d = d x/d = 5. Dériée d ne somme de foncions dx d d Soien les foncions = g(), = h() e x = + on a = + d d d 6. Dériée d n prodi de foncions Soien les foncions = g(), = h() d dx d d dx x =. on a =. +. ; x = = d d d d d d d dx d dx d x = sin =.cos ; x = cos = -.sin d d d d V - Formles d addiion sin(a + b) = sinacosb + cosasinb cos(a + b) = cosacosb - sinasinb sin(a - b) = sinacosb - cosasinb cos(a - b) = cosacosb + sinasinb

8 a b a b a b a b cosa + cosb = cos cos b cosa - cosb = sin sin b a b a b a b a b sina + sinb = cos sin b sina - sinb = sin cos b sina = cosasina cosa sin a + cos a = 1 VI - Progression arihméiqe On appelle progression mahémaiqe la sie de nombre n elle qe n = n-1 + r. Le nombre r es appelé la raison de la progression. Exemple : La sie des eniers impairs : 1 = 1, = 3, 3 = 5, 4 = 7, ec. forme ne progression arihméiqe de raison r =.