Exercice 1(vrais ou faux)

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1 Mathématiqus au lycés 4 èm Math t Sc Sit Wb Fonction ponntill (I) Ercic (vrais ou fau) Ls partis I, II t III t IV sont indépndants I-Soit f la fonction défini sur a f st un bijction d * sur * par 3 ; 7 f( ) t C sa courb rprésntativ 3 b La droit ( ) d équation 3 st a d symétri d la courb C c C admt un uniqu tangnt parallèl à l a O t ll st obtnu au point d absciss 3 d La tangnt à C au point d absciss a pour équation : y II-Soit f la fonction défini sur par : a lim f( ) f( ) t C sa courb rprésntativ b La droit D d équation c f st décroissant sur y st asymptot à C d L équation f( ) 0 a un uniqu solution sur III-Soit f la fonction défini par : f( ) ln( ) t C sa courb rprésntativ a f st défini t dérivabl sur, t pour tout rél on a : f '( ) ( ) b lim f( ) 0 c L équation f( ) 0 n a pas d solution réll d La droit D d équation y st asymptot à C IV-Pour tout rél m, on considèr l équation (E m ) : m 0 a L uniqu valur d m pour laqull = 0 st solution d l équation (E m ) st m = 0 Fonction ponntill (I) Pag

2 b Pour tout valur d m, l équation (E m ) admt au moins un solution c Si <m<0, l équation (E m ) a du solutions positivs d Si m>0, l équation (E m ) a un uniqu solution Ercic Soit f la fonction défini sur ]0 ; [ par : g() = 3 ² f( ) t g défini par : Répondr par vrai ou fau n justifiant sa répons A lim f( ) B la droit d équation y = 0 st un asymptot à la courb rprésntativ d f quand f tnd vrs C La fonction dérivé d f t la fonction g ont l mêm sign D La fonction f attint un minimum pour = Ercic 3 Soint f t g ls fonctions définis d ]0 ; +[ dans par : g( ) 5 f( ) t a Démontrr qu f( ) b Factorisr g() c Détrminr l sign d la dérivé d f Ercic 4 Démontrr qu qul qu soit l rél on a : ln( ) ln( ) Ercic 5 Résoudr ls systèms : a y 3 5 y ln ln y ln 4 b y Ercic 6 Soit f la fonction défini sur l intrvall [0 ; [ par f Fonction ponntill (I) Pag

3 Sa courb rprésntativ C st tracé dans l rpèr orthonormal ci-dssous (unité graphiqu cm) a Étudir la limit d f n b Montrr qu la droit d équation y = st asymptot à C c Étudir la position rlativ d C t a Calculr ' f t montrr qu f ' b En déduir qu, pour tout rél strictmnt positif, f ' 0 c Précisr la valur d f ' 0, puis établir l tablau d variations d f 3 À l aid d un intégration par partis, calculr l air, primé n cm, du domain plan limité par la courb C, la droit t ls droits d équations = t = 3 4 a Détrminr l point A d C où la tangnt à C st parallèl à b Calculr la distanc, primé n cm, du point A à la droit Ercic 7 On considèr la fonction f défini sur par f( ) rprésntativ dans l plan rapporté au rpèr orthogonal ( O ; i, j) cm sur l a ds abscisss t 5 cm sur l a ds ordonnés Parti A Soit g la fonction défini sur par g( ) On not (C) sa courb, l unité graphiqu st Fonction ponntill (I) Pag 3

4 Etudir ls variations d la fonction g sur En déduir l sign d g Justifir qu pour tout, 0 Parti B a Calculr ls limits d la fonction f n t b Intrprétr graphiqumnt ls résultats obtnus a Calculr f '( ), (f désignant la fonction dérivé d f) b Etudir l sns d variation d f puis drssr son tablau d variation 3 a Détrminr un équation d la tangnt (T) à la courb (C) au point d absciss 0 b A l aid d la parti A, étudir la position d la courb (C) par rapport à la droit (T) 4 Tracr la droit (T), ls asymptots t la courb (C) Ercic 8 On considèr la fonction g défini sur par g( ) ( ) Soit C la rprésntation graphiqu d la fonction g dans l rpèr orthonormal (O ; i, j), unité graphiqu cm Calculr la dérivé g d g Montrr qu g () st du sign d ( ) En déduir ls variations d g Montrr qu : a lim g ( ) b lim g ( ) 0 t précisr l'asymptot à C corrspondant 3 Tracr la courb C dans l rpèr (O ; i, j) On placra n particulir ls points d la courb d'abscisss rspctivs ; ; 0 ; t 3 4 a Par un lctur graphiqu, indiqur, suivant ls valurs du nombr rél k, l nombr d solutions d l'équation g() = k b Prouvr rigourusmnt qu l'équation g() = admt un solution t un sul Prouvr qu appartint à l'intrvall [ ; ] c Montrr qu vérifi la rlation Fonction ponntill (I) Pag 4

5 Ercic Corrction Corrction I-a Fau : La fonction f st dérivabl sur f'( ) 0 car 4 0 t 0 t pour 0, 3 ll n réalis donc pas un bijction * t f f 0 3, or pour [3, [, 4 f n st pas monoton sur * t b Fau : Si la droit d équation 3 st a d symétri d la courb C alors f doit y Y êtr pair dans l rpèr I, i, j avc I 3,0 Posons alors X 3 X3 X3 Y f X f X Donc f n st pas pair dans l rpèr 3 3 I ; i, j X 3 X 3 avc I(3, 0) c Vrai : f 3 0 pour = 3 car 0 donc C admt un uniqu tangnt 4 parallèl à l a O t ll st obtnu au point d absciss = 3 d Fau : La tangnt à C au point d absciss a pour équation : y f f 3 II-a Fau : lim lim car lim 0 ( ) ( ) b Vrai : lim f( ) lim 0 donc la droit D d équation y st asymptot à C n + t ll st situé au dssus d C car >0 c Vrai : La fonction f st dérivabl sur ; ( ) ( ) f '( ) soit ( ) ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) qui st toujours strictmnt négativ car somm d du trms strictmnt négatifs f st décroissant sur d Vrai : La fonction f st dérivabl t strictmnt décroissant sur, f(0)= positif t f()= donc négatif f st donc bijctiv t il ist un uniqu rél 0 ; solution d l équation f( ) 0 III-a Fau : f 0 Fonction ponntill (I) Pag 5

6 b Vrai : lim ln( ) 0 car lim 0 t ln= 0 c Vrai : D après a f 0 donc f st strictmnt décroissant t d après b) f tnd vrs 0 n donc f < 0 sur t l équation n a pas d solution réll dans I, d Fau : lim lim car lim = 0 lim ln( ) lim ln ( ) lim ln( ) donc lim ln( ) lim ln( ) t pour finir lim f ( ) Conclusion : la droit D d équation y=+ n st pas asymptot à f() mais la droit d équation y st asymptot à f() IV-a Fau : Si = 0 alors l équation (E m ) s écrit 0 0 m 0 soit m b Fau : Posons X 0, on a alors l équation X X m 0 où 4 4m m On obtint au moins un solution pour m tlls qu X m t X m Si m< il n y a pas d solution c Fau : X st évidmmnt positiv Etudions l sign d X : m 0 m m 0 Donc pour m 0 il y a du solutions X t X positivs t on obtint ln m ln soit 0 t m ln ln soit 0 d Vrai : Si m>0, m 0 donc X 0 n a pas d solutions t m 0 par conséqunt ln m Ercic : Corrction A : FAUX ² lim f( ) lim lim 0 B : VRAI car lim 0 t lim 0 (théorèm) Fonction ponntill (I) Pag 6

7 La répons st dans la qustion précédnt ; comm lim f( ) 0, par définition, la droit d équation y = 0 st asymptot à la courb C : VRAI ² f( ) ; f st dérivabl sur * 3 f '( ) g( ) ² ² ² Dans la msur où on compar f t g sur l intrsction d lur domain d définition ( *+), ls du fonctions ont l mêm sign D : FAUX La fonction f n s annul pas n, ll n admt donc pas d minimum pour = Rmarqu : f() = 0, la courb coup donc l asymptot n, mais aussi n Ercic 3 : Corrction a f( ) ( ) f( ) ( ) ; b g( ) 5, X, 5² ², 5 3 X, 4 X X, g( ) ( )( ) c f( ), ( ) ( ) 5 g ( ) f '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) st donc du sign d g() t f st donc négativ ntr ln t ln, positiv aillurs Ercic 4 Corrction ln( ) ln( ) ln ( ) Ercic 5 Corrction y 3 4 3, 8, 3, y y y, S = {(3 ;)} y Fonction ponntill (I) Pag 7

8 ln ln y ln 4 ln y ln 4 y y, soit y 6 y Soit à résoudr l équation : X² SX + P = 0, X² X 0 ( X )² 0 X y Or, bin évidmmnt, ls valurs négativs sont clus car ln n st pas défini sur donc S = Ercic 6 : Corrction a En, tnd vrs t tnd vrs car b tnd vrs 0 ; f a pour limit f( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) : avc ls croissancs comparés, mmèn tout l mond vrs 0, la droit d équation y = st bin asymptot à C c Sign d f( ) ( ) ( ) : lorsqu c st positif, donc C st au-dssus d ; lorsqu c st négatif, donc C st n dssous d f '( ) ( )' ( ) ' ( ) d où 3 a f '( ) ( ) b Comm st positif, 0 t st positiv c f '(0) 0 ( ) donc f Comm il faut calculr 3 ( ) d : on pos u u ' v ' v d où 3 ( ) 3 3 ( ) d d Comm l unité d air st d cm cm, soit 4 cm, on a donc ,87 cm 3 a La tangnt à C st parallèl à lorsqu f '( ) : mêms cofficints dircturs ; on a donc f '( ) 0 ( ) 0 L point A a pour coordonnés t f() ( ) b La distanc du point A à la droit a by c 0 st a by c A a A b ; ici a pour équation cartésinn f 0 f Fonction ponntill (I) Pag 8

9 y 0 d où notr distanc st ( ) ( ), soit n cm : 5 5 Ercic 7 : Corrction Parti A g'( ) st positiv lorsqu 0 ; g(0) 0 0 : comm g st décroissant avant 0 t croissant après, g st toujours positiv Comm g ( ) 0, on a 0 (cci montr qu f st défini sur ) Parti B a lim f( ) lim lim 0 ; lim f( ) lim lim 0 b On a un asymptot horizontal n : y t un autr n : y 0 a ( ) ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) ( ) b f st du sign d 3 a y f(0) f '(0)( 0) y b ( ) g( ) f( ) Comm g st positiv, ainsi qu, f( ) st du sign d, soit positif avant 0 (C st au-dssus d T), négatif après (C st n dssous d T) f f Fonction ponntill (I) Pag 9

10 Ercic 8 : Corrction g( ) ( ) g( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) a X lim g( ) lim lim X b X lim g( ) lim lim X 0 C a un asymptot horizontal n + 4 a Si k < 0, pas d solutions ; si k = 0, un sul solution : =, si 0< k < 4/, 3 solutions, si k = 4/ : du solutions dont =, nfin si k > 4/, un sul solution b Si >, f() st toujours infériur ou égal à 4/ (<), donc f() = n a pas d solution sur [ ; + [ Lorsqu <, f st continu monoton strictmnt croissant d ] ; [ vrs ]0 ; + [ Comm st dans ct intrvall, il ist un sul valur d pour laqull f() = Calculons f( )=7,39 t f( )=0 ; comm 0 < < 7,39 on a < < c Nous savons qu f( ) ( ) ( ) ; comm < on choisit la racin négativ, soit Fonction ponntill (I) Pag 0