Ecriture algébrique - opérations. Equations dans
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- Marie-Anne Généreux
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1 Ecrture algébrque - opératons Exemple Ecrre, sous forme algébrque, les nombres : a ( + 3) + (1 5) b (1 7) (3 + ) ( 5)(1 + 4) d (3 + ) e f 1 3 Ecrre, sous forme algébrque, les nombres : a (5 ) + 3( 4) b (5 11)( ) (1 + ) 3 d 3 4 e 1 1 f x y y x (x, y*) Equatons dans a (3 ) 1 b a b (1 3) 3 0 Détermner les complexes a, b et c tels que pour tout nombre complexe : ( )( a b c) Résoudre, dans, l équaton : Montrer que l équaton 3 (3 ) (1 6) 0 admet une soluton magnare pure a ( ) 4 0 b a 10 0 b Développer le produt ( 5) 10 0, pus résoudre, dans, l équaton : Résoudre, dans, l équaton Montrer que l équaton 3 (1 3) ( 3) 6 0 admet une soluton magnare pure NOMBRES COMPLEXES 1 FC 013
2 Affxe d un pont affxe d un vecteur Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect (O; u, v) Détermner les affxes des ponts A, B, C et D, pus celles des vecteurs DA et DB A B Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect (O; u, v) Placer les ponts E, F et G d affxes respectves : E 1 3, f 3 et 3 C v O u Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v), on consdère les ponts A, B, C et D d affxes respectves : a 5, b 4 3, c 11 et d 3 5 Détermner les affxes des mleux respectfs I et J des segments [AB] et [CD] D Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v), on consdère les ponts A, B, C et D d affxes respectves : a 3, b 1, c et d Détermner les affxes des mleux respectfs I et J des segments [AC] et [BD] Que peut-on en dédure pour le quadrlatère ABCD? Module et argument d un nombre complexe Détermner le module de chacun des nombres complexes suvants : 1 3 a 1 3 b 3 c d 3 4 e 5 Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v), on consdère les ponts A, B et C d affxes respectves : a 3, b 1 et c 4 3 Calculer les dstances AB, BC et CA En dédure la nature du trangle ABC Détermner un argument de chacun des nombres complexes suvants : a 4 b 3 7 c 3 d 3 3 Détermner le module de chacun des nombres complexes suvants : 3 4 a 3 b c 5 d 5 5 Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v), on consdère les ponts A, B, C et D d affxes respectves : a 7, b 1, c 6 5 et d 7 3 Calculer les dstances AB, BC, CD et DA En dédure la nature du quadrlatère ABCD Détermner un argument de chacun des nombres complexes suvants : a 5 b c 5 5 d 1 3 NOMBRES COMPLEXES FC 013
3 Forme trgonométrque Ecrre sous forme trgonométrque les nombres complexes : a = 5 b 3 c = 4 d = e 3 3 f Ecrre sous forme algébrque les nombres complexes : a 3cos sn b cos sn 3 3 Ecrre sous forme trgonométrque les nombres complexes : a 6cos sn b 4cos sn c 4cos sn c 4sn cos 4 4 Ecrre sous forme trgonométrque les nombres complexes : 1 a = 3 b c d = e f g cos sn h cos sn Ecrre sous forme algébrque les nombres complexes : 5 a 4cos sn b 4cos sn 6 3 c 6cos sn 4 4 Etudes de confguratons Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v), on consdère les ponts A, B et C d affxes respectves : a, b 5 et c Ecrre sous forme trgonométrque le nombre c a En dédure la nature du trangle ABC b a Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v), on consdère les ponts A, B, C et D d affxes respectves : a 5 4, b 9 3, c 1 et d 3 5 a Calculer le nombre complexe a b + c d Que peut-on en dédure pour le quadrlatère ABCD (justfer de deux façons dfférentes)? b Ecrre sous forme trgonométrque le nombre d b Que peut-on en dédure pour le c a quadrlatère ABCD? Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v), on consdère les ponts A, B et C d affxes respectves : a 3, b 8 et c 4 3 Ecrre sous forme algébrque le nombre c a Détermner le module de ce nombre En dédure b a la nature du trangle ABC NOMBRES COMPLEXES 3 FC 013
4 Opératons sous forme trgonométrque a Ecrre, sous forme trgonométrque et sous forme algébrque le nombre : cos sn cos sn b En dédure la valeur de cos et sn 1 1 Ecrre, sous forme algébrque, le nombre (1 + ) 007 a Ecrre, sous forme trgonométrque et sous forme algébrque le nombre : cos sn 3 3 cos sn 4 4 b En dédure la valeur de cos 1 et sn1 Ecrre, sous forme algébrque, le nombre Notaton exponentelle Ecrre sous forme algébrque les nombres suvants : a 4e 3 b 5 6e 6 e 4 Ecrre sous forme exponentelle les nombres : a 5 5 b 1 3 d 3e On donne 3 1 e, 3e 6 et 4 3 4e Ecrre sous forme exponentelle les nombres : a 1 3 b Ecrre, sous forme trgonométrque et sous forme algébrque le nombre : 3 a e 4 b 8e 6e 4 d 5e Ecrre sous forme exponentelle les nombres : a 3 3 b d 7 NOMBRES COMPLEXES 4 FC 013
5 Compléter une confguraton Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v) A, B et C d affxes respectves : a 1, b 5 et c 3 5, on consdère les ponts Détermner l affxe d du pont D tel que ABCD sot un parallélogramme u v, on consdère les ponts A et B d affxes respectves : a 3 et b 1 Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O;, ) Détermner l affxe c du pont C tel que le trangle ABC sot équlatéral drect Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v) A et B d affxes respectves : a 1 et b, on consdère les ponts Détermner les affxes c et d des ponts C et D tels que le quadrlatère ABCD sot un carré ndrect Ensembles de ponts Le plan complexe (P ) est rapporté à un repère orthonormal (O,e 1,e ) Détermner l ensemble des ponts M de (P ) d affxe vérfant : a 5 b d 6 e arg 3 k ( k ) f g 1 arg k ( k ) h 1 arg 3 k ( k ) 3 arg k ( k ) 4 arg k ( k ) Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal (O, u, v ), on consdère les ponts A et B d affxes respectves 1 et On consdère l applcaton f de P{A} dans P qu, à tout pont M() de P dfférent de A, assoce 7 3 le pont M'(') tel que ' 1 a On pose x y et ' x' y' Exprmer x' et y' en foncton de x et y b Détermner l ensemble des ponts M du plan tels que ' sot réel Détermner l ensemble des ponts M du plan tels que ' sot magnare pur (de la forme b, b) d Interpréter géométrquement le module et un argument de ' Retrouver géométrquement les résultats du b et e Détermner l ensemble des ponts M du plan tels que ' 1 NOMBRES COMPLEXES 5 FC 013
6 Détermner l ensemble des ponts M d affxe telle que : a b arg k ( k ) Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal (O, u, v ) dfférentes, l ensemble des ponts M d affxe vérfant : 1 a est magnare pur b 3 3, détermner, de deux façons 1 est réel strctement postf Equaton paramétrque d un cercle, on consdère le cercle de centre A d affxe a = 3 3 et de rayon 5 Donner une équaton paramétrque de ce cercle u v, détermner et représenter graphquement les ensembles d équatons paramétrques : a 3e ( ) b 1 3 e, ; Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v) Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O;, ) Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v) graphquement les ensembles d équatons paramétrques : 1 e ( 0; ) 3 e, 0; a b, détermner et représenter Nombres conjugués Le plan complexe (P ) est rapporté à un repère orthonormal (O; u, v) qu à tout pont M de (P ), d affxe, assoce le pont M ' d affxe ' telle que : ' On désgne par () la drote d équaton x y 1 = 0 On consdère l applcaton f a On pose = x + y et ' = x' + y' Exprmer x' et y' en foncton de x et y b Exprmer, en foncton de x et y, les coordonnées du vecteur MM ' pus montrer que ce vecteur est normal à la drote () Exprmer, en foncton de x et y, les coordonnées du mleu I de [MM '] pus montrer que ce mleu appartent à la drote () d Détermner la nature et les éléments caractérstques de l applcaton f NOMBRES COMPLEXES 6 FC 013
7 3 On consdère le polynôme P( ) 7 13 a Calculer P( + 3) b Exprmer P en foncton de P() Dédure des questons précédentes que P() est factorsable par factorsaton 4 13 et effectuer cette d Résoudre, dans l ensemble des nombres complexes, l équaton P() = 0 u v On désgne par A le pont d affxe 1 + On consdère l applcaton f de P {A} dans P qu, à tout pont M d affxe dstnct de A, 3 assoce le pont M' d affxe ' telle que ' 1 a Resttuton organsée de connassance : démontrer la proprété suvante : «est un nombre réel» équvaut à b Utlser la proprété précédente pour détermner l ensemble des ponts M de P {A} tels que ' sot un nombre réel Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal drect (O;, ) Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v), détermner et représenter graphquement l ensemble des ponts M d affxe tels que 1 sot magnare pur NOMBRES COMPLEXES 7 FC 013
Q x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2
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