q Montrer cette formule permet de trouver une solution particulière de l équation x 3 = 36x + 91

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1 1 Introduction. D un point de vue historique, les nombres complexes sont issus de la recherche de solutions à des équations du genre: x 2 = 1. Il n existe pas de nombre réelx dont le carré soit -1. Les premiers mathématiciens prétendaient donc que cette équation n admettait pas de solution. Cependant; vers le milieu du XVIe siècle; Jérôme Cardan et ses contemporains expérimentèrent des solutions d équations faisant intervenir des racines carrées de nombres négatifs.ainsi Cardan publie en 1547 le résultat suivant: "Une solution de l équation x 3 = px + q est : 3 q 2 + q 2 4 p q 2 q 2 4 p Montrer cette formule permet de trouver une solution particulière de l équation x 3 = 36x En déduire toutes les solutions de cette équation Malheureusement cette formule posait problème avec d autres équations telles que x 3 = 15x + 4. Le mathématicien Bombelli suggéra alors de travailler avec un nombre imaginaire dont le carré serait égal à 1. Euler; quant à lui introduisit le symbole moderne i. 1. Montrer que (2 + i) 3 = i, (2 i) 3 = 2 11i et ( 11i) 2 = Ecrire la formule de Cardan pour l équation x 3 = 15x + 4 et en déduire une solution particulière de cette équation en utilisant la question précédente. 3. Trouver les autres solutions de cette équation On conçoit donc un ensemble de nombres contenant i et les nombres réels. C est donc un sur-ensemble de IR. Les éléments de cet ensemble sont appelés des nombres complexes. On peut montrer qu ils s écrivent tous sous la forme a + i b (on les notera plutôt a + ib)où a et b sont deux nombres réels. Cet ensemble est appelé l ensemble des nombres complexes et noté: lc Les nombres complexes sont très employés en ingénierie et en physique dans les descriptions de circuits électriques et d ondes électromagnétiques. Le termei apparaît de manière explicite dans la célèbre équation des ondes de Schrödinger; équation qui constitue le fondement de la théorie quantique de l atome. L analyse complexe; qui combine les nombres complexes à des notions de calcul différentiel; a fait l objet de nombreuses applications dans des matières aussi diverses que la théorie des nombres ou la conception des ailes d avion. 2 Définitions Dans tous ce chapitre, on considère les nombres complexes z = a + ib et z = a + ib. TS9 - Décembre Page 1

2 2.1 Egalité de deux nombres complexes Définition 1 Un nombre complexe z s écrit donc de façon unique a + ib. a = a z = z et b = b De même, on a la propriété suivante ( fort utile dans les exercices) z = 0 a = 0 et b = Forme algébrique d un nombre complexe Définition 2 L écriture a + i b est la forme algébrique du nombre complexe z. Le réel a est appelé la partie réelle de z; nous noterons a = Re(z). Le réel b est appelé la partie imaginaire de z; nous noterons b = Im(z). (Nous verrons plus tard d autres formes pour écrire les nombres complexes...) Propriété : Un nombre réel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle. Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appelé nombre imaginaire pur. Exemples: z 1 = 1 4i Re(z 1 ) = 1 et Im(z 1 ) = 4. z 2 = 5 Re(z 2 ) = 5 et Im(z 2 ) = 0. z 3 = 7i Re(z 3 ) = 0 et Im(z 3 ) = Représentation graphique. De même que les nombres réels peuvent être représentés par des points d une droite graduée,on peut associer les nombres complexes à des points d un plan muni d un repère orthonormal direct (0, ı, j). Au complexe a + ib on associe le point M du plan ayant a pour abscisse et b pour ordonnée. Définition 3 On dit dans ces conditions que : Le point M est l image du complexe z Le complexe z est l affixe du point M Propriété: Si z est réel, son image est sur l axe des abscisses (appelé «axe des réels») Si z est imaginaire pur, son image est sur l axe des ordonnées (appelé «axe des imaginaires purs») TS9 - Décembre Page 2

3 y b M 1 z = a + i b est l affixe de M 0 1 a x M est l image de z On peut aussi définir l affixe d un vecteur u de coordonnées (a; b) par le nombre complexe z = a+ib. Dans ce cas; remarquons que l affixe d un point M est égal à l affixe du vecteur OM Remarquons également que l affixe Z du vecteur AB est égal à la différence des affixes de B et de A: Z AB = z B z A 3 Opérations sur les complexes. 3.1 Addition de deux complexes Définition 4 Soient z = a + ib et z = a + ib. Alors on a z + z = (a + a ) + i.(b + b ) Propriété : Re(z + z ) = Re(z) + Re(z ) Im(z + z ) = Im(z)+Im(z ) Exemple: (1 + 4i)+(2-2i)= 3 + 2i Interprétation géométrique : Soient M le point image de z = 1 + 4i et P le point image de z = 2 2i. Alors le point N image de z + z vérifie la propriété géométrique suivante: Le quadrilatère OMNP est un parallélogramme TS9 - Décembre Page 3

4 Attention à l ordre des points! Remarquons que si les nombres complexes sont représentés dans le plan comme des vecteurs; alors l addition des nombres complexes correspond à la somme des vecteurs.. TS9 - Décembre Page 4

5 M d affixe 1+4i N d affixe 3+2i O P d affixe 2 2i Sur le graphique ci dessus: 1 + 4i est l affixe du vecteur OM 2 2i est l affixe du vecteur OP Soit N le point tel que ON = OM + OP Alors l affixe du point N ( ou du vecteur ON, c est la même chose ) est tout simplement 3.2 Opposé d un nombre complexe z z N = z M + z P = 1 + 4i + 2 2i = 3 + 2i Définition 5 L opposé du nombre complexe z = a+ib est le nombre complexe noté «-z» et défini par z = a + i.( b) = a ib Exemple: L opposé de 3-2i est i Interprétation géométrique: Le point M d affixe -z est symétrique de M par rapport à l axe des abscisses 3.3 Soustraction Définition 6 On définit la soustraction de la manière suivante: z z = z + ( z ) = (a a ) + i.(b b ) TS9 - Décembre Page 5

6 b point M d affixe z=a+ib a a point M d affixe z = z=a+ib b Exemple: (3 5i) (4 6i) = 1 + i 3.4 Multiplication Définition 7 La multiplication des nombres complexes est fondée sur la relation i i = 1 et la distributivité de la multiplication par rapport à l addition. z z = (a + ib) (a + ib ) = (aa bb ) + i(ab + ba ) En effet : (a + ib) (a + ib ) = aa + iba + ib a bb Exemples : (3 + i 2) ( 4 i 5) = ( ) + i( ) si z = 2 + 3i alors z 2 = i 3.5 Inverse de z Définition 8 Soit z = a + ib un nombre complexe non nul; on appelle l inverse de z le nombre complexe noté 1 et défini par: z Exemples: 1 3 2i = 3 + 2i 13 1 i = i 1 z = a a 2 + b i b 2 a 2 + b 2 TS9 - Décembre Page 6

7 3.6 Division Définition 9 Si z 0 alors: Exemple: 3 2i 1 4i = (3 2i) 1 + 4i 17 = i z z = z 1 z 4 Conséquences 4.1 Il n y a pas d ordre dans lc Un nombre complexe n a pas de signe... Sinon, on aurait i > 0 ou i < 0 et donc dans tous les cas on aurait i 2 > 0, soit 1 > 0 ce qui est évidemment absurde. Donc écrire par exemple 3 + 4i > 2 + i n a aucun sens!!!! 4.2 Identités remarquables dans lc Pour tous complexes zet z, on a bien: z = 0 z z = 0 ou z = 0 On a de même: (z + z ) 2 = z 2 + 2zz + z 2 (z z ) 2 = z 2 2zz + z 2 z 2 z 2 = (z z )(z + z ) Mais,on a maintenant z 2 + z 2 = (z iz )(z + iz ) Cette factorisation était bien entendu impossible dans IR 5 Conjugué d un complexe 5.1 Généralités Définition 10 Le conjugué du nombre complexe z = a + ib est le nombre complexe noté z et défini par : z = a ib On lit "z barre" On retrouve la notion d expression conjuguée... TS9 - Décembre Page 7

8 Les points M d affixe z et N d affixe z sont symétriques par rapport à l axe des abscisses Exemples: 5 3i = 5 + 3i 6i = 6i 7 = 7 Propriétés: z IR z = z z est imaginaire pur z = z Si z = a + ib, alors z.z = a 2 + b 2 z = z z + z = 2.Re(z) z z = 2.i.Im(z) 5.2 Opérations sur les conjugués Pour tous les complexes z et z, on a les propriétés suivantes: z + z = z + z z z = z z z z = z z z n = z n ( ) 1 Pour z 0, on a = 1 z z ( z ) Pour z 0, on a = z z z 6 Module d un nombre complexe 6.1 Généralités Définition 11 Soit le nombre complexe z = a + ib. On appelle module du nombre complexe z le nombre réel positif,noté z et défini par: z = a 2 + b 2 Propriétés: Si z est réel, le module de z n est autre que la valeur absolue de z(vieille connaissance...) Si le point M est l image de z, alors le module z représente la distance OM Propriété importante: z.z = z 2 TS9 - Décembre Page 8

9 6.2 Opérations sur les modules Pour tous complexes z et z on a : z = 0 z = 0 z.z = z. z z = z = z = z Pour z 0, on a: z z = z z Attention z + z z + z 7 Forme trigonométrique d un nombre complexe Le plan orienté est muni d un repère orthonormal direct 7.1 de module 1 b = Im(z) M z :image de z θ a = Re(z) Soit z un nombre complexe de module 1. L image M d un tel complexe est sur le cercle trigonométrique. Soit θ une mesure en radians de l angle( OA, OM). TS9 - Décembre Page 9

10 Re(z) = cos θ Im(z) = sin θ et donc z = cos θ + i sin θ 7.2 Cas général Soit z 0, son image n est donc pas le point O. On considère le point N d affixe Z = z.alors on a Z = 1. z Donc le point N est sur le cercle trigonométrique. Donc d après ce qui précède, il existe un réel θ tel que Z = cos θ + i sin θ. Finalement, on obtient z = Z z = z.(cos θ + i sin θ) D où : Théorème 1 Pour tout nombre complexe z 0, il existe un réel θ défini à 2kπ près tel que: z = z.(cos θ + i sin θ) Cette écriture est appelée forme trigonométrique du nombre complexe z Tout nombre de la forme θ + k.2.π (où k est un nombre entier relatif)est appelé argument de z et noté : arg z Remarque: Le nombre complexe 0 a bien un module égal à 0, mais son argument n est pas défini puisque l angle ( OA; OM) n est pas défini Exemples: Forme algébrique argument module Forme trigonométrique kπ 1 1.(cos 0 + i sin 0) 1 arg( 1) = π + 2kπ) 1 1.(cos π + i sin π) i arg(i) = π ( π ) ( π ) k.π 1 1.(cos + i sin 2 2 i arg( i) = π ( k.π 1 1.(cos π ) ( + i sin π ) ) i arg(1 + i) = π k.π ( π ) ( π ) 2 2.(cos + i sin ) 4 4 Méthode pour trouver la forme trigonométrique du nombre complexe z = 1 + i 3: 1. Recherche du module... z = 2 TS9 - Décembre Page 10

11 2. Factorisation du module dans la forme algébrique... z = 2( i 2 ) 3. Résolution du système d équations trigonométriques: cos θ = sin θ = 2 D où... θ = 2π k.π 4. Donc arg(z) = θ (θétant défini à2.k.πprès) 5. D où la forme ( trigonométrique ) ( ) de z. 2π 2π z = 2.(cos + i sin ) Propriétés des arguments z IR arg z = k.π zest imaginaire pur arg z = π 2 + k.π Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument ( à 2.k.π près...) Argument de l opposé d un complexe arg( z) = arg(z) + π + 2.k.π Argument du conjugué d un complexe arg(z) = arg(z) + 2.k.π Argument d un produit de complexes arg(z.z ) = arg(z) + arg(z ) Conséquences: arg(z n ) = n arg z Formule de Moivre ( hors programme de TS) (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + sin(nθ) Pour multiplier deux nombres complexes non nuls, on multiplie leurs modules et on ajoute les arguments Argument d un quotient de complexes ( z ) arg = arg z arg z z Conséquence: Pour diviser deux nombres complexes non nuls, il suffit de diviser les modules et de soustraire les arguments TS9 - Décembre Page 11

12 8 Forme exponentielle d un nombre complexe La notation suivante découle des propriétés sur les arguments et est cohérente avec les règles de calcul sur les puissances 8.1 Généralités Définition 12 Pour tout réel θ, on note e iθ le nombre complexe de module 1 et de module θ soit: e iθ = cos θ + i sin θ Définition 13 Tout nombre complexe non nul z de module z = r et d argument θ peut s écrire sous la forme exponentielle suivante: z = r.e iθ 8.2 Opérations avec la forme exponentielle On retrouve les propriétés de la section précédente, mais sous une forme plus simple pour les calculs: re iθ r e iθ = rr e i(θ+θ re iθ = r ) r e iθ r ei(θ theta re iθ = re iθ { re iθ = r e iθ r = r θ = θ + 2.k.π 9 et Géométrie 9.1 Écritures complexes de transformations Théorème : La fonction définie sur lc par z z est l écriture complexe de la symétrie centrale de centre O, origine du repère La fonction définie sur lc par z z est l écriture complexe de la symétrie orthogonale par rapport à l axe des réels Soit a un complexe. La fonction définie sur lc par z z + a est l écriture complexe de la translation de vecteur u d affixe a Soit θ un réel. La fonction définie sur lc par z e iθ.z est l écriture complexe de la rotation de centre O et d angle θ TS9 - Décembre Page 12

13 ( ) zc z A 9.2 Interprétation géométrique de arg z B z A Théorème : Soient ( trois points ) distincts A,B et C d affixe respectives z A, z B et z C. zc z A arg est une mesure de l angle ( AB, AC) z B z A Conséquences : Les trois points A,B et C sont alignés si et seulement si le nombre z c z A z B z A est un nombre réel Les vecteurs non nuls AB et AC sont orthogonaux si et seulement si nombre imaginaire pur non nul z c z A z B z A est un TS9 - Décembre Page 13