L. P. Kairouan Devoir de synthèse N 3 Prof: Chouihi Le : Durée : 4heures Classes: 4M 1+3

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1 L. P. Kairouan voir d synthès N 3 Prof: Chouihi L : uré : hurs Classs: M +3 Ercic N Parti A ( oints) Pour chacun ds roositions suivants un t un sul réons st corrct ; notr sur votr coi l numéro d la qustion t la lttr corrsondant à la bonn réons. rr L lan st raorté à un rèr orthonormé ( O, i,j) ) Soit l hyrbol H d cntr O, d sommt S(3,0) t d foyr F(5,0) ; H a our équation réduit: a) - b) - - c) ) La arabol d foyr F(,0) t d dirctric : - a our équation : a) y² b) ² 8y c) y² 8 3) Soit S l alication du lan dans l lan qui à tout oint M d affi z associ l oint M d affi z tl qu : z' iz - - i. a) S st un similitud dirct d raort, d cntr A( i) t d angl b) S h o S où h st l homothéti d raort t d cntr A( i) t S st la symétri aial d a : y -. - c) S st un similitud indirct d raort, d cntr A( i) t d a : y. Parti B On donn l arbr d robabilités suivant tl qu P() 0,07 A 0, 0,3 B C 0,05 0,0 a) étrminr P (A Ç ), P (BÇ ), n déduir P (CÇ ) b) Rcoir sur votr coi l arbr d robabilités t la comlétr. c) étrminr P(C / ) /3

2 Ercic N ( oints) Pour ntrtnir n bon état d fonctionnmnt l chauffag, un société fait contrôlr ls chaudièrs ndant l été. s étuds statistiqus mnés donnnt ls résultats suivants : 0% ds chaudièrs sont sous garanti. Parmi ls chaudièrs sous garanti, la robabilité qu un chaudièr soit défctuus st d 0,0. Parmi ls chaudièrs qui n sont lus sous garanti, la robabilité qu un chaudièr soit défctuus st d 0,. On all G l événmnt suivant : «La chaudièr st sous garanti». ) Calculr la robabilité ds événmnts suivants : A «La chaudièr st sous garanti t défctuus» B «La chaudièr st défctuus» ) On sait qu la chaudièr st défctuus, qull st la robabilité qu ll soit sous garanti. 3) L contrôl st gratuit si la chaudièr st sous garanti, il coût 0 dinars si la chaudièr n st lus sous garanti t n st as défctuus, il coût 00 dinars si la chaudièr n st lus sous garanti t défctuus. On not X la variabl aléatoir qui rrésnt l coût du contrôl d un chaudièr. étrminr la loi d robabilité d X t son séranc mathématiqu. Ercic N 3 ( oints) ans l sac E raorté à un rèr orthonormé ( O, i j, k, ), on donn ls oints A(0 ;3 ;0) t B(0 ;0 ;) t C(, 0, ). ) a) Montrr qu la droit (BC) st orthogonal à la droit (OA). b) Montrr qu la droit (BC) st orthogonal à la droit (OB). c) En déduir qu la droit (BC) st rndiculair au lan (OAB). ) étrminr l volum du tétraèdr OABC. 3) Montrr qu ls oints O, A, B t C s trouvnt sur un shèr dont on détrminra l cntr t l rayon. ) A tout rél kî]0, [ on associ l oint M(0,0,k). L lan contnant M t orthogonal à l a (O, k r ) cou ls droits (OC), (AC) t (AB) rsctivmnt n N, P t Q. a) Montrr qu l quadrilatèr MNPQ st un rctangl. b) Pour qull valur d k la droit (PM) st ll orthogonal à la droit (AC)? /3

3 Problèm (8 oints) A. Soit f la fonction défini sur IR ar f() ) a) rssr l tablau d variations d f b) Tracr la courb rrésntativ (C ) d f dans un rèr orthonormé (O, i, j ). ) a) Montrr qu f st un bijction d IR sur ], [. b) Elicitr f - () ; our tout Î ], [. c) Construir la courb ( C ) d f - dans l mêm rèr (O, i, j ).. 3 ) Calculr l air du domain lan limité ar la courb (C ), l a ds ordonnés t la droit d équation : y. ) a) Montrr qu our tout ÎIR, [f()] - ( + )² b) Soit G {M(,y)ÎP tls qu : y f() t 0 } t S l solid obtnu ar rotation d G autour d l a ds abscisss. Calculr l volum d S. B. On considèr ls nsmbls : ì 5 ( - ) + E { M(,y) Î P ; í 6, t Î IR y î + t -t ì ( + ) 3 } t H { M(,y) ÎP ; í t -t îy ( - ) ; t ÎIR } ) Pour tout rél t, on os : u(t) Pour tout rél t, établir ls égalités : t + -t t v(t) t - a) [u(t)] [v(t)] b) [f(t)] + [u(t)] -t. ² y² ) a) Montrr qu E a our équation : En déduir la natur t ls élémnts caractéristiqus d E. b) étrminr la natur t ls élémnts caractéristiqus d H. 3 ) Soint A, B, C t ls oints d affis rsctivs :, + i, i t + i. a) Montrr qu il ist un uniqu délacmnt R transformant A n C t B n. b) onnr la natur t ls élémnts caractéristiqus d R. ) a) étrminr, ar son équation cartésinn, l nsmbl E imag d E ar R. b) Précisr la natur t ls élémnts caractéristiqus d E. Fin 3/3

4 L.P. Kairouan Corrction du dvoir d synthès N 3 Prof : Chouihi Ercic N Parti A ) a) ) c) 3) b) Commntair our 3) S st un similitud indirct (d la form z a z +b ) raort - i cntr A car z A z A a {MÎP tl qu S(M) h(m)} NB : on ut rocédr ar élimination! Parti B a) (AÇ) (A).(/A) 0, 0,05 0,0 (BÇ) (B).(/B) 0,3 0,0 0,0 (CÇ) () (AÇ) (BÇ) 0,005 b) 0,05 A 0,95 0, 0,0 0,3 B 0,96 0,5 0,0 C 0,99 (C Ç ) 5 c) (C/) () 7 Ercic N ) (A) (GÇ)(G) (/G)0, 0,0 0,00 P(B) () (G) (/G) + (G) (/G) 0,00 + 0,8 0, 0,08 ) (G/) (G Ç )» 0,03 () 8 3) X(W) {0, 0, 00} (X 0) (G) 0, (X 0) (G Ç ) ( G ) ( /G) 0,8 0,9 0,7 P(X 00) (G Ç ) (G ) ( /G) 0,8 0, 0,08 E() 0 0, ,08 30, Ercic N 3 æ ö 0 æ ö uuur ç uuur ç ) a) BC 0 OA 3 0 donc (BC)^(OA). ç 0 0 ç è ø è ø æö 0 æ ö uuur ç uuur ç b) BC 0 OB 0 0 donc (BC)^(OB). ç 0 ç è ø è ø ì(bc) ^ (OA) c) í(bc) ^ (OB) alors (BC)^(OAB) î(oa) t (OB) sont sécants ) En rmarquant qu OAB st rctangl n O t n tnant comt du fait qu (BC) ^ (OAB) on déduit qu : V(OABC) 6 OA OB BC 3) Soit W(,y,z) ìaw O íb W O Û îc W O ì- 6y 9+ 0 í - 8z ÛW( 3,,) î - - 8z R OW ) a) N( k k 3,0,k) ; P(,- k+ 3,k) t 3 Q( 0, - k+ 3,k) uuuur uuur Il suffit d vérifir qu MN QP t qu uuuur uuuur MNg MQ 0. b) k 36 3 Problèm ) a) f IR. f st continu t dérivabl sur IR f() - ( -) - - ( + ) + donc limf (- ) - f() donc limf - - (+ ) + + f () f0 - ( + )² - + f () + f() - A.S : 07/ 08 / M +3

5 B. ) a) t b) siml calcul! ì f(t) 5 ) a) í t comm [f(t)] + y [u(t)] î 3 u(t) ì u(t) b) 3 ) a) f st strictmnt croissant sur IR donc ll í t comm [u(t)] [v(t)] donc y réalis un bijction d IR sur f<ir> t comm f v(t) î st continu sur IR alors f<ir> ]limf,lim f [ - + ² y² -. ]-, [ - ì f () y ìf(y) H st un hyrbol d foyr F(5,0), d dirctric b) í Û í î Î- ],[ îy Î IR associé à F la droit : 9 y -y 5. - f(y) Û y -y Û y ( ) -y 3) a) AB & C ( + ) + [ AB C & AB¹ 0] donc il ist un uniqu Û y + délacmnt R transformant A n C t B n. ( ) + Û y - b) La transformation coml associé à R st d + la form z az + b avc a Û y ln( ) - ìr(a) C ì - + í Û a + b i ì í Û a í i donc f () ln( ) îr(b) îa(+ i) + b -i îb 0 - onc z iz t ar suit R st la rotation d cntr c) C st l imag d C ar raort à : y 3) ar raison d symétri ar raort à, l air A O t d angl. dmandé st égal à clui d la arti limité ar la ) a) M R(M) Û z iz Û z -iz courb C, l a ds abscisss t la droit d équation : ; donc ì Û + iy -i( + iy ) Û í y' A f ()d ln( - ) ln( - ò é + ù ) ln + - îy - ' 0 ë û0 - - ) a) [f()]² M Î E Û ² + y² Û '² + y'² onc E a our équation : ² + y² ( + + ) b) E st un llis d foyr F (0,), d dirctric associé à F la droit d équation : y 5 - ( t + )² b) V ò f ()d d cntricité ( - )d 5 0 ò. 0 ( + )² é ù ê + ú ë û donc ² + y². 5 9 E st un llis d foyr F(,0) d dirctric associé à F la droit : 5 t d cntricité 5. A.S : 07/ 08 / M +3