1 Examen. 1.1 Prime d une option sur un future

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Gauthier Girard
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1 1 Examen 1.1 Prime d une opion sur un fuure On considère une opion à 30 jours sur un fuure de nominal 100 francs, e don le prix d exercice es 95 francs. Le aux d inérê coninu) du marché monéaire es 5% e la volailié hisorique du fuure es esimée à 10%/an. 1. Calculez la valeur de la prime de l opion européenne d acha à parir du modèle de Cox, Ross e Rubinsein en supposan rois possibiliés d arbirage. Nous rappelons que nous avons u = exp σ τ n ), d = 1 u e π = 1 d u d 2. Quelle es la valeur de la prime de l opion américaine correspondane? Uilisez pour cela la echnique die de remonée de l arbre. 3. La prime de l opion d acha dans le modèle de Black es donnée par la formule suivane : C = F 0 e rτ Φ d 1 ) Ke rτ Φ d 2 ) avec d 1 = 1 σ ln F 0 + 1σ τ e d τ K 2 2 = d 1 σ τ. Calculez la valeur de la prime de l opion européenne précédene. 4. A parir de la formulaion des primes d opion d acha e de vene sur fuure sous la probabilié neure au risque, rerouvez la relaion de parié call-pu. En déduire que la prime d un call doi êre égale à la prime d un pu pour les opions à la monnaie. Rerouvez ce résula en uilisan la héorie de l arbirage. 5. On considère une opion d acha sur un fuure. Soi la posiion correspondane à l arbirage n 1) e à n 1) hausses du fuure. On rappelle que la porion correspondane de l arbre d évoluion du fuure e celle de la valeur inrinsèque du call son e C n 1 n 1 u n 1 F 0 u n F 0 u n 1 df 0 C n n = max 0, u n F 0 K) C n 1 n = max 0, u n 1 df 0 K) 1

2 On suppose que u n 1 df 0 K ) + = un 1 df 0 K Monrez que la valeur inrinsèque du call américain C n 1 n 1 es égale à celle du call européen si le aux d inérê es négaif. En déduire qu une condiion nécessaire pour que la valeur de la prime de l opion américaine d acha soi égale à celle de l opion européenne es Commenez ces résulas. F 0 1 u n 2 K 1.2 Valorisaion d un FLOOR e modèle de Ho e Lee 1. Expliciez la foncion d acualisaion P n) i τ). Pourquoi Ho e Lee considèren--ils deux foncions perurbarices h τ) e h τ)? Présenez e expliquez les relaions enre les foncions perurbarices e la foncion d acualisaion. 2. La srucure par erme des coupons zéros de nominal 1 Franc) es la suivane : an), ans) e ans). On suppose que la probabilié neure au risque π vau 44.5 % e que le coefficien d inceriude δ es de 0.9. Les diagrammes d évoluion de la foncion d acualisaion son : P 0) 0 2) = 0.85 P 1) 1 2) = P 1) 0 2) = P 2) 2 1) = P 1) 1 1) = P 0) 0 1) = 0.92 P 2) 1 1) = P 1) 0 1) = Trouvez les valeurs de P 2) 2 1), P 2) 1 1) e P 2) 0 1). P 2) 0 1) = 3. On considère un FLOOR 3 ans sur Pibor 1 an poran sur un emprun à aux variable de 1000 francs. Le aux d exercice es 6.5%. Définissez la noion de FLOOR. Calculez la valeur de la prime du FLOOR. 2

3 1.3 Gesion des opions 1. Définissez le coefficien dela d une opion. 2. On considère un porefeuille consiué des acifs suivans : Acif Nombre Dela Acion A 8 Opion d acha sur l acion A Opion de vene sur l acion A Conra de vene à erme sur l acion A 7 Que doi-on faire pour que ce porefeuille soi dela-neure par rappor au prix de l acion A? 3. Nous considérons ] un acif S 1 ) e un faceur S 2 ). Nous supposons que S1 ) S ) = es un processus de diffusion, don la dynamique es S 2 ) donnée par l équaion différenielle sochasique mulidimensionnelle : ] ] µ1 S ds ) = 1 σ1 S d + 1 σ 12 S 2 dw ) µ 2 S ] 2 0 σ 2 S 2 S 0 S 0 ) = 1 S 0 2 ] W1 ) où W ) = es un processus de Wiener de dimension 2 avec W ] 2 ) ρ =. Nous supposons que l opion C, S ) dépend uniquemen du prix de l acif S 1. Soi P un porefeuille consiué de α 1 acifs S 1 e α 2 opions C. Calculez la différenielle sochasique de la valeur du porefeuille. Quelle es la condiion nécessaire pour que le porefeuille soi localemen sans risque? Commenez ce résula. 1.4 Une aure démonsraion des modèles de Black e Scholes 1973], Black 1976] e Garman e Kohlhagen 1983] Nous considérons que les hypohèses générales du modèle de Black e Scholes son vérifiées. Le aux d inérê sans risque, noé r, es consan. Nous rappelons que la variable d éa du modèle es le prix de l acif S ) e que S ) es un processus de diffusion, don la dynamique es donnée par l équaion différenielle sochasique suivane : { ds ) = µs ) d + σs ) dw ) S 0 ) = S 0 3

4 1. Donnez la définiion d une opion européenne d acha. 2. Soi C la valeur de la prime d une opion européenne d échéance T, de prix d exercice K e don le sous-jacen es l acif S. Quelle es l équaion fondamenale que doi saisfaire la prime C? Avons-nous une représenaion de Feynman-Kac? 3. On suppose que le prix du risque es consan, c es-à-dire que nous avons λ ) = λ Monrez alors qu il exise une mesure de probabilié, que nous noons P, elle que nous avons { ds ) = µ λσ) S ) d + σs ) dw ) S 0 ) = S 0 avec W ) un processus de Wiener. 4. Soi {F, 0} la filraion. En déduire, en appliquan le héorème de Feynman-Kac, que la soluion de l équaion fondamenale es C 0, S 0 ) = exp r T 0 )] E max 0, S T ) K) F 0 ] 1) 5. Monrez qu il exise un aux d acualisaion i qui dépend du prix du risque el que le prix acualisé de l acif sous-jacen S ) = e i 0) S ) soi une maringale sous P. 6. Monrez que S T ) F 0 = S 0 exp 1 ) 2 σ2 T 0 ) + σ W T ) W 0 )] En déduire que S T ) F 0 sui une loi log-normale don vous préciserez les paramères µ 1 = E ln S ] T ) F 0 e µ 2 = var ln S T ) F 0 ]. 7. Soi la maurié de l opion τ = T 0. A parir de la représenaion 1) e de la définiion de la variable aléaoire S ), monrez que C 0, S 0 ) = S 0 e i r)τ E ε T ) ι ε T ), E)] Ke rτ Pr {ε T ) E} avec ε T ) = exp 1 ) 2 σ2 T 0 ) + σ W T ) W 0 )] 4

5 e } E = {x x KS0 e iτ La foncion ι x, E) es définie de la façon suivane { 1 si x E ι x, E) = 0 si x / E 8. Nous rappelons que Pr {LN µ 1, µ 2 ) a} = Φ ) ln a µ1 µ2 avec Φ la foncion de répariion de la loi normale cenrée e réduie. En déduire que Pr {ε T ) E} = Φ d 2 ) avec d 2 = 1 σ τ ln S ] 0 K + iτ 1 2 σ τ 9. En uilisan le héorème de Girsanov, monrez que P défini par dp dp = ε T ) saisfai le héorème de Radon-Nikodym e que W ) = W ) σ 0 ) es un processus de Wiener sour P. En déduire que, sous P, nous avons ) 1 ε T ) = exp 2 σ2 T 0 ) + σ W T ) W 0 )] Remarquez alors que E ε T ) ι ε T ), E)] = Pr {ε T ) E} = Φ d 1 ) avec d 1 = 1 σ τ ln S ] 0 K + iτ σ τ 10. Quelle valeur de i correspond au modèle de Black e Scholes? En déduire l expression du prix du risque dans ce modèle. 11. Quelle valeur de i correspond au modèle de Garman e Kohlhagen? En déduire l expression du prix du risque dans ce modèle. 5

6 12. Supposons que l acif disribue un dividende coninu proporionnel à la valeur du sous-jacen. Nous avons Monrez que le prix du risque es b, S) = δs ) En déduire que Inerpréez ce résula. λ ) = µ r + δ σ i = r δ 13. Monrez que dans le modèle de Black, ou se passe comme si δ éai égal au aux d inére sans risque. Inerpréez ce résula dans le cas d une opion sur un indice. 2 Annexes 2.1 Théorème de représenaion de Feynman-Kac Considérons la variable d éa x définie par dx = µ, x) d + σ, x) dw e A v le généraeur infiniésimal de la diffusion Sous les hypohèses suivanes : A v = 1 2 σ2, x) 2 v v + µ, x) x2 x 1. Les foncions µ, x), σ, x), k, x) e g, x) son lipschiziennes, bornées sur 0, T ] R. 2. La foncion f x) es une foncion coninue e de classe C Les foncions g e f son à croissance exponenielle, c es-à-dire qu il exise K 0 e ξ 0 els que { g x) K exp ξx 2 ) f x) K exp ξx 2 ) 6

7 e si v, x) es une foncion à croissance polynomiale, alors il exise une soluion unique au problème suivan de Cauchy. { v + kv = A v + g, x) 0, T ] R v T, x) = f x) x R Cee soluion es donnée par la formule suivane T ) T v, x) = E f x T ) exp k θ, x θ ) dθ + g s, x s ) exp 2.2 Théorème de Girsanov s ) k θ, x θ ) dθ Soien W un processus de Wiener e P la mesure de probabilié. Si le processus φ ) vérifie la condiion suivane E exp 1 ] φ 2 s) ds < 2 0 alors W défini par W ) = W ) 0 φ ) ds es un processus de Wiener sous la mesure de probabilié P. Le changemen de mesure es donné par le héorème de Radon-Nikodym : dp dp = exp φ s) dw s) 1 ] φ 2 s) ds Foncion de répariion de la loi Normale cenrée e réduie ] ds F 7

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