1 Translation et vecteur

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1 Chapitre - Vecteurs Translation et vecteur Définition 1 : translation La translation qui transforme A en B transforme tout point M du plan en un unique point N tel que ABNM est un parallélogramme. Autrement dit : N est l'image de M par cette translation si et seulement si [AN] et [BM] ont le même milieu. Remarque : si M (AB), alors le parallélogramme est aplati. Définition 2 : vecteur La translation qui transforme un point A en un point B est appelée translation de vecteur AB. AB Vocabulaire : B est l'image de A par la translation de vecteur AB. Notation : on note et on représente un vecteur avec une flèche. : ne pas confondre AB, [AB], (AB) et AB Pour bien comprendre : un vecteur (ici AB ), est complètement définit par : une direction : celle de la droite (AB) un sens : ici de A vers B une longueur que l'on appelle la norme du vecteur : AB 2 Egalité de vecteurs et représentants Définition 3 : (vecteurs égaux) Deux vecteurs AB et CD sont égaux lorsque la translation de vecteur AB transforme C en D. Notation : on note alors AB = CD. Si AB = CD, la translation de vecteur AB est la même que translation de vecteur CD, bien que les points A, B, C, D soient différents. On dit que AB et CD sont deux représentants d'un même vecteur. Vocabulaire : lorsque l'on représente un vecteur AB, A est l'origine du représentant, AB B est l'extrémité du représentant. Méthode 1 : construire un représentant d'un vecteur connu c'est construire un parallélogramme avec l'origine/extrémité voulue. v.dujardin 1

2 3 Quelques définitions 3.1 Le vecteur nul Définition 4 : vecteur nul On appelle vecteur nul le vecteur associé à la translation qui transforme tout point en lui même. Notation : on note 0 le vecteur nul. Remarque : quel que soit le point A, AA = Le vecteur opposé Définition 5 : vecteur opposé Le vecteur opposé au vecteur AB est le vecteur BA, associé à la translation qui transforme B en A. Notation : BA =- AB 3.3 Norme d'un vecteur Définition 6 : norme d'un vecteur La norme d'un vecteur AB est la distance AB Autrement dit : la norme d'un vecteur u est la distance entre l'origine et l extrémité de ses représentants. Notation : on note AB la norme de AB. Remarque : AB = BA =AB =BA v.dujardin 2

3 4 Somme de deux vecteurs On admet que l'enchaînement de deux translations est une translation. Définition 7 : somme de vecteurs La somme de deux vecteurs u et v est le vecteur associé à l'enchaînement des translations de vecteur u puis v. Notations : 1. On note ce vecteur u+ v 2. Cas particulier : on note 2 u le vecteur u + u 3. Par extension, on note k u avec k N le vecteur u u (k fois) Méthode 2: Pour construire un point défini par une somme vectorielle, on peut construire bout à bout les représentants des vecteurs de la somme. Différence de vecteurs : u v est le vecteur u+( v ). C'est le vecteur associé à l'enchaînement des translations de vecteur u et du vecteur opposé à v. 5 Propriétés de calcul vectoriel Propriétés 1 : (admises) Pour tous vecteurs u et v : a) u+ v = v + u b) u+ 0= 0+ u = u c) u+( u )= 0 d) u +( v + w )=( u+ v )+ w = u+ v + w Remarque : les propriétés de calcul vectoriel sont similaires à celles du calcul numérique. v.dujardin 3

4 6 Vecteurs et parallélogramme Propriété 2 ABDC est un parallélogramme AB = CD Preuve : découle des définitions 1 et 3 Remarques : 1. Si A,B,C,D sont alignés, le parallélogramme est aplati. 2. On peut aussi écrire si et seulement si AC = BD, ou CA = DB, ou BA = DC Méthode 3 : cette propriété est très efficace pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme. Exemple : exercice 8p204 (corrigé) 7 Relation de Chasles Propriété 3 : relation de Chasles (admise) Pour tous points A et C du plan, quel que soit B, on a : AC = AB BC Autrement dit : transformer A par translation vers n'importe quel point B puis ce point B par une autre translation vers C revient à transformer directement A vers C par une seule translation de vecteur AC 8 Identité du parallélogramme Propriété 4 : identité du parallélogramme ABDC est un parallélogramme AD = AB + AC Preuve : D'après la relation de Chasles, AD = AB + BD (toujours vrai...) Si ABDC est un parallélogramme, alors AC = BD. On a donc AD = AB + AC Si AD = AB + AC, on a alors AB + AC = AB + BD, c'est à dire AC = BD, ou encore : ABDC est un parallélogramme. v.dujardin 4

5 9 Milieu d'un segment et vecteurs Propriété 5 I est le milieu de [AB ] AI = IB Preuve : Si I est le milieu de [AB ], alors les diagonales du quadrilatère aplati AIBI se coupent en leur milieu car I est le milieu de [AB] et évidemment de [II ]. AIBI est donc un parallélogramme, c'est à dire AI = IB. Si AI = IB, alors AIBI est un parallélogramme par définition des vecteurs, et donc ses diagonales se coupent en leurs milieux. Les diagonales de AIBI sont [AB] et [II]. Puisque le milieu de [II] est évidemment I, I est bien le milieu de [AB ] Conséquence : I est le milieu de [AB ] AB=2 AI Preuve : AB = AI + IB (Chasles) donc AB=2 AI AI + IB = AI + AI IB = AI, ce qui d'après la propriété ci-dessus est équivalent à affirmer que I est le milieu de [AB]. v.dujardin 5