Les nombres complexes. Corrigés d exercices Version du 04/03/2015

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1 Corrgés d exercces Verson du 04/0/015 Les exercces du lvre corrgés dans ce document sont les suvants : Page 44 : N 68 Page 47 : N 79 Page 48 : N 81 Page 51 : N 90 N 68 page 44 1 Réponse b On a : cos sn cos sn = Réponse a On a : 4 4 cos sn cos sn cos sn cos sn + = = = + Réponse a θ θ On a : e = e = 1= 4 Réponse c On a : z e e = = = e = cos sn + = + = Lycée Fénelon Sante-Mare 1/11 M Lchtenberg

2 N 79 page 47 1 Sot y, y, un magnare pur y est soluton de ( E s, et seulement s : ( ( ( ( On a : ( ( ( ( ( ( y + 8+ y y + 17 y + 8+ y y + 17 y + 8+ y + 17y + 8y + 17 y + 8y y + 17y + 8y y + 8y+ y y + 17 y+ 17 ( ( y( y ( y ( y ( y 1 8y ( y 17 0 y 1 0ou8y ( y 17 ( ( ( 8y y+ 1 + y y y = + = + + 8y y = 1ou y + 17 y y = 1ou 17 y = 1 L équaton ( E admet donc pour soluton l magnare pur Le fat que sot soluton de l équaton ( + ( 8+ + ( par ( z z z E permet de factorser z = z+ et on a : ( ( ( (, = z z z z z z az b ( ( ( (, = z z z z z a z a b z b 8 + = a = a+ b 17 = b a = 8 b = 17 Fnalement : ( ( ( ( z z + + z + z+ = z+ z z+, Lycée Fénelon Sante-Mare /11 M Lchtenberg

3 En utlsant la factorsaton obtenue à la queston précédente, l vent : ( ( z z z ( z ( z z z = z z+ = ou Résolvons alors l équaton z 8z+ 17 Il s agt d une équaton du second degré à coeffcents réels Le dscrmnant vaut : Δ= ( = 64 68= 4< 0 Les racnes complexes conjuguées s écrvent alors : Fnalement : ( ( z1 = = = 4 1 et z = z1 = 4 + z + 8+ z z+ 17 est : L ensemble des solutons de l équaton ( ( S = { ;4 ;4+ } N 81 page 48 1 On a : ( ( ( ( ( ( 6 1+ = 1+ = 1+ 1 = = = 8 = 8 ( 6 1+ = 8 ( 6 a ( 1+ = 8 ( 1+ = 8 On en dédut que ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 l équaton ( E + = + + = + = + est soluton de ( 1+ est soluton de l équaton ( E b ( 1+ = + est soluton de l équaton ( admettent le même carré, on en dédut que ( l équaton ( E E Comme deux nombres opposés + = est auss une soluton de Lycée Fénelon Sante-Mare /11 M Lchtenberg

4 On en dédut, en admettant que l équaton ( E possède deux solutons : Les solutons de l équaton ( E sont + et ( 6 a ( ( 1+ = 8 1+ = 8 E' On en dédut que ( 1+ = 1+ 1= est soluton de l équaton ( t = est soluton de l équaton ( E' b On a : ( ( jt = j t = e 8 = 8 e = 8 e = 8 E' On en dédut ans que jt est auss une soluton de l équaton ( On a auss : ( ( j t = j t = e 8 = 8 e = 8 e = 8 On en dédut également que le complexe j t est soluton de l équaton ( E' Les complexes jt et j t sont solutons de l équaton ( E' 4 a On a d abord : ( enfn : t = 8 = 8 = 8e pus : j t = 8e e = 8e = 8e + 6 jt = 8e e = 8e = 8e et 8e e 6 t =, jt = et e = j t On obtent alors faclement dans le plan complexe les ponts A, B et C (cf la fgure page suvante Lycée Fénelon Sante-Mare 4/11 M Lchtenberg

5 6 b Notons d abord que l on a : t = 8e = 8, jt = 8e = 8 et 5 6 jt= 8e = 8 Les ponts A, B et C appartennent donc à un même cercle de centre O et de rayon 8 (ATTENTION! Cec ne prouve en ren que le trangle ABC sot équlatéral! On a classquement : OA,OB = OA, u + u,ob = u,ob u,oa ( ( ( ( ( ( z ( z ( zb ( za = arg arg = arg arg OB ( jt arg ( t = arg 6 6 Or : arg ( jt = arg 8e = arg e = ( OA et arg( t = arg 8e = arg e = 6 4 OA, OB = arg jt arg t = = = 6 6 D où : ( ( ( ( ( ( De façon smlare, on obtent : ( OB, OC = arg ( j t arg ( jt OB, OC = arg jt arg jt = = = Or : arg ( jt = arg 8e = arg e = ( D où : ( ( ( ( ( ( Lycée Fénelon Sante-Mare 5/11 M Lchtenberg

6 Enfn : ( OC, OA = arg ( t arg ( j t = = = = 6 6 = ( ( ( ( ( Fnalement : ( OA,OB = ( OB,OC = ( OC,OA = ( Comme A, b et C appartennent à un même cercle de centre O et que l on a : ( OA, OB ( OB, OC ( OC, OA = = = (, on en dédut que le trangle ABC est équlatéral Le trangle ABC est équlatéral Lycée Fénelon Sante-Mare 6/11 M Lchtenberg

7 N 90 page 51 1 On veut que ODCA sot un carré drect Pusqu l s agt d un carré de côté de longueur 1 (on a z A = 1, on dot donc avor, en partculer : OD = 1 Sot z D = 1 On dot également avor ( OD,OA = ( C'est-à-dre : ( OD, u = ( Sot enfn : ( u,od = arg( d = ( On tre de ce qu précède : ( cos( arg ( sn ( arg ( d = d d + d = 1 cos + sn = Pour détermner l affxe du pont C, on peut alors utlser le fat que les segments [ AD ] et [ OC ] ont même mleu On a donc : a+ d c+ o =, sot : 1 c+ et enfn : c= 1 d = et c= 1 Lycée Fénelon Sante-Mare 7/11 M Lchtenberg

8 a On a : arg ( f = ( u,of = ( u,ob + ( OB,OF Comme le carré OBEF est drect, on a : ( OB,OF = ( Par hypothèse, on a auss : ( u,ob = β ( On en dédut : arg ( f = ( u,of = β + ( Par alleurs : OF = f = OB = 1 Fnalement : β + ( cos( arg ( sn ( arg ( f = f f + f = 1 cos β + + sn β + = cos β + + sn β + = e f = e β + b On a mmédatement : β + β β f e e e e b = = = = f = b c De façon smlare à ce que nous avons fat à la queston 1, nous utlsons le fat que les OE ont le même mleu segments [ FB ] et [ ] f + b ε + o On en tre : =, c'est-à-dre : ε = f + b= b+ b= ( 1+ b= ( 1+ e β On peut «amélorer» cette écrture comme sut : 1 1 ε = + = + = = β + β β 4 ( 1 4 β e e e e e β 4 ( b ( e e ε = 1+ = 1+ = β + Lycée Fénelon Sante-Mare 8/11 M Lchtenberg

9 On a : OFGD parallélogramme OF = DG z = z OF DG f o= g d g = f + d ( ( 1 g = b+ = b ( 1 g = b 4 a Comme b = e β, l vent mmédatement : b= cos β + sn β b On a : z = ε g = ( + b ( b = b+ b b+ = b+ = β + ( + β GE 1 1 cos 1 sn ( ( ( Pus : z = c g = 1 b 1 = 1 b+ = 1 b= 1 cos β + sn β = 1+ sn β cos β GC On a donc : cos β GE et 1 + sn β 1+ sn GC cos β β c D après le résultat de la queston précédente, l vent mmédatement, le repère consdéré étant orthonormal : GEGC= cosβ 1+ snβ + 1+ snβ cosβ ( ( ( On en dédut alors que le trangle GCE est rectangle en G Par alleurs : GE = GE = cos β + ( 1+ sn β = cos β + 1+ sn β + sn β = ( 1+ sn β GC = GC = 1+ sn β + cos β = 1+ sn β + sn β + cos β = 1+ sn β On a donc GE Fnalement : ( ( ( = GC et on en dédut mmédatement que le trangle GEC est socèle en G Le trangle GEC est rectangle et socèle en G Lycée Fénelon Sante-Mare 9/11 M Lchtenberg

10 5 C est dans ce genre de stuaton qu un logcel de géométre dynamque (au hasard Geogebra? permet de se fare une dée du résultat! En «lbérant» le pont B (e en ne lu mposant plus d appartenr au cercle trgonométrque et en le déplaçant dans le plan, on peut conjecturer (ce n est qu une conjecture que l angle CGE reste drot et que les longueurs GC et GE restent égales Prouvons ce résultat On pose cette fos : b= b e β avec b 0 Les rasonnements sur les arguments restent valables et l convent «seulement» de prendre en compte le fat que le module de b est quelconque (non nul Ans, pour f on obtent : f β + = b e et, pour ε : β + β 4 ( 1 b ( 1 b e b e ε = + = + = Enfn, on a encore : g f d ( b 1 = + = β Avec b b e b ( cos β sn β = = +, l vent cette fos : ( β β β ( β ( ( z = b+ = b cos + sn + = b cos + 1+ b sn GE z = 1 b= 1 b cos β + sn β = 1+ b sn β b cos β GC Lycée Fénelon Sante-Mare 10/11 M Lchtenberg

11 D où : b cos β GE et 1 + b sn β 1+ b snβ GC b cos β On retrouve mmédatement : GEGC et l vent ensute : GE = GE = b cos β + 1+ b sn β = b cos β + 1+ b sn β + b sn β ( ( ( = 1+ b + b snβ GC = GC = 1+ b sn β + b cos β = 1+ b sn β + b sn β + b cos β = 1+ b + b snβ On a encore : GE Fnalement : = GC Pour tout complexe b non nul, affxe du pont B, le trangle GEC est rectangle et socèle en G Lycée Fénelon Sante-Mare 11/11 M Lchtenberg