EXERCICES SUR LES NOMBRES COMPLEXES. 1. On définit pour tout nombre complexe z différent de 0 et de (-3),

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1 Exercice Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes On définit pour tout nombre complexe z différent de 0 et de (-), f ( z) z z( z + ) Ecrire sous forme algébrique les nombres suivants : f ( i) et f ( + i) Ecrire sous forme algébrique : ( + i) + ( i) Résoudre dans l ensemble des nombres complexes les équation suivantes : a) ( z i) i( z + i) ( i )( z + i) b) z z 9+ i 4 Pour tout nombre complexe z i, On pose Z z + i z i a) Déterminer l ensemble (E) des points M ( z) pour lesquels M '( Z ) appartient à l axe des réels b) Déterminer l ensemble (F) des points M ( z) pour lesquels M '( Z ) appartient à l axe des imaginaires Exercice Le plan complexe est rapporté à un repère orthonorm é (O; u ; v ) (unité graphique :4 cm) On appelle A,B et C les points d affixes respectives a i, b et c + i On note I le milieu de[a B],J celui de [B C],K celui de [C A] On considère l application f du plan, qui à tout point M d affixe z, associe le point M d affixe z tel que z' + i z a) Déterminer les affixes a', b' et c' des points A,B,C images des points A,B et C par f b) Déterminer les affixes des points I, J et K Calculer les affixes des vecteurs : IJ, IK et KJ Montrer que le triangle IJK est équilatéral 4 Soit (E) l ensemble des points M d affixes z tels que : z i a) Déterminer et construire l ensemble (E) b) Déterminer et construire l image (E ) de (E) par l application f c) Donner une équation cartésienne de (E ) wwwmathsecondairenet page / 4

2 Exercice r r $!##$#:>%F% $#, "!#!!8 C F$&&:!! /!' 8 () C (4!G( ) % % *) )4 #!/ %##!/$#%! ##!7%'G()* 4$"; 7% *) ( " $#0!# ) "!!;0$&&:! #!7% G () 94$"!$ (:*?A:?!!#!/&7%#$$ ## G! G"( :*?) x + ( y) 7%#$$ $6$ G"( x y +x +y x + ( y) " $#0!# "!!;0$&&:! #!7%G! %#4 " $#0!#9"!!;0$&&:! #!7%G! %$6$%4 Exercice 4 On donne les nombres complexes suivants : z 5 ( + i) et z -5( + i ) ) Déterminer le module et un argument des nombres complexes : z, z, z _, ) Soit Z le nombre complexe tel que z Z z Ecrire Z sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique z ) Déduisez-en les valeurs exactes de cos( ) et sin( ) Exercice 5 On considère dans l ensemble des nombres complexes l équation (E) suivante : z a i z a i 0 où a est réel a) Déterminer les racines carrées du nombre complexe i a b) Déterminer en fonction de a les solutions z et z de (E) wwwmathsecondairenet page / 4

3 On désigne par M et M les images des solutions z et rapporté à un repère orthonormé direct O,u, v On note M le milieu du segment a M b) Déterminer alors l ensemble des points M lorsque a décrit a) Vérifier que z i z dans le plan complexe MM Exercice 6 On considère l'équation (E) z + 8 0, z C a) Déterminer les réels a,b et c tels que z + 8 ( z + )(az + bz+ c) b) Résoudre l'équation (E) Le plan est muni d'un repère orthonormé direct, on considère les points A, B et C d'affixes respectives z A, z B + i et z C i a) Faire une figure b) Prouver que le triangle ABC est équilatéral Exercice 7 On considère l équation (E) : z (4 + i)z² + (7 + i)z 4 0 où z désigne un nombre complexe Partie A : a Montrer que (E) admet une solution réelle, notée z b Déterminer les deux nombres complexes α et β tels que, pour tout nombre complexe z, on ait : z (4 + i)z² + (7 + i)z 4 (z z ) (z i)(αz + β) Résoudre (E) wwwmathsecondairenet page / 4

4 Partie B : Dans le plan muni d un repère orthonormal direct ( O; ; ), on considère les trois points A, B et C d'affixes respectivesa, b + i et c i Représenter A, B et C Déterminer la nature du triangle OBC Que représente la droite (OA) pour le triangle OBC? Justifier votre affirmation 4 Déterminer la valeur du complexe d tel que le complexe c d c e -i 5 On note D le point d affixe d Quelle est la nature du quadrilatère OCDB? Exercice 8 >##?@/$$##:&$' >"( 9 ) #$&$#67%>?"A? %7%#07%$ >"($ %:!#%!$6$!%!4 #!#!$ #!7%'>"(B*"$B**" 4!%$#!>"( 5!6$8CD#!$6!!$!#07%$ >"($!% ; 7%!!!!%%E# Ω0$&&: wwwmathsecondairenet page 4 / 4

5 Exercice z ) f ( z) z( z + ) ( i) i ( i)( + 5 i) 7 f ( i) i ( i)( i + ) 4 i 4i ( 5 i)( + 5 i) 4 4 ) ( ) ( z z z z f ( z) f ( z) z( z + ) z( z + ) z( z + ) z( z + ) 7 Donc f ( + i) f ( i) + i 4 4 u + i + i) 8 + i 6 i + 6i 8i 9 i )a) ( z i) i( z + i) ( i )( z + ) z iz iz + z i i 9 0 i z(4 4 i) 0 i z 4 4i Or 0 i 5 i (5 + i)( + i) 7 i Donc S { 7 i } 4 4i ( i) ( i)( + i) b) z z 9+ i Pour résoudre cette équation on pose: z x + iy, z x iy z z 9 + i x + iy 9 + i x 9 et y d'où z 9 + i z + i 4) Z avec z i On pose z x + iy et Z X + iy z i a) Ensemble des points M(z) pour lesquels Le point M'(Z) appartient à l'axe des réels (E) X + iy x + iy + i ( x ) + i( y + ) [( x ) + i( y + ) ] [ x i( y ) ] x + iy i x + i( y ) [ x + i( y ) ] [ x i( y ) ] (x-)x + (y+)(y-) -i(x-)(y-)+ix(y+) x x + y + y + i ( x + y ) x + ( y-) x + ( y-) i x + ( y ) x + ( y ) x x y y x y x x + y + y x + y D'où Re( Z) X et Im( Z) Y x + ( y ) x + ( y ) x + y M ' appartient à l'axe des réels signifie que Im( Z) 0 0 x + y 0 x + ( y ) Donc (E) est la droite d'équation x + y - 0 privé de son point A d'affixe i wwwmathsecondairenet page 5 / 4

6 b) Ensemble des points M(z) pour lesquels Le point M'(Z) appartient à l'axe des imaginaires (F) x x + y + y x + y Re( Z) X et Im( Z) Y x + ( y ) x + ( y ) M'(Z) appartient à l'axe des imaginaires signifie que Re( Z) x x + y + y X x x + y + y x y + + x + ( y ) x + y + 0 x + y On reconnait l'équation cartésiènne du cercle Γ de centre le point I ; et de rayon r Ainsi l'ensemble (F) est le cercle d'équation x y privé du point A( i) wwwmathsecondairenet page 6 / 4

7 Exercice ) + i + i a) f ( A) A' a' a a' i a' + i + i + i f ( B) B ' b ' b b ' + i + i f ( C) C ' c ' i c ' + b) a ' + b + i zi + i + I z + i b' + c c ' + a zj + i zk zk + i ) Z z z Z IJ J I IJ + i + i Z + i IJ Z zk zi Z + + i + ; Z zj zk Z + i + IK IK KJ KJ ) Z i i i i Z IJ On a donc D'une part Z i Z IK + IJ Z + i Z I IK IJ K IJ car + i d'autre part arg ( Z ) arg arg arg ( ) ( ) IK + i Z IJ + i + Z IJ arg ( Z ) arg ( Z ) arg + i ( ) or arg + i ( ) IK IJ IK wwwmathsecondairenet page 7 / 4

8 /\ arg ( Z ) arg ( Z ) ( u ; IK /\ ) ( u ; IJ) ( /\ IJ ; /\ IK) ( ) Ainsi ( IJ ; IK) ( ) IK IJ Donc le triangle IJK à deux côtés égaux et un angle égale à, il est équilatéral Autre méthode: calcul des longueurs: IJ, IK et KJ 4) Soit E l'ensemble des points M d'affixes z tels que: z i a) z i z z AM, E est donc le cercle de centre A et de rayon A + i b) Soit E ' l'image de E par la l'application f : f ( M ) M ' z ' z + i + i + i i arg ( ) et, donc on e et de même rayon i d'où: ',c'est l'écriture complexe de la rotation de centre O et d'angle z e z L'image (E') de ( E) par f est le cercle de centre A' image de A par f Construction : wwwmathsecondairenet page 8 / 4

9 Exercice Pour z i z i z i iz z i z i iz, a) iz iz i i z i z i b) Pour z i, iz i iiz i i 4 0z 4 8i z i 5 5 z z z Z z z i iz iz z i AM BM Donc l ensemble E est la médiatrice du segment [AB] a) Si z x + iy, avec (x, y) \ 0, alors x iy x iy x iy y ix Z i(x iy) y ix x y D où x y xy i x x y y x y x y b) Z est réel Re(Z) x y x y i x x y y x y et Im(Z) x y x y x y Im(Z) 0 x, y 0, x, y 0, x y x y 0 x x y y 0 x y 0 x y 4 4 x, y 0, x, y 0, L ensemble E est donc le cercle de centre privé du point B i et de rayon x y 0 c) Z est imaginaire pur Re(Z) 0 x, y 0, L ensemble E est donc la droite d équation x y + 0 privé du point B wwwmathsecondairenet page 9 / 4

10 Exercice 4 z 5 ( + i) et z 5( + i )Posons arg z θ ( ) et arg z θ ( ) ) Module et arguments des nombres complexes: z, z, z, z z 5 ( + i) 5 + i On a cosθ sin θ donc θ ( ) 0 4 z 5( + i ) 5 + i cosθ et sin θ donc θ ( ) 0 0 z z 0 ; arg z arg z ( ) ; arg arg z ( ) z z z ) Soit Z le nombre complexe tel que : z Z z z z z ' arg arg arg arg ( ) Z d où Z Z z z z z z arg Z ( ) arg Z ( ) ( ) 4 On en déduit la forme trigonométrique de Z : Z cos + isin Forme algébrique de Z: Z z 5( + i ) + i ( + i )( i) ( ) + i( ) z 5 ( + i) + i ( + i)( i) 6 6 Z + i Z + i 4 4 ) En égalisant les formes algébrique et trigonométrique de Z on a 6 6 Z + i cos + i sin on en déduit que : cos et sin 4 4 wwwmathsecondairenet page 0 / 4

11 Exercice 5 a) i a i a i a Donc les racines carrées de i a sont a i a ia et a i a i a b) Le discriminant de l équation (E) est i a et une racine carrée de est a i a i a Les solutions de (E) sont donc : a i a i a i z a i a i a i ia et z ia z z a zm zm i a a b) zm i OM u v Ainsi lorsque a varie dans, M décrit la droite (D) passant par O et de vecteur directeur u v a) M est milieu de MM Exercice 6 a) On a (z + )(az + bz+ c) az + bz + cz + az + bz + c az + (b+ a)z + (c+ b)z + c, d' où par identication : a b+ a 0 c + b 0 c 8 On obtient a, b, c 4 d'où z + 8 ( z + )(z z + 4) b) Les racines de l'équation z z sont i et + i donc l'équation (E) a pour ensemble de solution S {, i, + i } a) B b) On a : AB (x B x A ) + (y B y A ) + ( ) O A De m^eme : AC + ( ) et : BC 0 + ( ) C Donc le triangle ABC est équilatéral wwwmathsecondairenet page / 4

12 Exercice 7 ) le réel x est solution de (E) x (4 + i)x² + (7 + i)x 4 0 x 4x² - ix² + 7x + ix 4 0 ( ) ( ) x 4x² + 7x 4 + i x x² 0 + x 4x² 7x 4 0 x( x) 0 x 4x² + 7x x 0 ou + + x 4x² 7x x Donc le réel est solution de l équation (E) ) a) (z ) (z i)(αz + β) ( z² z iz z+ + i)( α z+β ) z² + ( i) z+ ( + i) ( α z+β) α z +β z² +α( i) z² +β( i) z+α ( + i) z+β ( + i) α z + β+α( i) z² + β( i) +α ( + i) z+β ( + i) Ecrire que, pour tout nombre complexe z, z (4 + i)z² + (7 + i)z 4 (z ) (z i)(αz + β) équivaut à, pour tout nombre complexe z, z (4 + i)z² + (7 + i)z 4 α z + β+α( i) z² + β( i) +α ( + i) z+β ( + i) d où α β+α ( i) ( 4 + i) β ( i) +α ( + i) 7 + i β ( + i) 4 α β 4 i + + i + i β( i) 5 i β ( + i) 4 α β + i 5 i ( 5 i)( + i) 5+ 0i+ i+ + i β + i i ( i) β + i + i ( + i) + Finalement, pour tout nombre complexe z, z (4 + i)z² + (7 + i)z 4 (z ) (z i)(z + i) b) (E) équivaut à (z ) (z i)(z + i) 0 L équation (E) a donc trois solutions : le réel et les complexes + i et i wwwmathsecondairenet page / 4

13 Partie B ) c - i ( - i)( - i) - 4i _ i b +i 8 8 est imaginaire pur d où OB et OC sont orthogonaux donc OBC est un triangle rectangle en O ) b 8 donc b + i cos + i sin 4 4 /\ /\ OA; OB u; OB arg(b) 4 ( ) ( ) c donc c i cos + i sin 4 4 /\ /\ /\ ( OC;OA) _( OC; u) ( ) donc ( OC;OA) _ ( ) 4 /\ /\ ( OC;OA) _( OA; OB) donc (OA) est la bissectrice intérieure de l angle ( OC;OB) ) a Le nombre complexe dont le module est et dont un argument est est i c d c On a donc i c d ic d c ic d c( i) d ( i)( i) donc d c d DC b OC CD c OC c d arg /\ ( OC; DC) c Puisque l on a ( OC) ( CD) et ( OC ) ( OB ) sont parallèles donc ( OC) ( CD), on en déduit que les droites (OB) et (CD) OCDB est donc un trapèze rectangle et isocèle en C wwwmathsecondairenet page / 4

14 Exercice 8 y, Piy y 4 i y 4 iy 6 y 4 6 i y 4 y 4 y 6 0 y y y 4 0 y et P(iy) 0 y 4 y 0 y y y 0 y ou y Donc l équation P(z) 0 admet deux solutions imaginaires pures i et -i Pour tout nombre complexe z, 4 z 4 az bz c az bz 4az 4bz 4c Par identification avec P(z), on obtient : 4 P(z) 0 a b a 4a 4 b 4b 4 c 4 4c 6 Or z 4 z z 4 0 z 4 ou z z 4 0 z 4 z i z i ou z i Et le discriminant de l équation du second degré z z 4 0 est 44 8 donc les solutions de cette équation sont et Par suite l ensemble de solution de l équations P(z) 0 est S i, i,, 5 Soit, désignons par A, B, C et D les images dans le plan complexe respectives des solutions i, i, et de l équation P(z) 0 A i 4, B i 4 C, D Donc les points A, B, C et D sont situés sur le cercle de centre et de rayon wwwmathsecondairenet page 4 / 4