Translations. Vecteurs. Si CE(AB), on obtient la figure suivante, où est le milieu des segments [AD] et [BC] D C..

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1 Translations. Vecteurs. Définition: Soient A et B deux points du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout point du point C du plan l'unique point 0 tel que [BC] et [AD] ont le même milieu. Si CE(AB), on obtient la figure suivante, où est le milieu des segments [AD] et [BC] D C.. t Si C(f(AB), on obtient la figure suivante, où 1 est le milieu des segments [AD] et [BC]: B A D c Quelle est la nature du quadrilatère ABDC? C'est un.... Définition: La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur AB. B est appelé image de A par cette tra nslation. Exercice 1: Construire l'image des points C, D, E et F par la translation de vecteur AB. Ces images seront notées C', D', E' et F'. E c o F Comment sont les droites (CC'), (DO'), (EE') et (FF') par rapport à la droite (AB)? Que peut-on dire des distances AB, CC', DO', EE' et FF'? Sur une droite, il y a deux sens pour se déplacer. Se déplace-t-on dans le même sens de C vers C' que de A vers B? Même question pour les autres points.

2 Finalement, le déplacement de A vers B est caractérisé par une direction, celle de la droite (AB), d'un sens sur cette direction, et d'une longueur, la longueur AB, que nous appelleront la norme du vecteur AB. On la note Il AB Il. Dire que deux vecteurs AB et CC' sont égaux signifie que la translation qui transforme A en B transforme C en C'. On note AB = CC'. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Dans l'exercice, on avait AB =CC' =DD' =EE' =FF', on dit que ces vecteurs sont des représentants d'un même vecteur que l'on peut noter u par exemple. Si A, B, C et D ne sont pas alignés, alors AB = CD équivaut à ABDC est un parallélogramme. Exercice 2: Tracer un représentant du vecteur u en partant du point A, nommer A' l'extrémité de ce vecteur, puis un représentant du vecteur v en partant du point B, nommer B' l'extrémité de ce vecteur. - v En -partant de A', tracer un représentant du vecteur v, nommer son extrémité Ali. Le vecteur AA" est appelé somme des vecteurs u et v, on le note u + v. Définition: La somme des vecteurs u et v, notée u + v est le vecteur associé à la translation résultant de l'enchaînement des translations de vecteur u et de vecteur v. Figure: B A.. u+v

3 Propriété fondamentale: Pour tous points A, B et C, AB + BC = AC. Cette relation est appelée relation de Chasles. (Michel Chasles (1793 j 1880) était un mathématicien français.} Vecteurs particuliers: Considérons une translation de vecteur AB, puis une translation de vecteur BA, on se déplace alors de A vers B, puis de B vers A, le déplacement final est donc nul. On note alors AA =0, ce vecteur est appelé vecteur nul. (Contrairement aux autres vecteurs, il n'a ni direction, ni sens. Sa norme est égale à O.) Dans le même esprit, le déplacement de B vers A est l'opposé du déplacement de A vers B, on dit que le vecteur BA est l'opposé du vecteur AB,on note BA =- AB. Exercice 3: on considère trois points non alignés A, B et C. Proposer une construction simple du vecteur AB + AC. c On retiendra de cet exercice que si deux vecteurs ont même origine, pour construire leur somme, il suffit de construire un Ainsi, dans cet exercice, le quadrilatère... est un.... Propriétés de la somme de deux vecteurs: Pour tous vecteurs u, v, w : o est l'élément neutre de l'addition des vecteurs. On dit que l'addition des vecteurs L (u+v)+w=u+(v+w) On dit que l'addition des vecteurs est est commutative associative. Exercice4 : ABC est un triangle. Construire le point D tel que AD = AB - AC. Que peu-on dire du quadrilatère ADBC? Exercice 5: On considère la figure suivante: c

4 Construire le point D tel que CD = AB. Construire le point E tel que D soit le milieu de [CE]. Que dire des vecteurs CD et DE? Comment exprimer CE en fonction de AB? Comment exprimer AB en fonction en fonction de CE? Construire le point F tel que BF = CE. Comment exprimer AF en fonction de AB? Comment exprimer AB en fonction de AF? Construire le point G tel que C soit le milieu de [GD]. Comment exprimer DG en fonction de AB. Produit d'un vecteur par un réel Pré requis: soit k un nombre réel, on appelle valeur absolue de k, et on note Ikl, le réel égal à k, si ko, et égal à -k si k<o. (Plus simplement, on prend la valeur du nombre et on lui affecte systématiquement un signe +). Exemples: 121=2,1-51=5, In-31=n-3, In-41=4-n. Définition: Soit u un vecteur non nul et k un nombre réel non nul. Le vecteur k u est le vecteur ayant même direction que u, même sens que u si k>o, le sens contraire si k<o, et ayant pour norme Iklxll u Il. u = 0 ou k=o <=> k u = 0. Propriétés du produit d'un vecteur par un réel: Pour tous vecteurs u et v et pour tous réels a et b : a( u + v )=a u +a v (a+b) u =a u +b u (On dit que la multiplication d'un vecteur par un réel est distributive par rapport à l'addition des réels et par rapport à l'addition des vecteurs.) Exercice 6: On considère la figure suivante: H G o F E C

5 Exprimer les vecteurs CD, EF, AG, BH, HG et AH en fonction du vecteur AB. Construire les points 1 et J tels que AI =2 AB + AE et EJ =4 BH + GD Exercice 7 : ABC est un triangle. 1 est le milieu de [BC] et G est le centre de gravité du triangle ABC. Compléter les égalités suivantes; AG =... AI ; GI -... AI GA =... GI. c Définition: Deux vecteurs u et v sont dits colinéaires s'il existe un réel k tel que u =k v. Remarque: le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs. Propriété: Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Définition: Dans un repère (0 ;1 ;Jl, les coordonnées d'un vecteur u sont les coordonnées du point M tel que -') -') OM=u. Exercice 8: Construire le point M, translaté du point 0 par la translation de vecteur u. Lire les coordonnées de M. En déduire les coordonnées de u. -1-2

6 Propriété: Soient A(xA ;ya), B(xB ;yb) dans un repère (0 ;1 ;J) alors le vecteur AB a pour coordonnées (xb-xa ;yb-ya). Exercice 9: Lire les coordonnées des vecteurs AB, AC et BC. Propriété: Soient u (x ;y) et v (x' ;y') deux vecteurs et k un nombre réel. Le vecteur u + v a pour coordonnées (x+x' ;y+y'). -+ Le vecteur k u a pour coordonnées (kx ;ky). Exercice 10: On considère les points A(2 ;1), B(5 ;-7) et C(-3 ;4) dans un repère (0 ;1 ;J). Déterminer les coordonnées des vecteurs AB + AC ; 1,5 AB ; 2 AB -5 AC. les Vecteurs AB et AC sont-ils colinéaires? Que peut-on en déduire pour les points A, B et C. Soit D le point de coordonnées (12 ;-36). les vecteurs AB et CD sont-ils colinéaires? Que peut-on en déduire pour les droites (AB) et (CD)? Exercice 11: Démontrer que si deux vecteurs u (x ;y) et v (x' ;y') sont colinéaires alors xy'-x'y=o. On admettra la réciproque. On retiendra que: Propriété: Exercice 12 : ABCD et ABEF sont deux parallélogrammes. Montrer que CDFE est un parallélogramme. Exercice 13 : A, B, 0 et 0' sont quatre points distincts tels que les droites (AB) et (00') ne sont pas parallèles. C et D sont les symétriques respectifs de A et B par rapport à O.E et F sont les symétriques respectifs de A et B par rapport à 0'. Montrer que le quadrilatère DCEF est un parallélogramme.

7 Exercice 14 : ABC est un triangle. 1 et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [AC]. Etablir une relation entre IJ et BC. Exercice 15 : Soit A et B deux points distincts du plans et soit Ile milieu du segment [AB]. 1. Comment sont les vecteurs la et lb? Montrer que pour tout point M du plan, MA + MB =2 MI. Exercice 16: Soient A et B deux points du plans. Placer le point M tel que 3 MA +4 MB = a. Exercice 17: Soit ABC un triangle, A' le milieu de [BC], B' le milieu de [AC], C le milieu de [AB]. Soit G le point défini par la relation vectorielle GA + GB + GC = a. Montrer que G est le centre de gravité du triangle ABC. Par la suite, on admettra que le centre de gravité d'un triangle est le seul point vérifiant cette relation. Exercice 18 : Dans chaque cas, dire si les vecteurs u et v sont colinéaires u (2 ;-3) et v (-10) 1 Exercice 19 : Dans un repère (0 ;1 ;J) on donne les points A(-2 ;1), B(3 ;3), C(1?5 ) et D(( ; 55\ 1. Montrer que les points A, B et C sont alignés. 2. Les points A, B et D sont-ils alignés? Exercice 20 : Dans un repère (0 ;1 ;J) on donne les points A(-3 ;3), B(10 ;-3), C(7 ;7) et D(6 ;3). 1. Faire une figure A', B' et C sont les points définis par: DA' -4 DA, DB' -4 DB et DC -4 DC. Calculer les coordonnées des points A', B' et C. 3. Les droites (AB) et (A'B') sont-elles parallèles? Même question avec les droites (AC) et (A'C), puis avec les droites (BC) et (B'C).