Devoir commun de seconde Mathématiques
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- Clémence Lépine
- il y a 5 ans
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1 Nom: Durée : heures Mardi 1 mars 006 Prénom : Devoir commun de seconde Mathématiques Exercice 1: Un laboratoire réalise des expériences de relevés de température de différentes matières. Le graphique ci-dessous est le résultat d une expérience où x est le temps en min et f(x) la température en C. La courbe représentative de la fonction f pour x variant dans [ 0 ; 1 ] est appelée C f et est représentée sur le graphique ci-dessous. 1 a) Quelle est la température relevée au bout de 8 minutes? b) Déterminer l image de 6 par f. c) Déterminer les antécédents de par f.. a) Sur quel intervalle de temps, la température est-elle strictement supérieure à 6 C? b) Résoudre f(x) et expliquer par une phrase sa signification dans l expérience. 3. a) Construire le tableau de variations de f pour x appartenant à [ 0 ; 1 ]. b) Déterminer le maximum et le minimum de f sur [0 ; 1]. Température en C Temps en min.
2 Exercice : (, points ) 1.Résoudre dans IR les équations et inéquations suivantes : a) x (x + 1) + x = 0 b) ( x + 1) (1 x) < 0 c) x 1 = x 1 d) x 1 < ( x + 1) (1 x).. Dans le graphique ci-dessous sont données les courbes représentatives ( C f ) et (C g ) des fonctions f et g définies sur IR par : f : x x 1 et g : x 8 x x a) Vérifier que g(x) = (x + 1)(1 x). b) Compléter le graphique avec la courbe représentative de la fonction h définie sur Ë par h(x) =x+1. c) Expliquer comment retrouver l ensemble des solutions de chacune des équations et inéquations du 1 b, 1 c et 1 d à l aide du graphique. Exercice 3: (, points ) On considère un cercle C de centre O et de rayon cm, et trois points B, C et E de ce cercle tel que BC = CE = cm. On désigne par H le symétrique de B par rapport à C. L objectif de cet exercice est de calculer l aire du triangle HCE. 1. Faire une figure soignée.. a) Montrer que les triangles OEC et OCB sont isométriques. Coder la figure en faisant apparaître les angles égaux. b) Montrer alors que ÆCOE = ÆHCE. 3. a) Montrer que les triangles OCE et HCE sont semblables. b) On note A OCE l aire du triangle OCE et A HCE celle du triangle HCE. Montrer que A HCE = 16 A OCE. c) Calculer A OCE. d) En déduire A HCE.
3 Exercice : ( 3 points ) 7 Soit A,B,C et D quatre points du plan non alignés et tels que AB = et DC = AB. 1. Exprimer AC en fonction de AB et AD.. On considère le point E tel que EC = DE a) Déterminer DE en fonction de DC, puis placer E. b) Montrer que les segments [AE] et [BD] ont même milieu. 3. A chaque réel k, on fait correspondre le point M tel que AM = k AB + AD a) Pour quelle valeur de k le point M est-il le symétrique de C par rapport à D? c) Exprimer DM en fonction de AB. Sur quelle droite se déplace le point M lorsque k varie? 7 A,B,C et D sont quatre points du plan non alignés tels que AB = cm et DC = AB 1. Faire une figure.. Exprimer AC en fonction de AB et AD. 3. On considère le point E tel que EC = DE a) Montrer que 7 ÄDE = ÄDC puis placer le point E. b) Montrer que les segments [AE] et [BD] ont même milieu.. A chaque réel k, on fait correspondre le point M tel que AM = k AB + AD a) Exprimer DM en fonction du vecteur AB et du réel k. b) Pour quelle valeur de k le point M est-il le symétrique de C par rapport à D? d) Sur quelle droite se déplace le point M lorsque k varie? On pourra utiliser la question a). Exercice : ( points ) Une société de services en informatique fait une analyse des temps d utilisation devant un ordinateur ; elle réalise une enquête auprès d un échantillon de 00 clients et obtient les résultats suivants : Temps de connexion en heures Nombre d utilisateurs par an [00 ;00[ 1 [00 ;600[ 3 [600 ;800[ 3 [800 ;1000[ 78 [1000 ;100[ 31 [100 ;100[ 9 Effectifs cumulés croissants 1. Calculer la moyenne de la série.. Déterminer l étendue et la classe modale. 3. Compléter le tableau avec les effectifs cumulés croissants ; en déduire la classe contenant la médiane.. Représenter graphiquement le polygone des effectifs cumulés croissants (unités : 1cm pour 100 heures et 1cm pour 0 clients) et lire graphiquement le temps de connexion médian.. Quel est le pourcentage d utilisateurs qui se connectent au moins 1000 heures par an?
4 Exercice : (3. pts) Un laboratoire réalise des expériences de relevés de température de différentes matières. Le graphique cidessous est le résultat d une expérience où x est le temps en min et f(x) la température en C. La courbe représentative de la fonction f pour x variant dans [ 0 ; 1 ] est appelée C f et est représentée sur le graphique ci-dessous. 1 a) Quelle est la température relevée au bout de 8 minutes? Au bout de 8 minutes la température est de : 11 C b) Déterminer l image de 6 par f. L'image de 6 par f est. c) Déterminer les antécédents de par f. les antécédents de sont 1,, 6, 10 et 1.. a) Sur quel intervalle de temps, la température est-elle strictement supérieure à 6 C? la température est strictement supérieur à 6 sur ] 6, ; 8,6 [ b) Résoudre f(x) et expliquer par une phrase sa signification dans l expérience. f(x) x [0 ; 1] [ ; 6] [10 ; 11,] Sur les intervalles [0 ; 1], [ ; 6] et [10 ; 11,] la température est inférieure à C 3. a) Construire le tableau de variations de f pour x appartenant à [ 0 ; 1 ]. x 0, f b) Déterminer le maximum et le minimum de f sur [0 ; 1]. ( 0. pt) Le maximum de f sur [ 0, 1 ] est : 11 Le minimum de f sur [ 0, 1 ] est : 3. Température en C Temps en min.
5 Exercice : (,7 points ) 1.Résoudre dans IR les équations et inéquations suivantes : a) x (x + 1) + x = 0 x (x + 1) + x = 0 x (x + 1) + x) = 0 x ( x + 1) = 0 x = 0 ou x + 1 = 0 x = 0 ou x = 1. S = 0, x + b) ( x + 1) (1 x) < 0 x x + 1 = 0 x = 1 1 x = 0 x = 1 1 x P(x) c) x 1 = x 1 x 1 = x 1 ( x + 1) ( x 1) = x 1 ( x + 1) ( x 1) ( x 1) = 0 ( x 1) (( x + 1) 1) = 0 ( x 1) ( x) = 0 x 1 = 0 ou x = 0 x = 1 ou x = 0. s = 0, 1 d) x 1 < ( x + 1) (1 x). x 1 < ( x + 1) (1 x) ( x 1) ( x + 1) ( x + 1) (1 x) < 0 ( x + 1) (( x 1) (1 x)) < 0 ( x + 1) ( x x) < 0 ( x + 1) (6 x ) < 0 S = ] 1, 1 3 [ x x x 0 + P(x) Dans le graphique ci-dessous sont données les courbes représentatives ( C f ) et (C g ) des fonctions f et g définies sur IR par : f : x x 1 et g : x 8 x x a) Vérifier que g(x) = ( x + 1) (1 x). ( x + 1) (1 x) = x 8 x + 1 x = 8 x x + 1 = g(x). - x 0 1 h(x) 1 3 b ) Compléter le graphique avec la courbe représentative de la fonction h définie sur IR par h(x) = x + 1. h est une fonction affine donc sa représentation garphique est une droite et pour la tracer les coordonnées de deux points de C h suffisent c) Expliquer comment retrouver l ensemble des solutions de chacune des équations et inéquations du 1 b, 1 c et 1 d à l aide du graphique. 1 b) ( x + 1) (1 x) < 0. On repère les abscisses des points de la courbe C g au dessus de l'axe (Ox) 1 c) x 1 = x 1. On repère les abscisses des points d'intersection des courbes C f et C h. 1 d) x 1 < ( x + 1) (1 x). On repère les abscisses des points de la courbe C f au dessus de la courbe C g.
6 Exercice 3: (, points ) On considère un cercle C de centre O et de rayon cm, et trois points B, C et E de ce cercle tel que BC = CE = cm. On désigne par H le symétrique de B par rapport à C. L objectif de cet exercice est de calculer l aire du triangle HCE. 1. Faire une figure soignée..a) Montrer que les triangles OEC et OCB sont isométriques. Coder la figure en faisant apparaître les angles égaux. BC = CE = OB = OC = les triangles OBC OCE ont en commun les longueurs de leurs trois côtés ils sont donc isométriques et OC = OE = O et O sont homologues B et C sont homologues C et E sont homologues b) Montrer alors que ÆCOE = ÆHCE. Les triangles OBC OCE sont isométriques donc leurs angles homologues sont de même mesure. Donc OCB = OCE OCE est isocèle en O donc OCE = OEC et OCE + COE = 180 B, C et H sont alignés donc OCE + ECH = 180 OCE + COE = 180 donc COE = ECH OCE + ECH = 180 a) Montrer que les triangles OCE et HCE sont semblables. C est le milieu de [BH] donc CH = CB = CE =. Le triangle CHE est donc isocèle en C. COE = HCE donc CEH = COE = HCE OCE = CEH 180 ECH COE les triangles ECH C et E sont homologues O et C sont homologues E et H sont homologues = 180 COE = OCE. ont en commun les mesures de deux angles ils sont donc semblables et b) On note A OCE l aire du triangle OCE et A HCE celle du triangle HCE. Montrer que A HCE = 16 A OCE. Les triangles COE ECH sont semblables donc le triangle CHE est une réduction du triangle OCE et le coefficient de proportionnalité est : EC OC =. On a donc A HCE = 16 = A OCE et A HCE = 16 A OCE. c) Calculer A OCE. Le triangle OCH est rectangle en h donc d'après le théorème de Pythagore on a : OH = OC CK = = 1. A OCE = 1 CE OH = 1 1 d) En déduire A HCE. A HCE = = B C K H E O
7 Exercice : ( 3 points ) Soit A,B,C et D quatre points du plan non alignés et tels que AB = et DC = 7 AB. Exprimer AC en fonction de AB et AD. AC = AD + DC = AD + 7 AB. On considère le point E tel que EC = DE a) Déterminer DE en fonction de DC, puis placer E. EC = DE donc ED + DC = DE donc DC = DE + DE donc DE = 7 DC b) Montrer que les segments [AE] et [BD] ont même milieu. DE = DC = 7 7 AB = AB 7 3. A chaque réel k, on fait correspondre le point M tel que AM= k AB + AD a) Pour quelle valeur de k le point M est-il le symétrique de C par rapport à D? M symétrique de C par rapport à D si et seulement si DM = CD DM = CD DA + AM = CD DA + k AB + AD = CD k AB = CD k AB = 7 AB k = 7. b) Exprimer DM en fonction de AB. Sur quelle droite se déplace le point M lorsque k varie? DM = DA + AM = k AB. M est sur la parallèle à (AB) passant par D. D E C A B Exercice : ( points ) Une société de services en informatique fait une analyse des temps d utilisation devant un ordinateur ; elle réalise une enquête auprès d un échantillon de 00 clients et obtient les résultats suivants : Temps de connexion en heures Nombre d utilisateurs Effectifs cumulés croissants par an [00 ;00[ 1 1 [00 ;600[ 3 7 [600 ;800[ 3 8 [800 ;1000[ [1000 ;100[ [100 ;100[ Calculer la moyenne de la série = Déterminer l étendue et la classe modale. L'étendue est égale à = 100. La classe modale est : [ 800, 1000 [ 3 Compléter le tableau avec les effectifs cumulés croissants ; en déduire la classe contenant la médiane. La classe médiane est : [ 800, 1000 [ Représenter graphiquement le polygone des effectifs cumulés croissants (unités : 1cm pour 100 heures et 1cm pour 0 clients) et lire graphiquement le temps de connexion médian. Quel est le pourcentage d utilisateurs qui se connectent au moins 1000 heures par an?
8
9 B C H K E O
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