z (3+4i) z+ 5 z = 3x 4y+ i( 4x+ 3y ) + 5x 5iy 4x 2y = + i 2x y 4x 2y x = = z+ z z A 6 + i z z.en déduire que le nombre z z x 2y c est un nombre réel
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- Ange Chénier
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1 TS. Correction - Révision du premier semestre EX 1 : 7 points ) Le plan est rapporté au repère orthonormal O, u, ) v. Unité graphique : cm À tout point M d affixe z du plan, on associe le point M d affixe z par l application f qui admet pour écriture complexe : 1. On considère les points A, B, C d affixes respectives = 1+i, z B = 1 et z C = i. Déterminer les affixes des points A, B, C images respectives de A, B, C par f. Placer les points A, B, C, A, B, C. = +4i)1+i)+51 i) z B = +4i)1)+51) z C = +4i)i)+5 i) = +4i+5 = 5+10i+5 10i = 4+i = 1+9i 15i z +4i) z+ 5 z = = i. On pose z = x+ iy avec x et y réels). Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z en fonction de x et y. z = +4i) x+ iy ) + 5 x iy ) = x 4y+ i 4x+ y ) + 5x 5iy 4x y = + i x y x = avec z = x + iy par identification des parties réelles et imaginaires, j obtiens : = 0 D) N C N C A 4x y y = x y. Montrer que l ensemble des points M invariants par f est la droite D) d équation y = 1 x. Tracer D). Quelle remarque peut-on faire? 4x y x = L affixe z = x+ i y d un point invariant vérifie z = z y = x y l ensemble des points M invariants par f est la droite D) d équation y = 1 x. On remarque que les points A, B, C appartiennent à la droite D). { x = 4x y y = x y A B B y = 1 x 4. Soit M un point quelconque du plan et M son image par f. Montrer que M appartient à la droite D). L affixe z 4x y = + i x y de M vérifie y = x y = 1 4x y ) = 1 x donc M appartient à la droite D). 5. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z : z z = z+ z + i z z.en déduire que le nombre z z est réel. z ) z +4i) z+ 5z z 4iz z+ 5z 4iz z+ 5z 1 i) z+ 8z+ 5z 4iz+ iz 10iz = = = = + 1+i) z z = z+ z + i z z Je peux en déduire que z z = x + i iy = x y c est un nombre réel avec z+ z = Re z)=x et z z = iim z)=iy b. En déduire que, si M M, les droites OA) et M M ) sont parallèles. Si M M, on a O A, M z M ) z )=arg = 0 [π] puisque le nombre z z est réel. les droites OA) et M M ) sont parallèles.. Un point quelconque N étant donné, comment construire son image N? on étudiera deux cas suivant que N appartient ou non à D) ). Effectuer la construction sur la figure. Si N D) le point est invariant donc N = N Si N D) le point N est l intersection de la droite D) avec la parallèle à OA) passant par N.
2 TS. Correction - Révision du premier semestre EX : 8 points ) Partie A : Restitution organisée de connaissances On rappelle que lorsque t tend vers+, alors et t tend vers+. Démontrer que lim x + Pour x > 0, je pose x = e t ln x ln x = t alors lim t =+ et lim x + x + x Soit f la fonction définie sur ] 1 [ ;+ Partie B Soit Φ la fonction définie sur R par Φx)=8x+ 4)e 4x 1. a. Calculer la limite de Φ en+. lim 8x+ 4)=+ x + lim Φx)=+ en effet x + lim b. Calculer la limite de Φ en. ln x x = 0. = lim ln e t) t + e t = lim t + t e t = 1 = 0 e lim t t + t par f x)=e 4x lnx+ 1). On appelle C f la représentation graphique de f. x + e4x =+ donc par produit lim 8x+ x + 4)e4x =+ Au voisinage de, l exponentielle l emporte dans un produit avec un polynôme donc lim 8x+ x 4)ex = 0 lim 8x+ x 4)ex = 0 lim x ex = lim e x ) donc par produit lim 8x+ = 0 x 4)e4x = lim 8x+ x 4)ex e x = 0 x lim Φx)= lim 8x+ x x 4)e4x = c. Démontrer que pour tout réel x, Φ x)=8+4x)e 4x. Φ= UV avec U x)=8x+ 4 et U x)=8 Φ = U V +UV V x)=e 4x et V x)=4e 4x fonction dérivée Φ x)=8e 4x + 8x+ 4) 4e 4x) Φ x)=[8+x+ 1]e 4x = 4+x)e 4x Φ x)=8+4x)e 4x UV U V +UV e U e U U e 4x e 4x 4) d. Étudier le sens de variation de Φ sur R. Dresser le tableau de variations de la fonction Φ. Pour tout réel x on a : e 4x > 0 donc Φ x) est du signe de +4x) et Φ x) 0 x 4 x 4 α 0 + Φ x) 0 + Φx) 0 e. a. Démontrer que l équation Φx) = 0 admet dans [ 4 ] ; 0 une solution et une seule. On nommera α cette + solution. L équation admet-elle d autres solutions dans R? Déterminer un encadrement de α d amplitude 0,01. D après le tableau de variations de la fonction Φ, l équation Φx)=0admet une unique solution α sur [ 4 ] ; 0 avec Φ ) < 0 et Φ0)>0 4 À l aide de la calculatrice, je trouve 0,1<α< 0,11. b. En déduire, par simple lecture du tableau de variation, le signe de Φx) en fonction de x. Φx) 0 sur l intervalle ] ; α] et Φx) 0 sur l intervalle [α ; + [
3 TS. Correction - Révision du premier semestre Soit f la fonction définie sur ] 1 [ ;+ par f x)=e 4x lnx+ 1). On appelle C f la représentation graphique de f. Partie C 1. Étudier la limite de f en 1. Interpréter graphiquement le résultat. lim x+ 1=0 x 1 lnx+ 1)= de plus lim e 4x = e lim x 1 x 1 X 0 ln X = donc par composition de limites lim donc par somme lim f x)=+ x 1 La droite d équation x = 1 est asymptote verticale à C f.. Calculer la limite de f en+ on pourra utiliser l égalité suivante : pour tout réel x strictement positif, lnx+ 1) x+ 1 4x ). x+ 1 4x e4x lim x+ 1=+ x + lnx+ 1) ln X lim X + X = 0 donc par composition de limites lim = 0 x + x+ 1 x+ 1 lim = lim x + 4x x + x 4x = lim x + 1 = 1 lim 4x =+ x + 4x X lim X + e X = 0 donc par composition de limites lim x + e 4x = 0 lnx+ 1) lnx+ 1) x+ 1 4x Finalement par produit : lim x + e 4x = lim lim lim x + x+ 1 x + 4x x + e 4x = 0 1 0=0 ) lnx+ 1) lim Par suite lim f x)= lim x + x + e4x x + e4x =+ 1 e 4x =+ par produit avec lnx+ 1). lim 1 X + e 4x = 1. a. Étudier la dérivabilité de f et démontrer que pour tout x 1, f x)= Φx) 1+x. f est dérivable sur ] 1 [ ;+ comme somme de fonctions dérivables lnx+ 1) e 4x = f = e U lnv avec U x)=4x et U x)=4 f = e U U V V V x)=x+ 1 et V x)= f x)=4e 4x x+ 1 f x)= 41+x)e4x 1+x f x)= 8x+ 4)e4x 1+x = Φx) 1+x b. En déduire le sens de variation de la fonction f. Dresser le tableau de variations de f. Sur l ensemble de définition de f, on a : 1+x > 0 donc f x) est du signe de Φx) fonction dérivée lnv V V e U e U U x f x) 1 + α Déterminer une équation de la tangente T à C f au point d abscisse 0. y = f 0) x+ f 0)=x+ 1 f x) f α)
4 Exercice 5 points Pour chacune des propositions suivantes, cocher la case adéquate dans les différents tableaux. Une bonne réponse fait gagner 0.5 point, une mauvaise réponse fait perdre 0.5 point et l absence de réponse ne fait ni gagner ni perdre de point. 1. Soit f la fonction définie sur R par fx) = e x si x < 0 et fx) = cosx si x 0. Alors : Vrai Faux Le candidat ne répond pas f est continue en 0 f est dérivable en 0 FAUX. Soit f la fonction définie par fx) = 1 x +ln1+ 1 ). On appelle D l ensemble de définition de f et C sa courbe x représentative dans un repère du plan. Alors : Vrai Faux Le candidat ne répond pas D =] ; 1[ FAUX f admet des primitives sur ] ; 1[; l une d elles est la fonction F définie sur ] ; 1[ par Fx) = 1 + x)ln1 + x) + 1 x)ln x. FAUX lim xfx) = 1 x FAUX. Soit f la fonction définie sur [ ; 4] par fx) = 4 + x x 4. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal O ; i, ) j. Alors : Vrai Faux Le candidat ne répond pas C admet exactement trois tangentes horizontales. C admet au point d abscisse une tangente d équation y = 0x + 40 f est décroissante sur [ 1; 0]. f est croissante sur [ ; ]. L équation fx) = 0 admet exactement deux solutions distinctes dans [ ; 4]. 1
5 Corrigé : Fonction exponentielle et nombres_.,&²complexes _ Exercice 1 1. Soit E 1 {) : e x + 1 e)e x e = 0 e x = X E 1 ) X + 1 e)x e = 0 X + 1 e)x e = 0 est une équation du second degré à coefficients réels. On calcule donc = 1 e) 4 1 e = 1 e + e = 1 + e) > 0 donc l équation a deux racines réelles : X 1 = 1 e) 1 + e) = 1 + e 1 e = 1 et X = 1 e) e) = 1 + e e = e On en déduit E 1 ) e x = 1 ou e x = e Or, pour tout réel x, e x > 0, donc E 1 ) e x = e E 1 ) e x = e et, la fonction exponentielle étant strictement croissante, E 1 ) x = 1 S = {1}. Soit E {) : e x + e x < 0 e x = X E ) X + X < 0 X + X est un polynôme du second degré à coefficients réels avec = 4 1 ) = 1 > 0 donc X + X a deux racines réelles : X 1 = ) 1 = et X = ) + 1 = 1 X + X est du signe du coefficient de X c est à dire positif sauf entre ses racines X 1 et X On en déduit E ) < e x < 1 Or, pour tout réel x, e x > 0, donc E ) e x < 1 E ) e x < e 0 et, la fonction exponentielle étant strictement croissante, E ) x < 0 S =] ; 0[. Soit f la fonction définie sur R par fx) = e x f est la composée de la fonction linéaire x x par la fonction exponentielle. Chacune de ces fonctions étant dérivable sur R, f est dérivable sur R et, pour tout réel x, f x) = e x En particulier f 0) = Or, f fx) f0) 0) = lim x 0 x 0 e x 1 Ainsi, lim = x 0 x Exercice Partie A 1. La fonction g est la somme de la fonction exponentielle et de la fonction affine x x 1, ces deux fonctions étant dérivables sur R, g est dérivable sur R et, pour tout réel x, f x) = e x 1. Or, g x) > 0 e x > 1 g x) > 0 e x > e 0, et, la fonction exponentielle étant strictement croissante : Sur ]0 ; + [, g x) > 0 et sur ] ; 0[, g x) < 0 de plus g 0) = 0. On en déduit que g est une fonction strictement décroissante sur ] ; 0] et strictement décroissante sur [0 ; + [ Donc g admet, en x = 0 un minimum g0) = 0, et donc, pour tout réel x, gx) 0. Pour tout réel x, e x x 1 0 Pour tout réel x, e x x + 1 Ainsi, pour tout réel x, e x > x
6 Partie B : Etude de la fonction f Ainsi, lim fx) = 1 x On en déduit que Γ admet pour asymptote horizontale la droite d équation y = 1 au voisinage de. f est le quotient de deux fonctions dérivables sur R : x x et x e x x avec e x x 0 pour tout réel x, donc f est dérivable sur R et, pour tout réel x, f x) = ex x) xe x 1) e x x) Pour tout réel x, f x) = ex x xe x + x e x x) Pour tout réel x, f x) = ex 1 x) e x x) Pour tout réel x, on a e x > 0 et e x x) > 0 Donc le signe de f x) est celui de 1 x Donc sur ] ; 1[, f x) > 0, sur ]1 ; + [, f x) < 0 et f 1) = 0 Ainsi, f est strictement croissante sur ] ; 1] et strictement décroissante sur ]1 ; + [ en résumé : x 1 + f x) e 1 fx) 1 0. f est dérivable sur R donc en x = 0 et la tangente T ) à Γ au point d abscisse 0 a pour équation : y = f0) + x 0)f 0) y = 0 + x 1 La tangente T ) à Γ au point d abscisse 0 a pour équation y = x 4. La position relative de Γ et de T ) dépend du signe de fx) x. Or, pour tout réel x, fx) x = x e x x x e x ) + x + 1 fx) x = x e x x Or, on a montré partie A) que pour tout réel x, e x x > 0 et que le minimum de e x x 1 était 0 donc que e x x 1 0 pour tout réel x. On en déduit que e x + x pour tout réel x. On a donc : x 0 + x 0 + e x + x e x x + + fx) x + 0 On en déduit alors que : Γ est au dessus de T ) sur l intervalle ] ; 0[ et en dessous de T ) sur l intervalle ]0 ; + [ Exercice 1. z = x + + i ix + x) + i 5ix, x R. z = x + i x + ix + i 5ix or i = 1 d où z = x + + x) + ix + 5x) L écriture algébrique de z est : z = x + 1) + i1 x). a) z R IMz) = 0 z R 1 x) = 0 z R x = 1
7 b) z ir REz) = 0 z ir x + 1) = 0 z ir x = 1. z = 1 + i. a) A = 1 + i) = i A = 10 + i. b) B = 1 + i + i 1 + i = 1 + i 1 + i)1 i) 1 + i i i = 1 + i = B = i. a) Mz) E z + i = z i. Soit les points A et B d affixes respectives = i et z B = + i. #» AM a pour affixe z + i et pour norme AM = z + i #» BM a pour affixe z i et pour norme BM = z i Alors Mz) E AM = BM. On en déduit E est la médiatrice du segment [AB]. Or = z B. Donc E est l axe des réels. b) Mz) F z i =. Soit le point Ω d affixe z Ω = i #» ΩM a pour affixe z i et pour norme ΩM = z i Alors Mz) F ΩM =. On en déduit F est le cercle de centre Ω et de rayon 4. a) z 1 = 1 + i z = 1 + i z = 1 + i z 4 = 1 + i z 5 = 1 + i = 1 + i 1 + i) = i i = i ) i = 1 ) = i. = i 1 + i) 1 + i) 4 = i 1 4 = 1 A A 1 A v D A 4 O u A 0 A 5 b) ODA A est un parallélogramme OD #» = A #» A ODA A est un parallélogramme z D = z z ODA A est un parallélogramme z D = 1 1 i c) OA = z = i = 1 OA = z = i = 1 ) ) = A A = z z = i i = 1 1 i = 1 ) ) = On remarque que OA = A A on en déduit donc que le triangle OA A est isocèle de sommet A. On remarque aussi que OA + A A = = 1 et que OA = 1 donc, OA = OA + A A,
8 donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OA A est rectangle en A. Ainsi, le triangle OA A est un triangle rectangle isocéle en A Et le parallélogramme ODA A qui a deux côtés consécutifs perpendiculaires et de même longueur est un carré. ODA A est un carré z 5 i 5. a) Soit E a ) : = 1 + i définie pour z i. z + i E a ) z 5 i = 1 + i)z + i) E a ) z 5 i = 1 + i)z + i i + i ) E a ) 1 i)z = +5 + i i) E a ) 1 i)z = + + i E a ) z = + i 1 i + i)1 + i) E a ) z = E a ) z = 1 + i + i E a ) z = 1 + i { 1 S a = + } i b) Soit E b ) : z i = z +. E b ) z z = i Or z z = iimz), z z ir Mais i n est pas un imaginaire pur, donc, pour tout z C, z z i On en déduit S b = c) z z + = 0 est une équation du decond degré à coefficients réels, avec = 7 = < 0 donc l équation a deux racines complexes conjuguées : z 1 = 1 i 7 { 1 i i } 7 S c = ;. Pz) = z 1 + i)z + + i)z i. a) Pi) = i 1 + i) 1) + + i)i i. Pi) = i i + i 1 i. Pi) = i i + i 1 i. Pi) = 0 b) Pour tout complexe z, z i)z z + ) = z + 1 i)z + i)z i. Pour tout complexe z, z i)z z + ) = z 1 + i)z + + i)z i. Pour tout complexe z, z i)z z + ) = Pz). c) Pz) = 0 z i = 0 ou z z + = 0 Pz) = 0 z = i ou z S c cf question 5 exercice ) { 1 i i } 7 S = i ; ; i 7). et z = 1 + i 7
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