Prospection EM - source locale

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1 Chapitre 10 Prospection EM - source locale 10.1 Modèle générique de prospection EM On peut présenter les choses à partir d un modèle générique valable pour toutes les méthodes. Figure 10.1: Modèle générique de prospection EM. Qu est-ce qui se passe? i. Le courant circulant dans la source produit un champ magnétique primaire H p. ii. H p induit des courants secondaires dans l encaissant (I e ) et la cible (I c ). Ceux-ci seront d autant plus importants que la cible et/ou l encaissant seront conducteurs. Souvent, on va négliger l induction dans l encaissant. iii. I e et I c produisent un champ magnétique secondaire H s enregistré par le récepteur. Ce champ secondaire est toujours beaucoup plus faible que le champ primaire qui est également enregistré par le récepteur. 50

2 10.2 Analogie du Circuit RL harmonique Avant de s attaquer à des problèmes réalistes en prospection EM, nous allons débuter notre étude des phénomènes d induction en analysant la réponse d un circuit RL (que vous avez déjà abordé dans le passé) dans le vide soumis à un flux magnétique harmonique φ p (pour primaire) de pulsation ω. En effet, cette analogie avec un cas électrique simple permet d illustrer les principaux phénomènes rencontrés en prospection EM. R c e I c φ p L c Figure 10.2: Circuit RL équivalent à la cible de la figure La loi de Lenz relie la variation du flux primaire avec la force électromotrice (fém), i.e. e = φ p t = iωφ p (10.1) Cette fém étant à son tour reliée au courant I(ω) via l impédance du circuit RL I(ω) = e = iωφ p (10.2) R c + iωl c R c + iωl c utilisant la constante de temps du circuit τ = L c /R c, on obtient alors I(ω) = iωτ φ p (10.3) 1 + iωτ L c Nous allons définir le facteur de réponse (sans dimension) du circuit A(ω) = iωτ 1 + iωτ que nous pouvons décomposer en partie réelle et imaginaire (10.4) 51

3 1 Re(A(ω)) = (10.5) ω 2 τ 2 1 Im(A(ω)) = ωτ + 1 (10.6) ωτ Les variations de la réponse A (à laquelle le courant secondaire induit est relié) en fonction de ωτ (i.e. ωl c /R c ) sont présentées de facon différentes dans les deux figures suivantes. Que remarque-t-on de plus important? On peut caractériser le type de réponse de la cible en 3 zones: 0 Paramètre de réponse A A réel A imag ωτ (sans dimension) Figure 10.3: Fonction de réponse A(ω). i. ωτ. Le module de A augmente avec ωτ et tend asymptotiquement vers 1 pour ωτ. On note également que la contribution de la partie réelle de A augmente avec ωτ, jusqu à constituer la totalité de celuici. Qu est-ce que cela signifie physiquement? Rappelons l impédance totale du circuit: R c + iωl c. Donc pour ωτ (ou ω) très grand, l impédance est dominée par le terme inductif. On dit alors qu on est dans le domaine de haute induction ou dans la limite inductive. Le flux secondaire induit est en opposition de phase avec flux primaire, ce qui donne un champ quasi nul 52

4 à l intérieur du circuit pour ωτ (comme dans une cage de Faraday). Il y aura cependant un flux secondaire à l extérieur de celui-ci ce qui nous permettra d obtenir la réponse du circuit. ii. ωτ 0 (ou ω 0). On a au contraire une impédance dominée par le terme de résistance. Nous sommes alors dans le domaine de basse induction ou limite résistive. Que se passe-t-il dans ce cas? La réponse au flux primaire est dominée par la partie imaginaire et est donc déphasée de π/2 (retard en quadrature). De plus, le courant induit est si faible que le flux secondaire est négligeable devant le flux primaire. Heureusement pour nous, celui-là est déphasé, ce qui permet sa détectabilité. iii. ωτ = 1. A ce point, les parties réelle et imaginaire sont égales, la partie imaginaire y atteignant son maximum (0,5) et la phase est de 3π/4. La fréquence ω = 1/τ = R c /L c est appelée fréquence de résonance. Vu de loin, cette approche semble très intéressante: en effet, si vous atteignez la résonance d une cible, vous devriez être en mesure de la caractériser de facon remarquable. Malheureusement, la dynamique des paramètres électriques des cibles géologiques est si grande (cf. chap. 1) qu il faudrait balayer un très (très!) grand nombre de fréquences pour y arriver et chaque mesure prendrait des heures... A oublier au plus vite! 10.3 Réponse transitoire Nous venons de calculer la réponse d un circuit inductif en fonction de la fréquence, ce qui est applicable au cas où celui-ci est alimenté par un courant harmonique. Mais que se passe-t-il s il est alimenté par une source non harmonique comme un échelon ou un delta de Dirac? Pour ce faire, nous allons tenter d obtenir une expression pour A en fonction du temps. Soit un flux primaire φ p (t) = φ 0 pour t < 0 et φ p (t) = 0 pout t >= 0, i.e. on éteint la source de champ primaire à t = 0. Cette fonction de flux a un spectre continu égal à φ p /iω. Pour obtenir le courant induit, on doit convoluer le terme source avec le terme de réponse. Comme nous avons ici un signal causal, nous allons utiliser la transformée de Laplace: F (s) = 0 f(t)e st dt (10.7) Notez la similitude avec la transformée de Fourier, les différences portant sur les limites de l intégrale et sur le caractère réel de l exponentielle (iω s). Toutes les règles s appliquant à la TF s appliquent également à la TL, donc la convolution est simplement le produit des deux termes: 53

5 I(s) = φ 0 τ L c 1 + sτ = φ L c + s (10.8) τ La réponse temporelle est alors la TL inverse de I(s) i(t) = φ 0 L c e t/τ (10.9) pour t 0. Cette relation indique que l importance du courant induit dans la cible ne dépend que de L c. Le terme de résistance n intervient que dans le terme τ = L c /R c. Plus R c sera élevé, plus τ sera faible et donc plus i(t) va diminuer rapidement. Autrement dit, les cibles conductrices maintiennent leurs courants plus longtemps que les cibles résistantes. OK, mais pourquoi? 1 Réponse transitoire IL/φ o (sans dimension) 0.1 ρ = ρ = 100 Ω.m temps (µ s) Figure 10.4: Réponse transitoire du circuit RL. Analogie: comparons deux circuits ayant une seule résistance R 1 et R 2 = KR 1 respectivement. Pour un même courant, la puissance nćessaire est alors P 1 = R 1 I 2 et donc P 2 = KP 1. Si on a la même énergie (E = P i t i ) à fournir, alors t 2 = Kt 1. Physiquement, ca tient la route! 54

6 10.4 L effet vortex - Un corps dans un Champ magnétique Soit un demi-espace de conductivité σ 1 (l encaissant) dans lequel se trouve une structure plus conductrice de conductivité σ 2 (la cible). Un champ magnétique primaire H p est généré par un émetteur (par exemple). On peut calculer assez aisément la réponse de vortex de l encaissant et de la cible (voir ci-dessous), mais comme celle-ci est plus conductrice, sa réponse de vortex sera à plus haute induction (rappel: ωl/r) que celle de l encaissant. On obtiendra donc une valeur de phase (par rapport à celle de H p ) située entre 3π/4 et π. Les courants de cette réponse de vortex étant conscrits au volume de la cible, ils peuvent être assimilés à la réponse d un dipôle magnétique (nous apprendrons à la calculer plus tard) dont l orientation dépend de la géométrie de la cible. Par exemple, si la cible est une plaque verticale, ce dipôle sera orienté horizontalement car les courants de Foucault circulent concentriquement (d où le terme vortex). Les courants les plus externes seront légalement les plus intenses à cause de l effet de peau dans la cible qui sera important car elle est conductrice. Nous verrons plus loin que le champ de ce dipôle varie en 1/r 3 lorsque l on est suffisamment loin de la cible pour la considérer exactement comme un dipôle. On peut donc avoir une bonne idée du comportement d un objet géologique si l on arrive à déterminer la paramètre équivalent à sa réponse de vortex. Compte tenu des dynamiques de la conductivité, de la fréquence et des dimensions des objets, il serait éminemment souhaitable d exprimer ce parmètre sous la forme d un nombre sans dimension, comme on le fait par exemple en mécanique des fluides. Pour ce faire, attardons-nous un moment sur les facteurs d échelle en EM. Rappelons l équation de diffusion en domaine de Fourier: H = ( ) 2 x y z 2 H = iωµσ H (10.10) Supposons que l on désire modéliser à l échelle du laboratoire ce qui se passe sur le terrain. Il faudra bien sûr que l équation ci-haut s applique dans les deux cas. Nous utiliserons les indices m et t pour modèle et terrain. On aura alors x m /x t = y m /y t = z m /z t. Egalement, H m = iω m µ m σ m Hm et H t = iω t µ t σ t Ht H m H t = ω mµ m σ m ω t µ t σ t Hm H t = s2 t s 2 m (10.11) 55

7 où s est un terme ayant les dimensions de longueur. Comme on veut reproduire les mêmes champs, alors H m = H t. Il en découle ω m µ m σ m s 2 m = ω t µ t σ t s 2 t (10.12) La fonction ωµσs 2 est le paramètre de réponse γ. On définit également le nombre d induction N N 2 = γ 2 = ωµσs2 (10.13) 2 ωµσ N = 2 s (10.14) qui, est aussi égal à s/δ où δ est la profondeur de peau. De cette facon, nous pouvons obtenir un paramètre caractéristique du corps. Voici quelques paramètres de réponse pour des corps simples: Sphère de rayon a γ = ωµσs 2 Disque de rayon a et d épaisseur s γ = ωµσas Couche mince d épaisseur s γ = ωµσsc Demi-espace γ = ωµσc 2 avec c, la distance source-récepteur. Cette dernière formule est utilisée pour l interprétation des mesures EM34 ou GEM-2. Un exemple de mesures réalisées avec l appareil GEM2 (Geophex) est illustré sur la figure ci-dessous. Le tuyau en acier est bien évidemment beaucoup plus conducteur que son encaissant et de très forts courants secondaires y sont induits. Figure 10.5: Partie réelle à 7290 Hz au-dessus d un tuyau de 45 cm de diamètre, 10 m sous la surface. Données de Geophex, Inc. 56