MAT1702 A - SOLUTIONS DU TEST #2 - VERSION A

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1 MAT702 A - SOLUTIONS DU TEST #2 - VERSION A. (5 points) Étant donné A 3 et B. 0 Pour chacune des opérations matricielles ci-dessous, calculez la matrice résultante si elle existe. Si l opération n est pas bien définie, indiquez-le en répondant PBD dans l espace indiqué. a) A 2B PBD. A est une matrice de genre (2, 3) et (B) est une matrice de genre (3, 2). Puisque leurs dimensions ne sont pas égales la somme A + (B) n est pas bien définie. b) 3BA 3BA c) (A T + B) T (A T + B) T T T T T

2 2 MAT702 A - SOLUTIONS DU TEST #2 2. (3 points) a) Combien de lignes possède la matrice B, si A est une matrice de genre (4, 5) et AB est bien définie? 5 lignes. (b) Combien de colonnes possède la matrice AB, si A est une matrice de genre (2, 32) et B est une matrice de genre (32, 97)? 97 colonnes. (c) Quelle est le genre de la matrice A, si B est une matrice de genre (75, 23) et AB possède 9 lignes? (9,75). 3. (3 points) Vrai ou Faux. Déterminez si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Donnez une brève explication ou un contre-exemple pour justifier votre réponse. a) Étant donné deux matrices inversibles A et B tel que AB est bien définie, alors (AB) B A. Vraie. On peut vérifier que c est en effet la bonne inverse en calculant son produit avec AB à gauche et à droite. (AB)(AB) (AB)(B A ) (AB) (AB) (B A )(AB) A(BB )A B (A A)B AA B B I I b) Étant donné deux matrices A et B tel que AB et BA sont bien définies, alors nous avons nécessairement AB BA. Faux. Ce n est pas nécessairement le cas pour n importe quel choix de 0 A et B. Par example, soit A et B AB BA (3 points) Si A et AB, trouvez la troisième colonne de B, avec le moins de calcul possible. Par la définition de la multiplication de matrice, nous savons que la troisième colonne de AB,, est obtenu en trouvant le produit de A avec la troisième colonne de

3 B, b 3. Alors, on doit résoudre le système suivant Ab 3 MAT702 A - SOLUTIONS DU TEST #2 3 5 Alors, la troisième colonne de B, b 3 5. (4 points) (a) L 2 :L 2 +2L 0 3 L :L +2L Étant donné A une matrice inversible de genre (n, n) qui satisfait la relation A 4 5A 3 + 2A I n 0 n. Trouvez la matrice inverse A en fonction de A. On multiplie l équation au complet par A par la droite, ensuit on isole le A. (A 4 5A 3 + 2A I n )A (0 n )A A 3 5A 2 + 2I n A 0 n A 3 5A 2 + 2I n A A A 3 5A 2 + 2I n (b) Supposez que X est une matrice de genre (m, n) qui satisfait la relation DXC DE où C est une matrice inversible de genre (n, n), D est une matrice inversible de genre (m, m), et E est une matrice de genre (m, n). Résolvez cette équation pour X, c-à-d. exprimez X en fonction des matrices (quelques-une ou toutes) qui figurent dans l équation. Pour isoler X on doit multiplier les deux côtés de l équation par D sur la gauche et par C sur la droite. DXC DE D (DXC) D (DE) XC E (XC)C (E)C X EC X EC

4 4 MAT702 A - SOLUTIONS DU TEST #2 6. (6 points) Considérez le système linéaire suivant: x + 3x 2 + x 3 2 2x + 6x 2 + 3x 3 9 3x 8x 2 2x 3 3 (a) Si ce système est écrit sous forme matricielle Ax b, déterminez A et b? A b (b) Trouvez A. A I L 3 L2 L :L 3L L 2 :L 2 L L 3 :L 3 +3L L :L L 3 L 2 :L 2 L A (c) Trouvez l ensemble solution du système en utilisant la matrice A et PAS par la réduction par rapport aux lignes. Étant donné que notre système linéaire peut être écrit sous la forme matricielle suivante: Ax b où A et b sont donné dans la partie (a). Nous pouvons multiplié par l inverse de A sur les deux côtés de l équation pour isoler x. Ax b A (Ax) A (b) x x 3 5

5 MAT702 A - SOLUTIONS DU TEST # (3 points) Soit A une matrice inversible de genre (n, n). a) Combien de solutions possède le système homogène Ax 0? Un. (Seule la solution triviale) b) Combien de positions pivots possèdera la forme échelonnée réduite de A? n. (Un dans chaques colonnes) c) Est-ce que Ax b est compatible, pour tout b R n? Oui. (On prends la même approche décrite dans la question 7 (c).) 8. (3 points) Étant donné l expression suivante (A + B) 2 B(A + I n ). a) Laquelle des expressions ci-dessous est une simplification de l expression donnée? i) A 2 + B 2 BA B ii) A 2 + 2AB + B 2 BA B iii) A 2 + AB + B 2 B iv) A 2 AB + B 2 B (iii) b) En utilisant les propriétés des opérations matricielles, simplifiez l expression donnée en sa forme simplifiée trouvée en a). En développant l expression et ensuite en simplifiant les termes semblables nous avons la réponse suivante. (A + B) 2 B(A + I n ) (A + B)(A + B) (BA + BI n ) A 2 + BA + AB + B 2 BA B A 2 + AB + B 2 B