Géométrie dans l Espace

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1 Géométrie dans l Espace Année scolaire 006/007 Table des matières 1 Vecteurs de l Espace 1.1 Extension de la notion de vecteur à l Espace Calcul vectoriel dans l Espace Colinéarité, applications Coplanarité Repérage dans l Espace 4.1 Définition Coordonnées Calcul sur les coordonnées Colinéarité, coplanarité Distance, orthogonalité Distance entre deux points dans un repère orthonormé Relation d orthogonalité de deux vecteurs Table des figures 1 Relation de Chasles Règle du parallélogramme Un cube Un tétraèdre Coordonnées dans un repère de l Espace

2 1 VECTEURS DE L ESPACE En préliminaire : Exercices : A 1 et B page 5 [Déclic] Exercices : Techniques de base : Espace, page 6 [Déclic] 1 Vecteurs de l Espace 1.1 Extension de la notion de vecteur à l Espace Dans le plan, un vecteur AB est défini par : sa direction la droite AB ; son sens du point A vers le point B ; sa longueur ou norme la distance AB. Cette notion se généralise sans problème à l Espace, avec les mêmes propriétés. Par exemple : Propriété : Égalité de vecteurs AB = CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme. 1. Calcul vectoriel dans l Espace L addition de deux vecteurs et la multiplication d un vecteur par un réel sont définies comme dans le plan et ont les mêmes propriétés. Par exemple : Propriété 1 : Relation de Chasles Pour tous points A, B et C de l Espace : AC = AB + BC voir figure 1. Fig. 1 Relation de Chasles Propriété : Règle du parallélogramme OM RN est un parallélogramme si et seulement si OR = OM + ON voir figure Remarques : 1. Ces deux propriétés donnent les deux manières de construire une somme vectorielle «bout-à-bout» ou à l aide d un parallélogramme.. Les règles de calculs sur les sommes de vecteurs et sur les multiplications de vecteurs par un réel sont les mêmes que sur les nombres. Exercices : 1, page 64 3 [Déclic] 1 Vecteurs et points. Vecteurs colinéaires. 3 Calculs sur les vecteurs.

3 1 VECTEURS DE L ESPACE 1.3 Colinéarité, applications Fig. Règle du parallélogramme 1.3 Colinéarité, applications Définition : Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si l un est le produit de l autre par un réel k c est-à-dire u = k v ou v = k u. Propriété : Soit u et v deux vecteurs non nuls. u et v sont colinéaires si et seulement si les vecteurs u et v ont même direction. Applications : Les droites AB et CD sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Exercice : Soit ABCD un tétraèdre et K, L et M les points de l Espace définis par : 1. Faire une figure. AK = 1 AB + 1 AC 3 AL = 1 AC + 1 3AD. Sur quelle face du tétraèdre se situe le point K? le point L? 3. a Montrer que les droites KL et BD sont parallèles. b Montrer que K, M et B sont alignés. c Montrer que L, M et D sont alignés. d Que peut-on en déduire pour les points M, K, L, B et D? AM = 3 AC 4 Exercices : 0 page page 64 et 8, 30 page 65 5 [Déclic] 1.4 Coplanarité Définitions : 1. On dit que quatre points A, B, C et D de l espace sont coplanaires s ils sont dans un même plan.. Soit u, v et w trois vecteurs de l espace. Il existe quatre points A, B, C et D de l espace tels que u = AB, v = AC et w = AD. On dit que les vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement si les quatre points A, B, C et D le sont. Remarque : Si les vecteurs AB et CD sont colinéaires, les droites ABet CD sont parallèles et, donc, les points A, B, C et D sont coplanaires. 4 Vrai ou faux. 5 Colinéarité, utilisations. 3

4 REPÉRAGE DANS L ESPACE Théorème : admis 1. Soit u, v et w trois vecteurs de l espace, tels que u et v ne soient pas colinéaires. Alors, les vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels a et b tels que : w = a u + b v. Soit A, B, C et D quatre points de l espace, tels que A, B et C ne soient pas alignés. Alors, les points A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels a et b tels que : AD = a AB + bad Exercices : 5 page 64 et 9 page 65 6 [Déclic] Repérage dans l Espace Activité : Activité 1 page 53 7 [Déclic].1 Définition Coordonnées Définition : On appelle repère de l Espace tout quadruplet et où ı, j et k sont trois vecteurs non coplanaires. O ; ı ; j ; k où O est un point de l Espace Si les vecteurs ı, j et k sont deux à deux orthogonaux, le repère est dit orthogonal. Si, de plus, les vecteurs sont unitaires ı = j = k = 1, on dit que le repère est orthonormal. Exemples : 1. Dans le cube ABCDEF GH d arête 1voir figure 3, le quadruplet repère orthonormé. D ; DA ; DC ; DH forme un Fig. 3 Un cube. Dans un tétraèdre ABCD voir figure4, le quadruplet est un repère quelconque. A ; AB ; AC ; AD 6 Coplanarité. 7 Repérage dans l Espace. 4

5 REPÉRAGE DANS L ESPACE.1 Définition Coordonnées Fig. 4 Un tétraèdre Théorème : admis Soit O ; ı ; j ; k un repère de l Espace. 1. Soit M un point de l Espace. Il existe un unique triplet x ; y ; z tel que OM = x ı + y j + z k voir figure 5. Ce triplet est appelé coordonnées de M. On note M x ; y ; z.. Soit u un vecteur de l Espace. Il existe un unique triplet a ; b ; c tel que u = a ı + b j + c k. Ce triplet est appelé coordonnées de u. On note a u b. c Fig. 5 Coordonnées dans un repère de l Espace Remarque : x est appelé abscisse, y est appelé ordonnée et z est appelé cote. Exercices : 31, 3 page 65 et 39 page , 38 page 66 et 41 page , 36, 37 page [Déclic] 8 Lire des coordonnées. 9 Placer des points. 10 Vrai ou faux. 5

6 . Calcul sur les coordonnées REPÉRAGE DANS L ESPACE. Calcul sur les coordonnées Les résultats sont identiques à ceux du plan. On a, par exemple : Si A x A ; y A ; z A et si B x B ; y B ; z B alors : les coordonnées du vecteur AB sont : AB x B x A y B y A z B z A les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont : I x A +x B Si u a b c et si v a b c alors : les coordonnées de u + v sont : u + v a + a b + b c + c Si k est un réel, les coordonnées du vecteur k u sont : k u Exercice : Soit A 3 ; 1 ; 5 et B 0 ; 5 ; 4 dans le repère ; y A+y B ; z A+z B k a k b k c 3. Quelles sont les coordonnées du point M de la droite AB dont la cote est? O ; ı ; j ; k. 1. Placer ces points dans le repère.. Calculer les coordonnées du milieu I de [AB] et du vecteur AB. Exercices : 35 page , 44, 45, 46 page 67 1 [Déclic].3 Colinéarité, coplanarité Méthode : Deux vecteurs u et v non nuls sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que u = k v. Trois vecteurs u, v et w tels que u et v non colinéaires sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels a et b tels que w = a u + b v. Il s agit donc, grâce aux coordonnées des vecteurs, de trouver ces réels pour montrer la colinéarité ou la coplanarité. Remarque : Dans l Espace, il n existe pas de propriété simple équivalente à celle des «produits en croix» de coordonnées pour des vecteurs colinéaires du plan. Exercice résolu : Dans un repère O ; ı ; j ; k de l Espace, on considère les points : A 4 ; 0 ; 0 B 0 ; 3 ; 0 C 0 ; 0 ; 6 et M 1 ; 3 ; 3 On note I le milieu de [AC] et L le point tel que 3 BL = BC. 1. Déterminer les coordonnées de I et de L.. Montrer que les points A, M et L sont alignés. 3. Montrer que les points A, B, C et M sont coplanaires. 11 Vrai ou faux. 1 Calculs sur les coordonnées. 6

7 REPÉRAGE DANS L ESPACE.3 Colinéarité, coplanarité Solution : 1. I est le milieu de [AC] donc : I 4+0 ; 0+0 ; 0+6 On note L x L ; y L ; z L. On a : BL x L 0 y L 3 z L 0 et BC En coordonnées, l égalité 3 BL = BC devient donc : x L = 0 Donc, après calcul : y L = donc L 0 ; ;. z L =. AM et AL soit I ; 0 ; 3. 3x L = 0 3 y L 3 = 3. 3z L = Les points A, M et L sont alignés si et seulement si les vecteurs AM et AL sont colinéaires, c est-àdire s il existe un réel k tel que AM = k AL. 4k = 3 k = 3 4 En coordonnées, on obtient : k = 3 soit k = 3 donc : AM = 3 4 4AL. k = 3 k = 3 4 Par suite, les points A, M et L sont alignés. 3. Il faut d abord montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 4 AB 3 et 4 AC Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires, c est-à-dire s il existe un réel k tel que AB = kac. 4k = 4 En coordonnées, on obtient : 0 = 3, ce qui est impossible. 6k = 0 Par suite les points A, B et C ne sont pas alignés. Dans ce cas, les points A, B, C et M sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels a et b tels que : AM = a AB + bac. 4a 4b = 3 En coordonnées, on obtient : 3a = 3. 6b = 3 La deuxième équation donne a = 1 et la dernière équation donne b = 1 4. Reste à vérifier la première équation : = 1 = 3. Cette équation est vérifiée donc les points A, B, C et M sont coplanaires. Exercices : 4, 44, 46 page 67 et 51, 53, 54 page page 67 ; 56, 58 page 68 et 59 page [Déclic] 13 Colinéarité. Applications. 14 Coplanarité. Applications. 7

8 RÉFÉRENCES 3 Distance, orthogonalité 3.1 Distance entre deux points dans un repère orthonormé Propriété : On se place dans un repère 1. Si le vecteur u a comme coordonnées O ; ı ; j ; k orthonormé. a b c, alors sa norme est : u = a + b + c. Si A x A ; y A ; z A et si B x B ; y B ; z B alors : AB = x B x A + y B y A + z B z A Démonstration du 1. Soit M le point de l Espace tel que u = OM. On pourra se reporter à la figure 5. Le repère étant orthonormal, le triangle OMM est rectangle en M. D après le théorème de Pythagore, on a : OM = OM + MM. Or, MM = c k donc MM = c. De plus, le triangle OP M est rectangle en P, donc : OM = OP + P M. Or, OP = a ı donc OP = a et P M = b j donc P M = b. On obtient donc : OM = a + b + c. Donc, u = OM = OM = a + b + c. Remarque : La deuxième partie de la propriété se prouve en remarquant simplement que AB = AB et que x B x A AB y B y A. z B z A 3. Relation d orthogonalité de deux vecteurs Propriété admise : On se place dans un repère orthonormé. Les vecteurs a u b et a v b sont orthogonaux si et seulement si : c c aa + bb + cc = 0 Exercices : 63, 64 page 69 et 68, 70 page , 69 page [Déclic] Références [Déclic] Déclic 1 ère ES, enseignement obligatoire et option, Hachette Éducation, 005., 3, 4, 5, 6, 7, 8 15 Nature d un triangle 16 Orthogonalité d une droite et d un plan 8