REPONSE D UN SYSTEME STRUCTURE PLOT AVEC LE MODELE OPERATEUR D HYSTERESIS PROPOSE. w EI. m 1 x. L Fig. 1. Cas général d une poutre

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1 RPONS D UN SYST STRUCTUR PLOT AVC L ODL OPRATUR D HYSTRSIS PROPOS. Dans ce chapre le modèle d hséréss proposé précédemmen es ulsé pour calculer les réponses harmonque e ransore d une srucure mune d un plo à comporemen élasoplasque (plo à froemen sec). nfn deux exemples poran sur un plo en élasomère e un pe d excaon parculer monren la dffculé de la modélsaon. La valdaon des modèles proposés es essenellemen expérmenale.. odélsaon par Ralegh-Rz w I m f f m f 3 m 3 x 3 L Fg.. Cas général d une poure Le comporemen dnamque d une poure soumse à pluseurs forces d excaon ransversales e équpée de pluseurs ressors de radeurs e de masse m es modélsé avec la méhode de Ralegh-Rz [73, 6]. n ulsan des foncons de déplacemen φ (ξ ) cnémaquemen admssbles, où ξ = x L es la varable d espace sans dmenson, e la foncon de emps (), le déplacemen laéral w( ξ, ) peu êre exprmé en ulsan les ndces répéés : () ( ) w( ξ, ) = φ ξ. () Pour obenr les équaons de mouvemen va les équaons de Lagrange l s ag ou d abord de calculer les énerges cnéque, de déformaon du ssème e le raval vruel des forces applquées. Les énerges cnéques, cp de la poure e cm des masses concenrées localsées en ξ = ξ l, PARTI I 57

2 w cp = ρsl dξ, () cm = m ( w l ( ξ, ), (3) ξl les énerges de déformaon dp de la poure e dr des ressors localsés en ξ = ξl, I w dp = dξ, (4) 3 L ξ dr = l( w( ξ, ), (5) ξl e le raval τ des forces exéreures applquées en ξ = ξl, ( ) = fl dw( ξl, ) τ, (6) s exprmen en enan compe de la relaon () sous les formes dscrésées suvanes: cp cm dp dr sl ρ = φ () ξ φ () ξ dξ () (), (7) = mlφ() ξ φ () ξ () (), (8) ξl I () () d () () L = φ ξ φ ξ ξ, (9) 3 = lφ() ξ φ () ξ () (), () ξ l ( ) = flφ( ξl) τ d. () L énerge cnéque oale es alors : c =, () avec la marce de masse smérque elle que () ξ φ () ξ dξ m φ () ξ φ () ξ = ρ sl φ + l ξ l. (3) L énerge poenelle oale p a pour expresson : p = K τ ( ), (4) PARTI I 58

3 avec la marce de radeur smérque K elle que : K I = L φ () ξ φ () ξ dξ + lφ() ξ φ () ξ. (5) 3 ξl La foncon de Lagrange L = deven alors : c p ( ) K τ L'applcaon des équaons de Lagrange condu à un ssème à n équaons : L = +. (6) d L L =, (7) d comme les marces e K son smérques on peu écrre que or : d où : F h h h τ + K h =, (8) τ = = flφ( ξl) = flφ( ξl) δ= f l φ ( ξ l ), (9) F. () + K = n présence d amorssemen, la foncon de dsspaon de Ralegh perme d nrodure dans les équaons () les ermes d amorssemen vsqueux : + F. () C + K =. Applcaon Le mouvemen en flexon de la poure encasrée-lbre schémasée Fgure es décomposé en ulsan la base polnomale : φ ( ξ ) ξ. () = + I C.D w C.F F() m x L L R m L Fg.. Srucure éudée PARTI I 59

4 Une force d excaon F() es applquée en L. La force de resuon R es produe par un plo amorsseur sué en L. Les ermes des marces de masse e de radeur e du veceur force son : ρsl = + mξ ( ) ( + + ) ( + + ) + m ξ, (3) K I = L + +, (4) 3 + () F = Rξ. (5) + + F ξ Il es udceux d éablr les équaons modales afn de prendre en compe l amorssemen de la poure à parr de mesure de l amorssemen de la poure seule sans plo amorsseur. S 3 es la marce des modes propres φ de la srucure seule, le changemen de varables : = 3q, (6) prs en compe dans les énerges, perme d éablr les équaons modales : m q + c q + q = f, (7) où : m = 3 3, c = 3 C3, = 3 K3, f = 3 F, (8) où les marces m, c, son des marces modales. La marce d amorssemen modale dagonale es donnée par c = α m, (9) où le coeffcen d amorssemen vsqueux α proven de la mesure de la ème largeur de bande. La résoluon pour obenr la réponse emporelle ou harmonque ulse la même méhode numérque (RK4), [53, 56, 66, 3]. Pour la réponse harmonque, la fréquence d excaon es ncrémenée après que le régme permanen so aen e l amplude du déplacemen relevée. 3. Réponse harmonque avec plo à coussn méallque La poure en acer (ρ = 78 g/m 3, =x N/m ) de longueur 375 mm, d épasseur 4 mm e de largeur 4 mm, es encasrée à son orgne e le plo, sué à l abscsse = 335 mm, a pour modèle en régme harmonque caracérsé par l équaon (III-6) assocée aux relaons (III-65) à (III-68). Une réponse en fréquence en snus balaé perme d évaluer les sx premers faceurs d amorssemen expérmenaux de la poure seule encasrée-lbre :. = [ ] (3) PARTI I 6

5 La force harmonque applquée à l abscsse 65mm de l encasremen, es mesurée (Fgure 3) avec un capeur de charge pézo-élecrque, la déflexon de l abscsse 99mm avec un capeur de déplacemen à couran de Foucaul, vor [7]. Les pares embarquées des masses du plo e du capeur de force son respecvemen m = g e m =,g. Fg. 3. Force d excaon mesurée Fg. 4. Réponse harmonque Fg. 5. Boucles effor-défléxon du plo lors de la smulaon La Fgure 4 présene les réponses calculée e mesurée. L accord es rès sasfasan. Au cours de la smulaon les boucles générées son racées Fgure Réponse ransore avec plo à coussn méallque La srucure précédene es soumse à une force de pe choc applquée sur le capeur de force sué à l abscsse 36 mm, e don l enregsremen es monré Fgure 6. Ic le modèle quas-saque relaon (III-6) assocée aux relaons (III-6) à (III-64) es ulsé. La réponse de l abscsse 67 mm es comparée à celle mesurée [75], vor Fgure 7. Là PARTI I 6

6 encore l accord es rès sasfasan. La force de resuon e la déflexon du plo au cours de la smulaon son données par les Fgures 8, 9 e. Fg. 6. Force applquée Fg. 7. Déflexon calculée e mesurée Fg. 8. Déflexon calculée du plo Fg. 9. Force de resuon calculée Fg.. Boucle force-déflexon lors de la smulaon PARTI I 6

7 5. Dffculés de modélsaons Les expérmenaons précédenes, qu poren sur un plo à comporemen élasoplasque valden le modèle proposé. Cependan dans le cas de plo à comporemen vscoélasque ou dans le cas de sollcaon à fréquence varable les modélsaons nécessen d êre affnées. Cec es monré dans les deux exemples suvans. 5. Réponse ransore avec plo en élasomère. Le plo ulsé es celu présené par la relaon (III-6) assocée aux relaons (III-69) à (III-7). La poure éudée a la confguraon présenée 4. La force exercée sur la poure es racée Fgure e a une allure de pe sére de dem-snus [75]. Fg.. Force applquée Fg.. Réponses calculée e mesurée 5 modèle mesure 5 Force du resuon (N) 5 Force du resuon (N) Déplacemen du plo (mm) Fg. 3. Boucle avec pee déflexon modèle mesure Déplacemen du plo (mm) Fg. 4. Boucle avec grande déflexon PARTI I 63

8 5. Réponse ransore avec plo à coussn méallque Ic la poure équpée du plo à coussn méallque, vor 4, es soumse à un choc dur, Fgure 5. La Fgure 6 monre un écar enre les réponses calculée e mesurée. Fg. 5. Force applquée Fg. 6. Déflexon calculée e mesurée Fg. 7. Faceur de correcon du pas d négraon numérque Fg. 8. Réponses avec la correcon du pas d négraon numérque 6. Concluson : L analse des réponses calculée e mesurée Fgure monre un accord use sasfasan. n effe dans le cas d un comporemen vscoélasque la modélsaon de l opéraeur d hséréss nécesse d êre affnée, noammen les courbes enveloppe e la consane de dsspaon α qu évolue en foncon de l amplude de déflexon. n effe, Pour de pees ampludes, Fgure 3 le modèle dsspe plus e les courbes enveloppes son mal adapées car réglées sur les plus grandes ampludes, Fgure 4. PARTI I 64

9 L analse du conenu fréquenel du sgnal de la force applquée Fgure 5, ndque que la fréquence d excaon évolue. Pour prendre en compe cee évoluon le pas d négraon numérque es affecé d un faceur de correcon ndqué par la Fgure 7. La réponse calculée s en rouve noablemen amélorée, Fgure 8. Ce exemple es mporan. Il me en évdence que la varaon de la fréquence d excaon a une nfluence sur la réponse. Cee expérmenaon a déclenché une réflexon sur la noon d un emps propre au ssème mécanque, dfféren du emps d observaon du laboraore. La pare II de ce mémore s aache à mere en évdence expérmenalemen e à modélser les effes de relavé. PARTI I 65