Maquette Tournesol Soleil, Terre et rotations La géométrie et mathématiques du système Maquette pour comprendre PhM Observatoire de Lyon

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1 Maquette ournesol olel, erre et rotatons La géométre et mathématques du sstème Maquette pour comprendre hm Observatore de Lon Les repères classques éclptque (longtudes et lattudes éclptques) et équatoral (ascensons drotes et déclnasons) permettent de placer tous les éléments du sstème. - le plan de l éclptque et la drecton de son pôle Q. - le plan équatoral et la drecton du pôle nord - l axe de rotaton du olel et son pôle - le plan équatoral du olel Vor les éléments et données des rotatons dans l Annexe I. Eléments de coordonnées sphérques oent les deux référentels éclptque et équatoral (fgure 2) : Q laçons l axe de rotaton du olel. Fg. 1 -Les éléments de repérage sur la maquette. Q O Coord. éclptques du pôle : L et l Coord. équatorales du pôle : et l O Intéressons nous au trangle sphérque Q (fgure 4) : L Fg. 2 - Référentels éclptque et équatoral. Q = 90 - L Q = arc Q = = 90 - l arc Q = angle entre les deux axes de rotaton : = 90 - = Ce trangle content tous les éléments de la rotaton du olel : l nclnason du pôle angle entre les deux axes de rotaton On va vor que est l angle maxmum entre les deux axes vus de la erre. Et la erre? Elle se déplace sur l éclptque (fgure 5). ot à une date donnée la erre en. Repérée par sa longtude éclptque L (foncton de la date). ransformable en coordonnées équatorales et Dans le trangle sphérque, l angle polare est Fg. 3 - L axe de rotaton du olel. L Q Fg. 4 - rangle des pôles. L l Q O L Fg. 5 - oston de la erre. Maquette Rotatons olel - erre (hm Obs. Lon 2012/10/10 maquette_tournesol_maths.wpd) 1/8

2 Angle des axes de rotatons Q mplfons la fgure et ne gardons que les éléments utles aux calculs On peut précser les éléments du trangle (fgure 6) : 90 - Angle en - - Angle en ce que l on cherche angle - Arc 90 - polare - Arc = 90 - Il nous manque l arc que l on calcule par le même trangle cos cos cos( 90 ) sn( 90 )sn cos( ) cos sn cos sn cos( ) On utlse la formule qu donne un côté en foncton des deux autres et l angle opposé. cos a = cos b cos c + sn a sn b cos A Fg. 6 - Angle polare. Calcul de Angle sot () - Arc Arc rangle La premère formule de trangle sphérque donne le cosnus de au sgne près : cos cos cos( 90 )cos( ) sn( 90 )sn( )cos N sn cos( ) cos sn( )cos Il nous faut le snus pour lever l ambguïté : sn sn( ) formule des snus sn sn( arc ) Résumons : our une date donnée, on connaît avec précson, la poston de la erre sur l éclptque (sa longtude éclptque). Un changement de repère donne l ascenson et la déclnason hélocentrque de la erre. Avec les éléments de l axe de rotaton du olel, on peut calculer l angle. Comme l angle vare dans une plage qu reste entre -90 et 90, la formule qu donne sn sufft pour le calculer sans ambguïté sur le Q sgne. sn sn( ) sn sn( arc ) Mérdens et équateur solare Mérden central : mérden solare qu passe par la erre (constamment varable) sot l Arc (fgure 7). Equateur solare : Grand cercle perpendculare à l axe de rotaton du olel Nœuds : ntersectons équateur solare et plan de l éclptque : nœud ascendant = longtude du nœud ascendant = ( ), temps compté en années depus J La longtude du nœud vare à cause de la précesson des équnoxes. Et l angle B 0 nclnason de l axe vers l observateur (fgure 8)? Il nous faut l équateur solare. Le mérden central est l arc. Il coupe l équateur solare en B L angle B 0 est l arc B. ar constructon arc B = 90 Avec les arc orentés de l équateur au pôle : arc B = arc B - arc B 0 = 90 - arc B 0 : dstance sur le mérden central du pont de l équateur au pont central de l algnement erre-olel sn B 0 = sn( - 90 ) = - sn(90 -) = - cos mérden central équateur solare Fg. 7 - Mérden central. Q angle polare mérden central équateur solare B B 0 angle polare Fg. 8 - Inclnason du plan équatoral (B 0 ). Maquette Rotatons olel - erre (hm Obs. Lon 2012/10/10 maquette_tournesol_maths.wpd) 2/8

3 Repérage sur la surface du olel On défnt sur le olel un sstème de coordonnées dentques aux longtudes et lattudes sur erre (fgure 9). - axe des pôles - équateur - mérden central (servant d orgne des longtudes). Une tache en A est défne par ses longtude et lattude au moment de l observaton. Repérage et orentaton de l nclnason de l mage du olel : our défnr cette poston au moment de l observaton, on se sert de deux varables calculables ou données par les éphémérdes : - l angle polare : rotaton apparente de l axe polare du solel sur la drecton Nord, compté postvement vers l Est - l angle B 0 : lattude hélographque du pont central de vson du olel, postve quand l équateur est au sud. Les observatons ben fates donnent des mages que l on peut orenter Nord ud Est Ouest Un pont A de la surface (tache solare) est repéré et postonné par ses coordonnées x et (fgure 10). Alors que sur la sphère on se repère en coordonnées sphérques au moen d une projecton orthographque. E Comment passer d un sstème à l autre? + - mérden central B 0 Fg. 9 - rojecton stéréographque. N x A A O ot un pont A (x,, ) sur la sphère de raon r, avec l axe drgé vers la erre projeté en A (fgure 11). Attenton à l orentaton du repère Ox : l axe O est drgé vers l observateur et le plan xo est dans le plan de la feulle. assons en coordonnées sphérques : La poston du pont A (x,, ) sur la sphère correspond au sstème de coordonnée (r, ) a projecton est en A dans le plan x. assage de x et à (r, ) : : sn r x : cos sn x x Fg Coordonnées rectangulares. A A r x x avec r x assage du repère équatoral erre au repère équatoral olel (fgure 12) : Angle þ rotaton de autour de O Angle B 0 þ rotaton de B 0 autour de Ox Après ces deux rotatons dans cet ordre on obtent les transformatons : en longtude du pont A : L A en lattude du pont A : l A. Coordonnées hélographques Fg Coordonnées polares A A r x B 0 Fg Rotatons de redresssement. x Maquette Rotatons olel - erre (hm Obs. Lon 2012/10/10 maquette_tournesol_maths.wpd) 3/8

4 Equatons de passage de x et à la longtude et lattude rapportées à l équateur solare et au mérden central Le calcul matrcel est le plus commode : Angle þ rotaton de autour de O x' cos sn 0x ' sn cos 0 ' Angle B 0 þ rotaton de B 0 autour de Ox x" x' " 0 cosb0 sn B0 ' " 0 sn B cosb ' 0 0 " Lattude l : sn l r " x" Longtude L : cosl sn L x" " x" " Cette longtude a pour orgne le mérden central. Applcaton sous Geogebra : helopos.ggb 2 Image géo orentée Image hélo orentée Le raon du olel est prs pour unté. La date se donne par la longtude hélocentrque de la erre (vor Annexe 2 pour passer dde la date à la longtude et nversement) L anmaton donne : les rotatons, les postons de l axe, de l équateur, du pôle vsble en foncton de la poston en longtude de la erre. Rotatons et longtudes Longtudes sur le olel A cause des rotatons du olel et de la erre, un pont solare change constamment de poston par rapport au mérden central algné sur la erre. Ce pont s l ne bougeat pas à la surface du olel, aurat sa lattude hélographque constante. Il tournerat par rapport aux étoles avec une pérode sdérale de jours à l équateur et mondre en allant vers les pôles. ar rapport à la erre, sa pérode snodque sera de jours en moenne (avec la date, cela dépend de la poston de la erre sur l éclptque, et de la vtesse de rotaton autour du olel), ce qu correspond à 13.2 / jour. Maquette Rotatons olel - erre (hm Obs. Lon 2012/10/10 maquette_tournesol_maths.wpd) 4/8

5 On peut fxer un mérden référence sur le olel (mérden prmare ou orgne), la longtude du mérden central L 0 en référence à ce mérden prmare dmnue constamment de 360 à 0 avec les conventons admses de rotaton d Est en Ouest. La longtude absolue d un pont sera alors : L = L 0 + L L longtude mesurée en respect du mérden central. Et comptée postvement vers le bord Ouest du olel. Longtudes sur le olel repérage du mérden orgne On utlse le sstème de Rchard C. Carrngton ( ) Il observa le olel en amateur éclaré de 1859 à Observatons publées en 1863 : Observatons of the sun from november 9, 1853, to march 24, 1861, made at Redhll. ache solare du 1 er september 1859 observée par Rchard Carrngton Référence de ses observatons : Google Books : Défnton du mérden orgne : Il prt comme pérode sdérale jours Et comme mérden orgne, le mérden central de sa premère observaton le Nov 9, 1853 Références actuelles : Le mérden standard sur le olel est défn comme étant le mérden qu passat au nœud ascendant de l équateur solare le 1er janver 1854 à 12 heures UC. Le comptage des rotatons se fat depus le 9 nov C est le numéro de rotaton Carrngton, nombre enter non nul. Le numéro de rotaton Carrngton donne l nstant de longtude 0 du mérden central. Rot.No. mm da Date Julan date Calculs en lgne de la rotaton de Carrgton our une date donnée, l faut ajouter la rotaton effectuée par le mérden prmare depus le début de la dernère rotaton à la vtesse de rotaton snodque et en tenant compte des rrégulartés dues à l excentrcté de l orbte de la erre. On peut passer pour le temps écoulé par le jour julen. Calcul jour julen en lgne : On peut utlser dvers logcels ou se servr des éphémérdes de l IMCCE Maquette Rotatons olel - erre (hm Obs. Lon 2012/10/10 maquette_tournesol_maths.wpd) 5/8

6 Numéro Rotaton Carrgton Longtude mérden central Maquette Rotatons olel - erre (hm Obs. Lon 2012/10/10 maquette_tournesol_maths.wpd) 6/8

7 Annexe 1 Eléments de la rotaton du olel érodes de rotaton : dérale : jours nodque : jours Orentaton de son axe de rotaton et du plan équatoral : - Inclnason du plan équatoral sur le plan de l éclptque : 7.25 Coordonnées éclptques - Longtude éclptque de l axe de rotaton : Lattude éclptque de l axe de rotaton : Longtude du nœud ascendant de l équateur solare : ( ), temps compté en années depus J Coordonnées équatorales - Ascenson drote de l axe de rotaton : (19h04mn) - Déclnason de l axe de rotaton : Maquette Rotatons olel - erre (hm Obs. Lon 2012/10/10 maquette_tournesol_maths.wpd) 7/8

8 Annexe 2 Longtudes hélocentrques moennes de la erre sur un an A cause du découpage de l année en jour enter et des années bssextles, les longtudes hélocentrques de la erre chaque jour à 0h U oscllent autour de valeur moenne (et auss à cause du couple erre-lune). Ces longtudes moennes sont ben suffsantes avec leur précson pour effectuer les calculs de et B 0. Date Janv. Févr. Mars Avrl Ma Jun Jul. Août Oct. Nov. Déc. Date Maquette Rotatons olel - erre (hm Obs. Lon 2012/10/10 maquette_tournesol_maths.wpd) 8/8