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Marguerite Marceau
il y a 8 ans
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1 Table des matières I La programmation linéaire en variables continues 1 Présentation 3 1 Les bases de la programmation linéaire Formulation d'un problème de programmation linéaire Applications et interprétation économique Applications Interprétation économique générale Propriétés fondamentales Caractérisation des solutions admissibles Caractérisation géométrique des solutions optimales Caractérisation algébrique des sommets de D L'algorithme simplexe Forme équivalente et tableau simplexe Propriétés fondamentales de l'algorithme simplexe Propriétés Interprétation géométrique Changement de base Algorithme simplexe Convergence de l'algorithme simplexe Algorithme simplexe (phase II) Méthode des variables articielles Principe Dénition du problème P a v

.............. 17 1.3.2 Caractérisation géométrique des solutions optimales........ 18 1.3.3 Caractérisation algébrique des sommets de D............ 22 2 L'algorithme simplexe 29 2.

2 vi TABLE DES MATIÈRES 2.6 Dégénérescence Cyclage Importance Interprétation géométrique Traitement La forme révisée de l'algorithme simplexe Objectifet principe de l'algorithme révisé Construction du tableau simplexe Forme produit de l'inverse de la base Avantages de la forme révisée Compléments à l'algorithme simplexe Détermination de toutes les solutions optimales Interprétation économique du tableau simplexe Traitement des problèmes à variables bornées Analyse de sensibilité et analyse paramétrique du vecteur c La dualité Dénition du problème dual Propriétés de la dualité Interprétation économique de la dualité Terminologie générale Applications Solution duale associée à une base Dénition d'une solution duale associée à une base Principe de l'algorithme dual L'algorithme dual simplexe La phase II de l'algorithme dual Raisonnement de l'algorithme dual Algorithme dual (phase II) Méthode de la contrainte articielle Compléments à l'algorithme dual Dégénérescence du problème dual Forme révisée Traitement des variables bornées supérieurement

.................. 58 2.7.3 Forme produit de l'inverse de la base................. 60 2.7.4 Avantages de la forme révisée..................... 61 2.8 Compléments à l'algorithme simplexe..................... 64 2.

3 TABLE DES MATIÈRES vii Post-optimisation suite à l'ajout d'une contrainte Analyse de sensibilité et analyse paramétrique du vecteur d L'algorithme primal-dual Principe de l'algorithme primal-dual Dénition du problème primal restreint Analyse du problème restreint Le problème d'aectation Dénition L'approche primale-duale appliquée au problème d'aectation Le problème de transport Dénition L'approche primale-duale appliquée au problème de transport L'algorithme de Dantzig et Wolfe Le principe de génération de colonnes Dénition du problème maître Résolution du problème maître Algorithme générateur Application de la forme révisée Synthèse de l'algorithme Mise en uvre Exercices et modélisations Partie I141 II La programmation linéaire en variables entières 157 Présentation Introduction à la P.L. en variables entières Formulation des problèmes Complexité La Dualité

.......................... 115 5.2.1 Dénition................................ 115 5.2.2 L'approche primale-duale appliquée au problème d'aectation............................... 119 5.

4 viii TABLE DES MATIÈRES 7.4 La théorie polyédrale Matrices totalement unimodulaires Théorie polyédrale et méthodes de coupure Inégalités valides Construction générale d'une inégalité valide Obtention d'inégalités valides Ecacité et redondance d'une inégalité valide La méthode de coupure de Gomory Principe Algorithme de Gomory pour un problème (ILP) Algorithme de Gomory pour un problème (MILP) Branch and Bound Principe Eléments constitutifs La procédure de séparation La procédure d'évaluation La procédure de cheminement B & B pour la P.L. en variables entières Procédure d'évaluation et de sondage Procédure de séparation Procédure de cheminement Mise en uvre d'une méthode B & B Initialisation Branch and Cut La relaxation lagrangienne Branch and Price Exercices et modélisations de la partie II 223

4 Ecacité et redondance d'une inégalité valide................ 181 8.5 La méthode de coupure de Gomory...................... 183 8.5.1 Principe................................. 183 8.5.2 Algorithme de Gomory pour un problème (ILP).

5 TABLE DES MATIÈRES ix III L'optimisation combinatoire 239 Présentation Le problème de chargement Introduction La version de base du problème de chargement Les extensions du problème de chargement (KP) Un algorithme Branch and Bound Bornes supérieures de z Bornes inférieures de z Réduction initiale du problème Structure de l'algorithme Branch and Bound Inégalités valides et problème c ur Inégalités valides pour le problème KP Le problème coeur Un algorithme de programmation dynamique Performance des algorithmes Le problème en variables entières (IKP) Généralisation de l'approche Branch and Bound Programmation dynamique pour le problème (IKP) Le problème du voyageur de commerce Introduction Formulations du problème TSP Branch and Bound pour le problème ATSP Les relaxations de base Un algorithme Branch and Bound Branch and Bound pour le problème STSP Les relaxations de base Un algorithme Branch and Bound pour le STSP Théorie polyédrale pour le STSP et Branch and Cut Propriétés élémentaires M-inégalités (2 matching inequalities) C-inégalités ou inégalités peignes (comb inequalities)

........................ 249 10.2.3 Réduction initiale du problème.................... 250 10.2.4 Structure de l'algorithme Branch and Bound............ 251 10.3 Inégalités valides et problème c ur.

6 x TABLE DES MATIÈRES GC-inégalités ou inégalités peignes généralisées (generalized comb inequalities) Branch and Cut pour le problème STSP Les logiciels TSP Le problème de couverture Introduction Dénition et formulation Applications Réduction d'un problème (SCP) Heuristiques Heuristiques primales Heuristiques duales Méthodes exactes Les problèmes de tournées de véhicules Introduction Une classe de problèmes Dénition des problèmes de base CVRP et DCVRP Une grande variété de situations Des variantes classiques du problème VRP Formulations mathématiques Modèle avec des variables à deux indices Modèle avec des variables à trois indices Modèle avec partitionnement Méthodes exactes de résolution Branch and Bound Branch and Cut Branch and Price Heuristiques Heuristiques de construction Heuristiques de recherche locale Les problèmes de localisation Introduction Modèles et formulations

1.2 Applications.............................. 2 99 12.1.3 Réduction d'un problème (SCP)................... 300 12.2 Heuristiques................................... 302 12.2.1 Heuristiques primales.

7 TABLE DES MATIÈRES xi Le problème de localisation sans capacité (UFLP) Le problème de localisation avec capacité (CFLP) Le problème des p médians (p-mp) Le problèmes des p centres (p-cp) Résolution du problème UFLP Heuristiques La méthode DUALOC Une méthode basée sur la relaxation lagrangienne Résolution du problème des p centres Propriétés Algorithme pour le problème (p-acp) Algorithme pour le problème (λ 1 -ACP) Exercices et modélisations Partie III 355 IV Les heuristiques et métaheuristiques 367 Présentation Les heuristiques Adaptation de méthodes exactes Utilisation d'une méthode Branch and Bound Utilisation d'une méthode exacte pour construire une heuristique Les heuristiques gloutonnes Les heuristiques de construction Les heuristiques de recherche locale Garantie de performance d'une heuristique Les métaheuristiques de recherche locale Le recuit simulé (simulated annealing) Le principe de fonctionnement Implémentation La recherche Tabou (Tabu Search) Le principe de fonctionnement Implémentation

........................ 343 14.3.3 Une méthode basée sur la relaxation lagrangienne......... 346 14.4 Résolution du problème des p centres..................... 347 14.4.1 Propriétés................................ 347 14.4.2 Algorithme pour le problème (p-acp).

8 xii TABLE DES MATIÈRES 16.3 Autres métaheuristiques et hybridation La métaheuristique GRASP La métaheuristique VNS Métaheuristiques hybrides Les métaheuristiques évolutionnaires L'algorithme génétique Le principe d'un AG Mise en oeuvre d'un AG A propos de l'implémentation L'algorithme de la colonie de fourmis Le comportement des fourmis Le principe Implémentation Applications 417 V La programmation dynamique 435 Présentation La programmation dynamique Modèle, notations et hypothèses Principe d'optimalité de Bellman Algorithmes de programmation dynamique Algorithme prospectif Algorithme rétrospectif Programmation dynamique en variables discrètes Fonctions de récurrence discrètes Problèmes d'allocation ou d'investissement La programmation dynamique en avenir aléatoire Le modèle Principe d'optimalité de Bellman et algorithme Exercices et Applications Partie V 459

1.2 Mise en oeuvre d'un AG........................ 404 17.1.3 A propos de l'implémentation..................... 411 17.2 L'algorithme de la colonie de fourmis..................... 412 17.2.1 Le comportement des fourmis.

9 TABLE DES MATIÈRES xiii VI La théorie des graphes 469 Présentation Dénitions, concepts et vocabulaire Concepts de base d'un graphe orienté Concepts de base d'un graphe non orienté Graphes particuliers Représentation d'un graphe Exploration d'un graphe Fermeture transitive ; composantes fortement connexes Parcours d'un graphe Chemins et arbres optimaux Chemins optimaux Chemins optimaux entre un sommet et tous les autres Chemins optimaux entre tout couple de sommets Arbres optimaux Propriétés des arbres Arbre partiel de valeur minimale Arborescence partielle de valeur minimale Flots optimaux dans un réseau de transport Dénitions et propriétés Problème du ot maximum Problème du ot maximum de coût minimum Extension au cas d'un réseau R(X, U, C, B) Compatibilité d'un ot Flot compatible de coût minimum Couplage maximum et transversal minimum Problèmes particuliers Problème de coloration Bornes inférieures de γ(g) Heuristique de résolution Problème de coloration des arêtes d'un graphe

5.1 Fermeture transitive ; composantes fortement connexes....... 485 19.5.2 Parcours d'un graphe......................... 487 20 Chemins et arbres optimaux 489 20.1 Chemins optimaux............................... 489 20.1.1 Chemins optimaux entre un sommet et tous les autres.

10 xiv TABLE DES MATIÈRES 22.2 Graphes planaires Graphes parfaits Parcours eulériens et hamiltoniens Cycles et chaînes eulériens Chemins et circuits hamiltoniens Exercices et modélisations Partie VI 541 A Rappels d'algèbre linéaire 557 A.1 Espace vectoriel A.2 Rang d'une matrice A.3 Systèmes d'équations A.4 Polyèdres convexes B La théorie de la complexité des algorithmes 563 B.1 Introduction B.2 Problèmes de décision B.2.1 Dénition B.2.2 Langage associé à un problème de décision B.3 Algorithme déterministe et classe P B.3.1 Dénition d'un algorithme déterministe B.3.2 Temps d'exécution d'un algorithme déterministe B.3.3 La classe P des problèmes de décision B.4 Algorithme non déterministe et classe NP B.4.1 Dénition d'un algorithme non déterministe B.4.2 Temps d'exécution d'un algorithme non déterministe B.4.3 La classe NP B.5 La classe des problèmes NP -complets B.5.1 Dénitions B.5.2 La grande conjecture de la complexité des algorithmes B.5.3 Algorithme en temps pseudo-polynomial et problème NP-complet au sens fort B.6 Extension aux problèmes d'optimisation

1 Espace vectoriel................................. 557 A.2 Rang d'une matrice............................... 558 A.3 Systèmes d'équations.............................. 558 A.4 Polyèdres convexes.

11 TABLE DES MATIÈRES xv Bibliographie 577 Liste des gures 585 Liste des dénitions 591 Liste des théorèmes 595 Liste des illustrations 597 Index 599

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