X ENERGETIQUE. ext. , les actions mécaniques extérieures sont alors! modélisées par une densité de force f( M)

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1 X ENERGETIQUE Les noons de pussance, de raval e d énerge jouen un rôle rès mporan en mécanque, elles permeen par exemple de déermner le rendemen e l effcacé de dfférens mécansmes, comme les moeurs. 1. Pussance a) Pussance des effors exéreurs So un sysème maérel S (pas forcemen un solde) en mouvemen par rappor à un référenel R. S es soums à des effors exéreurs F ( ) exercés sur les pons ( G, m ) de S, pour = 1... n. ex Défnon La pussance développée, à l nsan, par l acon mécanque des effors exéreurs sur S, dans le mouvemen de S par rappor au repère R, es : n P( ex S / R) = F ( ). V ( G / R) = 1 ex S S es modélsé par le mleu connu ( Ω, ρ), les acons mécanques exéreures son alors modélsées par une densé de force f( M) relavemen à la mesure de masse dm applquée en chaque pon M de S (acon de la pesaneur par exemple). Dans ce cas : P( ex S / R ) f ( M ). V ( M / R ) dm = M S Mécanque - X - 1 / 7

2 Rappels : La densé de force peu êre lnéque, surfacque ou volumque suvan la géomére consdérée L uné de pussance es le Wa ( W = Nm/ s) Lorsque le sysème maérel S es un solde la pussance développée par l acon des forces exéreures, dans le mouvemen de S par rappor à R, s écr : [ ] [ ] P( ex S/ R) = F( ex S) V( S/ R) où [ V( S/ R )] es le orseur cnémaque représenan le mouvemen de S par rappor à R [ F( ex S) ] es le orseur assocé à l acon mécanque de l exéreur sur S [ V( S/ R) ] Ω( S/ R) = V( S/ R) e [ F( ex R) ] Rex ( R) = M ( ) ex R So encore : P( ex S / R) = R( ex S). V ( S / R) + M ( ex S). Ω( S / R) Démonsraon : Il suff de fare ressorr la vesse à parr d un pon fxa dans la défnon de l'négrale de la vesse pour rerouver le produ des deux orseurs Cas parculers Lorsque le orseur d acon mécanque es un orseur à résulane : P( ex S / R) = R( ex S). V ( S / R) Lorsque le orseur d acon mécanque es un couple : P( ex S / R) = M ( ex S). Ω( S / R) La noon de pussance s exprme relavemen à un repère. S le repère R es lé à S, alors : P( ex S / R) = 0 Mécanque - X - / 7

3 b) Lason parfae Soen deux sysèmes maérels S 1 e S dsncs, en mouvemen par rappor à un repère R. Défnon : La pussance développée, à l nsan, par les acons muuelles enre S 1 e S, dans leur mouvemen par rappor à un repère R es : P( S S / R) = P( S S / R) + P( S S / R) Propréé : La pussance développée par les acons muuelles enre S 1 e S es ndépendane du repère R Défnon : Deux soldes S 1 e S on une lason parfae s, quel que so le mouvemen de S par rappor à S 1, auorsé par la lason, la pussance développée par les acons muuelles enre S 1 e S es nulle :. Traval P( S S ) = 0 1 Défnon : Le raval de l acon des effors exéreurs sur le sysème maérel S, enre les nsans 1 e, dans le mouvemen de S par rappor au repère R es : ( / ) P( / ) = 1 1 W ex S R ex S R d ou encore, sous forme élémenare : δw ( ex S / R) = P( ex S / R) d L uné du raval es le Joule. Le Joule es le raval produ par une acon mécanque représenée par une force de 1 Newon don le pon d applcaon se déplace de 1 mère dans la drecon e le sens de la force. ( J = Nm= W s) Mécanque - X - 3 / 7

4 3. Energe poenelle Consdérons deux sysèmes maérels S 1 e S, en mouvemen par rappor à un repère R. a) Défnon Défnon : Le sysème maérel S 1 possède une énerge poenelle, assocée à l acon mécanque de S sur S 1, dans le mouvemen de S par rappor au repère R, s l exse une foncon scalare Φ elle que : P( S S1/ R) = d Φ( S S1/ R) d Φ( S S / R) es appelée énerge poenelle de S 1, assocée à l acon mécanque de S sur 1 S 1, dans le mouvemen de S 1 par rappor à R. On la noe E p En mécanque du pon, l énerge poenelle es le poenel don dérve une force conservave : """" " de dep = F. dl ou F = Grad( E P ) P = P d On d que la pussance dérve d une énerge poenelle Défnon : Une acon mécanque pour laquelle l exse en énerge poenelle es de conservave b) Sablé L éude de l énerge poenelle assocée à une acon mécanque conservave perme de déermner de nombreux rensegnemens sur le mouvemen du sysème éudé. Consdérons le cas où l énerge poenelle ne dépend que d un seul paramère λ : E ( ) p λ Mécanque - X - 4 / 7

5 Représenaon graphque : (exemple avec deux pons d nflexon) Les valeurs exrémales donnen les posons d équlbre du sysème. de P 0 dλ = posons d équlbre en λ 1 e λ e l éude de leurs varaons ndque la sablé des ces équlbres : dep dλ λ = K, avec K > 0 Equlbre sable K < 0 Equlbre nsable 4. Théorème de l énerge cnéque a) Pour un solde Il exse un référenel R, d galléen, pour lequel la dérvée emporelle de l énerge cnéque d un solde S es égale à la pussance des effors exéreurs qu s exercen sur S, dans le mouvemen de S par rappor à R. d E ( S / R ) P( ex S / R ) c = d Démonsraon : Il suff de fare le produ du prncpe fondamenal de la dynamque avec le orseur cnémaque e d nrodure les ermes consans dans les négrales de défnon. Le héorème de l énerge cnéque consue smplemen une raducon énergéque du PFD Mécanque - X - 5 / 7

6 Forme négrée Pour un solde rgde S, en mouvemen par rappor au référenel galléen R, le héorème de l énerge cnéque négré enre les nsans 1 e donne : 1 c c c E ( S/ R) = E ( S/ R) E ( S/ R) = P( ex S/ R) d = W ( ex S) Remarques : Le héorème de l énerge cnéque monre que les énerges cnéque e poenelle son homogènes à un raval, donc exprmées en Joules L applcaon du PFD donne sx équaons scalares ndépendanes e l applcaon du héorème de l E c n en donne qu une. Ce héorème, à lu seul, es donc généralemen nsuffsan pour résoudre un problème de dynamque. b) Inégrale premère Défnon : So ( ) 1,.., n q =, (n 6) un paramérage de S par rappor à R. L énerge cnéque ne dépend que des q#, q e, e le raval des effors exéreurs ne dépend que des q e. La forme négrée du héorème de l E c donne donc une négrale premère du mouvemen c) Pour pluseurs soldes So un ensemble (E) de n soldes S, ( = 1,.., n), en mouvemen par rappor à un repère galléen R. La dérvée emporelle de l énerge cnéque d un ensemble (E) de soldes es égale à la somme de la pussance des acons mécanques exéreures à (E) e des pussances des acons muuelles enre chaque solde de (E) n d E ( E / R ) = P( ex E / R ) + P( S S ) c j d = 1 < j Mécanque - X - 6 / 7

7 Démonsraon : Il suff d applquer le héorème de l E c à chaque solde S, de décomposer les effors exéreurs e de sommer les n relaons S ous les soldes consuans (E) son en lason parfae les uns par rappor aux aures : P(n E/ R) = 0 d E ( E / R c ) = P( ex E / R ) d L énerge cnéque de (E) es alors assmlée à celle d un seul solde 5. Energe mécanque So un solde S en mouvemen par rappor à un repère R, la varaon de l énerge mécanque de S correspond au raval des forces non conservaves applquées à S : Em( S / R) = WNC( ex S) d E ( S / R m ) = P NC( ex S / R ) d Démonsraon : Il suff de décomposer les effors exéreurs applqués à S dans la défnon de la pussance e d en exrare l énerge poenelle pour l ajouer à l énerge cnéque. S le solde n es soums qu à des forces conservaves où la pussance des forces exéreures non conservaves es nulle, ce héorème deven : d E ( / ) 0 m S R = d L négraon de cee relaon donne l négrale premère de l énerge mécanque : E ( / ) m S R = Cse Il y a alors conservaon de l énerge mécanque Mécanque - X - 7 / 7