Cours de méthodes de simulation

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1 ECOLE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D ANALYSE DE L INFORMATION ( ESSAIT) Cours de méthodes de simulatio Préparé par Hasse MATHLOUTHI Aée uiversitaire

2 AVANT PROPOS Ce documet propose u cours sur les méthodes de simulatio aléatoire. Il est le résultat de l eseigemet de ce module durat ces derières aées à l Ecole de Statistique et d Aalyse de l Iformatio. Pour ue boe compréhesio des méthodes proposées, ce cours doit être accompagé d exercices aussi bie de travaux dirigés aisi que de travaux pratiques. A cet effet, ous doos à la fi du documet les éocés des épreuves des exames des aées 2008 à Ce cours reste éamois très icomplet. Il e traite e effet que quelques ue des méthodes usuelles de simulatio aléatoire. E particulier, les méthodes de type MCMC (chaie de Markov- Mote Carlo) e sot pas examiées. Ces autres méthodes devraiet être aussi étudiées par tout lecteur cherchat à approfodir ses coaissaces e la matière. Il reste égalemet assez théorique. E effet, les cosidératios d ordre pratique liées otammet à la programmatio iformatique e sot que partiellemet ou pas du tout abordées. D autre part et quoique ayat fait l objet de plusieurs lectures et de vérificatios, le risque de présece d erreurs mathématiques (et d erreurs de lague aussi) est pas ul. Je serais très recoaissat aux lecteurs me sigalat les évetuelles erreurs ou icompréhesios. Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 2

3 Table de matières Désigatio Page Avat propos 1 Chapitre1 : Itroductio géérale 4 1. Présetatio 4 2. Démarche pratique 6 3. Applicatio 6 4. Cocepts et outils de base 7 5. Pla du cours et bibliographie 9 Chapitre 2 : Simulatio de la loi uiforme stadard Gééralités Les géérateurs de cogruece Les tests statistiques 17 Chapitre 3 : Simulatio des lois o uiformes à ue 25 seule dimesio 1. Gééralités 2. La méthode d iversio 3. Simulatio de la loi ormale 4. La méthode de trasformatio 5. La méthode de rejet Chapitre 4 : Simulatio des vecteurs aléatoires Simulatio e cas de loi joite doée Simulatio de la loi ormale 42 multidimesioelle 3. La méthode de la copule 44 Chapitre 5 : La méthode de Mote Carlo Fodemet mathématique Calcul pratique Propriétés Réductio de la variace 54 Recueils de sujets d exames Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 3

4 Chapitre 1 INTRODUCTION GENERALE Plusieurs applicatios scietifiques ot besoi de ombres choisis au hasard comme doées écessaires à leur foctioemet. Ces ombres sot courammet appelés ombres aléatoires. Comme exemples d applicatios demadat ces ombres, ous citos e particulier La coceptio de programmes iformatiques de jeux du hasard Les techiques de sélectio probabiliste d échatillos das ue populatio Les techiques de cryptologie (méthodes d affectatio de codes umériques cachés comme das le cas des cartes de recharges téléphoiques). etc. Ce cours a pour objet de préseter certaies des méthodes permettat de simuler la géératio de tels ombres. Das cette itroductio géérale, ous doos ue présetatio sommaire de ces méthodes, de leur démarche méthodologique aisi que de leur pricipale utilisatio e statistique. 1. PRESENTATION U ombre aléatoire est à priori ue des valeurs prises par ue certaie variable aléatoire réelle. E coséquece, pour avoir u ombre aléatoire, o a que réaliser l expériece aléatoire qui coviet, oter so résultat et détermier so image par ue variable aléatoire adéquate. C est cette image qui costitue le ombre aléatoire demadé. Aisi par exemple, si ue applicatio écessite, disos dix ombres aléatoires valat 0 ou 1 avec ue probabilité égale à ½ chacu, o peut par exemple réaliser 10 fois l expériece aléatoire cosistat à jeter au hasard ue pièce de moaie et predre le ombre 0 si le résultat est «Face» et le ombre 1 sio. Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 4

5 Ce procédé de géératio de ombres aléatoires qu o peut qualifier de matériel est évidemmet le plus aturel. Il présete cepedat des limites importates e pratique. Parmi ces limites citos otammet : Il est difficile de l utiliser lorsque la quatité de ombres aléatoires demadés est importate. Or la plupart des applicatios cocerées écessitet souvet des milliers sio des dizaies ou des cetaies de milliers de ombres aléatoires. Ce procédé est même impossible à réaliser lorsqu o e coait pas la ature de l expériece aléatoire sous jacete ou la défiitio de la variable aléatoire cosidérée. C est le cas otammet de ombres aléatoires issus de variables aléatoires cotiues. Ces limites ot coduit les utilisateurs, otammet avec l avèemet de l ère iformatique, à cocevoir et mettre e œuvre d autres procédés de géératio de ombres aléatoires utilisables das leurs applicatios. Parmi ces autres procédés, les procédés de type algorithmique qui costituet l objet de ce cours sot d ue grade utilisatio pratique. Les méthodes algorithmiques de géératio de ombres aléatoires se présetet comme des formules mathématiques permettat de disposer d ue suite de ombres qu o peut cosidérer comme état choisi au hasard selo ue loi de probabilité doée. Aisi, au lieu de réaliser matériellemet ue expériece aléatoire pour obteir u ombre aléatoire, o procède à sa détermiatio e calculat ue formule mathématique. Du fait de leur caractère mathématique, les méthodes algorithmiques peuvet faire l objet de programmatio iformatique, ce qui permet d obteir très rapidemet autat qu o veut de ombres aléatoires. Das la pratique, o fait e effet tourer u certai programme iformatique autat de fois qu o veut de ombres aléatoires. Il coviet cepedat de oter que de part leur costructio, il est impossible d obteir avec les méthodes algorithmiques de ombres aléatoires. E effet, ces méthodes cosistet e l applicatio d ue formule mathématique. La coaissace de cette formule permet aisi de coaitre au préalable le ombre que ces méthodes doet, ce qui est cotraire à la défiitio même d u ombre aléatoire. E effet, u ombre aléatoire est par défiitio o prévisible. Néamois, malgré l impossibilité d obteir de véritables ombres aléatoires avec les méthodes algorithmiques, les amélioratios cotiues qu ot coues ces méthodes ot coduit à l obtetio de ombres qui ressemblet das plusieurs aspects à des vrais ombres aléatoires. Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 5

6 Aussi, appelle- t- o ces méthodes de méthodes de simulatio aléatoire et les ombres qu elles produiset des ombres pseudo-aléatoires ou des ombres simulés. O parle aussi d échatillo artificiel pour u esemble de ombres fouris par ces méthodes. 2. DEMARCHE GENERALE Das les applicatios, les géérateurs algorithmiques permettet seulemet de simuler des valeurs d ue variable X suivat la loi uiforme cotiue sur l itervalle [0,1]. Pour la simulatio d ue variable aléatoire Y suivat ue autre loi de probabilité, o a pas besoi de géérateurs particuliers. Il suffit de trouver la relatio liat cette variable et la variable X. Or cette relatio existe toujours. E effet, selo u résultat mathématique, toute variable aléatoire Y peut s écrire comme ue certaie foctio de variables aléatoires réelles X 1, X 2,, X i,, X p suivat chacue ue loi uiforme cotiue sur l itervalle [0,1] : Y = Y (X 1, X 2,, X i,, X p ) E coséquece, pour avoir valeurs simulées d ue variable Y état doé sa loi de probabilité, o procède aisi : Détermiatio de la foctio Y : La théorie de probabilité propose à cet effet plusieurs résultats permettat d aider à la détermiatio de cette foctio. Ce volet fera l objet du troisième chapitre de ce cours. Géératio de p valeurs simulées de la loi uiforme cotiue sur [0,1] : (x 11, x 21,, x i1,, x p1 ), (x 12, x 22,, x i2,, x p2 ),,(x 1, x 2,, x i,, x p ) Calculer simplemet : y i = Y (x 1i, x 2i,, x ii,, x pi ) pour i = 1 à 3. APPLICATIONS Outre les applicatios géérales sus idiquées, la simulatio de ombres aléatoires trouvet leur applicatio das u grad domaie des mathématiques et des statistiques qui est le calcul itégral approché. Cette applicatio porte le om de la méthode de Mote Carlo E particulier, les caractéristiques d ue loi de probabilité comme etre autres l espérace mathématique et la variace, ou la probabilité attachée à u itervalle doée, se présetet comme des itégrales et peuvet aisi être approchés e Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 6

7 Appellatio et symbole Loi de Beroulli X ~> B ( p) Loi biomiale X ~> B (,p) appliquat la méthode de Mote Carlo sur u certai ombre de valeurs simulées issues de la loi de probabilité cosidérée. E gééral, chaque fois qu o peut tolérer ue certaie marge d erreur, o peut utiliser les techiques de simulatio pour disposer de ombres aléatoires. C est le cas e gééral du calcul de probabilités. Mais ue telle utilisatio serait à priori o permise pour les applicatios de cryptologie par exemple. 4. CONCEPTS ET OUTILS DE BASE Les cocepts et outils utilisés sot ceux du calcul de probabilité. Il s agit otammet des cocepts et outils suivats : Variable et vecteur aléatoire Loi de probabilité Foctio de répartitio Desité de probabilité Momets théoriques d ue variable aléatoire : Espérace mathématique, variace, etc. Formule de chagemet de variables Loi des grads ombres Théorème cetral limite, etc. Ces cocepts et outils doivet être bie compris pour ue meilleure maitrise des méthodes de simulatio. Nous doos ci après à titre de rappel ue présetatio succicte, sous forme de tableaux, des lois usuelles à ue seule dimesio doat leur défiitio, leurs pricipales caractéristiques et quelques ues de leurs propriétés. 4.1 Les lois usuelles discrètes. Expériece aléatoire Expressio Momets Propriétés X = 1 si u idividu choisi au hasard das ue populatio E a u caractéristique c, X= 0 sio X= ombre d idividus ayat ue caractéristique c das u esemble de idividus tirés avec remise das ue populatio E P(X= x) = p x q -x x {0,1} et p = 1-q est la proportio d idividus das E ayat la caractéristique c P(X= x) = C x p x q -x x {0,1,2,,} et p = 1- q est la proportio d idividus das E ayat la caractéristique c E( X) = p V(X) = p q M X (t) = q + pe t E( X) = p V(X) = p q M X (t) =(q + pe t ) X 1 ~> B ( p 1 ), X 2 ~> B ( p 2 ) et E( X 1 X 2 ) =E(X 1 )E(X 2 ) alors X 1 et X 2 sot idépedates X 1, X 2, et X idépedates et suivat chacue B(p) alors : S = X i suit B (,p) X 1 suit B ( 1,p) et X 2 suit B ( 2,p) idép alors, X 1 + X 2 suit B ( 1 + 2,p) Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 7

8 Loi Hyper géométrique X ~>H (,N 1,N) Loi de Poisso X ~> P( ) Loi géométrique X ~> G(p) X= ombre d idividus ayat ue caractéristique c das u esemble de idividus tirés sas remise das ue populatio E ( o ote N l effectif de E et N 1 l effectif das E des idividus ayat la caractéristique c) X= ombre de réalisatios d u certai évèemet au cours d ue période de temps doée. X= ombre de réalisatios idépedates d ue expériece jusqu à l obtetio d u évèemet A doé. P( X C C x x N1 N N1 x) CN x {a, a+1,,b-1,b} où a = max (0, -N 2 ) et b=mi (,N 1 ), N 2 = N- N 1 P(X= x) = e - x / x! x N et 0 P(X= x) = pq x-1 x N* et q=1-p est la probabilité d avoir A E ( X) = p V(X) = pqk Avec p = N 1 /N q= 1 p et k= (N-)/(N-1) E ( X) = V(X) = M X (t) = exp[ (e t -1)] E(X) = 1/p V(X) = q/ p 2 M X (t)=pe t / ( 1-qe t ) Quad N +, et p restat fixes X suit approximativemet B(,p) avec p= N 1 /N X 1 suit P( 1 ) et X 2 suit P( 2 ) idépedates alors, X 1 + X 2 suit P( ) 4.2 Les lois usuelles absolumet cotiues Appellatio et symbole Loi uiforme cotiue sur [a.b] X ~> U ( a,b) Desité de probabilité Foctio de répartitio Momets Propriétés 1 f ( x) x [ a, b] b a 0 si o F(x) = 0 x a. b a x a E( X ) F( x) x [ a, b] 2 b a 2 ( b a) F(x) = 1 x > b. V ( X ) 12 Soit Y X alors Y suit aussi la loi uiforme cotiue. Loi expoetielle X ~> e( ) f(x)= exp (- x) x 0 = 0 sio F(x) = 0 x 0. F(x) = 1-e - x x > 0. M ( t) t t E(X) = 1/ et V(X) = 1/ ². Loi gamma X ~> (a,b) Loi Normale X ~> N(m, 2 ) f 0 b ( a) a a 1 bx ( x) x e x = 0 sio f ( x) exp[ ( x m) ] x R m R et > 0 No défiie aalytiquemet M(t) = F est o défiie aalytiquemet mais existe ue table pour la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée réduite N(0,1) E( X s M X ( t) = e E( X) = m V(X) = 2 a b b t ( s a) ) s b ( a) t < b s > 0 ( tm + t2 2/2 ) Soit X 1 ~> (a 1,b) et X 2 ~> (a 2,b) idépedates Alors(X 1 + X 2 ) ~> (a 1 +a 2,b) Soit X 1 ~> (a,b) et >0 alors X 1 ~> (a,b/ ) e(b) (1,b) Soit X ~> N(m, 2 ) et U = (X-m)/ alors U~> N(0,1) et doc F(x) = (u=(x-m)/ ). Soit Z i 1 ou i X i les i sot des réels et les X i sot ormales alors Z est Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 8

9 ormale. Loi de Khi deux X~> ²( ) 1 2 x ( ) 2 2 ( ) 1 y e 2 2 f(x) = x 0 = 0 ailleurs F est o défiie aalytiquemet mais existe ue table. E(Y) =,V(Y) = 2. M X ( t) = t t 1 2 Soit X= i 1 où U i N(0, 1 ) i et idépedates alors X ²( ) ²( ) (/2,1/2) 2 U i Loi de Studet T~> S ( ). T = Loi de Fisher R~> F U Y / où U~> N(0,1), Y ²() idépedates Y R = Y 1 2 où Y 1 ~> ²( 1 ) et Y 2 ~> ²( 2 ) idépedates. 1 2 F est o défiie aalytiquemet mais existe ue table. F est o défiie aalytiquemet mais existe ue table. E( T ) = 0 V( T ) = 2 5. PLAN DU COURS ET BIBLIOGRAPHIE E plus d u chapitre itroductif, ce cours compred quatre autres chapitres: Chapitre 2 : Simulatio de la loi uiforme stadard Chapitre 3 : Simulatio des autres lois de probabilité à ue seule dimesio Chapitre 4 : Simulatio des lois de probabilités multidimesioelles Chapitre 5 : La méthode de Mote Carlo Comme élémets bibliographiques approfodissat ce cours, sigalos l existece de plusieurs livres traitat les méthodes de simulatio de variables aléatoires. O trouve égalemet sur Iteret u grad ombre de sites présetat des cours et exercices cocerat les dites méthodes. Nous ous cotetos das ce qui de sigaler quelques ues de ces référeces qui ous semblet les plus itéressats. N. Bouleau. Probabilités de l Igéieur, variables aléatoires et simulatio L. Devroye. No-Uiform Radom Variate Geeratio. Spriger, KNUTH D.E.. (1968) "The art of computer programmig", volumes 1 et 2, Addiso- Wiley Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 9

10 Chapitre 2 SIMULATION DE LA LOI UNIFORME CONTINUE STANDARD Ce chapitre a pour objet de préseter certaies des méthodes permettat de géérer des ombres simulat les réalisatios d ue variable aléatoire réelle suivat la loi uiforme cotiue sur l itervalle [0.1]. Ces ombres qu o appelle «ombres pseudo aléatoires» comme expliqué das l itroductio géérale sot à la base des méthodes de simulatio des autres lois de probabilité. Certaies procédures de tests statistiques permettat de juger la performace de ces méthodes sot égalemet présetées. La littérature propose plusieurs procédés de géératio de ombres pseudo aléatoire. Nous ous limitos das ce chapitre aux géérateurs de cogruece qui sot les plus usuels. Après ue itroductio présetat otammet les géérateurs de ombres pseudo aléatoires das leurs gééralités, ous étudios e détail les deux grades familles de géérateurs de cogruece : les géérateurs de cogruece liéaire et les géérateurs de cogruece multiplicative. Nous termios le chapitre par la présetatio de trois familles de tests statistiques pouvat être utilisés pour juger la performace des géérateurs proposés. Nous rappelos e aexe la défiitio de la loi uiforme stadard et ses propriétés. 1. GENERALITES Qu est ce qu u géérateur de ombres pseudo aléatoires? Quelles sot ses qualités souhaitées? Commet le costruire? Ce sot les questios traitées das cette itroductio. 1.1 Défiitio U géérateur de ombres pseudo aléatoires est u procédé mathématique (formule) permettat e l appliquat de disposer d ue suite de ombres qu o peut cosidérer comme des valeurs idépedates d ue variable aléatoire suivat la loi uiforme cotiue sur [0,1]. Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 10

11 Remarques Le géérateur de ombres pseudo aléatoires est aisi cesé remplacer tout procédé matériel passat par la réalisatio d ue certaie expériece aléatoire. Plusieurs termes utilisés sot presque des syoymes. Aisi, o dit idifféremmet, géérateur, simulateur, méthode de simulatio, algorithme de simulatio etc. Toutes les machies à calculer scietifiques et tous les lagages, logiciels et tableurs iformatiques disposet de foctioalités permettat de géérer des ombres pseudo aléatoires. Cocrètemet u géérateur de ombres pseudo aléatoires est u programme iformatique qui permet e l appelat de doer u ou plusieurs ombres ressemblat à des réalisatios idépedates d ue variable aléatoire suivat la loi uiforme cotiue sur [0,1]. E gééral, ce programme est pas directemet accessible à l utilisateur Critères de qualité Ce qu o demade d u géérateur de ombres pseudo aléatoires est évidemmet sa qualité à imiter le hasard e fourissat des ombres idépedats et uiformes mais aussi des qualités d ordre : Mathématique : la formule se prête à ue aalyse mathématique permettat otammet de voir les avatages et les isuffisaces du géérateur e questio Iformatique : la formule doe lieu à des calculs simples et rapides. E effet, o cherche des géérateurs algorithmiques pour exploiter les grades capacités de calcul aisi que la rapidité de mise e œuvre fouris par les ordiateurs Pricipe gééral de costructio Comme il a été dit, la formule de géératio ombres pseudo aléatoires se présete e fait comme u programme iformatique. Pour obteir u ombre pseudo aléatoire, il coviet aisi de tourer ce programme. Comme il s agit d ue formule, cela écessite qu o fourisse au programme ue doée iitiale. Il est pas cepedat commode de tourer le programme et lui fourir doc la doée iitiale à chaque fois qu o a besoi d u ombre pseudo aléatoire. E effet, das les applicatios, o a besoi d u ombre importat de valeurs aléatoires. La solutio gééralemet adoptée est de cocevoir le programme de telle sorte à cosidérer chaque ombre pseudo aléatoire sorti comme valeur iitiale du prochai ombre aléatoire à sortir. Il suffit aisi de disposer que d ue seule valeur iitiale et de préciser au programme le ombre de valeurs pseudo aléatoires demadées. Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 11

12 D ue maière plus précise, soit S u esemble fii d etiers aturels appelé espace d états et s 0 u élémet de S appelé état iitial ou germe. O appelle foctio de trasitio toute foctio f de S das S : s = f(s -1 ). Comme so om l idique la foctio f permet de passer d u élémet à u autre au sei de l esemble S. E se doat s 0 et e appliquat cette foctio u certai ombre N de fois, o obtiet aisi ue suite {s } de N+1 élémets de S : s 0, s 1, s 2,, s,,s N. Soit maiteat U u autre esemble appelé esemble de sorties. O appelle foctio de sortie ue foctio g de S das U : u = g(s ). La foctio g permet aisi de costruire ue deuxième suite {u } a partir de {s } : u 0, u 1, u 2,, u,,u N. Das la pratique, S est u esemble fii d etiers et U ue partie de [0.1]. 2. LES GENERATEURS DE CONGRUENCE Les géérateurs de cogruece sot les géérateurs les plus usuels compte teu de la facilité de leur mise e œuvre. Ils sot itroduits par Lehmer e Comme leur om l idique, ces géérateurs sot basés sur la relatio de cogruece. Das les applicatios, o distigue pricipalemet etre deux types de géérateurs de cogruece : Les géérateurs de cogruece liéaires Les géérateurs de cogruece multiplicatifs 2.1 Géérateurs de cogruece liéaire a. Défiitio U géérateur de cogruece liéaire (GCL) est défii par la foctio de trasitio suivate : s = (as -1 +c)( mod m) où a, c et m sot des etiers positifs appelés respectivemet multiplicateur, icrémet et module. Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 12

13 Remarques s est e fait le reste de la divisio etière de (as -1 +c) sur m les termes de la suite qu o obtiet e tourat le géérateur sot des ombres compris etre 0 et m-1. L espace d états est aisi défii par S= {0, 1, 2,,,m-1} Pour démarrer le géérateur, o se doe s 0 choisi au hasard etre 0 et m-1. Pour avoir des ombres compris etre 0 et 1, o divise les s i par m par exemple. Exemples Exemple 1 : Soit s =(10s )(mod 12). O ote que S = {0, 1, 2,,,11}. Si o fixe s 0 = 5. o trouve : s 1 = 7, s 2 = 3, s 3 = 11, s 4 = 7, s 5 = 3, s 6 = 11, s 7 = 7 Exemple 2 : Soit s = (5s ) (mod 8). O choisit s 0 = 0. E appliquat, o trouve : s 1 = 1, s 2 = 6, s 3 = 7, s 4 = 4, s 5 = 5, s 6 = 2, s 7 = 3, s 8 = 0, s 9 = 1, b. Propriétés Le ombre de valeurs possibles pouvat être fouries par u géérateur de cogruece liéaire est au plus égal à m. D autre part, si u ombre apparait ue deuxième fois, tous les ombres qui le suivet apparaisset aussi ue deuxième fois et selo le même ordre. Aisi, u géérateur de cogruece liéaire est écessairemet périodique. Sa période maximale vaut m. Remarques : la période maximale est pas toujours atteite (voir exemple 1 ci-dessus) Das tous les cas, la qualité de l idépedace est pas respectée. E effet, e otat la période o a aisi s +k = s et k N, ce qui est cotraire au caractère aléatoire souhaité. c. Optimisatio Les géérateurs de cogruece liéaire ot des boes propriétés mathématiques et iformatiques. E effet, la foctio «modulo» est très facile à maipuler. Ils présetet cepedat u grave icovéiet du fait qu ils sot périodiques. c. Aussi, a t- o chercher à les améliorer par u bo choix des paramètres m, a et Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 13

14 Choix de s 0 : ce paramètre est choisi au hasard (selo des procédés électroiques) parmi les élémets de S. Choix de m : Das ce type de modèle, le ombre de termes possibles du géérateur vaut m. O e déduit que la période maximale vaut m. Il coviet e coséquece de choisir m le plus élevé possible afi que le géérateur e se répète pas. E gééral, o le choisit de la forme 2 k ou k est le ombre maximum de bits permis par la capacité de l ordiateur. D autre part ce choix permet de gager du temps de calcul car il permet d éviter la divisio. Exemple : Soit u processeur à 8 bits (2 3 ). Cherchos le reste de la divisio de 135 sur 2 3. Le ombre 135 s écrit e biaire, la umérotatio de base de l ordiateur, E effet, o vérifie que : 135 = Le reste de la divisio par 2 3 est direct. Il est doé par le coteu des trois deriers bits soit 7. Choix de a et c : Choisir m, la période maximale, la plus élevée possible e suffit pas car cette période maximale peut e pas être atteite (voir exemple 1 ci-dessus). Néamois, il est possible d atteidre cette période maximale grâce à u choix adéquat des paramètres a et c. O a à cet effet, la propositio suivate : Propositio : le paramètre m état doé, pour atteidre la période maximale soit m, il faut et il suffit que : 1. c et m soiet premiers etre eux (leur pgcd = 1). 2. Pour chaque ombre premier p divisat m, (a-1) soit multiple de p 3. Si m est multiple de 4, (a-1) soit multiple de 4. Exemple : soit le géérateur de cogruece liéaire : s = (as -1 +c)( mod 16) Trouvos a et c pour que ce GCL atteige sa période maximale soit 16. Pour vérifier la coditio 1, o peut predre c = 3. E effet 3 et 16 sot premiers etre eux. NB : o aurait pu predre c = 5 ou c = 7 mais pas 2 i 4. Le seul ombre premier divisat m = 16 est 2. Le ombre (a-1) doit être doc multiple de 2. D autre part, m =16 état multiple de 4, (a-1) doit être aussi multiple de 4. O peut par coséquet predre a = 5 ce qui permet de vérifier les deux coditios e même temps. E supposat s o à 0, ce géérateur doe : : s 1 = 3, s 2 = 2, s 3 = 13, s 4 = 4, s 5 = 7, s 6 = 6, s 7 = 7, s 8 = 8, s 9 = 11, s 10 = 10, s 11 = 5, s 12 = 12, s 13 = 15, s 14 = 14, s 15 = 9, s 16 = 0,etc. Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 14

15 Remarque : Avoir u géérateur de période maximale e suffit pas d avoir u «bo» géérateur. Exemple : Preos a = 1, c =1, m =1024 et s 0 = 0. Ce géérateur doe s 1 = 1, x 2 = 2, s 3 = 3,, s 1023 = 1023, s 1024 = 0 Les ombres doés par ce géérateur ot pas maifestemet le caractère aléatoire. 2.2 Géérateurs de cogruece multiplicative a. Défiitio U géérateur de cogruece multiplicative est défii par la foctio de trasitio suivate : s = (as -1 )( mod m) où a et m sot des etiers positifs appelés respectivemet multiplicateur et module. Remarques les termes de la suite qu o obtiet e tourat le géérateur sot des ombres compris etre 0 et m-1. Il est à oter cepedat que si le géérateur doe 0, il cotiue toujours à doer 0. Par coséquet, il coviet d élimier le ombre 0 des résultats possibles d u géérateur de cogruece multiplicative. L espace d états est aisi défii par S= {1, 2,,m-1} Comme le géérateur de cogruece liéaire, le géérateur de cogruece multiplicative est périodique. Sa période maximale vaut m-1 (ombre d élémets de S). Ce type de géérateur est plus avatageux que le géérateur de cogruece liéaire sur le pla de calcul iformatique. Exemples Exemple 1 : Soit s =(10s -1 )(mod 11). O ote que S = { 1, 2,,,10}. Si o fixe s 0 = 1. o trouve : s 1 = 10, s 2 = 1, s 3 = 10, s 4 = 1, s 5 = 10, s 6 = 1, s 7 = 10 Exemple 2 : Soit s = (5s -1 ) (mod 8). Choisissos s 0 = 3. E appliquat, o trouve : s 1 = 7, s 2 = 3, s 3 = 7, Remarque : la période maximale est pas toujours atteite (voir exemple 1 ci-dessus) Das tous les cas, la qualité de l idépedace est pas respectée. E effet, e otat la période o a aisi s +k = s et k N. Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 15

16 c. Optimisatio Comme les géérateurs de cogruece liéaires, les géérateurs de cogruece multiplicative ot des boes propriétés mathématiques et iformatiques. Ils présetet cepedat u grave icovéiet du fait qu ils sot périodiques. Aussi, a t- o chercher à les améliorer par u bo choix des paramètres m et a. Propositio 1 : Pour avoir la période maximale soit (m-1), il faut choisir m ombre premier et predre a racie primitive de m, soit : a mod m 1 =1,2,, (m-2). Exemples : s = 2s -1 mod 11 O ote que 11 est bie u ombre premier. D autre part o peut vérifier que les restes des divisios de 2, 4, 8, sur 11 sot différets de 1. s = 7 5 s -1 mod( ). O a vérifié que ( ) est premier et 7 5 est racie primitive de ( ). Remarque : m état premier e peut pas être de la forme 2 k.. Si o tiet à cette forme pour des raisos de facilités de calcul iformatiques, il coviet de choisir a et x 0 selo la propositio suivate : Propositio 2 : Soit m = 2 k ( k 3). La période maximale sous cette cotraite vaut 2 k- 2 (doc iférieure à m-1 qui est la période maximale sas cotraite). Pour atteidre cette période maximale, il faut predre x 0 impair et a = ± 3 mod 8 (a = 8t ± 3) Exemple : s = 5s -1 mod 32. O ote que 32 = 2 5. Doc la période maximale vaut = 8. Pour l atteidre, o pred par exemple x 0 = 1 qui est impair et a = 5 qui vérifie 8x1-3. O aboutit e effet, à la suite suivate : 1,5,25,29,17,28,9,13,1, 5, 2.3 Exemples réels de géérateurs de cogruece Les géérateurs de cogruece ot été très utilisés e pratique par les logiciels et les lagages de programmatio otammet au commecemet de l ère iformatique. Citos à titre d exemples : Rad( ) du lagage C ANSI avec m = 2 31, a= et c= Radu d IBM des aées 60 avec m = 2 31, a= et c = 0. Géérateur de Kuth et Lewis : s = s -1 mod( 2 32 ) la foctio drad48() ( e C ANSI) qui utilise les paramètres : m = 248, a = , c = 11, le géérateur du logiciel MAPLE avec m = 1012, a = , c = 0 Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 16

17 Remarques : Les géérateurs de cogruece liéaires ot cou des développemets importats ces derières aées otammet au iveau de la période maximale qui atteit das certais cas des dimesios spectaculaires. U grad ombre d autres types de géérateurs est proposé das la littérature. Chaque ouvelle propositio viet corriger les problèmes d acies géérateurs A oter aussi que beaucoup de géérateurs cosidérés comme bos autrefois e le sot plus maiteat O peut créer so propre géérateur, mais il est bie plus prudet d utiliser u géérateur établi ayat été testé complètemet (voir la suite du cours) que d e iveter u ouveau. 3. LES TESTS STATISTIQUES Posséder ue très grade période et l atteidre est, pour u géérateur de ombres pseudo aléatoires, ue coditio écessaire à remplir mais pas suffisate. E effet, u géérateur peut satisfaire cette coditio sas pour autat fourir des ombres présetat u caractère aléatoire. La questio qui se pose maiteat est commet savoir qu ue suite de ombres fouris par u géérateur ot ou o u caractère aléatoire. D ue maière plus précise, il s agit de «vérifier» si les ombres doés par le géérateur e questio peuvet être cosidérés comme des réalisatios idépedates d ue variable aléatoire réelle suivat la loi uiforme cotiue sur l itervalle [0,1]. S agissat du domaie de l aléatoire, la vérificatio e peut être réalisée que par le biais de tests d hypothèses. Les hypothèses à tester ici coceret deux aspects e même temps : l uiformité et l idépedace. Plusieurs tests sot développés das la littérature. Ils ot pas la même puissace et e coceret souvet qu u seul aspect du problème : l uiformité ou l idépedace. Aussi, coviet il e gééral utiliser plusieurs tests pour accepter u géérateur comme «u bo» géérateur et l utiliser par la suite pour produire des ombres aléatoires. Das ce qui suit, ous présetos e détail deux exemples de test. Il s agit du test d adéquatio de Khi deux et d u test d idépedace appelé «Ru Test». Pour des raisos pédagogiques, ous cosidéros aussi et e premier lieu le test de la moyee. Au préalable, ous rappelos les pricipes gééraux de costructio d u test statistique. Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 17

18 3.1 Pricipes gééraux Etat doé u problème de test, c'est-à-dire ue hypothèse ulle H 0 et ue hypothèse alterative H a, il s agit au vu d ue suite de réalisatios x 1, x 2,, x i,, x idépedates d ue variable aléatoire réelle X de predre ue décisio : Accepter ou de refuser H 0 au risque α de se tromper (α état doé). U test se présete aisi comme ue règle de décisio das u cotexte d icertitude. Formellemet, u test est défii par toute applicatio de l esemble des échatillos possibles das l esemble de décisios (Ce derier est costitué par deux élémets «Accepter H 0» et «Refuser H 0»), ou d ue maière équivalete par la partie de l esemble des échatillos possibles coduisat à refuser H 0. Cette partie qu o ote W est appelée la régio critique du test (ou sa régio de rejet). A chaque test est associé deux types de risque : le risque de première espèce oté courammet et défii par la probabilité de refuser H 0 alors qu elle est vraie et le risque de secode espèce correspodat à la probabilité d accepter H 0 alors qu elle est fausse. Il existe pas de test optimal, celui miimisat à la fois les deux types de risque. A la place, o a développé des optiques géérales permettat d opérer des choix partiels das l esemble des tests dispoibles. Etre autres de ces optiques, citos otammet celle de Neyma, de Bayes, etc. E pratique, pour costruire u test, o passe e gééral par les étapes suivates : Trouver ue statistique S fodat le test, c'est-à-dire ue foctio de l échatillo : S = φ(x 1, x 2,, x i,, x ), dot o coait la loi de probabilité (ou du mois la loi asymptotique) sous H 0. Cocrètemet, S est u idicateur tiré de l échatillo et dot les valeurs reseiget sur la plausibilité de H 0. Se doer u iveau de risque de première espèce =P(refuser H 0 / H 0 est vraie) = P(W/ H 0 est vraie) Détermier la forme de la régio critique W comme ue partie «sigificative» de l esemble des valeurs prises par la statistique S Détermier les frotières de W état doé la forme reteue et le iveau de risque fixé. 3.2 Test de la moyee Soit x 1, x 2,, x i,, x ombres doés par u géérateur. Il s agit de tester l hypothèse (H 0 ) selo la quelle ces ombres peuvet être cosidérés comme des réalisatios idépedates d ue variable aléatoire réelle suivat la loi uiforme cotiue sur [0,1]. Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 18

19 Ituitivemet, si le géérateur utilisé est u «bo» géérateur, la moyee arithmétique des ombres qu il doe doit se situer à proximité de la valeur 0.5 qui est l espérace mathématique de la loi uiforme cotiue sur [0,1]. E coséquece, ue moyee très différete de 0.5 doit ous coduire à douter de la qualité de ce géérateur. Plus formellemet, désigos par X 1, X 2,, X i,, X les variables aléatoires dot sot issues les réalisatios x 1, x 2,, x i,, x. Lorsque H 0 est vraie, ces variables sot idetiquemet et idépedammet distribuées. Leur loi commue est la loi uiforme cotiue sur [0,1] et doc : E(X i ) = 1 2 V(X i ) = 1 12 i = 1 à et Cosidéros maiteat la statistique X = calcule aisémet : E(X ) = 1 2 et i = 1 à i=1 X i (moyee empirique). O V(X ) = 1 12 O sait alors d après le théorème cetral limite que la suite {Z } défiie par : Z = (X 1 2 ) 12 coverge e loi vers la loi ormale cetrée réduite. Dés lors, o peut cosidérer Z comme la statistique fodat otre test puisque sa loi de probabilité sous H 0 est coue (asymptotiquemet). Comme la loi ormale est symétrique, il s esuit la régio critique suivate : W={ (x 1,x 2,,x i,,x )/z < z /2 ou z > z 1- /2 }, (Les ombres z /2 et z 1- /2 sot respectivemet les quatiles d ordre ( /2) et (1- /2) de la loi ormale cetrée réduite). Exemple : O a utilisé le géérateur de ombres aléatoires icorporé das le tableur Excel pour géérer les 48 ombres suivats : 0,382 0,101 0,596 0,899 0,885 0,958 0,014 0,407 0,863 0,139 0,245 0,045 0,032 0,164 0,220 0,017 0,285 0,343 0,554 0,357 0,372 0,356 0,910 0,466 0,426 0,304 0,976 0,807 0,991 0,256 0,952 0,053 0,705 0,817 0,973 0,466 0,300 0,750 0,351 0,776 0,074 0,1098 0,064 0,358 0,487 0,511 0,373 0,986 Doit - o refuser ce géérateur au risque de 5% de se tromper? Etat doé le iveau de risque fixé, la zoe de rejet se défiit aisi : W={ (x 1,x 2,,x i,,x 48 )/z 48 < z 2.5% =-1.96 ou z 48 > z 97.5% =1.96}, Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 19

20 Avec les doées fouries, la statistique Z 48 pred la valeur z 48 = Cette valeur appartiet pas à la zoe de rejet W. E coséquece, au risque de 5% de se tromper o e peut pas cosidérer le géérateur d Excel comme u «mauvais» géérateur de ombres aléatoires. Remarque importate : Le test de la moyee est maifestemet isuffisat pour tester u géérateur. Comme so om l idique, il s agit simplemet d u test de l égalité de la moyee à la valeur ½. Or il ya pas que la loi uiforme cotiue sur [0.1] qui a ue moyee égale à ½. E coséquece, ce test peut accepter des doées proveat d autres lois de probabilité ayat ue moyee égale à ½. Le caractère uiforme est doc pas testé. A oter cepedat, que ce test suffit pour refuser u géérateur. E effet, ue moyee différete de ½ est icompatible avec la loi uiforme cotiue sur [0,1]. 3.2 Test d adéquatio de khi-deux Avec le test de la moyee, il s agissait de comparer la moyee empirique avec la moyee théorique. O a fait remarquer qu ue telle procédure est isuffisate pour juger la qualité d u géérateur. L idée ituitive derrière le test d adéquatio de khideux est de comparer toute la distributio empirique, (et o pas seulemet sa moyee) avec so équivalet théorique sous l hypothèse ulle. E effet, lorsque le géérateur utilisé est «mauvais», ces deux distributios doivet se distiguer assez sigificativemet. D ue maière formelle, soit x 1, x 2,, x i,, x ombres doés par u géérateur. Notos 1, 2,..., j,, k les effectifs correspodat à ue répartitio e k classes d amplitude égale de ces ombres. Ces effectifs sot des variables aléatoires. O les appelle les effectifs empiriques. O défiit égalemet des effectifs théoriques qu o ote * 1, * * 2,..., j,, * k, ceux qui prévalet lorsque H 0 est vraie. Par défiitio, l o a aisi : j = j = 1 à k k A ce iveau, o démotre que la statistique D défiie par : D = ( j j ) C est cette statistique qui fod le test d adéquatio de Khi deux. Ituitivemet, cette statistique devrait predre des valeurs assez proche de zéro lorsque H 0 est vraie, c'est-à-dire lorsque le géérateur utilisé est de boe qualité. E effet, sous cette hypothèse, il e devrait pas y avoir de différeces sigificatives etre les effectifs empiriques et leurs équivalets théoriques. Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 20 k j=1 coverge e loi sous H 0 vers la loi de Khi deux à (k-1) degrés de liberté. j 2

21 La régio critique s e déduit directemet état doé u iveau de risque de première espèce : W={ (x 1,x 2,,x i,,x )/d > d 1- (k-1) }, où la quatité d 1- (k-1) représete la quatile d ordre (1- ) de la loi de Khi deux à (k-1) degrés de liberté. Pour appliquer e pratique u test d adéquatio de Khi deux sur u jeu de doées issues d u géérateur (x 1,x 2,,x i,,x ), o passe par les étapes suivates : Costruire la distributio empirique e se doat d abord le ombre k de ses classes (o choisit k etre 8 et 12 e pratique et des classes de même amplitude) et e comptat pour chacue de ces classes les ombres d observatios y apparteat. Ces ombres défiisset les effectifs empiriques otés j. O calcule pour chaque classe j la distace de Khi deux correspodate défiie par d j = ( j - j * )²/ j * et leur somme d. O compare cette somme avec la quatité d 1- (k-1) représetat la quatile d ordre (1- ) de la loi de Khi deux à (k-1) degrés de liberté pour juger la qualité du géérateur. Exemple : Cosidéros les mêmes doées issues du géérateur du tableur Excel cidessus présetées. Au risque de 5% de se tromper refuse t- o ce géérateur e utilisat le test d adéquatio de Khi deux? E fixat le ombre de classes à 8, l o obtiet la distributio suivate : Classes Effectif réels Distace 0, 000-0, ,125-0, ,250-0, ,17 0,375-0,5 6 0,00 0,500-0, ,67 0,625-0,75 8 0,67 0,750-0, ,17 0,875-1, ,00 Total 48 1,67 La derière coloe du tableau doe la distace de Khi deux de chaque classe et leur somme d 48 =1.67. Cette somme est iférieure au quatile d ordre 95% de la de khi deux à 7 degrés de liberté qui vaut 14. E coséquece, o e peut pas refuser ce géérateur au risque de 5% de se tromper. Remarque Cosidéros le géérateur de cogruece liéaire défii par : s =(s -1 +1) mod E fixat s 0 à 0, ce géérateur doe : 0,1,2, 3, 4,,1023. Maifestemet il s agit Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 21

22 d u très mauvais géérateur. Cepedat, e divisat ces ombres par leur maximum, o obtiet ue suite de ombres bie uiformémet répartis etre 0 et 1. La statistique D 1024 pred la valeur 0. O accepte aisi avec le test d adéquatio de khi deux ce géérateur comme état u «bo» géérateur de ombres aléatoires. Ce cotre exemple motre aisi que le test d adéquatio de Khi deux est isuffisat pour juger la qualité d u géérateur. Il e teste e fait qu u seul aspect de la qualité d u géérateur à savoir l uiformité. L idépedace, l autre aspect de la qualité d u géérateur, est pas prise e cosidératio. 3.4 Test d idépedace Le paragraphe précédet a été achevé e faisat remarquer la écessité de compléter le test d adéquatio de khi deux par u test d idépedace. Il existe das la littérature statistique plusieurs types de test d idépedace. Nous présetos das ce qui suit u test cou sous l appellatio «Ru test» ou test des séqueces croissates et décroissates. Soit ue suite de valeurs doées par u géérateur de ombres pseudo aléatoires : x 1, x 2,.., x i,, x. O symbolise par + ue différece positive etre deux x i successifs et par - ue différece positive etre deux x i successifs. O appelle séquece croissate (respectivemet décroissate) ue successio de symboles «+» (respectivemet «-«) Ituitivemet u «bo» géérateur e doit pas doer ue seule séquece croissate de valeurs, i ue seule séquece décroissate de valeurs, i o plus ue séquece alterée de valeurs car cela permettrait de prévoir les valeurs successives ce qui est cotraire au caractère aléatoire demadé. Les valeurs fouries par u «bo» géérateur devraiet costituer des séqueces croissates et décroissates e ombre «suffisat». Plus formellemet soit R le ombre de séqueces croissates et décroissates qu o relève das la suite des valeurs doées par u géérateur. Ce ombre est à priori ue variable aléatoire. O démotre que sous H 0 elle suit asymptotiquemet ue loi ormale de moyee m et de variace 2 défiis par : m = (2-1)/3 et 2 = (3-5)/18 E coséquece, la statistique Z = (R-m)/ suivat asymptotiquemet N(0,1) peut foder u test d idépedace des valeurs successives fouries par u géérateur. Plus précisémet, pour u iveau de risque doé, o refuse H 0 chaque fois que la valeur observée z dépasse t 1- /2 ou est iférieur à t /2 (t 1- /2 et t /2 état les quatiles de rag (1- /2) et /2 de la loi ormale cetrée réduite) Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 22

23 Exemple : U géérateur doe les valeurs suivates : 0.604, 0.091, 0.297, 0.059, 0.776, 0.120, 0.48, 0.005, 0.075, 0.306, 0.392, 0.608, 0.382, 0.783, 0.717, 0.355, 0.815, 0.829, 0.493,0.061, 0.743, 0.358, 0.275, 0.149, Peut o, au risque de 5% de se tromper, refuser l hypothèse ulle d idépedace (et doc coclure que ce géérateur est mauvais)? Trouvos r la réalisatio de R. Pour cela, symbolisos par «+» et par «-«les différetes séqueces croissates et décroissates : O ote la présece de 7 séqueces décroissates et 7 séqueces croissates. La valeur r vaut doc 14. Comme vaut 25, m est égal à 49/3 soit et 2 = (75-5)/18 (=3.88). O e déduit la valeur z = qui est bie comprise etre les seuils et 1.96 correspodat aux quatiles de rag 2.5% et 97.5% de la loi ormale cetrée réduite. Les doées observées e permettet pas de refuser ce géérateur. Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 23

24 Aexe La loi uiforme cotiue stadard O dit qu ue variable aléatoire réelle absolumet cotiue suit la loi uiforme cotiue stadard ( X U (0,1) ) si sa desité de probabilité f est défiie par : f(x) = 1 [0,1] O e déduit que F la foctio de répartitio de X est doée par F(x) = 0 si x 0 = x si x [0,1] = 1 si x 1 Ue propriété caractéristique de la loi uiforme cotiue sur [0,1] est que la probabilité d u itervalle vaut sa logueur et ce idépedammet de la positio qu il occupe sur le support [0,1]: P([a,b])= (b-a) [a,b] [0,1]. O e déduit que tous les sous itervalles de [0,1] ayat la même logueur ot la même probabilité. Par exemple P([0.1,0.2]) = P([0.2,0.3]) = P([0.3,0.4]) = P([0.8,0.9]) = P([0.9,1]) = 0.1, traduisat aisi l uiformité de la distributio sur l itervalle [0,1]. Géératio physique de la loi uiforme stadard : Soit l expériece aléatoire cosistat à choisir au hasard u poit du segmet [0,1]. Notos l esemble des résultats possibles de cette expériece. Soit maiteat la variable X de das défiie par X( ) =. O peut motrer que X suit la loi uiforme cotiue sur [0,1]. E coséquece, pour géérer des valeurs d ue variable aléatoire suivat la loi uiforme cotiue, o peut procéder à la réalisatio de cette expériece aléatoire. Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 24

25 Chapitre 3 SIMULATION DE LOIS NON UNIFORMES A UNE SEULE DIMENSION Le chapitre précédet a proposé des formules spécifiques permettat de simuler des réalisatios d ue variable aléatoire suivat la loi uiforme stadard. Il e est autremet e ce qui cocere les autres lois de probabilité. E effet, pour simuler ue loi de probabilité o uiforme, o passe d abord par la simulatio de la loi uiforme stadard. Esuite, o trasforme les valeurs obteues, selo des techiques appropriées, pour obteir les valeurs demadées. Ce sot ces techiques de trasformatio des valeurs issues de la loi uiforme stadard qui défiisset les méthodes de simulatio de lois o uiformes. De telles méthodes existet e grad ombre das la littérature statistique. Elles se distiguet otammet sur le pla iformatique e doat plus ou mois rapidemet la quatité de valeurs simulées demadée. Das ce qui suit, o se limite à certaies d etre elles qui sot les plus utilisées. 1. GENERALITES La simulatio de valeurs d ue variable aléatoire réelle suivat ue loi de probabilité autre que la loi uiforme stadard repose sur ue propriété mathématique coue. Nous rappelos das ce qui suit cette propriété et ous motros commet elle est utilisée pour simuler des lois de probabilité o uiformes. 1.1 Rappel d ue propriété mathématique Toute variable aléatoire X à valeurs das R p peut être simulée sous la forme : X = f(u) où U = (U 1, U 2,., U q ) est uiformémet répartie sur [0; 1] q La foctio f de R q das R p est boréliee et a ses poits de discotiuité das u esemble Lebesgue-égligeable. Remarques : Il s agit d ue égalité e loi La foctio a ue expressio explicite et est pas écessairemet uique. Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 25

26 Nous e doos pas ue démostratio à cette propriété géérale. Nous ous cotetos de la vérifier das certais cas particuliers qui apparaitrot das la suite de ce chapitre. 1.2 Démarche de géératio Soit X ue variable aléatoire réelle. O souhaite disposer de valeurs simulées x 1, x 2,., x de X. Lorsque X suit la loi uiforme cotiue sur [0,1], o sait que les géérateurs de ombres pseudo aléatoires étudiés das le chapitre précédets permettet de fourir des ombres compris etre 0 et 1 qu o peut assimiler à des valeurs simulées de X. Das le cas où X est ue variable aléatoire réelle suivat ue loi de probabilité d u autre type, o peut adopter la démarche géérale suivate qui est basée sur la propriété mathématique ci-dessus présetée. Géérer e utilisat u «bo» géérateur de ombres pseudo aléatoires, ue suite idépedate de valeurs d ue variable aléatoire réelle U suivat la loi uiforme cotiue sur [0,1] : u 1, u 2,.,. Trouver ue trasformatio f permettat de passer de U à X et cosommat le mois possible du temps de calcul. Appliquer cette trasformatio pour trouver les valeurs x 1, x 2,.,. comme foctio des valeurs u 1, u 2,.,. L objet de ce cours est de préseter quelques ues de ces trasformatios qui sot les plus usuelles e ce qui cocere les lois uidimesioelles. Remarques : Il est possible qu il existe plusieurs trasformatios permettat de passer de U à X. O choisira évidemmet celle cosommat le mois de temps de calcul. Des procédés permettat de simuler directemet ue loi o uiforme sas passer par la loi uiforme existet das certais cas particuliers. Etat relativemet récets, ces procédés e sot pas étudiés das ce cours. 2. LA METHODE D INVERSION Appelée égalemet la méthode de la foctio réciproque, cette méthode est la plus directe des méthodes de trasformatio. Pour des raisos pédagogiques, ous distiguos le cas des variables absolumet cotiues du cas des variables aléatoires discrètes. Au préalable ous rappelos la défiitio et les propriétés de la foctio de répartitio d ue variable aléatoire réelle Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 26

27 2.1 Foctio de répartitio La foctio de répartitio d ue variable aléatoire X est la foctio F de R das R défiie par F(x) = P(X x) La foctio de répartitio d ue variable aléatoire réelle présete les propriétés suivates : F(R) =[0,1] F est croissate au ses large. F est partout cotiue à droite (pouvat préseter des discotiuités à gauche) F(+ ) =1 et F(- )=0 E outre, si X est ue variable cotiue (X( ) est ifii o déombrable), alors F est partout cotiue aussi bie à droite qu à gauche. Si e plus F est dérivable, o dit que X est absolumet cotiue. Das ce derier cas, la loi de X est égalemet caractérisée par sa desité de probabilité f défiie par f(x) =F (x) Cas des variables cotiues. O sait que das ce cas la foctio de répartitio F est strictemet croissate et partout cotiue. L applicatio réciproque existe doc et est égalemet strictemet croissate et partout cotiue. Propositio : Soit X ue variable aléatoire absolumet cotiue et F sa foctio de répartitio. Alors U = F(X) suit la loi uiforme cotiue sur [0,1]. soit, d où E effet, otos G la foctio de répartitio de U. Par défiitio, G(u) = P(Y u) = P(F(X) u) G(u) = P( X F -1 (u)) G(u) = F(F -1 (u)) = u ce qui correspod à la foctio de répartitio d ue variable aléatoire réelle suivat la loi uiforme cotiue sur [0,1]. Ce qui précède motre que X = F -1 (U) et autorise à utiliser l algorithme suivat pour simuler des valeurs de X: Détermier l expressio de F -1 à partir de F (programmer F -1 ) Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 27

28 Géérer, e utilisat u bo géérateur de ombres pseudo aléatoires, valeurs u 1, u 2,., u. Détermier les valeurs simulées de X e utilisat l expressio x i = F -1 (u i ). Exemple : Soit X suivat la loi expoetielle e( ). O sait alors que F pred la forme suivate : F(x) = 1- exp(- x) x > 0 O e déduit l expressio de F -1 X = F 1 (u) = ( l(1 U) ). θ Aisi si u 1, u 2,, u i,, u est ue suite de ombres pseudo aléatoires, o e déduit ue suite de valeurs simulées de X comme suit : x 1 = ( l(1 u 1) θ Remarques : ), x 2 = ( l(1 u 2) ).. x θ i = ( l(1 u i) ). x θ = ( l(1 u ) ). θ O peut facilemet démotrer que si U suit la loi uiforme cotiue sur [0,1], la variable V = 1-U suit aussi la loi uiforme cotiue sur [0,1]. O peut par coséquet calculer aussi x i selo l expressio : x i = ( l(u i) θ ) ce qui est plus itéressate sur le pla calcul iformatique. E pratique, o commece par détermier aalytiquemet l expressio de F -1. Esuite, o crée u programme iformatique faisat appel au géérateur de ombres pseudo aléatoire dispoible et calculat esuite les valeurs simulées x i selo l expressio de F -1 avec les valeurs u i doées par le géérateur. Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 28

29 Illustratio graphique 2.2. Cas de variables discrètes. Lorsque X est discrète, sa foctio de répartitio F est pas partout cotiue et doc so iverse F -1 existe pas. Mais o peut défiir sa pseudo iverse F * par : F * (u) = if {x E / F(x) u} u [0,1] où E est l esemble des valeurs possibles prises par X Illustratio soit X ue variable discrète suivat la loi biomiale B(3,0.5). O e déduit directemet la foctio de répartitio de X : F(x) = 0 x < 0 F(x) = 1/8 x [0,1[ F(x) = 1/2 x [1,2[ F(x) = 7/8 x [2,3[ F(x) = 1 x 3 Détermios par exemple F * (0.35). Par défiitio o a : F * (0.35) = if { t E / F(t) 0.35} = if { 1,2,3} = 1 Remarque : F* = F -1 si F est bijective (cas de variable absolumet cotiue) Propositios Si F*(u) a alors u F(a) Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 29

30 E effet, puisque F est croissate (au ses large), o a F (F*(u)) F(a). D autre part, o sait que F (F*(u)) = F (if{t E / F(t) u}) u et doc u F(a). Soit U suivat la loi uiforme cotiue sur [0,1] et F* la pseudo iverse d ue foctio F croissate et cotiue à droite alors la variable X = F*(U) a pour foctio de répartitio la foctio F. E effet, trouvos la foctio de répartitio de X : P(X x) = P (F*(U) x) Soit compte teu de la première propositio : P(X x) = P (U F(x)) = F(x) O déduit de ce qui précède l algorithme suivat pour simuler des valeurs de X: Détermier l expressio de F * à partir de F (programmer F * ) Géérer, e utilisat u bo géérateur de ombres pseudo aléatoires, valeurs u 1, u 2,., u. Détermier les valeurs simulées de X e utilisat l expressio x i = F * (u i ) Exemple : Simulatio de X suivat la loi biomiale B(3,0.5) Détermios d abord F* la pseudo iverse de F. L o a par défiitio : F*(u) = 0 u 1/8 F*(u) =1 u ]1/8, ½] F*(u) =2 u ]1/2, 7/8] F*(u) =3 u ]7/8, 1] Aisi, si o a u 1 = 0.21 ; u 2 = ; u 3 = 0.95, o pred x 1 = 1, x 2 = 0 et x 3 = 3. c. Limites de la méthode La pricipale isuffisace de la méthode est qu elle écessite la coaissace de l expressio explicite de la foctio de répartitio. Or plusieurs lois de probabilité dot otammet la loi ormale ot pas cette propriété. E outre, la méthode est e comparaiso avec d autres, assez ecombrate e place mémoire otammet das le cas discret. Hasse Mathlouthi ESSAIT Uiversité de Carthage 30