Ax = b. 2x + 6y = 8 2x y = Ó Ø y = ³Ó y = 1 Ø x = 1º
|
|
|
- Claude Métivier
- il y a 5 ans
- Total affichages :
Transcription
1 ÓÙÖ ÒÓ Ä ½ Ñ Ö ¾¼½¾ Å Ø Ñ Ø ÕÙ ÔÔÐ ÕÙ Ø ÒÙÑ Ö ÕÙ Ä Ò ÔØ Ó Ò ÒÒ ¾¼½½¹¾¼½¾ ¾ Ñ ØÖ ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ ÝÒØ Ø ÕÙ Ù ÓÙÖ Â ÒÚ Ö ÂÙ Ò ¾¼½¾ ÓÙÖ ÓÒÒ Ò 3 e ÒÒ Ä Ò Ë Ò Ð ÔÐ Ò Ø Ì ÖÖ Ô Ö Å Ð Ð Ø Â Ò ÊÓÙÜ Ì Ô Ö ÅÓ Ñ ÓÙ ÐÐÓ ÓÐ ÒÓÖÑ Ð ÙÔ Ö ÙÖ È Ö
2 ½ Ë ÔØ Ñ ÓÙÖ Ð Ö Ð Ò Ö ÁÁº Ê ÓÐÙØ ÓÒ Ý Ø Ñ Ð Ò Ö Ax = b Ô Ö Ñ Ø Ó ÒÙÑ Ö ÕÙ Ö Ø º Ò ÓÙÖ ÓÒ Ö Ö ÓÙ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ò Ö Ù Ú ÒØ Ø ÒØ ÓÒÒ Ð Ñ ØÖ A Ø Ð Ú Ø ÙÖ b ØÖÓÙÚ Ö Ð Ú Ø ÙÖ x ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ý Ø Ñ Ax = b. º¼º½µ ÇÒ Ò Ø Ô ØÓÙ ÓÙÖ ÔÖ ÓÖ Ð Ñ ØÖ A Ø ÒÚ Ö Ð ³ ع ¹ Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ º¼º½µ ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÙÒ ÕÙ º ÁÐ Ø ÓÒ ÓÙ Ø Ð ÔÓ Ö Ñ Ø Ó ÕÙ Ò Òغ Ä Ñ Ø Ó Ö Ø ÜÔÓ ¹ ÔÖ Ð Ô ÖÑ ØØ Òغ ÆÓÙ ÒÓÙ Ð Ñ Ø ÖÓÒ ÙÜ Ý Ø Ñ ÖÖ Ø Ö Ð Ú A R n,n Ø b R n º Ò ÔÖ Ø Õ٠г ÒØ Ö n Ô ÙØ ØÖ ØÖ Ö Ò ÔÓÙÖ ÖØ Ò ÖÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÒÓÑ Ö n Ø Ð³ÓÖ Ö Ù Ñ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ö ÔÐÙ º ÈÖ ÓÒ ÕÙ Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ ³ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ØÝÔ ÒØ ÖÚ ÒØ Ò ØÖ ÒÓÑ Ö ÙÜ ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ò ÐÝ ÒÙÑ Ö ÕÙ º ij ØÙ Ñ Ø Ó Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ô Ò Ð º Ä Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ý Ø Ñ Ð Ò Ö ³ÓÔ Ö Ô Ö ÙÜ ØÝÔ Ñ Ø ¹ Ó Ð Ñ Ø Ó Ö Ø Ø Ð Ñ Ø Ó Ø Ö Ø Ú º Ä Ñ Ø Ó Ö Ø ÓÒØ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ð Ý Ø Ñ Ð Ò Ö Ó Ð Ñ ¹ ØÖ Ø ÔÐ Ò Ô Ù ³ Ð Ñ ÒØ ÒÙÐ µ ÓÙ Ò ØÖÙØÙÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ù ØÝÔ ØÖÙØÙÖ ¹ Ò ØÖÙØÙÖ ¹ ÐÓµ Ø»ÓÙ ÔÖÓÔÖ Ø ³ÙÒ ÖØ Ò ØÝÔ Ñ ØÖ ÓÒ Ð ÓÑ Ò ÒØ µ ÕÙ ÔÔ Ö Ø Ö ÕÙ ÑÑ ÒØ Ô Ö Ð Ö Ø Ø ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÙÜ Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ô Ö Ñ Ø Ó Ø Ö Ò Ò ÓÙ ³ Ð Ñ ÒØ Ò º Ä Ý Ø Ñ Ð Ò Ö Ú ØÖÙØÙÖ ÓÙ ÕÙ ÔÓ ÒØ Ô Ù ³ Ð Ñ ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐ Ý Ø Ñ Ö Ùܵ ÓÒØ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ Ö ÓÐÙ Ô Ö Ð Ñ Ø Ó Ø Ö Ø Ú º º½ ÓÒ Ø ÓÒÒ Ñ ÒØ Ø Ø Ð Ø ÍÒ ÓÙ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ò ÐÝ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ó Ø ØÖ Ð ÔÖ ÓÒ Ú Ð ÙÖ ÐÙÐ º ÌÓÙ Ð ÐÙÐ Ø ÒØ ØÙ Ú ÖÖ ÙÖ ³ ÖÖÓÒ Ð³ Ø ÖÖ ÙÖ Ô ÙØ ØÖ Ò Ð Ð ÓÙ Ø ØÖÓÔ ÕÙ º Å Ù Ð ÔÖÓ ¹ Ð Ñ Ö ÓÙ Ö Ô ÙØ ÔÖ ÒØ Ö ÒØÖ Ò ÕÙ Ñ ÒØ ÙÒ Ö Ø Ö ³ Ò Ø Ð Ø º ÓÒ ÖÓÒ Ô Ö Ü ÑÔÐ Ð Ý Ø Ñ { 2x + 6y = 8 2x + 6.y = 8.. Ò ÔÓÖØ ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ð ÓÒ ÓÒ 8 6y+6.y = 8. Ó Ø.y =. ³Ó y = Ø x = º
3 ¾ ËÓ Ø Ñ ÒØ Ò ÒØ Ð Ý Ø Ñ ÚÓ Ò { 2x + 6y = 8 2x y = 8.2 Ñ Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØ 8 6y y = 8.2 Ó Ø.y =.2 ³Ó y = 2 Ø x = ÕÙ Ø ÐÓ Ò ³ ØÖ ÚÓ Ò Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÔÖ ÒØ º ÇÒ Ø ³ÙÒ Ø Ð Ý Ø Ñ ÕÙ³ Ð Ø Ñ Ð ÓÒ Ø ÓÒÒ º Ä ÕÙ Ø ÓÒ Ù ÓÒ Ø ÓÒÒ Ñ ÒØ Ò³ Ø Ô ÓÖ Ò ÓÙÖ ÚÓ Ö Ð ÚÖ µº º¾ Å Ø Ó ÒÙÑ Ö ÕÙ Ö Ø ÈÓÙÖ Ð Ñ Ø Ó Ö Ø ØÖÓ ÓÒØ Ö Ø Ò Öº ÇÒ Ò ÐÙÐ Ñ A º ÇÒ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ð Ñ ØÖ Ú ÑÑ ÒØ Ò Ò Ö Ð Ó¹ ÐÙØ ÓÒ Ù Ý Ø Ñ µ Ò ÙÒ ÓÖÑ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ ÕÙ Ø Ð ¹ Ñ ÒØ Ö ÓÐÙ Ð Ô Ö ÙÒ Ö ÙÖÖ Ò Ò ÙØ º Ò Ø ÓÒ ÐÙÐ ÐÓÖ Ö Ø Ñ ÒØ Ð ÖÒ Ö ÓÑÔÓ ÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ö Ð ÖÒ Ö Ð Ò Ð Ñ ØÖ Ô٠г Ú Òع ÖÒ Ö ÓÑÔÓ ÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ö Ð³ Ú Òع ÖÒ Ö Ð Ò Ð Ñ ØÖ Ø ÔÖÓ Ò ÔÖÓ Ð ÔÖ ¹ Ñ Ö ÓÑÔÓ ÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ò Ð Ñ ØÖ Ð (n ) ÖÒ Ö ÓÑÔÓ ÒØ Ø ÒØ ÐÙÐ º ÁÐ Ø Ð ÓÑÔØ Ö Ð ÒÓÑ Ö ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ µ Õ٠гÓÒ ÙØ Ð º Ñ Ø Ó ÓÒØ Ø Ö Ø Ö ÐÐ ÐÙÐ ÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò ÕÙ Ô ÙØ ØÖ Ö Ò µ Ø ÓÒÒÙ ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ º ÁÐ Ò³Ý Ô Ø Ø ³ ÖÖ Ø Ð Ñ Ø Ó ÓÒ ÐÙÐ Ö Ø Ñ ÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒº ÐÓÖ ÓÒ Ú ÐÙ Ð Ô Ö ÓÖÑ Ò ³ÙÒ Ñ Ø Ó Ö Ø Ò ÓÑÔØ ÒØ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ ÐÙÐ Ò Õ٠гÓÒ ÔÔ ÐÐ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ñ Ø Ó º Æ ØÙÖ ÐÐ Ñ ÒØ Ð Ø ÐÓÖ ÔÓ Ð ÔÙ Õ٠гÓÒ ØÖ Ú ÐÐ Ò Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ò µ ³ ØÙ Ö Ð Ò Ð Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ ÙÜ ÓÒÒ Ò Ð Ø Ù Ð ÔÖÓÔ Ø ÓÒ ÙÜ ÖÖ ÙÖ ³ ÖÖÓÒ º Ê Ñ ÖÕÙ º¾º½º ÈÓÙÖÕÙÓ Ò Ô ÙØ Ð Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ö Ñ Ö ÇÒ Ö ÔÔ ÐÐ ÕÙ x k = det(a k )/det(a) Ó A k Ø Ð Ñ ØÖ ÖÖ Ó Ø ÒÙ Ò Ö ÑÔÐ ÒØ Ð k eme ÓÐÓÒÒ A Ô Ö Ð Ð Ú Ø ÙÖ b º¼º½µº ÓÖ¹ ÑÙÐ Ö Ú ÒÒ ÒØ ÐÙÐ Ö (n + ) Ø ÖÑ Ò ÒØ º ÇÖ ÙÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ü (n )n! ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ø (n! ) Ø ÓÒ º ij Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ø ÓÒ ÒÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ù ÔÓ ÒØ ÚÙ Ù ÒÓÑ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÔº кµ Ø Ô Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ ØÓØ Ð Ñ ÒØ ÒÙØ Ð ÕÙ n Ô Ð ÒÕÙ ÒØ Ò º È Ö Ü ÑÔÐ n = Ð ÓÒÒ ÒÚ ÖÓÒ ¼¼ Ñ ÐÐ ÓÒ ³ÓÔº кº Ò ÓÑÔ Ö ÓÒ ÒÓÙ Ú ÖÖÓÒ ÚÓ Ö Ê Ñ ÖÕÙ º¾º µ ÕÙ Ð Ñ Ø Ó Ù Ñ Ò ÒÚ ¹ ÖÓÒ 2n 3 /3 ÓÔº к ØØ Ø Ñ Ø ÓÒ Ø ØÖ ÖÓ Ö Ñ ÐÐ ÔÖ Ð³ÓÖ Ö Ö Ò ÙÖµ ÕÙ ÓÒÒ ÙÐ Ñ ÒØ ÒÚ ÖÓÒ ¼ ÓÔº к ÔÓÙÖ n = º
4 º¾º½ Å Ø Ó Ù Ö ÔØ ÓÒ ÔÖ Ø ÕÙ ÇÒ ÙÔÔÓ ÔÓÙÖ ÔÖ ÒØ Ö Ð Ñ Ø Ó ÕÙ Ð Ñ ØÖ A Ø ÔÖ ÓÖ Ö ÙÐ Ö º ÇÒ Ú ÖÖ ÚÓ Ö Ê Ñ ÖÕÙ º¾º µ ÕÙ Ð Ñ Ø Ó Ù Ø ØÙØ ÙÖ Ð Ö Ù¹ Ð Ö Ø Ð Ñ ØÖ Aº ÇÒ ÔÓ A = A () = (a () ij )º ÇÒ ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ det(a () ) º ÇÒ ÓÙ Ø ÕÙ a () º Ë Ø Ð Ò³ Ø Ô Ð ÓÒ ÔÖ ¹ ÑÙÐØ ÔÐ A Ô Ö ÙÒ Ñ ØÖ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö P λ,µ ¹ Ó ³ Ø Ð Ô ÚÓØ º ij ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ú ÒØÙ ÐÐ µ Ð Ñ ØÖ P λ,µ Ò³ Ö Ò ÚÓ Ö Ú Ð Ö ÙÐ Ö Ø Aº ËÓ Ø ÓÒ A () = P,ζ A () = (α () ij ). º¾º½µ Ú α () º Ò Ð Ñ Ø Ó Ù ÓÒ ØÖ Ú ÐÐ ØÓÙ ÓÙÖ Ú Ñ ØÖ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ð ÑÓØ Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑ Ò Õ٠٠غ Ä ÔÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ A Ô Ö Ð Ñ ØÖ Ô ÖÑÙ¹ Ø Ø ÓÒ P,ζ Ô ÖÑÙØ Ð Ð Ò ½ Ø ζ Ð Ñ ØÖ A ÓÑÑ Ð Ñ ØÖ A Ø ÙÔÔÓ Ö ÙÐ Ö Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÐÓÒÒ Ò³ Ø Ô ÒÙÐÐ Ø Ð Ø ØÓÙ¹ ÓÙÖ ÔÓ Ð Ô ÖÑÙØ Ö a () = Ð Ð Ò ½ Ø ÙÒ Ð Ò ζ Ö Ø Ö Ô Ö a () ζ, º Ë a() Ð Ô ÚÓØ Ò Ñ Ð Ô Ò Ö ÔÖ ÓÖ Ø Ð³ÓÒ Ô ÙØ ÖÓ Ö ÕÙ³ Ð Ù Ø ÔÓ Ö P,ζ = Iº Å ÙÖ ÓÖ Ò Ø ÙÖ ÓÒ ØÖ ¹ Ú ÐÐ ØÓÙ ÓÙÖ Ò Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÒÓÒ Ü Ø ³ ع¹ Ö Ò Ú Ö ÙÐ ÓØØ ÒØ Ø ³ Ð Ü Ø ÔÐÙ ÙÖ Ð Ñ ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÐÓÒÒ ÓÒ Ú ÖÖ ÕÙ ÔÓÙÖ Ö ÓÒ ³ ÖÖ ÙÖ ³ ÖÖÓÒ Ð Ø Ò Ö Ó Ö Ð ÔÐÙ Ö Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÑÓ ÙÐ Ð Ñ ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐ ÕÙ Ò Ø ÔÖ ÕÙ ØÓÙ ÓÙÖ Ó Ö P,ζ Iº Ò Ð Þ Ö Ö ÕÙ Ù Ø ÒÓØÖ ÐÓÙØ ÓÒ ÔÖ ÕÙ ØÓÙ ÓÙÖ µ Ó a () Ø Ð ÔÐÙ Ö Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÑÓ ÙÐ Ð Ñ ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÐÓÒÒ Ð Ò³ Ø Ô Ò Ö Ö ÙÒ Ô ÖÑÙØ ¹ Ø ÓÒ Ð Ò ½ Ø ζ ÕÙ Ö Ú ÒØ Ñ ØÖ ÐÐ Ñ ÒØ Ö P,ζ = P, = I ÓÒØ Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ Ú ÙØ ½º Å ÒØ Ò ÒØ ÓÑÑ Ò Ð ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒº ÇÒ ³ ÓÖ ³ ÒÒÙÐ Ö ØÓÙ Ð Ø ÖÑ Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÐÓÒÒ A () г Ü ÔØ ÓÒ Ù ÔÖ Ñ Öº ËÓ Ø ÓÒ Ú E () = A (2) = E () A () α() 2 α () º º º º º º ºº α() n α ()... Ä Ñ ØÖ E () Ø ÓÒ ØÖÙ Ø ÔÓÙÖ ÒÒÙÐ Ö ØÓÙ Ð Ø ÖÑ Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÐÓÒÒ Ð³ Ü ÔØ ÓÒ Ù ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ º ij ÒØ Ö Ø Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø Ú ÒØ Ò ÚÓÝ ÒØ ÙÖ º½µ Ð ØÖÙØÙÖ Ð Ñ ØÖ A (2) Ó Ø ÒÙ º.
5 α () A (2) = à (2) ÙÖ º½ ÈÖ Ñ Ö Ø Ô Ð Ñ Ø Ó Ù º Ä ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ø ÑÓÖ Ø Ð ÔÖÓ Ù Ú ÔÓÙÚÓ Ö ÔÓÙÖ Ù ÚÖ º Ò Ø A (2) = E () A () = E () P,ζ A () Ú det(e () ) = Ö Ð Ñ ¹ ØÖ E () Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö Ò Ö ÙÖ Ú ½ ÙÖ Ð ÓÒ Ð º ÇÒ Ö Ô¹ Ô ÐÐ ÔÐÙ ÕÙ P Ø ÙÒ Ñ ØÖ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö ÐÓÖ det(p) = ÚÓ Ö Ð ÚÖ µº ÇÒ ÓÒ det(a (2) ) = ± det(a () ) Ð Ò ÔÖ Ò ÒØ Ò ÓÑÔØ Ð³ Ú ÒØÙ Ð Ø ³ÙÒ ÒÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ú P,ζ = Iµ Ø Ð Ñ ØÖ A (2) Ø Ö ÙÐ Ö Ö ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø ÒÓÒ ÒÙк ÓÑÑ det(a (2) ) = α () det(ã(2) ) ÙÖ º½µ Ø ÓÑÑ Ô Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ α () ÓÒ Ò Ù Ø ÕÙ det(ã(2) ) º Ä Ñ ØÖ Ã(2) Ø Ö ÙÐ Ö ÔÖ Ñ Ö ÓÐÓÒÒ Ø ÒÓÒ ÒÙÐÐ Ø ÓÒ Ô ÙØ ÔÔÐ ÕÙ Ö ØØ Ñ ØÖ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖ Òغ ij Ð ÓÖ Ø Ñ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ô ÙØ ÔÓÙÖ Ù ÚÖ Ú ÔÖ ÑÙÐØ ¹ ÔÐ Ø ÓÒ ÕÙ Ø Ô ³ÙÒ Ñ ØÖ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÔÙ Ô Ö ÙÒ Ñ ØÖ E (k) ÓÒØ ÓÒ ÓÑÔÖ Ò Ñ ÒØ Ð ØÖÙØÙÖ ÚÓ Ö ÙÖ º¾µ Ô ÖØ Ö ÐÐ E () º ÓÐÓÒÒ k E (k) = e ik = α(k) ik α (k) kk ÙÖ º¾ ËØÖÙØÙÖ E k º, k + i nº Ð Ò k Ú ÑÑ ÒØ Ð Ò ÙØ Ô ÓÙ Ð Ö ÕÙ Ø Ô Ô ÖÑÙØ Ö Ù Ð ÓÑÔÓ ÒØ Ù ÓÒ Ñ Ñ Ö Ø Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ô Ö Ð E (i) º ü Ð Ò
6 г Ð ÓÖ Ø Ñ Ò n Ø Ô µ ÓÒ Ó Ø ÒØ ÙÒ Ý Ø Ñ Ù ØÝÔ Ux = b (n), Ó U Ø ÙÒ Ñ ØÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ º Ë Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ø Ú ÒØ ÓÑÑ ÒÓ٠г ÚÓÒ Ü Ñ Ò º Šг Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ô ÙØ Ô ³ ÔÔÐ ÕÙ Ö Ø Ð ÕÙ Ð ÙÒ ØÖ Ø Ó Ü Ô ÚÓØ ÓÒ ÔÔ ÐÐ Ô ÚÓØ Ð³ Ð Ñ ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐ Ó Ò Ð ÓÐÓÒÒ ³ Ø Ð³ Ð Ñ ÒØ α () Ð ÔÖ Ñ Ö Ø Ô µ Ø Ò Ö º ij Ü ÑÔÐ Ù Ú ÒØ Ú ÒÓÙ Ò ÓÒÚ ÒÖ º ÌÖ Ú ÐÐÓÒ Ú ÙÒ ÐÙÐ Ø ÙÖ ØÖÓ Ö Ò Ø Ò Ú Ö ÙÐ ÓØØ ÒØ µ Ø Ö ÓÒ Ö ÓÙ Ö Ð Ý Ø Ñ { 4 x + y = x + y = 2. Ä ÓÐÙØ ÓÒ Ü Ø Ø { x =, y =,9999, Ó Ð ÝÑ ÓÐ Ò Ð Ú Ð ÙÖ Ö ÐÐ Ñ ÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð ÐÙÐ Ø ÙÖº ÉÙ Ø Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ØÖ Ø Ô ÚÓØ ÓÑÑ a () = 4 ÒÓÙ ÔÓÙÚÓÒ ÓÑÑ Ò Ö ÔÖ ÓÖ Ð ÐÙÐ Ú ÓÒ Ò Ò ÔÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ô Ö ÙÒ Ñ ØÖ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÕÙ Ö Ú ÒØ ÔÖ Ò Ö P = Iµº ÔÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ô Ö Ð Ñ ØÖ E () = 4, Ð Ý Ø Ñ Ò Ø Ð Ú ÒØ Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ Ù Ú ÒØ { 4 x + y = ( 4 + )y = ÌÖ Ù ÓÒ Ð Ö Ò Ú Ö ÙÐ ÓØØ ÒØ { 4 + =, 5 +, 5, =, 5 +,2 5, 5. Ä ÙÜ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒÒ ÐÓÖ ÑÑ Ø Ñ ÒØ y ÕÙ Ø ÓÖÖ Øº Å Ò Ö ÔÓÖØ ÒØ ØØ Ú Ð ÙÖ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ ØÖÓÙÚ x ÕÙ Ø ØÓÙØ Ø ÖÖ Ð Ø ÝÓÒ ÐÓÖ Ò Ò ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ò Ú Ð ÙÜ Ñ Ô ÚÓØ Ö Ú a () 2 = Ð Ñ ØÖ E() ³ Ö Ø E () = 4,
7 Ø Ð Ý Ø Ñ Ú ÒØ Ò³ÓÙ Ð ÓÒ Ô Ð Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÔÖ Ð Ð µ { x + y = 2 ( 4 + )y = , Ú Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ Ó ÒØ, Ø 4, Ð Ý Ø Ñ Ø ØÖ Ù Ø Ò Ñ Ò Ô Ö Ð Ý Ø Ñ { x + y 2 y, Ð Ú ÒØ ÓÒ y ³Ó Ò Ö ÔÓÖØ ÒØ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÕÙ Ø ÓÒ x г Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ù Ø Ü ÑÔÐ ÑÓÒØÖ Ð Ö Ñ ÒØ Ð Ò Ø ³ÙÒ ØÖ Ø Ô ÚÓØ º ÙÜ Ø Ò ÕÙ ÓÒØ ÙØ Ð Ò ÔÖ Ø ÕÙ Ô ÚÓØ Ô ÖØ Ð ÓÒ ÔÖ Ò Ð ÔÐÙ Ö Ò Ð Ñ ÒØ ÓÙ ÓÒ Ð Ø ÖÑ ÓÒ Ð ÒÐÙ µ Ò ÑÓ ÙÐ Ð ÓÐÓÒÒ ÓÒØ ÓÒ Ö ÒÒÙÐ Ö Ð Ø ÖÑ ÓÙ ¹ ÓÒ Ùܺ Ô ÚÓØ ØÓØ Ð ÓÒ ÔÖ Ò Ð ÔÐÙ Ö Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÑÓ ÙÐ ØÓÙØ Ð ÓÙ ¹Ñ ØÖ Ã(2) Ö Ôº à (k) µ г Ø Ô ¾ Ö Ôº kµ Ø ÓÒ ÙØ Ð Ð Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÓÒÚ Ò Ð Ð Ò Ô Ö ÔÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ô Ö ÙÒ Ñ ØÖ Ù ØÝÔ P ÓÐÓÒÒ Ô Ö ÔÓ ØÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ô Ö ÙÒ Ñ ØÖ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ù Ñ Ñ ØÝÔ µº Ê Ñ ÖÕÙ º¾º¾º Ò ÔÖ Ø ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö Ø Ò ÕÙ ÙÒ Ô Ù ÑÓ Ò Ó Ø Ù Ò Ø ÑÔ ÐÙе Ø ØÖ ÓÙÚ ÒØ Ù ÒØ º Ê Ñ ÖÕÙ º¾º º ÔÖ ÓÖ ÓÒ Ò Ø Ô ØÓÙ ÓÙÖ Ð Ñ ØÖ A Ø Ö ÙÐ Ö º Ç ÖÚÓÒ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ð ØÖ Ò ÙÐ Ö Ø ÓÒ ) г Ø Ô k ¹ ÙÖ º µº ÁÐ Ø Ð Ö ÕÙ det(a (k+) ) = det(ã(k+) ) Ø ÔÐÙ ( k i= α(i) ii A (k+) = α () α (k) kk à (k+) ÙÖ º det(a () ) = ( ) l det(a (k+) ) г ÒØ Ö l Ø ÒØ Ð ÒÓÑ Ö Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ð Ò º º Ð ÒÓÑ Ö Ô ÚÓØ µ ØÙ Ù ÕÙ³ г Ø Ô k г Ð ÓÖ Ø Ñ º Ò Ð Ñ ØÖ A(= A () ) Ø Ò ÙÐ Ö ÙÒ ÖØ Ò Ø Ô k Ð Ñ ¹ ØÖ Ã(k+) Ö Ò ÙÐ Ö ØØ Ò ÙÐ Ö Ø ÔÔ Ö ÒØ Ú ÙÒ ÔÖ Ñ Ö
8 ÓÐÓÒÒ ÓÒ Ø ØÙ ³ Ð Ñ ÒØ ÒÙÐ Ò ÔÖ Ø ÕÙ Ð Ø Ø ÒÙÐÐ Ø Ù Ô ÚÓØ Ø Þ Ð Ø Ó Öµº ij Ð ÓÖ Ø Ñ Ù Ô ÖÑ Ø ÓÒ Ö Ð Ò ÙÐ Ö Ø ³ÙÒ Ñ ØÖ º Ê Ñ ÖÕÙ º¾º º Ò Ð Ó A Ø Ö ÙÐ Ö ÓÒ ÚÓ Ø ÕÙ det(a) = ( ) p det(a (n) ) Ð Ñ ØÖ A (n) Ø ÒØ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ det(a (n) ) Ø Ð Ù ÔÖÓ Ù Ø Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ùܺ ³ ع¹ Ö ÕÙ ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø Ð Ù Ò ÔÖ Ù ÔÖÓ Ù Ø Ô ÚÓØ º Ä Ò Ø ÓÒÒ Ô Ö ( ) p г ÒØ Ö p Ø ÒØ Ð ÒÓÑ Ö Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ð Ò ØÙ Ù ÓÙÖ ØÓÙØ Ð ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ÒÓÑ Ö Õ٠гÓÒ ÓÒÒ Ø Ô Ö Ð Ñ Ò ÙÚÖ Ð Ñ Ø Ó º ³ Ø ÙÒ Ö ÙÐØ Ø Ô Ö Ó ÙØ Ð ÙÒ Ô Ù ÑÔÖ ÚÙ Ð Ñ Ò ÙÚÖ Ð Ñ Ø Ó Ù º ÔÖÓ ÐÙÐ Ù Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø ÙÓÙÔ ÑÓ Ò Ó Ø ÙÜ ÕÙ ÐÙ Ñ Ø Ó Ù Ù ÐÐ ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÚÓ Ö Ð Ê Ñ ÖÕÙ º¾º½µº º¾º¾ Ò ÐÝ Ñ ØÖ ÐÐ Ð Ñ Ø Ó Ù ÑÔÐ ÇÒ ÙÔÔÓ Ò Ô Ö Ö Ô ÕÙ Ð Ñ ØÖ A Ø Ö ÙÐ Ö Ø ÕÙ Ð Ô ÚÓØ ØÖÓÙÚ ØÓÙ ÓÙÖ ³ Ñ Ð ÙÖ Ð ÓÒ Ð º Ö ÚÓÒ Ð ÓÖ¹ ÑÙÐ Ò Ö Ð Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ A (k) Ô Ö Ð Ñ ØÖ E (k) ÓÒÒ ÒØ Ð Ø ÖÑ Ð Ñ ØÖ Ã(k+) ÙÖ º µº a (k+) ij = a (k) ij +e ika (k) kj, k+ i,j n, Ú e ik = a(k) ik a (k) kk, k+ i n. º¾º¾µ ÆÓØÓÒ ÕÙ Ð k ÔÖ Ñ Ö Ð Ò A (k) ÓÒØ ÓÒ ÖÚ Ø ÕÙ Ð Ø ÖÑ Ð (k) e ¹ÓÐÓÒÒ A (k+) Ù¹ ÓÙ a (k) kk ÓÒØ ÒÙÐ ÙÖ º µº Ê Ñ ÖÕÙ º¾º º ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÒØ Ð ÓÖÑÙÐ º¾º¾µ ÕÙ ÓÒÒ ÒØ Ð ÒÓÑ Ö ÓÔº к Ð Ñ Ø Ó Ù º Ò Ø Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ý ¹ Ø Ñ Ux = b (n) Ó U Ø ÙÒ Ñ ØÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ Ø ÔÔÖÓܹ Ñ Ø Ú Ñ ÒØ Ò n 2 ÓÔº к ÙÒ ÓÖ Ö Ö Ò ÙÖ ÑÓ Ò Õ٠г Ð ÓÖ Ø Ñ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ÔÖÓÔÖ Ñ ÒØ Øµº ÆÓØÓÒ ÕÙ Ð Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ³ Ð Ñ ÒØ Ò ÓÒØ Ô ÓÑÔØ Ð ÓÑÑ ÓÔº к Ò ÕÙ Ò ØÙÖ ÐÐ Ñ ÒØ Ò Ð Ö Ö Ù Ó Ø Ð ÙØ ÔÖ Ò Ö Ò ÓÑÔØ Ð Ø ÑÔ Ö Ö Ô ÚÓØ º ÇÒ ÚÓ Ø ÙÖ Ð ÓÖÑÙÐ º¾º¾µ Õ٠гÓÒ Ø ÕÙ ÔÔ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÙÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒº ÍÒ ÓÑÔØ ÑÙÒ Ø ÙÜ ÑÓÒØÖ ÕÙ³ Ð ÙØ Ò Ò Ð ÒØ Ð Ø ÖÑ Ò n 2 Ø Ò n ÕÙ Ø Ð Ø Ñ ÕÙ n Ø Þ Ö Ò µ n 3 /3 Ø ÓÒ Ø n 3 /3 ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð Ñ Ò ÙÚÖ Ù º ÆÓØÓÒ Ò Ò ÕÙ Ð Ñ Ø Ó Ò Ø ÔÖ ÓÖ Ð³ÓÖ Ö n 2 /2 Ú ÓÒ ÓÒØ Ð Ø ÑÔ ³ Ü ÙØ ÓÒ Ø ÙÔ Ö ÙÖ Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ù Ò Ð ÐÙÐ e ik ÚÓ Ö º¾º¾µµ Ð Ø ÓÒ ØÖ Ö ÓÑÑ Ò ÐÙÐ Ö ³ ÓÖ Ð³ ÒÚ Ö a (k) kk ÕÙ Ò Ø Ù ØÓØ Ð ÙÐ Ñ ÒØ n Ú ÓÒ µ Ø Ò Ù Ø ÐÙÐ Ö Ð e ik ÔÓÙÖ i (k + ) Ô Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒº
9 ÁÒÚ Ö Ñ ÒØ Ð Ô Ð³ Ø Ö Ø ÓÒ (k+) г Ø Ö Ø ÓÒ (k) ³ Ö Ø ÓÒ a (k) ij = a (k+) ij e ik a (k+) kj, k + i,j n, Ö a (k) kj = a(k+) kj. ÓÐÓÒÒ k L k = e ik,k + i n Ð Ò k ÙÖ º Ö ÔØ ÓÒ L k Ú e kk = º ËÓ Ø Ñ ØÖ ÐÐ Ñ ÒØ A (k) = L k A (k+) Ú L k Ü Ð ÙÖ º º ÔÖÓ Ò ÔÖÓ A () = L L 2 L n A (n) º ÇÒ Ó ÖÚ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ù Ø L L 2 ³ Ö Ø ÓÑÑ Ð ÙÖ º º Ä ÔÖ Ñ Ö Ö Ôº ÙÜ Ñ µ ÓÐÓÒÒ Ù ÔÖÓ Ù Ø Ø ÓÒ Ø ØÙ Ð ÓÐÓÒÒ L Ö Ôº L 2 µº L = L 2 = L L 2 = ÙÖ º Ê Ñ ÖÕÙ º¾º º ØØ ÒØ ÓÒ Ð Ò³ Ø ÚÖ ÕÙ Ò Ø ÓÖ Ö L 2 L Ö Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö Ò Ö ÙÖ Ñ ÖØ Ò Ð Ñ ÒØ ÙÜ ÔÖ Ñ Ö ÓÐÓÒÒ ÓÒØ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ñ ÒØ L Ø L 2 µº ÇÒ ÓÒÚ ÒÖ Ñ ÒØ Ò ÒØ Ñ ÒØ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ù Ø L = n i= L i Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö Ò Ö ÙÖ Ú ÙÖ Ð ÓÒ Ð µº Ò Ð Ñ ÒØ ÓÒ A = A () = LA (n) = LU, Ó U Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ º ³ Ø Õ٠гÓÒ ÔÔ ÐÐ Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ LU Ð Ñ ØÖ Aº
10 ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ ØÙ Ö Ð Ñ ÒØ Ø ÒØ ÓÒÒ Ð ØÖÙØÙÖ Ñ ØÖ ¹ µ Ð ÐÙÐ Ù Ú ÒØ { Ly = b Ux = y. Ê Ñ ÖÕÙ º¾º º Ò ÔÖ Ø ÕÙ Ò Ð ³ÙÒ ÙÐ Ý Ø Ñ ÐÙÐ Ö ÓÒ Ö ÓÙØ Ux = b (n) Ú b (n) ÐÙÐ Ò ÓÙÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö Ø ÓÒº ŠгÓÒ Ó Ø Ö ÓÙ Ö ÔÐÙ ÙÖ Ý Ø Ñ Ú Ð Ñ Ñ Ñ ØÖ A Ñ ¹ ÓÒ Ñ Ñ Ö Ö ÒØ Ð Ø Ú ÑÑ ÒØ ØÖ ÙØ Ð Ö Ö Ò Ñ ÑÓ Ö Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ A = LU ÕÙ Ò³ Ø Ø ÕÙ³ÙÒ ÙÐ Ó Ø Ö ÓÙ Ö ÓÑÑ Ò ÕÙ Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÔÖ ÒØ ÔÓÙÖ Ð Ö ÒØ ¹ ÓÒ Ñ Ñ Ö º Ù Ô ÚÓØ Ô ÖØ Ð ÇÒ ÑÓÒØÖ ÚÓ Ö Ð ÚÖ µ ÕÙ Ð ØÖ Ø Ù Ú Ô ÚÓØ Ô ÖØ Ð Ö Ú ÒØ ØÖÓÙÚ Ö Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÄÍ ³ÙÒ ÖØ Ò Ñ ØÖ PA Ó P Ø ÙÒ Ñ ØÖ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ð Ò º ÆÓØÓÒ Ò Ò ÕÙ Ð ÔÖ Ü Ò Ø ÑÔ Ñ Ò Ð Ö Ö Ò Ô Ò ¹ Ð Ù Ô ÚÓØ ÕÙ Ø Ô Ô Ùع ØÖ Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ Ó Ø Ùܺ Ò ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö Ö ÕÙ ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ó Ø ÙÐ Ñ ÒØ Ð³ÓÖ Ö 2n 3 /3 ÙÖÓ Ø ÐØ Ö Ð Ô Ö ÓÖÑ Ò Ð Ñ Ø Ó Ù ÐÐ Ø Ñ ÙÖ ÙÐ Ñ ÒØ Ò ÒÓÑ Ö ³ÓÔº кº Ù Ô ÚÓØ ØÓØ Ð ÇÒ ÑÓÒØÖ ÚÓ Ö Ð ÚÖ µ ÕÙ Ð ØÖ Ø Ù Ú Ô ÚÓØ ØÓØ Ð Ö Ú ÒØ ØÖÓÙÚ Ö Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÄÍ ³ÙÒ ÖØ Ò Ñ ØÖ PAQ Ó P Ø Q ÓÒØ Ñ ØÖ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒº º¾º Å Ø Ó ÀÓÙ ÓÐ Ö ÇÒ ÙÔÔÓ ØÓÙ ÓÙÖ ÕÙ Ð Ñ ØÖ A Ø Ö ÐÐ º ÇÒ Ú ÙØ Ð Ö ÙÒ Ø Ò ÕÙ Ò Ö Ð ÕÙ Ô ÖÑ Ö Ô Ö ³ÙÒ Ñ ØÖ A Ò ÙÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø ÙÒ Ñ ØÖ Ù ØÝÔ Ð ÙÖ º º O O ÌÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ À Ò Ö ÙÔ Ö ÙÖ ÌÖ ÓÒ Ð ÙÖ º ÍÒ Ñ ØÖ À Ò Ö ÙÔ Ö ÙÖ Ö Ôº Ò Ö ÙÖ µ Ø ÙÒ Ñ ØÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ Ö Ô Ò Ö ÙÖ µ Ú Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÙ ¹ Ö Ôº ÙÖ¹ µ ÓÒ Ð ÒÓÒ ÒÙÐÐ º ³ Ø Ô ÖØ Ö ÙÜ ÖÒ Ö ÓÖÑ Õ٠гÓÒ Ô ÙØ ÐÙÐ Ö Ð Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ Ð Ñ ØÖ Aº Ñ Ò ÓÖÑ ÓÒØ O O
11 ½¼ ÔÖ Ð Ð Ù ÐÙÐ Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ A Ò ÔÖ ÒØ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÓÖÑ ØÖ ÓÒ Ð Ð Ø ÚÖ Ô ÕÙ Ñ ÒØ ÐÓÖ ÕÙ A Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ º ü Ô ÖØ Ö Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÖÑ ÓÒ Ô ÙØ ÒÓÖ Ö ÓÙ Ö Ð Ý Ø Ñ Ax = bº Ò ÕÙ Ù Ø ³ Ø ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ô ÖØ Ö Ð Ñ ¹ ØÖ A Ð Ñ ØÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ ÕÙ Ú ÒÓÙ ÒØ Ö Öº ÈÖ Ò Ô Ð Ñ Ø Ó ÇÒ ØÖ Ú ÐÐ Ú Ñ ØÖ Ð Ñ ÒØ Ö H Ø ÀÓÙ ÓÐ Ö Ù ÒÓÑ ÓÒ ÒÚ ÒØ ÙÖµ Ù ØÝÔ H = I 2uu T, u R n, u Ú u T u = Ó Ø u 2 = º Ò ÔÖ ¹ÑÙÐØ ÔÐ ÒØ Ð Ñ ØÖ A Ô Ö Ñ ØÖ Ù Ú ØÝÔ H ÓÒ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ð Ý Ø Ñ Ò ÙÒ Ý Ø Ñ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ ÕÙ ÐÙ Ø ÕÙ Ú Ð Òغ Ê Ñ ÖÕÙ º¾º º ÇÒ Ú Ö ÑÑ Ø Ñ ÒØ ÕÙ Hu = u 2u = u ÕÙ Ò ÕÙ Ø Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ ÑÔÐ H Ó Ù Ú Ø ÙÖ ÔÖÓÔÖ uº Ä ÑÑ º¾º½º Ä Ñ ØÖ H Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ ÝÑ ØÖ Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ Ð³ ÝÔ ÖÔÐ Ò P ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ù Ò Ô Ö P = {v;v T u = }º ÔÐÙ ÓÒ det(h) = º ÈÖ ÙÚ ÇÒ Ð Ó Hu = u Ø v P Hv = v 2u(u T v) = vº ÓÒ ØÓÙØ Ú Ø ÙÖ Ð³ ÝÔ ÖÔÐ Ò P Ø ÓÒ ÖÚ Ô Ö H Ø ÓÒ Ø ÙÒ Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ H ÑÙÐØ ÔÐ Ø (n ) Ó v ÐÓÖ ÕÙ Ð Ú Ø ÙÖ u ÓÖØ Ó ÓÒ Ð P Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ô Ö H Ò ÓÒ ÝÑ ØÖ ÕÙ ÚÓ Ö ÕÙ u Ø ÙÒ Ú Ø ÙÖ ÔÖÓÔÖ H Ó Ð Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ º ij ÖØ ÓÒ Ù Ð ÑÑ Ø ÓÒ ÑÓÒØÖ º ÙÖÖÓ Ø ÕÙ ÔÖ ÑÓÒØÖ ÕÙ det(h) = ( )() n = º ÈÖÓÔÖ Ø H H T = H Ò Ø ÓÒ H T = I (2uu T ) T = H Ð Ñ ØÖ H Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ º HH T = I Ð ÒÓÖ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Ø ÑÑ Ø º ÇÒ HH T = H 2 = (I 2uu T )(I 2uu T ) = I 4uu T + 4u(u T u)u T = I Ö u T u = Ô Ö ÝÔÓØ º ÁÐ Ò Ö ÙÐØ ÕÙ H Ø ÙÒ Ñ ØÖ Ø Ð Ñ ÒØ Ö µ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð º ÇÒ Ò Ù Ø ÕÙ H = H T = H Ð Ñ ØÖ ÒÚ Ö H ÓÒØ Ù Ñ ØÖ ÀÓÙ ÓÐ Ö Ð Ñ ÒØ Ö º ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ð Ñ ØÖ H Ä ÑÑ º¾º¾º Ð ÑÑ ¹Ð Ð Ñ Ø Ó µ ËÓ Ø a R n ÙÒ Ú Ø ÙÖ ÒÓÒ ÒÙÐ Ð Ü Ø ÙÒ Ñ ØÖ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖØ Ó ÓÒ Ð H Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö Ö Ð ÒÓÒ ÒÙÐ α Ø Ð ÕÙ Ha = αe Ó e Ø Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ø ÙÖ Ð ÒÓÒ ÕÙ R n º
12 ½½ ÈÖ ÙÚ ËÙÔÔÓ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÓÐÙº ÁÐ Ü Ø ÓÒ ÙÒ Ú Ø ÙÖ u R n Ø ÓÒ ÙÒ Ñ ØÖ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð H = I 2uu T Ø Ð ÕÙ Ha 2 = a 2 Ò Ø ÓÒ ÒÓØ Ô Ö (.,.) Ò Ð ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö Ò R n ÓÒ Ha 2 2 = (Ha,Ha) = (H T Ha,a) = a 2 2 Ö H Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð µº ÐÓÖ ÓÑÑ e 2 = Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö ÓÐÙ ÓÒ Ò Ö Ñ ÒØ α = a 2. º¾º µ ÓÑÑ Ha = αe Ð Ú ÒØ (I 2uu T )a = αe Ó Ø Ò ÔÓ ÒØ µ = 2u T a µu = αe a Ø ÓÒ µu = a αe. º¾º µ ÈÖ ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ Ò Ò º¾º µ Ô Ö 2a T Ò Ø Ò ÒØ ÓÑÔØ º¾º µ Ð Ú ÒØ 2a T µu = µ 2 = 2α 2 2α(a T e ). Ò ÒÓØ ÒØ a Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÑÔÓ ÒØ Ù Ú Ø ÙÖ a ÓÒ ÓÒ µ 2 = 2α(α a ). º¾º µ ÐÓÖ Ð Ú Ø ÙÖ a Ø ÒØ ÓÒÒ º¾º µ ÓÒÒ α Ù Ò ÔÖ α = ± a 2. Ò Ù Ø º¾º µ ÓÒÒ Ð Ð Ö µ Ú ÒÓÖ ÙÒ Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ù Ò µº Ò Ò º¾º µ Ò Ð Ú Ø ÙÖ uº Î Ö ÓÒ ÕÙ Ð Ú Ø ÙÖ u Ø Ð Ñ ØÖ H Ò ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒØ Ð ÔÖÓ¹ ÔÖ Ø Ö ÕÙ º ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ µ ÕÙ Ö Ú ÒØ ÙÔÔÓ Ö Ð Ú Ø ÙÖ a Ø ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐ Ô Ö ÝÔÓØ ÕÙ Ð Ú Ø ÙÖ a ÔÓ ÙÒ ÓÑÔÓ ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐÐ ÙØÖ ÕÙ a ÒÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö ÓÐÙ Ø H = Iµº ÐÓÖ ÓÑÔØ Ø ÒÙ º¾º µ Ø º¾º µ ÓÙ ÒÓÖ ³ ÔÖ º¾º µ u 2 2 = (µu)t (µu) µ 2 = (a αe ) T (a αe ), 2α(α a ) u 2 2 = α2 2αa + α 2 2α(α a ) = 2α(α a ) 2α(α a ) =, ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ ÕÙ u 2 = Ð Ú Ø ÙÖ u Ð ÒÓÖÑ Ö ÕÙ º ³ ÙØÖ Ô ÖØ Ô Ö Ð Ò Ø ÓÒ µ ÓÒ Ha = (I 2uu T )a = a uµ Ø ÓÒ ³ ÔÖ º¾º µ Ha = αe Ð Ñ ØÖ H Ò ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒÚ Òغ ij Ð ÓÖ Ø Ñ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ H ÙØ Ð Ù Ú Ñ ÒØ ÙÜ ÜØÖ ¹ Ø ÓÒ Ö Ò ÖÖ ÙÒ ÔÓÙÖ α г ÙØÖ ÔÓÙÖ µº Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ô ÙØ ÑÔÐ Ö Ò ÔÓ ÒØ ν = µ 2 /2 Ø v = µuº ÐÓÖ Ò ÙÔÔÓ ÒØ ØÓÙ ÓÙÖ µ ÓÒ H = I vv T /ν Ø Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ú ÒØ ( n α = a 2 i i= ν = α(α a ) v = a αe ) 2 º¾º µ
13 ½¾ Ó ÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØ Ö ÙÒ ÙÐ ÜØÖ Ø ÓÒ Ö Ò ÖÖ º ijÓÖ Ö ÐÙÐ Ù Ú Ø ÙÖ v Ø Ù Ð Ö ν Ø Ò Ö Òغ ÁÐ ÙØ Ð Ú Ö Ð³ Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ ÙÖ Ð Ò αº ÈÓÙÖ Ñ Ò Ñ Ö Ð ÖÖ ÙÖ ³ ÖÖÓÒ Ð ÙØ ÕÙ Ð ν ÕÙ ÒØ ÖÚ ÒØ Ù ÒÓÑ Ò Ø ÙÖµ Ó Ø Ð ÔÐÙ Ö Ò ÔÓ Ð Ò ÑÓ ÙÐ ÕÙ ÒØÖ Ò ÕÙ α Ó Ø ØÖ Ù Ò a º ÇÒ ÔÖ Ò ÓÒ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ ³ ÔÖ º¾º µ α = sgn(a ) ( n ν = α a + sgn(a ) i= a 2 i ( n i= ) 2. º¾º µ a 2 i ) 2. º¾º µ Ò Ö ÙÑ a Ø ÒØ Ö ÔÔ ÐÓÒ ¹Ð Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÑÔÓ ÒØ Ù Ú Ø ÙÖ a Ð ÐÙÐ Ð Ñ ØÖ H = I vv T /ν ³ ØÙ Ô Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ù Ú ÒØ ( n α = sgn(a ) ν = α(α a ) v = a αe a 2 i i= ) 2 º¾º µ Å Ò ÙÚÖ Ð Ñ Ø Ó ÀÓÙ ÓÐ Ö ÁÐ Ø Ò Ö ³ ÚÓ Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÐÙÐ Ù ÔÖÓ Ù Ø ³ÙÒ Ú Ø ÙÖ d ÕÙ ÐÓÒÕÙ Ô Ö Ð Ñ ØÖ Hº ÇÒ ÔÓ c = Hd = (I vv T /ν)d ÐÓÖ c = d βv/ν Ú β = v T d = n v i d i ³Ó Ò Ð Ñ ÒØ c = d γv Ú γ = β/νº i= Ò Ö ÙÑ Ó Ø Ð Ñ ØÖ ÀÓÙ ÓÐ Ö H = I vv T /ν Ð ÐÙÐ Ù ÔÖÓ Ù Ø ³ÙÒ Ú Ø ÙÖ d Ô Ö Ð Ñ ØÖ H Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ô Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ù Ú ÒØ β = v T d = n v i d i A () = i= γ = β/ν c = Hd = d γv º¾º½¼µ Ð ÓÖ Ø Ñ ÀÓÙ ÓÐ Ö ËÓ Ø A ÙÒ Ñ ØÖ Ö ÙÐ Ö Õ٠гÓÒ ÒÓØ A () Ú Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ a () a () n º º a () n a () nn ÓÒ ÒÓØ a Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ø ÙÖ ÓÐÓÒÒ Ð Ñ ØÖ A () º º¾º½½µ
14 ½ ÈÖ ÓÒ ÙÐ Ñ ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ø Ô Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ º ÇÒ ÓÒ ØÖÙ Ø Ð Ñ ØÖ H () = I vv T /ν Ø ÐÐ ÕÙ H () a = αe Ô Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ º¾º µº ÐÓÖ ÓÒ A (2) = H () A () = º a (2) a (2) 2 a (2) n a (2) 22 a (2) 2n º º a (2) n2 a (2) nn º¾º½¾µ Ú a (2) = α Ø α = a 2 Ö Ð Ñ ØÖ A () Ø Ö ÙÐ Ö Ô Ö Ý¹ ÔÓØ º Ò ØØ ÔÖ Ñ Ö Ø Ô ØÓÙ Ð Ð Ñ ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÐÓÒÒ A () ÓÒØ ÒÒÙРг Ü ÔØ ÓÒ ÓÒ ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØ ÕÙ ÓÒ ÒØÖ ØÓÙØ Ð ÔÓ Ð ÒÓÖÑ ÙÐ ÒÒ µ Ù Ú Ø ÙÖ Ó Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÐÓÒÒ º Ò Ò Ð ÓÐÓÒÒ A (2) Ô ÖØ Ö Ð ÙÜ Ñ ÓÒØ ÐÙÐ Ô Ö Ð ÓÖÑÙÐ º¾º½¼µº ËÓ Ø A (2) 22 ÓÒ ÓÒ det(a (2) ) = det(a () ) Ö Ð Ñ ØÖ A () Ø Ö ÙÐ Ö º Ð ÓÙ ¹Ñ ØÖ (a(2) ij ),2 i,j n A(2) º ÓÑÑ det(h () ) = ³ ÙØÖ Ô ÖØ det(a (2) ) = a (2) det(a(2) 22 ) Ø Ð ÖØ ÓÒ ÔÖ ÒØ Ñ¹ ÔÐ ÕÙ ÒØ ÕÙ det(a (2) 22 ) º Ä Ñ ØÖ A(2) 22 Ø ÓÒ Ö ÙÐ Ö Ø Ð ÔÖÓ Ù ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ô ÙØ ÔÓÙÖ Ù ÚÖ ÙÖ ØØ Ñ ØÖ Ò ÓÒ Ö ÒØ Ñ Ò¹ Ø Ò ÒØ ÔÖ Ñ Ö ÓÐÓÒÒ º ÇÒ ÚÓ Ø ÕÙ Ð Ð Ñ ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ò A (2) Ò ÓÒØ ÔÐÙ ÓÒ ÖÒ Ô Ö Ð Ù Ø Ð ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒº ij Ü Ñ Ò Ù Ô A (r ) A (r) Ø Ø Ò Ð Ð ÚÖ Ú ØÓÙØ Ð ÓÖÑÙÐ Ö ÕÙ º ij Ò ÐÝ Ñ ØÖ ÐÐ Ð Ñ Ø Ó ÀÓÙ ÓÐ Ö Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÒØ ÑÔÐ º ÇÒ A (n) = H (n ) H (n 2) H () A (), º¾º½ µ Ú A (n) ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ º Ä Ñ ØÖ A (n) Ø ÒÚ Ö Ð A = A () Ø ÒÚ Ö Ð º A (n) = r ieme Ð Ò ÙÖ º Ê Ñ ÖÕÙ º¾º º Ë A = A () Ò³ Ø Ô ÒÚ Ö Ð ÓÒ ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ Ú Ø ÙÖ ÒÙÐ ÙÒ Ø Ô r Ú Ø ÙÖ Ø ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ø ÙÖ ÓÐÓÒÒ ³ÙÒ Ñ ØÖ A (r) 22 º Ò Ð rieme Ø ÖÑ Ð ÓÒ Ð Ø ÙÒ Þ ÖÓ ÓÒ ÔÖ Ò H (r) = I Ø ÓÒ Ô ÙØ ÓÒØ ÒÙ Ö Ð ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ù ÕÙ³ Ð Òº Ä Ñ ØÖ A (n) ÐÓÖ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÙÖ º µº
15 ½ Ê Ñ ÖÕÙ º¾º½¼º Ä Ñ Ø Ó ÀÓÙ ÓÐ Ö Ø Ø Ð ÒÙÑ Ö ÕÙ Ñ ÒØ Ù Ò ÕÙ³ ÐÐ Ò Ö Ô Ð ÓÒ Ø ÓÒÒ Ñ ÒØ Ò Ø Ð Ð Ñ ØÖ Aº ÐÐ ÙØ Ð Ò Ø Ñ ØÖ ÀÓÙ ÓÐ Ö H ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ø ÓÒ Ø Ì ÓÖ Ñ ½º¾ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ð Ò µ ÕÙ Ð ÓÒ Ø ÓÒÒ Ñ ÒØ cond 2 (A) Ø ÒÚ Ö ÒØ Ô Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÒ Ø Ö º Ê Ñ ÖÕÙ º¾º½½º ÓÑÑ ÔÓÙÖ Ð Ñ Ø Ó Ù ÚÓ Ö Ð Ê Ñ ÖÕÙ º¾º µ Ð Ñ Ø Ó ÀÓÙ ÓÐ Ö Ø ÙÒ ÓÙØ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ ³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ù Ø ÖÑ Ò ÒØ ³ÙÒ Ñ ØÖ º ÁÐ Ø Ð Ö ³ ÔÖ º¾º½ µ г ÒÚ Ö ³ÙÒ Ñ ØÖ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø ÒØ ÙÒ Ñ ØÖ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ ÕÙ det(a) = ( ) n det(a (n) ), ÐÓÖ ( ) det(a) = ( ) n a (2) a(n+) n,n. º¾º½ µ ij Ð ÓÖ Ø Ñ ÀÓÙ ÓÐ Ö ÓÒÒ ÙÒ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÓ ¹ Ø ÓÒ Ø ÉÍ ³ÙÒ Ñ ØÖ º Ì ÓÖ Ñ º¾º½º ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ñ ØÖ A Ð Ü Ø ÙÒ Ñ ØÖ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Q ÔÖÓ Ù Ø (n ) Ñ ØÖ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ö Ð Ñ ØÖ ÀÓÙ ÓÐ Öµ Ø ÙÒ Ñ ØÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ U Ø ÐÐ ÕÙ A = QUº ÈÖ ÙÚ ÐÐ Ø Ð Ò Ð ÓÒØ ÜØ º ÇÒ ³ ÔÖ º¾º½ µ A () = A = [H () ] [H (n ) ] A (n). ÈÓ ÓÒ Q = [H () ] [H (i) ] [H (n ) ] ÒÓÙ ÚÓÒ ÚÓ Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø H Ð Ë Ø ÓÒ º¾º µ ÕÙ [H (i) ] = H (i) Ú Ú ÒØÙ ÐÐ ¹ Ñ ÒØ H (i) = Iµ ÐÓÖ Q = H () H (i) H (n ) ÔÓ ÓÒ ÔÐÙ U = A (n) ÕÙ Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ Ð ÓÒÐÙ ÓÒ Ù Øº Ê Ñ ÖÕÙ º¾º½¾º ÓÑÑ ÔÓÙÖ Ð Ñ Ø Ó Ù ÓÒ Ô ÙØ ÓÑÔØ Ö Ü Ø Ñ ÒØ Ð ÒÓÑ Ö ³ÓÔº к Ö ÕÙ ÔÓÙÖ Ð Ñ Ò ÙÚÖ Ð Ñ Ø Ó ÀÓÙ ÓÐ Öº ÇÒ Ú Ö ÕÙ³ Ð ÙØ Ð³ÓÖ Ö 2n 3 /3 Ø ÓÒ Ø 2n 3 /3 ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ ÙÜ Ó ÔÐÙ Ö ÕÙ Ð Ñ Ø Ó Ù º ÆÓØÓÒ Ù ÕÙ³ ÐÐ Ò Ø Ð ÐÙÐ n Ö Ò ÖÖ º Ô Ò ÒØ Ð Ñ Ø Ó Ò Ñ Ò ÙÙÒ ØÖ Ø Ô ÚÓØ ÓÒ Ó ÖÚ ÕÙ ÓÒ ÔÖ Ò Ô Ú Ø Ñ Ñ ØÓÙØ Ô ÚÓØ Ñ Òغ ÇÖ Ö ÔÔ ÐÓÒ ÕÙ Ð Ö Ö Ù Ô ÚÓØ Ø Ò Ö Ò Ð Ñ Ø Ó Ù ÕÙ Ú ÑÑ ÒØ ÙÒ Ó Ø ÒÓÒ Ò Ð Ð º ÖÑ Ö ÕÙ ÀÓÙ ÓÐ Ö Ø ÙÜ Ó ÔÐÙ Ö ÕÙ Ù Ø ÓÒ ÒÙ Ò Öº
16 ½ ÁÒØ Ö Ø ØØ Ñ Ø Ó ÈÓÙÖ ÓÑÔÐ Ø Ö Ð ÖÒ Ö Ö Ñ ÖÕÙ Ð Ø ÙØ Ð Ö Ô ØÙÐ Ö Ú ÒØ º ³ Ø ÙÒ Ñ Ø Ó Ø Ð Ù Ò Ó ÒÓ٠г ÚÓÒ ÒØ Ò Ù Ð Ê ¹ Ñ ÖÕÙ º¾º½¼º È Ö ØØ Ñ Ø Ó ÓÒ Ô ÙØ ØÓÙ ÓÙÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö Ö ÙÒ Ñ ØÖ Õ٠й ÓÒÕÙ Ò ÙÐ Ö ÓÙ ÒÓÒº Ë ÓÒ ÓÒ ØÖÙ Ø ÙÒ Ñ ØÖ H Ø ÐÐ ÕÙ ØÓÙØ Ú Ø ÙÖ a R n Ô ÙØ ØÖ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ÙÒ ÓÑ Ò ÓÒ Ð Ò Ö Ð ÓÖÑ Ha = αe + βe 2 Ó e Ø e 2 ÓÒØ Ð ÙÜ ÔÖ Ñ Ö Ú Ø ÙÖ Ð ÒÓÒ ÕÙ R n ÐÓÖ ÓÒ Ô ÙØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö A Ò Ð ÔÖ ÑÙÐØ ÔÐ ÒØ Ô Ö H Ò ÙÒ Ñ ØÖ Ù ØÝÔ À Ò Ö ÙÔ Ö ÙÖº ij Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ³ÙÒ Ø ÐÐ Ñ ØÖ H ÙØ Ð Ð Ö Ñ ÒØ Ð ÔÖ ÒØ Ø Ð Ø Ô Ò ÔÐÙ ÓÑÔÐ ÕÙ º È Ö ØØ Ñ Ø Ó ÓÒ Ô ÙØ ÐÓÖ ØÖ ÓÒ Ð Ö ÙÒ Ñ ØÖ º ÁÐ Ù Ø ÔÖ ¹ Ø ÔÓ Ø¹ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ð Ñ ØÖ A (r) Ù Ú Ô Ö Ñ ØÖ ÓÒÚ Ò Ð ÕÙ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒØ ØÓÙØ Ú Ø ÙÖ a Ò Ð ÓÑÑ αe + βe 2 µ ÓÒ Ñ Ò Þ Ò ØÙÖ ÐÐ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Å ÒØ ÓÒÒÓÒ ÕÙ Ð ÙÜ ÖÒ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ð Ñ ØÖ A ÓÒØ ÙØ Ð Ò ÖØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÐÙÐ Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ Aº ³ Ø ÙÒ Ø Ô ÔÖ Ð Ð ÐÙк
Ê ÙÐ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ù Ö Ø ØÙÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ö Ï ÙØ Ð Ø ÙÐØ ÆÓØÖ ¹ Ñ Ä È Ü Æ ÑÙÖ Ð ÕÙ Û ÙØ Ð Ò Óº ÙÒ Ôº º Ê ÙÑ º ij ÑÔÓÖØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ù Ò³ Ø ÔÐÙ ÑÓÒØÖ Öº Ò Ø Ð Ó Ü ³ÙÒ ØÝÔ
Î ÐÙ Ø Ê Ñ ÙÖ Ô Ø Ð ÓÒÓÑ ÕÙ µ Ð Ê ÓÙÐ Ø ² Ì ÖÖÝ ÊÓÒ ÐÐ ÖÓÙÔ Ê Ö ÇÔ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ Ö Ø ÄÝÓÒÒ Ñ Ð ÐºÖ ÓÙÐ ØÖ ØÐÝÓÒÒ º Ö Ø ÖÖݺÖÓÒ ÐÐ Ö ØÐÝÓÒÒ º Ö ÈÐ Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÒØ ÓÒ ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÓÒ ÔÖÓÔÖ Ø Î ÐÙ ¹ Ø¹Ê Ä Ü
ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ Á ÙÐØ Ë Ò ÓÒÓÑ ÕÙ Î ÄÍ ÌÁÇÆ ÅÈÁÊÁÉÍ Ë Å ÆÁËÅ Ë ÌÊ ÆËÅÁËËÁÇÆ Ë ÀÇ Ë ÇÆ Å ÆÌ Í Ì ÆÇÆ ÇÆ Å ÆÌ Í Î ÊË Ä Ë Å Ê À Ë ÇÍÊËÁ ÊË Ì ÔÖ ÒØ ÔÓÙÖ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ø ØÖ ÓØ ÙÖ Ä³ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ Á ÈÖ ÒØ
Ê ÔÔÓÖØ Ø Ù ÐÐ ÙÑ Î Ð ÓÒ ¾ Ù Ò ¾¼¼¼ Ì Ð Ñ Ø Ö Á ÓÖ Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ½ ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø ¾ Ä ÓÑ Ò ³ Ø Ú Ø ¾º½ Ñ Ò ØÖ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ö Ø ØÙÖ Ö ÙÜ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º
Ï Í Å Ò Ò ÁÒØ Ö¹Ë Ø Ò ÐÝ Ù ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ ÍØ Ð Ø ÙÖ ÁÑÔ Ø ÁÑÑ Ø ÁÒØ Ö Ø Ï Í Å Ò Ò Í Ö Ú ÓÙÖ Ò ÐÝ Û Ø ÁÑÑ Ø ÁÑÔ Ø º Å Ð ½ ¾µ ź Ì Ö ½µ Ⱥ ÈÓÒ Ð Ø ½µ ½µ ÄÁÊÅÅ ÍÅÊ ÆÊË ¼ ½ ½ ÊÙ ¾ ÅÓÒØÔ ÐÐ Ö Ü Ö Ò ¾µ Ä ÓÖ ØÓ
ÓÐ ÓØÓÖ Ð Å Ø Ñ Ø ÕÙ Ë Ò Ø Ì ÒÓÐÓ Ð³ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Í Ê ÁÅ ÓÖÑ Ð Ø ÓÒ ÓÒÒ Ò ÓÙÑ ÒØ Ö Ø ÓÒÒ Ò ÓÒ ÔØÙ ÐРг ³ÓÒØÓÐÓ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ö ÔØ ÓÒ ÓÙÑ ÒØ Ù ÓÚ Ù Ð ÌÀ Ë ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ð Å Ö ¾¼¼ ÔÓÙÖ
ÍÒ Ú Ö Ø ÅÓÒØÖ Ð ÍÒ ÑÓ Ð ÙÒ ÓÖÑ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð Ø ÓÒ Ø Ð Ñ Ø ÑÓ Ð Ø ÓÒ ³ÙÒ Ñ ÑÓ Ö ³ ÒØÖ ÔÖ Ô Ö ÇÐ Ú Ö Ö Ô ÖØ Ñ ÒØ ³ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ø Ö Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ ÙÐØ ÖØ Ø Ò Ì ÔÖ ÒØ Ð ÙÐØ ØÙ ÙÔ Ö ÙÖ Ò ÚÙ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ö È
P etit pat hw o rk de ombinatoire énumérative Mireille Bousquet-Mélou, CNRS, LaBRI, Bo rdeaux http://www.lab ri.fr/ b ousquet
Ô Ø ÛÓÖ È Ø Ø ÓÑ Ò ØÓ Ö ÒÙÑ Ö Ø Ú Å Ö ÐÐ ÓÙ Õ٠عŠÐÓÙ ÆÊË Ä ÊÁ ÓÖ ÙÜ ØØÔ»»ÛÛÛºÐ Ö º Ö» ÓÙ ÕÙ Ø Ä ÓÑ Ò ØÓ Ö ÒÙÑ Ö Ø Ú ººº ³ ØÕÙÓ ÈÓÙÖÕÙÓ ÓÑÑ ÒØ ÇÅÈÌ Ê κ ij ÖØ ÓÑÔØ Ö Ô Ðغ Ø Ð ÖÐ ÒÓÑ Ö Ö Ö ÒÓÑ Ö Ö ÒÓÑ
Vérification d invariants de systèmes paramétrés par superposition
Université defranche-comté École doctorale Sciences Pour l Ingénieur et Microtechniques U.F.R. des Sciences et Techniques Vérification d invariants de systèmes paramétrés par superposition THÈSE présentée
ÍÒ Ú Ö Ø Ö ÒÓ Ê Ð ÌÓÙÖ ÓÐ ÓØÓÖ Ð Ë ÒØ Ë Ò Ø Ì ÒÓÐÓ ÒÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ö ¾¼¼¾¹¾¼¼ BLOIS CHINON ÌÀ Ë ÈÇÍÊ Ç Ì ÆÁÊ Ä Ê Ç Ì ÍÊ Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÌÇÍÊË ÔÐ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ô Ö Æ ÓÐ Ä ÊÇ À Ð Ñ Ö
Ì ÖÖÝ ÅÓÝ ÙÜ ÖÓÙÔ Å Ë ÂÙ ÐÐ Ø ¾¼¼¾ Ì Ò ÕÙ ÑÙÐØ ÒØ ÔÓÙÖ Ð Ö ÙØ ÓÒ Ð³ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ð Ñ Ò Ò ÙÒ Ò ÐÓ Ø ÕÙ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð³ Ò Ù ØÖ ÓÖ Ø Ö Ö Ø ÙÖ ÈÖÓ º Ö Ñ ¹ Ö Ó¹ Ö Ø ÙÖ ÈÖÓ º ËÓÔ ³ ÑÓÙÖ ÈÖÓ º ÖÒ Ö Ô Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ø ÓØÓÖ
ÇÆ ÈÌÁÇÆ Ì Ê ÄÁË ÌÁÇÆ ³ÍÆ ÈÈÄÁ ÌÁÇÆ ËÌÁÇÆ Ê Ë Í Ë ÇÅÈÇË ÆÌË Ê È ÊÌÁË Ô Ö ÅÓ Ñ Ö Þ Ñ ÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ù Ô ÖØ Ñ ÒØ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ø ³ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ò ÚÙ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ö Ñ ØÖ Ò ÅºËºµ ÍÄÌ Ë Ë Á Æ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ËÀ Ê ÊÇÇÃ
¹ËÁÊ ¹ Ê ÔÔÓÖØ Ø ÈÖÓ Ø Ä Ò Ø Ê Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö Ö Ò Ó Ò Æ Ó Ò Ö Ñ ÒØ ÀÙ ÖØ Æ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼¾ ¾ Ì Ð Å Ø Ö ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ Ø Ø Ð³ ÖØ ½ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ò Â Ú Ü Ò Ö Å ½ ÔØ Ñ Ö ¾¼½ Ì Ñ Ø Ö ½ ÆÓØ ÓÙÖ ¾ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º½º½ À Ó ÏÓÖ º º º
Ä Ù Ù ÊÇÇÌ Ö ÔÓÙÖ Ä ÒÙÜ Ö ÙÑ Ö º ÙÑ Ä ÒÙܺ ͺÇÖ Ö º ÙÑ Ö Ò ÜºÓÖ Î Ö ÓÒ ¾º ¾½ Ë ÔØ Ñ Ö ½ Ì Ð Ñ Ø Ö ½ ÈÖ Ñ ÙÐ ½ ½º½ À ØÓ Ö Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
z x h ÙÖ ½ ÓÑØÖ Ù ÔÖÓÐѺ ½º ÁØÖÓÙØÓ ÁÐ Ø ÓÙ ÕÙ Ù ÓÙ Ó ÔÖÓÖ ÓØ Ý ØÑ Æ ÔÓÙÖ ÔÖ Ð³Ö ÚÙ Ð Ó ÂÖÐ ÂÖÐ ½½µ ÓØ ÐÖÑØ ÙØÐ ÔÓÙÖ ÑÓÖØÖ Ð ÐÔÓØ Ð ÔÓÖØ Ù ÔÖÓÖ ÓØ Ú ÓÑÑ Ý ØÑ ÔÖÓØØÓ ÓØÖ ÚÓÖ ÔÖ ÜÑÔÐ ÖÑ ² ÇÙÑÖ ½ ÓÙ ÐÙ ²
Ä ÇÊ ÌÇÁÊ ÈÀ ËÁÉÍ ÌÀ ÇÊÁÉÍ ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÈÁ ÊÊ ÌÅ ÊÁ ÍÊÁ ij ÇÄ ÆÇÊÅ Ä ËÍÈ ÊÁ ÍÊ ÌÀ Ë Ç ÌÇÊ Ì Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ È ÊÁË ËÔ Ð Ø ÈÀ ËÁÉÍ ÌÀ ÇÊÁÉÍ Ë Ö ÄÇÊ ÆË ÔÖ ÒØ Ô Ö Ç Ì ÍÊ Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ È ÊÁË ÔÓÙÖÓ Ø Ò ÖÐ Ö ÇÀ Ê Æ ÌÄÇ
STATUTS DE L ASSOCIATION. Association régie par par la Loi du 1 er juillet 1901
STATUTS DE L ASSOCIATION Association régie par par la Loi du 1 er juillet 1901 Statuts adoptés par l Assemblée Générale Extraordinaire du dimanche 1 er avril 2007 ËØ ØÙØ Ð³ Ó Ø ÓÒ ÖØ Ð ÔÖ Ñ Ö¹ ÒÓÑ Ò Ø
2 20 e Journées Bases de Données Avancées (BDA 2004). 1. Introduction
arxiv:0704.3501v1 [cs.db] 26 Apr 2007 Conception d un banc d essais décisionnel : ÖÓÑ º ÖÑÓÒØÙÒ Ú¹ÐÝÓÒ¾º Ö Jérôme Darmont Fadila Bentayeb Omar Boussaïd ERIC Université Lumière Lyon 2 5 avenue Pierre Mendès-France
Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½
Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½ Patrick Ciarlet et Vivette Girault ciarlet@ensta.fr & girault@ann.jussieu.fr ENSTA & Laboratoire Jacques-Louis Lions, Paris 6 Condition
DELIBERATION N CP 13-639
CONSEIL REGIONAL D ILE DE FRANCE 1 CP 13-639 DELIBERATION N CP 13-639 DU 17 OCTOBRE 2013 La politique sociale régionale La politique régionale pour les personnes en situation de handicap Cinquième affectation
Commande Prédictive. J. P. Corriou. LSGC-ENSIC-CNRS, Nancy. e-mail : corriou@ensic.inpl-nancy.fr
Commande Prédictive J P Corriou LSGC-ENSIC-CNRS, Nancy e-mail : corriou@ensicinpl-nancyfr Ý Consigne Trajectoire de référence Ý Ö Réponse Ý Horizon de prédiction À Ô ¹ Ù ¹ Temps Entrée Ù Horizon de commande
ASR1 TD7 : Un microprocesseur RISC 16 bits
{Â Ö Ñ º ØÖ Ý,È ØÖ ºÄÓ Ù,Æ ÓÐ ºÎ ÝÖ Ø¹ ÖÚ ÐÐÓÒ} Ò ¹ÐÝÓÒº Ö ØØÔ»»Ô Ö Óº Ò ¹ÐÝÓÒº Ö» Ö Ñ º ØÖ Ý»¼ Ö½» ASR1 TD7 : Un microprocesseur RISC 16 bits 13, 20 et 27 novembre 2006 Présentation générale On choisit
Sharp interface limit of an Allen-Cahn equation with conservation of the mass
Sharp interface limit of an Allen-Cahn equation with conservation of the mass Matthieu Alfaro and Pierre Alifrangis, I3M, Université de Montpellier 2, CC051, Place Eugène Bataillon, 34095 Montpellier Cedex
Raisonnement distribué dans un environnement de type Pair-à-Pair
Actes JNPC 04 Raisonnement distribué dans un environnement de type Pair-à-Pair P. Adjiman P. Chatalic F. Goasdoué M.-C. Rousset L. Simon adjiman,chatalic,fg,mcr,simon @lri.fr Résumé Dans un système d inférence
Programme Prélavage vapeur. Nettoyage automatique du tambour Permet de nettoyer automatiquement le tambour.
Ó ² ¼ù ² «½ ±² ¼«Ô ª»óÔ ²¹» ÓßÒËÛÔ Üù ÒÍÌÎËÝÌ ÑÒÍ ÜÉÝóÔÝïîïïÍ ñ ÜÉÜóÔÜïìïÕÝÍ Verrouillage enfant Le système de verrouillage enfant empêche que les enfants appuient sur un bouton et modifient le programme
Premier réseau social rugby
Premier réseau social rugby Rugbygeneration.com est le premier site de la communauté autour de Rugby. Dédié à tous les fans de rugby et les amateurs de toutes générations. Rugby? Échanger, rester en contact,
Le Processus Unifié de Rational
Le Processus Unifié de Rational Laurent Henocque http://laurent.henocque.free.fr/ Enseignant Chercheur ESIL/INFO France http://laurent.henocque.perso.esil.univmed.fr/ mis à jour en Novembre 2006 Licence
!" #$# % *(!( % (+#$#, ) ( 5- % % 2! $!!!!87777777777!!!!8777777 -% %. / 0 1 ' 2% %. (3 4 562( % 4 5
Bulletin d adhésion au contrat groupe Responsabilité Civile Professionnelle n B1302525PNPI souscrit par AMAVIE pour le compte exclusif des écoles accréditées.!" #$# % &%!'(" "()' ( *(!( % (+#$#, ) -% %.
Cours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
1348 Louvain-la-Neuve TVA BE0428.750.985 RPM Nivelles
I I I S S C C 1348 Louvain-la-Neuve TVA BE0428.750.985 RPM Nivelles Louvain-la-Neuve, le 13 avril 2015 Cher Actionnaire, Concerne: Assemblée Générale Ordinaire et Spéciale du 13 mai 2015 à 10h00 Nous avons
Analyse du temps de réponse des systèmes temps réel
Analyse du temps de réponse des systèmes temps réel Pascal Richard Laboratoire d Informatique Scientifique et Industrielle, ENSMA BP 40198 Téléport 2 F-86960 Futuroscope pascal.richard@ensma.fr RÉSUMÉ.
Chapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Fiches explicatives. La Convention Collective des Assistants Maternels du Particulier Employeur
Table des Matières La Convention Collective des Assistants Maternels du Particulier Employeur Fiches explicatives Ce document a été réalisé par l APEGE Il peut être copié/diffusé sans restriction sous
%$&$#' "!# $! ## BD0>@6,;2106>+1:+B2.6;;/>0.2106>9*27+2.1/+BB+:/@6>.106>>+;+>1:+>6;*,+/EA,6.+77/7A,6@+7706>>+B79 561,+76.08189:+;61,+8.6>6;0+976>1:+?+>/+7@6,1+;+>1:8A+>:2>1+7:+B21+.C>6B630+:+ 1+.C>6B630=/+FGD+7A06>>23+8.6>6;0=/++1A6B010=/+:2>7B+.)*+,+7A2.+;+1+>:2>3+,B+A61+>10+B
Quelles solutions pour des établissements de santé à consommation d énergie annuelle inférieure à
Quelles solutions pour des établissements de santé à consommation d énergie annuelle inférieure à 100 kwh/m²? Rapport final Convention ADEME 04 07 C0043 Référence ARMINES 41204 Référence CSTB DDD/PEB -
VILLE DE VILLEURBANNE CONSEIL MUNICIPAL 5 JUILLET 2010. -ooo-
VILLE DE VILLEURBANNE CONSEIL MUNICIPAL 5 JUILLET 2010 -ooo- La s é a n c e e s t o u v e r t e s o u s l a p r é s i d e n c e d e M o n s i e u r J e a n - P a u l BR E T, M a i r e d e V i l l e u r
Ô»» ¾ ò ݱ²²» ±² Ý» ¼» ø ± ¼ ò «²»» ±² ±¹±«± ½ ²¹»» ³± ¼»» ¼ ß ¼» Ö±µ» ±¹ ²» ª±»³± ¼»» ³ ² ½³¼ ²º± ½³¼ ò á ö Å» à Å» à ³± ¼ ²» º³± ô³± ¹ ö Ô ½±³³ ²¼» º ²¼ º ²¼» ± ±² òòò Ñ ±² æ ²±³ ó² ³»» ² ó»»»»½ «²»
! " #$ % $! & '(# ) (%%
" #$ % $ & '(# ) (%% "#$ %&' # ( ) #* +,#*+-),- ). * /. 0),12-3 45 #3 /45 ) 67 #*+ & ) 5 ) #*+ )5 #& #*+ 0 / )5 8 )0 ) 0)12 5+ )& ) )12) 7)0 5 ) 9/ 5 2 ) ) '12 ) /) 5" ) 7) 6 ): 05 2 5 80 7 ) 0,$#- ) &
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
L ÉVOLUTION PROFESSIONNELLE CERTIFIÉE
L ÉVOLUTION PROFESSIONNELLE CERTIFIÉE L ÉVOLUTION PROFESSIONNELLE CERTIFIÉE GESTION DES SYSTÈMES D INFORMATION ET DE COMMUNICATION Réseautique Sécurité informatique Système d exploitation Géomatique SERVICE
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
APPROCHE DE MODELISATION DE LA PROPAGATION DE L INCENDIE DANS UN EDIFICE ET SON INTEGRATION DANS UN SYSTEME DECISIONNEL
APPRCHE DE MDELISATIN DE LA PRPAGATIN DE L INCENDIE DANS UN EDIFICE ET SN INTEGRATIN DANS UN SYSTEME DECISINNEL Sanae KHALI ISSA (*), Abdellah AZMANI (*), Karima ZEJLI (**) sanaeissa@gmail.com, abdellah.azmani@gmail.com,
2 Professionnaliser les structures et développer les compétences collectives...8 2.1 Synthèse...8 2.2 Des illustrations...9 2.3 Des orientations...
! " #$ % &'%! 1 Le contexte du secteur...4 1.1 Repositionner l offre associative face à la concurrence...4 1.2 Mieux connaître les besoins des publics...5 1.3 Développer des activités nouvelles et cibler
Sur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant
HRP H 2 O 2. O-nitro aniline (λmax = 490 nm) O-phénylène diamine NO 2 NH 2
! #"%$'&#()"*!(,+.-'/0(,()1)2"%$ Avant d effectuer le dosage en IR de la biotine, il est nécessaire de s assurer de la reconnaissance du traceur par la streptavidine immobilisée sur les puits. Pour cela,
Une comparaison de méthodes de discrimination des masses de véhicules automobiles
p.1/34 Une comparaison de méthodes de discrimination des masses de véhicules automobiles A. Rakotomamonjy, R. Le Riche et D. Gualandris INSA de Rouen / CNRS 1884 et SMS / PSA Enquêtes en clientèle dans
FICHE DE RENSEIGNEMENTS SAISON 2013 2014
USC BASKET Salle S. Chénedé Rue Sainte Croix 35410 CHATEAUGIRON Tél. 02.99.37.89.89 Site : www.chateaugiron-basket.com FICHE DE RENSEIGNEMENTS SAISON 2013 2014 Mme M. Nom et prénom de l adhérent : Adresse
(Quelle identité par la parole?) Thèse. présentée à la section. Systèmes de Communication. par. Dominique Genoud
Reconnaissance et transformation de locuteurs (Quelle identité par la parole?) Thèse présentée à la section Systèmes de Communication de l Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL) par Dominique
Probabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
!" #$#% #"& ' ( &)(*"% * $*' )#""*(+#%(' $#),")- '(*+.%#"'#/* "'") $'
!" #$#% #"& ' ( &)(*"% * $*' )#""*(+#%(' $#),")- '(*+.%#"'#/* "'") $' &!*#$)'#*&)"$#().*0$#1' '#'((#)"*$$# ' /("("2"(' 3'"1#* "# ),," "*(+$#1' /&"()"2$)'#,, '#' $)'#2)"#2%#"!*&# )' )&&2) -)#( / 2) /$$*%$)'#*+)
Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Montpellier pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel.
Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Montpellier pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Ce fichier numérique ne peut être reproduit, représenté,
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
+, -. / 0 1! " #! $ % % %! &' ( &))*
!"#!$%% +,-. /01 %!&'(&))* 23%#!! " # " " " "$! 4 5-6 4! 1! " # - 5! " # 6 3! " # 7! " # " 8! 9 : ; 5 7 4! 1! # 42 5! 5 < 44 3! # " 7! 41 5 8 '9 4! " $ = " > 4!4 *% 43 4!1? 48 4 4!5 $ 9 4!3 4@ 4!7 $ #
MATLAB : COMMANDES DE BASE. Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */.
Page 1 de 9 MATLAB : COMMANDES DE BASE Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */. Aide help, help nom_de_commande Fenêtre de travail (Command Window) Ligne
Patentamt JEuropaisches. European Patent Office Numéro de publication: 0 1 1 0 7 6 7 Office européen des brevets DEMANDE DE BREVET EUROPEEN
Patentamt JEuropaisches European Patent Office Numéro de publication: 0 1 1 0 7 6 7 Office européen des brevets ^ DEMANDE DE BREVET EUROPEEN Numéro de dépôt: 83402232.9 @ Int. Cl.3: G 06 F 7/52 Date de
Probabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point
03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de
MUTATIONS ÉCONOMIQUES DANS LE DOMAINE AUTOMOBILE. Démarche méthodologique et synthèse
MUTATIONS ÉCONOMIQUES DANS LE DOMAINE AUTOMOBILE Démarche méthodologique et synthèse AVRIL 2010 Démarche méthodologique et synthèse Premier ministre Ministère de l espace rural et de l aménagement du
Texte intégral. Cour de cassation chambre civile 3 Audience publique du mercredi 30 juin 2010 N de pourvoi: 09-15360 Non publié au bulletin Rejet
Cour de cassation chambre civile 3 Audience publique du mercredi 30 juin 2010 N de pourvoi: 09-15360 Non publié au bulletin Rejet M. Lacabarats (président), président SCP Gadiou et Chevallier, SCP Roger
L Econométrie des Données de Panel
Ecole Doctorale Edocif Séminaire Méthodologique L Econométrie des Données de Panel Modèles Linéaires Simples Christophe HURLIN L Econométrie des Données de Panel 2 Figure.: Présentation Le but de ce séminaire
Un exemple d étude de cas
Un exemple d'étude de cas 1 Un exemple d étude de cas INTRODUCTION Le cas de la Boulangerie Lépine ltée nous permet d exposer ici un type d étude de cas. Le processus utilisé est identique à celui qui
Complétez, signez la Convention ci-après et paraphez les conditions générales,
Réservé à la vente à distance C o m m e n tt s o u s c rr i rr e? Si vous n êtes pas déjà client du Crédit Coopératif 1 2 3 4 complétez la demande d'ouverture de compte veillez à bien remplir toutes les
L AIDE AUX ATELIERS D ARTISTES :
RAPPORT DAVID LANGLOIS-MALLET SOUS LA COORDINATION DE CORINNE RUFET, CONSEILLERE REGIONALE D ILE DE FRANCE L AIDE AUX ATELIERS D ARTISTES : PROBLÉMATIQUES INDIVIDUELLES, SOLUTIONS COLLECTIVES? DE L ATELIER-LOGEMENT
Programmation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise
Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise Marc Mezzarobba Sam Zoghaib Sujet proposé par François Loeser Résumé Nous exposons un ensemble de méthodes qui permettent d évaluer «en forme
Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Théorie des Langages
Théorie des Langages Analyse syntaxique descendante Claude Moulin Université de Technologie de Compiègne Printemps 2010 Sommaire 1 Principe 2 Premiers 3 Suivants 4 Analyse 5 Grammaire LL(1) Exemple : Grammaire
MA6.06 : Mesure et Probabilités
Année universitaire 2002-2003 UNIVERSITÉ D ORLÉANS Olivier GARET MA6.06 : Mesure et Probabilités 2 Table des matières Table des matières i 1 Un peu de théorie de la mesure 1 1.1 Tribus...............................
Introduction à MATLAB et SIMULINK
Introduction à MATLAB et SIMULINK Un guide pour les élèves de l École Nationale Supérieure d Ingenieurs Electriciens de Grenoble Paolino Tona Laboratoire d Automatique de Grenoble Ce document couvre les
Optimisation multi-critère pour l allocation de ressources sur Clouds distribués avec prise en compte de l énergie
Optimisation multi-critère pour l allocation de ressources sur Clouds distribués avec prise en compte de l énergie 1 Présenté par: Yacine KESSACI Encadrement : N. MELAB E-G. TALBI 31/05/2011 Plan 2 Motivation
1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Etude des problèmes de sécurité liés au protocole SIP (Session Initiation Protocol)
Etude des problèmes de sécurité liés au protocole SIP (Session Initiation Protocol) Boucadair Mohamed France Télécom R&D- DMI/SIR 42 rue des Coutures, 14066 Caen Cedex, France. mohamed.boucadair@rd.francetelecom.com
ANNEXES...16 Notation...16 Rente financière certaine...16. Mémo d Actuariat - Sophie Terrier @ 2004 1/16
ÉO TUIT FOULS TUILLS SU TT Probbé ouo 3 dfféré4 ee gère be à ere échu 5 ee gère be à ere échu ueur fo d ée 6 ee gère à ere be d ce7 ee gère à ere be d ce ueur fo d ée8 urce décè 9 urce décè à c rbe cro
MT940-MultiLine. Formats. Version 3.02 du 17/01/2013. Sommaire: Extraits de compte (Formats utilisés) 2
MT940-MultiLine ormats Version 3.02 du 17/01/2013 Sommaire: Extraits de compte (ormats utilisés) 2 1. Structure de l extrait de compte < ormat MT940 > 3 2. Structure de l extrait de compte < ormat étendu
>> TECHNIQUES DE COMPTABILITÉ ET DE GESTION 410.B0
Pondération : le 1 er chiffre représente le nombre d heures de théorie, le 2 e chiffre représente le nombre d heures de laboratoire et le 3 e chiffre représente le nombre d heures de travail personnel.
OpenLDAP : retour d expérience sur l industrialisation d annuaires critiques
Intervention du 29 Avril 2004 9 h 15 10 h 45 M. Sébastien Bahloul Chef de projet Expert Annuaire LDAP bahloul@linagora.com OpenLDAP : retour d expérience sur l industrialisation d annuaires critiques Plan
YANN ROUDAUT - Professeur de l Ecole Française de Poker - roudaut@ecolefrancaisedepoker.fr - 06 28 76 48 93
MODULE LES MATHEMATIQUES DU POKER Probabilités et Notions de Cotes - Partie 1 YANN ROUDAUT - Professeur de l Ecole Française de Poker - roudaut@ecolefrancaisedepoker.fr - 06 28 76 48 93 A/ POKER ET MATHEMATIQUES
À Jean-Yves, Marie-Thé, Loïc, Gabi et Marguerite.
ÌÀ Ë Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ È ÊÁ˹ËÍ Á ÈÀ ËÁÉÍ ËÔ Ð Ø Å ÐÄ ÌÊ ÍËÌ ÈÖ ÒØ Ô Ö Ç Ì ÍÊ Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ È ÊÁ˹ËÍ Á ÔÓÙÖÐ³Ó Ø ÒØ ÓÒ ÙØ ØÖ ÌÀ ÇÊÁ ijÁÆ ÇÊÅ ÌÁÇÆ Â Í Ê È Ì Ë Î Ç Ë ÊÎ ÌÁÇÆ ÁÅÈ Ê ÁÌ ÌÊ Ë Í ÇÅÅÍÆÁ ÌÁÇÆ ÆÌÊ ÄÁË Ë
Bougez, protégez votre liberté!
> F a Bgz, pégz v bé! www.a-. CAT.ELB.a240215 - Cé ph : Fa Daz à v p aé N az p a v gâh a v! Aj h, p g évq v ; Pa, p 4 aça q, v, éq qaé v. Ca ax é ç, b pa évé ax p âgé a h a p j. E pè v, h pa épagé. Pa
Plus courts chemins, programmation dynamique
1 Plus courts chemins, programmation dynamique 1. Plus courts chemins à partir d un sommet 2. Plus courts chemins entre tous les sommets 3. Semi-anneau 4. Programmation dynamique 5. Applications à la bio-informatique
SYSTEME D EXPLOITATION : MS-DOS
!"# SYSTEME D EXPLOITATION : MS-DOS INTRODUCTION :!"# DEFINITION : # % & ' ( ) # # ) * + # #, #, -",.*",.*"/01- SYSTEME D EXPLOITATION MS-DOS : "%&'(!&"(%) +# -",.*" 2(# "%"&""&"(%) -",.*" 2 #-",.*" 3
SIGNAUX NUMERIQUES ET MODULATIONS NUMERIQUES
SIGNAUX NUMERIQUES ET MODULATIONS NUMERIQUES ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- LES SIGNAUX NUMERIQUES Un signal numérique
Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Développements limités usuels en 0
Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n
Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Livret de liaison Seconde - Première S
Livret de liaison Seconde - Première S I.R.E.M. de Clermont-Ferrand Groupe Aurillac - Lycée Juin 2014 Ont collaboré à cet ouvrage : Emmanuelle BOYER, Lycée Émile Duclaux, Aurillac. Patrick DE GIOVANNI,
Analyse Numérique : SMA-SMI S4 Cours, exercices et examens
Analyse Numérique : SMA-SMI S4 Cours, exercices et examens Boutayeb A, Derouich M, Lamlili M et Boutayeb W. Table des matières Résolution numérique de systèmes linéaires AX = B 5. Méthodes directes de
Université de Caen. Relativité générale. C. LONGUEMARE Applications version 2.0. 4 mars 2014
Université de Caen LMNO Relativité générale C. LONGUEMARE Applications version.0 4 mars 014 Plan 1. Rappels de dynamique classique La force de Coulomb Le principe de moindre action : lagrangien, hamiltonien
Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
NOTE DE SERVICE DIRECTON GENEMLE ADJOINTE CHARGEE DES ENGAGEMENTS
NATURE DU TEXTE STRUCTURE EMETTRICE NO D'ORDRE DATE D'EMISSION NOTE DE SERVICE DIRECTON GENEMLE ADJOINTE CHARGEE DES ENGAGEMENTS A REPERTOIRE OBJET FINANCEMENT DE IA MISE EN VALEUR DES TERRES : CREATON
b) Activité principale de la débitrice : Import / Export de produits de divers sous la raison sociale «H. Q. Nouveautés».
1%0, avenue McG[!i Co
1/ 17 BE001 2/9/2015 - Numéro BDA: 2015-522760 Formulaire standard 2 - FR Bulletin des Adjudications Publication du Service Fédéral e-procurement SPF P&O - 51, rue de la Loi B-1040 Bruxelles +32 27905200
RECHERCHE OPERATIONNELLE
RECHERCHE OPERATIONNELLE 0. Introduction. Ce cours a été enseigné jusqu en 2002, en année de licence, à la MIAGE de NANCY. L objectif principal de ce cours est d acquérir une connaissance approfondie de
Première partie. Introduction à la méthodes des différences finies
Première partie Introduction à la méthodes des différences finies 5 7 Introduction Nous allons présenter dans cettte partie les idées de base de la méthode des différences finies qui est sans doute la
LES ESCALIERS. Du niveau du rez-de-chaussée à celui de l'étage ou à celui du sous-sol.
LES ESCALIERS I. DÉF I NIT I O N Un escalier est un ouvrage constitué d'une suite de marches et de paliers permettant de passer à pied d'un niveau à un autre. Ses caractéristiques dimensionnelles sont
Module 7: Chaînes de Markov à temps continu
Module 7: Chaînes de Markov à temps continu Patrick Thiran 1 Introduction aux chaînes de Markov à temps continu 1.1 (Première) définition Ce module est consacré aux processus à temps continu {X(t), t R