Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur ISTIL 1ère année

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1 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 1 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur ISTIL 1ère année Corrigé de la feuille 4 1 appel : formule des ésidus Soit F une fonction méromorphe sur un ouvert Ω de C, et soit γ un lacet de Ω. Alors Fz dz iπ esf,z γ z Intγ Exercice 1 On cherche à calculer l intégrale Ia π a dθ a + sin θ Si on change a en a, on change le signe du résultat. On peut donc supposer que a >, les intégrales pour a < s en déduiront en changeant le signe. appel : intégrales en cos θ et sinθ Pour calculer une intégrale de la forme π π Fcos θ,sinθ dθ, il suffit de poser z e iθ, et on se ramène alors à une intégrale sur le cercle unité d une fonction de la variable complexe. Le cosinus et le sinus sont transformés à l aide des formules d Euler cos θ e iθ + e iθ sin θ e iθ e iθ i z + 1 z z 1 iz L intégrale que l on cherche à calculer est donc égale à l intégrale le long du cercle unité de la fonction z 1 z iz F + 1, z 1 z iz 1 généré avec LATEXε. Tous les commentaires, compléments, insultes et remarques désobligeantes sont les bienvenus à perrier@math.univ-lyon1.fr

2 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 Comme la fonction θ π Posons z e iθ. On a alors Par ailleurs, a a + sin θ a dθ a + sin θ 1 est paire, on a π π dz ie iθ dθ izdθ a a + sin θ a z a 1 + iz a a z 1 a dθ a + sin θ 4z 4az z 1 4a z a a + sin θ 4az z az 1z + az 1 Notons C le cercle unité. On obtient ainsi π a dθ a + sin θ 4iaz z az 1z + az 1 dz π Les singularités de la fonction sont racines des polynômes Déterminons ces racines. C z az 1 et z + az 1 z az 1 Les racines de ce polynôme sont a + a + 1 z + az 1 Les racines de ce polynôme sont a + a + 1 Comme on a supposé que a >, seules deux racines sont dans le cercle unité : a a + 1 et a + a + 1. z a a + 1 z a + a + 1 z a a + 1 z a + a + 1 L application de la formule des résidus donne 4iaz C z az 1z + az 1 dz iπ esf,a a + 1 +esf, a + a + 1

3 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 3 Il reste à calculer les résidus de F en a a + 1 et a + a + 1. appel : calcul du résidu pour un pôle simple Soit F une fonction de la variable complexe, et soit α un pôle de F, d ordre 1. Alors esf,α lim z α z αfz La fonction F, une fois factorisée, s écrit 4iaz F : z z a a + 1z a + a + 1z + a a + 1z + a + a + 1 On obtient alors immédiatement d où C esf,a a i + 1 a + 1 esf, a + a i + 1 a + 1 4iaz z az 1z + az 1 dz π a + 1 Comme on l a expliqué au début de l exercice, l intégrale est du même signe que a. De plus, pour se ramener à l intégrale sur [ π ;π ], on divise le résultat par. On obtient finalement Ia π signea a + 1

4 4 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 Exercice On cherche à calculer π dθ 1 + sin θ Commençons par transformer l intégrande, en posant z e iθ. On a alors Notons C le cercle unité. Alors π sin θ 1 z iz 1 1 z 1 4z 16z 4 z 1 4z sin θ 16z 4 z z 1 z + z 1 dθ 1 + sin θ C C 16z 4 dz z z 1 z + z 1 iz 16z 3 iz z 1 z + z 1 dz Nous allons calculer cette intégrale par la formule des résidus. Pour cela, commençons par calculer les singularités de la fonction F : z 16z 3 iz z 1 z + z 1 Ces singularités sont les zéros des polynômes z z 1 et z + z 1. z z 1 Les racines de ce polynôme sont 1 + z + z 1 Les racines de ce polynôme sont 1 + Les deux singularités de F qui se trouvent dans C sont 1 et 1 +. D après la formule des résidus, on a donc C 16z 3 iz z 1 z + z 1 dz iπ esf, esf,1 Notons α 1, et β 1+. Les pôles sont alors + α, et + β, et nous cherchons à calculer les résidus en + α.

5 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 5 z 1 z 1 z 1 + z 1 + Calcul du résidu en α Ce pôle est d ordre. On en déduit que le développement en séries de Laurent au voisinage de α est de la forme Fz a z α + a 1 z α + Fz où F est une fonction holomorphe. Posons h z α. On a alors Fα + h a h + a 1 h + Fα + h d où h Fα + ha + a 1 h + h Fα + h a + a 1 h + O h Le résidu a 1 apparaît donc comme le deuxième terme du développement limité de h h Fα + h au voisinage de. Commençons par arranger l expression de h Fα + h. h Fα + h h Fα + h α + h 3 α + h α β + h α + β + h α h α 3 4α 1 + h α β α 1 + h α + β α β α 3 4α α β α + β 1 + h 3 α 1 + h α + β 1 + h 1 + h 1 + h α α β α + β Il reste à calculer le développement limité de chacun des termes, et d en effectuer le produit. Le développement limité du numérateur se calcule directement 1 + h h α α + O h

6 6 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 Les autres termes sont de la forme 1 + h A : 1 1 h A + O h 1 + h A En élevant cette expression au carré, on obtient h A 1 h A + O h emarque D une manière générale, pour développer un produit à l ordre 1, on a N Π 1 + A ih + O h N 1 + A i h + O h k1 k1 On en déduit que On obtient ainsi 1 + h 3 α 1 + h 1 + h 1 + h α α β α + β 1 + 3h α + O h 1 h α + O h 1 h 1 h α + β + O h α 1 α α β h + O h α + β 1 α + β αα β + O h h Fα + h α β + O h α 3 4α α β α + β 1 α + β αα β + O h d où esf,α α + β α β 3 En remplaçant avec les valeurs α 1 et β 1 +, il vient 3 esf,α 16 8 Comme la fonction F est paire, le résidu en α est égal à celui en α. On trouve donc finalement

7 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 7 π dθ 1 + sin θ 3π 4 Exercice 3 On cherche à calculer l intégrale x p 1 + x n zp Notons F la fonction z. Cette fonction a pour singularités les racines de 1 + zn z n + 1. Commençons par chercher ces racines. Comme n est pas racine, l argument de z a un sens, et on a { z z n 1 n 1 { Arg z n Arg 1 + kπ z n 1 { Arg z n π + kπ z 1 narg z k + 1π { z 1 z n 1 k + 1π Arg z n On en déduit que le polynôme admet n racines distinctes, qui sont les complexes de la forme e k+1iπ/n. On intègre la fonction F le long du contour noté C défini par le segment [ ;], l arc de cercle qui va du point d affixe au point d affixe e iπ/n, le segment [ e iπ/n ; ]. Ce contour est représenté graphiquement sur la figure suivante z e iπ/n z e iπ/n z Une seule singularité de F se trouve à l intérieur du contour C. La formule des résidus donne donc Fzdz iπesf,e iπ/n On paramètre C

8 8 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 le segment [ ;] par x [ ;] x, l arc [ de cercle qui va du point d affixe au point d affixe e iπ/n, par θ ; π ] e iθ, n le segment [ e iπ/n ; ] par x [ ;] xe iπ/n. On obtient ainsi l égalité x p 1 + x n + π/n p e ipθ 1 + n dθ + e inθ e ipπ/n x p 1 + x n e iπ/n iπesf,e iπ/n d où 1 e ip+1π/n x p 1 + x n + π/n p e ipθ 1 + n e inθ dθ iπesf,e iπ/n Pour obtenir la valeur de l intégrale, il reste deux choses à faire : montrer que l intégrale sur l arc de cercle tend vers lorsque, puis calculer le résidu de F en e iπ/n. Calcul du résidu La singularité e iπ/n est simple, donc esf,e iπ/n lim z e iπ/n Fz z e iπ/n On a z e iπ/n Fzz e iπ/n 1 + z n z e iπ/n 1 + z n zp Notons Qz 1 + z n. On a alors z e iπ/n 1 + z n z e iπ/n z e iπ/n Qz Qz Qe iπ/n On reconnaît le taux d accroissement de Q au voisinage de e iπ/n. On en déduit que z e iπ/n 1 lim z e iπ/n 1 + z n Q e iπ/n 1 ne in 1π/n d où esf,e iπ/n lim z e iπ/n e ipπ/n ip+1π/n Fz e z e iπ/n ne in 1π/n Limite de l intégrale sur l arc de cercle Lemme de Jordan Étant donné une fonction de la variable complexe f, continue au voisinage de l infini, telle que zfz tende vers lorsque z tend vers l infini, et un chemin circulaire Γ, d angle α, de centre O, et de rayon, alors l intégrale I fz dz Γ tend vers lorsque tend vers l infini. z p

9 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 9 La fonction F est telle que lim zfz. On en déduit que son intégrale z sur le chemin circulaire de rayon et d angle π/n tend vers lorsque tend vers l infini, d après le lemme de Jordan. Fin du calcul On a donc obtenu 1 e ip+1π/n x p iπ 1 + xn n e ip+1π/n Il reste à faire disparaître les nombres complexes de cette expression 1 e ip+1π/n e ip+1π/n e ip+1π/n e ip+1π/n p + 1π ie ip+1π/n sin n soit p + 1π ie ip+1π/n x p sin iπ n 1 + xn n e ip+1π/n Finalement x p 1 + x n π p + 1π nsin n Exercice 4 On cherche à calculer l intégrale x + 1x + 4 Posons Calcul des intégrales de la forme Pour calculer les intégrales de la forme + F : z Pz Qz. Px Qx Px Qx, on pose On intègre sur le bord d un demi disque, de diamètre [ ;]. On écrit ensuite la formule des résidus, et on obtient la valeur de l intégrale en faisant tendre vers +. F : z 1 z + 1z + 4 Cherchons les singularités de F. F est singulière, si z + 1, ou si z + 4. Les points singuliers de F sont donc i, i, i, et i. Ces singularités sont simples. Notons C le lacet de C composé

10 1 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 du segment [ ;], du demi cercle de rayon, pour un angle variant entre et π, que l on note C. z i z i z z Alors pour suffisamment grand, les singularités i et i sont à l intérieur du lacet, et la formule des résidus donne x + 1x Fz dz iπ esf,i + esf,i Ce La fonction F est telle que lim zfz. On en déduit, d après le lemme de z Jordan, que lim Fz dz Ce d où x + 1x + 4 iπ esf,i + esf,i Il reste à calculer les résidus de F aux points i et i. Ces singularités sont simples, donc on a esf,i lim z i z ifz esf,i lim z i z ifz Calcul du résidu en i on a z ifz z i Gz Gi où on a posé Gz z 4 +5z +4. On reconnaît l inverse du taux d accroissement de G, on en déduit que lim z i z i Gz Gi 1 G i d où esf,i 1 G i soit esf,i i 6

11 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 11 Calcul du résidu en i En reprenant le calcul du résidu en i, on obtient esf,i 1 G i d où On obtient ainsi esf,i i 1 x + 1x + 4 π 6 Exercice 5 On cherche à calculer l intégrale 1 + x + x 4 Notons F : z z + z 4 La fonction F est singulière lorsque 1+z +z 4. Cherchons ces singularités. Pour cela, commençons par résoudre z + z + 1. Son discriminant est égal à 3 i 3, donc ses racines sont 1 + i 3 Sous forme exponentielle, ces racines sont e iπ/3 et e 4iπ/3. Pour trouver les racines de 1 + z + z 4, il suffit de calculer les racines carrées de celles de z + z + 1. acines carrées de e iπ/3 z e iπ/3 z e iπ/3 { z e iπ/3 Argz Arge iπ/3 + kπ { z 1 Argz π { 3 + kπ z 1 Argz π 3 + kπ Donc les deux racines carrées de e iπ/3 sont e iπ/3 et e 4iπ/3 acines carrées de e 4iπ/3 z e 4iπ/3 { z e 4iπ/3 Argz Arge 4iπ/3 + kπ { z 1 Argz 4π { 3 + kπ z 1 z e 4iπ/3 Argz π 3 + kπ Donc les deux racines carrées de e 4iπ/3 sont e iπ/3 et e 5iπ/3

12 1 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 Intégrons F le long du contour défini par un segment [ ;], un demi cercle de rayon, pour un angle variant entre et π, que l on note C. z e iπ/3 z e iπ/3 z z Alors pour suffisamment grand, les singularités e iπ/3 et e iπ/3 sont à l intérieur du lacet, et la formule des résidus donne x 4 + x Fz dz iπ esf,e iπ/3 + esf,e iπ/3 Ce La fonction F est telle que lim zfz. On en déduit, d après le lemme de z Jordan, que lim Fz dz Ce d où x 4 + x + 1 iπ esf,e iπ/3 + esf,e iπ/3 Il reste à calculer les résidus en e iπ/3 et e iπ/3. Comme ceux-ci sont simples, on a esf,e iπ/3 lim z e iπ/3 Fz z e iπ/3 esf,e iπ/3 lim z e iπ/3 Fz z e iπ/3 Calcul du résidu en e iπ/3 Notons G : z z 4 + z + 1. On a alors z e iπ/3 Fz z e iπ/3 Gz z e iπ/3 Gz Ge iπ/3 On reconnaît l inverse du taux d accroissement de G. On en déduit que Comme G z 4z 3 + z, il vient lim z e iπ/3 1 Fz z e iπ/3 G e iπ/3 G e iπ/3 4e 3iπ/3 + e iπ/3 4 + e iπ/3

13 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 13 Calcul du résidu en e iπ/3 Notons G : z z 4 + z + 1. On a alors z e iπ/3 Fz z e iπ/3 Gz z e iπ/3 Gz Ge iπ/3 On reconnaît l inverse du taux d accroissement de G. On en déduit que Comme G z 4z 3 + z, il vient lim z e iπ/3 1 Fz z e iπ/3 G e iπ/3 G e iπ/3 4e 6iπ/3 + e iπ/3 4 + e iπ/3 On obtient ainsi 1 + x + x 4 iπ e + 1 iπ/3 4 + e iπ/3 4 + e iπ/3 4 + e iπ/3 iπ 4 + e iπ/3 4 + e iπ/3 π 4isin iπ e iπ + 8e iπ/3 8e iπ/3 π 8π sin 3 π + 16cos 3 3 8π x + x 4 π x + x 4 π 3 3 On cherche à calculer l intégrale Exercice 6 xsinx 1 + x 3 Calcul des intégrales de la forme intégrales de la forme Pxe iαx Qx, on pose Pxe iαx Qx Pour calculer les F : z iαz Pze. Qz

14 14 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 On intègre sur le bord d un demi disque, de diamètre [ ;]. On écrit ensuite la formule des résidus, et on obtient la valeur de l intégrale en faisant tendre vers +. Calcul des intégrales de la forme Px sinαx et Qx Pour calculer les intégrales de la forme Px cosαx Qx Pxe iαx Qx et Px sinαx Qx, il suffit de prendre la partie réelle et la partie imaginaire du calcul de Pxe iαx Qx L intégrale qu on cherche à calculer est la partie imaginaire de l intégrale xe ix 1 + x 3 Posons F : z ze iz 1 + z 3 La fonction F est singulière lorsque z + 1, c est à dire si z + i. Ces singularités sont triples. Intégrons F le long du contour défini par un segment [ ;], un demi cercle de rayon, pour un angle variant entre et π, que l on note C. z i z z Alors pour suffisamment grand, seule la singularité i est à l intérieur du lacet, et la formule des résidus donne xe ix x Fz dz iπesf,i Ce

15 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 15 Montrons que zfz tend vers lorsque z tend vers +. zfz z ze iz 1 + z 3 z e iz 1 + z 3 e iz z z Notons z a + ib. On a alors e iz e ia+ib e ia b e b e iz 1 car Imz, car on intègre sur le demi plan supérieur. On en déduit que D après le lemme de Jordan, il vient 1 zfz z z lim Fz dz Ce z + Attention! Si l hypothèse du lemme de Jordan, lim zfz est facile à vérifier si z + f est une fraction rationnelle, elle est plus difficile à prouver dès lors qu il y a des exponentielles. En particulier, L assertion e iz 1 est fausse en général. On a donc trouvé que xe ix x 4 + x + 1 iπesf,i Il reste à calculer le résidu de F en i. Le pôle i de F est triple, donc son développement en série de Laurent au voisinage de i est de la forme Fz a 3 z i 3 + a z i + a 1 z i + gz où g est une fonction holomorphe. Posons z i + h. On a alors, en multipliant par h 3 h 3 Fi + h a 3 + a h + a 1 h + h 3 gi + h Comme g est holomorphe, elle est bornée au voisinage de i, donc le développement devient h 3 Fi + h a 3 + a h + a 1 h + O h 3

16 16 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 Le résidu de F en i apparaît donc comme le coefficient d ordre du développement de h 3 Fi + h au voisinage de. h 3 Fi + h i + he ii+h i + h 3 i1 ihe 1 e ih 8i 1 + h 3 i 1 1 ihe ih 8e 1 + h 3 i Développons chacun des facteurs. Le facteur 1 ih est déjà développé. Par ailleurs, e ih 1 + ih h h i 3 h hi 4i + O h 3 3 ih h O h ih 3h + O h 3 Il reste à effectuer le produit : 1 ih 1 + ih h + O h ih 3h 1 ih + ih + 3ih h 3h + h 1 + 3ih h + O h 3 On en déduit que esf,i 1 8e Soit + O h 3 i 3i + 3i xe ix x iπ 3 8e iπ 8e En prenant la partie imaginaire du résultat trouvé, on obtient xsin x 1 + x 3 π 8e + O h 3

17 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 17 Exercice 7 On cherche à calculer l intégrale cosαx 1 + x 4 On remarque que si on change α en α, le résultat est inchangé, car cos est paire. On suppose donc que α >. Posons F : z e iαz 1 + z 4 Commençons par déterminer les singularités de F. z z { 4 1 z 4 1 { Argz 4 Arg 1 + kπ z 1 4Argz π + kπ { z 1 z k + 1π Argz 4 On en déduit que les singularités de F sont e iπ/4, e 3iπ/4, e 5iπ/4 et e 7iπ/4. Intégrons F le long du contour défini par un segment [ ;], un demi cercle de rayon, pour un angle variant entre et π, que l on note C. z e 3iπ/4 z e iπ/4 z z Alors pour suffisamment grand, seules les singularité e iπ/4 et e 3iπ/4 sont à l intérieur du lacet, et la formule des résidus donne e iαx x Fz dz iπ Ce esf,e iπ/4 + esf,e 3iπ/4

18 18 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 Montrons que lim Fz dz. On a + Ce ze iαz zfz 1 + z 4 e iαz z z 4 Posons z a + ib. On a alors e iαz e iαa+ib e iαa αb e αb e iαz 1 car la partie imaginaire de z est positive, car on intègre sur le demi-plan supérieur. On en déduit que 1 zfz z z + z 4 D après le lemme de Jordan, on a e iαx x iπ esf,e iπ/4 + esf,e 3iπ/4 Il reste à calculer la valeur des résidus en e iπ/4 et en e 3iπ/4. Ces pôles sont simples, on a donc esf,e iπ/4 lim z e iπ/4 Fz z e iπ/4 esf,e 3iπ/4 lim z e 3iπ/4 Fz z e 3iπ/4 Calcul du résidu en e iπ/4 Notons G : z z On a z e iπ/4 Fz z e iπ/4 z e iαz z e iπ/4 e iαz Gz z e iπ/4 Gz Ge iπ/4 e iαz On reconnaît l inverse du taux d accroissement de G au voisinage de e iπ/4. On en déduit que iπ/4 lim z e iπ/4 Fz e iαe z e iπ/4 G e iπ/4 Or on a G z 4z 3. On en déduit que esf,e iπ/4 e iαe iπ/4 4e 3iπ/4

19 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 19 Calcul du résidu en e 3iπ/4 On a z e 3iπ/4 Fz z e 3iπ/4 z 4 e iαz + 1 z e 3iπ/4 e iαz Gz z e 3iπ/4 Gz Ge 3iπ/4 e iαz On reconnaît l inverse du taux d accroissement de G au voisinage de e 3iπ/4. On en déduit que lim z e 3iπ/4 Fz e iαe 3iπ/4 z e 3iπ/4 G e 3iπ/4 Or on a G z 4z 3. On en déduit que esf,e 3iπ/4 On obtient donc les égalités suivantes e iαx x iπ iπ iπ iπ/4 iαe e e iαx x iπe α π sin 3iπ/4 3iπ/4 iαe iαe e e 4e 9iπ/4 4e iπ/4 3iπ/4 iαe e + 4e 3iπ/4 4e iπ/4 e iα cos π 4 α sin π 4 4e 3iπ/4 e iα cos π 4 α sin π 4 4e 3iπ/4 + e iα cos 3π + e iα cos π 4 α sin3 π 4 4e iπ/4 4 α sin π 4 4e iπ/4 4 e iα cos π 4 3π 4 + e iα cos π 4+ π 4 Factorisation par l angle moitié Pour simplifier une expression du type e iθ1 + e iθ, où θ 1 et θ sont des réels, il peut être judicieux de factoriser par e iθ 1 +θ. On a ainsi e iθ1 + e iθ e iθ 1 +θ e iθ 1 θ + e i θ 1 +θ e iθ 1 +θ θ1 θ cos Pour factoriser une expression du type e iθ1 e iθ, on peut appliquer la même méthode, et c est un sinus qui apparaît. En appliquant la factorisation par l angle moitié, on obtient e iα cos π 4 3π 4 + e iα cos π 4+ π 4 e iπ/ e iα cos π 4 π 4 + e iα cos π 4 iπ 4 π icos α cos π 4 4 i α α cos + sin

20 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 d où e iαx α πe 1 + x4 En prenant la partie réelle, on obtient cosαx α πe 1 + x4 cos cos α α + sin α α + sin Exercice 8 On cherche à calculer les intégrales I cosx et J On a ainsi I + ij e ix Notons F : z exp z sinx Cette fonction est holomorphe. On en déduit que son intégrale le long de tout contour fermé est nulle. Notons L le lacet composé de du segment [ ;]. de l arc du cercle de centre O et de rayon pour θ du segment [ e iπ/4 ; ]. [ ; π ]. 4 z e iπ/4 z En paramétrant le contour par x x sur le segment [ ;]. θ e iθ sur l arc du cercle de centre O et de rayon pour θ x xe iπ/4 sur le segment [ e iπ/4 ; ]. [ ; π ]. 4

21 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 1 on obtient l égalité e x + π/4 En simplifiant les termes, il vient e x + e e iθ ie iθ dθ + π/4 e e iθ ie iθ dθ e e iπ/4 x e iπ/4 e ix e iπ/4 On voudrait faire tendre vers + : la limite de la première intégrale est connue, la troisième est celle que l on cherche à calculer. On voudrait donc connaître la limite de la seconde. emarque Ici, on ne peut pas appliquer le lemme de Jordan pour la raison suivante. Lorsque z e iπ/4, alors zfz, et ne tend pas vers lorsque tend vers +. Comme le problème se situe pour θ π/4, on va faire un changement de variable pour se ramener au voisinage de ce point, et linéariser l expression après avoir majoré l intégrale. Commençons par majorer l intégrale qui nous intéresse. On a π/4 π/4 e e iθ ie iθ dθ e e iθ dθ π/4 e cosθ dθ Pour ramener le problème de l intégrande au voisinage du point qui nous intéresse, posons θ π 4 h. On a alors π/4 e cosθ dθ π/ π/ e cos π h dh e sin h dh y x 1 y sin x y π x π 4 π

22 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 Sur [ ; π ], on a x sin x x, on en déduit la série d inégalités suivante π De plus on a h sinh h π h sin h h π e h e sin h e h π π/ π/ e h π/ dh e sin h dh e h π dh 1 exp π π/ e sin h dh π 1 exp 4 lim + lim + 1 exp π π 4 1 exp On obtient ainsi d où lim + π/ e x e sin h dh e ix e iπ/4 ou encore e iπ/4 e x Sachant que e x π, et que e iπ/4 I J π 4 e ix 1 i, il vient finalement