méthodes numériques appliquées

Transcription

1 C O L L E C T I O N G R E N O B L E S C I E N C E S dirigée par jean bornarel méthodes numériques appliquées pour le scientifique et l ingénieur Jean-Philippe GRIVET

2

3 Méthodes numériques appliquées pour le scientifique et l ingénieur

4 Grenoble Sciences Grenoble Sciences poursuit un triple objectif : 4réaliser des ouvrages correspondant à un projet clairement défini, sans contrainte de mode ou de programme, 4garantir les qualités scientifique et pédagogique des ouvrages retenus, 4proposer des ouvrages à un prix accessible au public le plus large possible. Chaque projet est sélectionné au niveau de Grenoble Sciences avec le concours de referees anonymes. Puis les auteurs travaillent pendant une année (en moyenne) avec les membres d un comité de lecture interactif, dont les noms apparaissent au début de l ouvrage. Celui-ci est ensuite publié chez l éditeur le plus adapté. Contact : Tél. : (33) Grenoble.Sciences@ujf-grenoble.fr Information : Deux collections existent chez EDP Sciences : 4la Collection Grenoble Sciences, connue pour son originalité de projets et sa qualité 4Grenoble Sciences - Rencontres Scientifiques, collection présentant des thèmes de recherche d actualité, traités par des scientifiques de premier plan issus de disciplines différentes. Directeur scientifique de Grenoble Sciences Jean Bornarel, professeur à l'université Joseph Fourier, Grenoble 1 Comité de lecture pour Méthodes numériques appliquées 4Laurent De r o m e, maître de conférences à l Université Joseph Fourier, Grenoble 4Magali Ri b ot, maître de conférences à l Université de Nice-Sophia Antipolis 4Claude Bardos, professeur à l'université Denis Diderot, Paris 7 et 4Michael Sanrey, docteur de l'université Joseph Fourier, Grenoble et le suivi, pour Grenoble Sciences, de Laura Ca p o l o, ingénieur de recherche Grenoble Sciences reçoit le soutien du Ministère de l'enseignement supérieur et de la Recherche et de la Région Rhône-Alpes. Grenoble Sciences est rattaché à l'université Joseph Fourier de Grenoble. Réalisation et mise en pages : Centre technique Grenoble Sciences Illustration de couverture : Alice Giraud, d après les éléments fournis par l auteur ISBN EDP Sciences, 2009

5 Méthodes numériques appliquées pour le scientifique et l ingénieur Jean-Philippe Grivet 17, avenue du Hoggar Parc d Activité de Courtabœuf - BP Les Ulis Cedex A - France

6 Ouvrages Grenoble Sciences édités par EDP Sciences Collection Grenoble Sciences Chimie. Le minimum à savoir (J. Le Coarer) Electrochimie des solides (C. Déportes et al.) Thermodynamique chimique (M. Oturan & M. Robert) CD de Thermodynamique chimique (J.P. Damon & M. Vincens) Chimie organométallique (D. Astruc) De l'atome à la réaction chimique (sous la direction de R. Barlet) Spectroscopies infrarouge et Raman (R. Poilblanc & F. Crasnier) Chemogénomique. Des petites molécules pour explorer le vivant (sous la direction de E. Maréchal, S. Roy & L. Lafanechère) Introduction à la mécanique statistique (E. Belorizky & W. Gorecki) Mécanique statistique. Exercices et problèmes corrigés (E. Belorizky & W. Gorecki) La cavitation. Mécanismes physiques et aspects industriels (J.P. Franc et al.) La turbulence (M. Lesieur) Magnétisme : I Fondements, II Matériaux et applications (sous la direction d E. du Trémolet de Lacheisserie) Du Soleil à la Terre. Aéronomie et météorologie de l espace (J. Lilensten & P.L. Blelly) Sous les feux du Soleil. Vers une météorologie de l espace (J. Lilensten & J. Bornarel) Mécanique. De la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien (C. Gignoux & B. Silvestre Brac) Problèmes corrigés de mécanique et résumés de cours. De Lagrange à Hamilton (C. Gignoux & B. Silvestre Brac) La mécanique quantique. Problèmes résolus, T. 1 et 2 (V.M. Galitsky, B.M. Karnakov & V.I. Kogan) Description de la symétrie. Des groupes de symétrie aux structures fractales (J. Sivardière) Symétrie et propriétés physiques. Du principe de Curie aux brisures de symétrie (J. Sivardière) Physique des plasmas collisionnels. Application aux décharges haute fréquence (M. Moisan & J. Pelletier) Energie et environnement. Les risques et les enjeux d une crise annoncée (B. Durand) Hydrothermalisme. Spéciation métallique hydrique et systèmes hydrothermaux (M. Chenevoy & M. Piboule) Les roches, mémoire du temps (G. Mascle) Physique des diélectriques (J.C. Peuzin & D. Gignoux) Exercices corrigés d'analyse, T. 1 et 2 (D. Alibert) Introduction aux variétés différentielles (J. Lafontaine) Mathématiques pour les sciences de la vie, de la nature et de la santé (F. & J.P. Bertrandias) Approximation hilbertienne. Splines, ondelettes, fractales (M. Attéia & J. Gaches) Mathématiques pour l étudiant scientifique, T. 1 et 2 (Ph.J. Haug) Analyse statistique des données expérimentales (K. Protassov) Nombres et algèbre (J.Y. Mérindol) Analyse numérique et équations différentielles (J.P. D ly) Outils mathématiques à l'usage des scientifiques et ingénieurs (E. Belorizky) Bactéries et environnement. Adaptations physiologiques (J. Pelmont) Enzymes. Catalyseurs du monde vivant (J. Pelmont) Endocrinologie et communications cellulaires (S. Idelman & J. Verdetti) Eléments de biologie à l'usage d'autres disciplines (P. Tracqui & J. Demongeot) Bioénergétique (B. Guérin) Cinétique enzymatique (A. Cornish Bowden, M. Jamin & V. Saks) Biodégradations et métabolismes. Les bactéries pour les technologies de l'environnement (J. Pelmont) Enzymologie moléculaire et cellulaire, T. 1 et 2 (J. Yon Kahn & G. Hervé) Glossaire de biochimie environnementale (J. Pelmont) L'Asie, source de sciences et de techniques (M. Soutif) La biologie, des origines à nos jours (P. Vignais) Naissance de la physique. De la Sicile à la Chine (M. Soutif) Science expérimentale et connaissance du vivant. La méthode et les concepts (P. Vignais, avec la collaboration de P. Vignais) Histoire de la science des protéines (J. Yon-Kahn) La plongée sous-marine à l'air. L'adaptation de l'organisme et ses limites (Ph. Foster) Le régime oméga 3. Le programme alimentaire pour sauver notre santé (A. Simopoulos, J. Robinson, M. de Lorgeril & P. Salen) Gestes et mouvements justes. Guide de l'ergomotricité pour tous (M. Gendrier) Listening Comprehension for Scientific English (J. Upjohn) Speaking Skills in Scientific English (J. Upjohn, M.H. Fries & D. Amadis) Minimum Competence in Scientific English (S. Blattes, V. Jans & J. Upjohn) Minimum Competence in Medical English (J. Upjohn, J. Hay, P.E. Colle, J. Hibbert & A. Depierre) Grenoble Sciences - Rencontres Scientifiques Radiopharmaceutiques. Chimie des radiotraceurs et applications biologiques (sous la direction de M. Comet & M. Vidal) Turbulence et déterminisme (sous la direction de M. Lesieur) Méthodes et techniques de la chimie organique (sous la direction de D. Astruc) L énergie de demain. Techniques, environnement, économie (sous la direction de J.L. Bobin, E. Huffer & H. Nifenecker) Physique et biologie. Une interdisciplinarité complexe (sous la direction de B. Jacrot)

7 ÚÒعÔÖÓÔÓ ÉÙ³ ع Õ٠гÒÐÝ ÒÙÑÖÕÙ ³ Ø ÙÒ Ò ÑÐ ³ÓÙØÐ ÕÙ ÔÖÑØ ³ÓØÒÖ ÙÒ ÓÐÙØÓÒ ÒÙÑÖÕÙ ÔÔÖÓ ³ÙÒ ÔÖÓÐÑ ÑØÑØÕÙ ÐÙ¹ÑÑ ÑÓÐ ³ÙÒ ÕÙ ØÓÒ ØÒÕÙ ÓÙ ÒØÕÙº ÈÓÙÖÕÙÓ ØÙÖ Ø Ò ÒÖµ гÒÐÝ ÒÙÑÖÕÙ ÓÒÙ ØØ ÑÒÖ Æ³ ع Ð Ô Ù ÒØ ³ÔÔÙÝÖ ÙÖ Ð ØÓÙ ÓÐÚ ³ÙÒ ÐÙÐØØ ÔÓÙÖ Ö ÓÙÖ ÙÒ ÕÙØÓÒ ÐÖÕÙ Ë Ð³ÓÒ ÚÙØ ÚÖÑÒØ ÙØÐ Ö ÙÒ ÐÓÐ ÔÓÙÖÕÙÓ Ö ÔÐÙ ÕÙ ³ÔÔÐÖ Ð³ÒØÖÙÖ ³ÙÒ ÐÓÐ ÙØ ÒÚÙ Ð ÓÒØÓÒ ÓÐÚ Ò ÖÐØ Ð Ø ØÓÙÓÙÖ ÔÖÓØÐ ÓÒÒØÖ Ð ÔÖÒÔ ÓÒØÓÒÒÑÒØ ÓÙØÐ Õ٠гÓÒ ÙØÐ Ò Ð ÑÔÐÓÝÖ Ù ÑÙÜ Ø ÔÓÙÖ ØÖ ÓÒ ÒØ ÐÙÖ ÐÑØ º ÔÐÙ Ð ÔÙØ ÖÖÚÖ ÕÙ³ÙÒ ÔÖÓÖÑÑ Ò ÕÙ³ÑÑØÑÒØ ÔÓÒÐ Ò ÓØ Ô ÔÖØÑÒØ ÔØ Ð³Ù ÔÖÚÙ ÙРгÙØÐ ØÙÖ Ò ÒÓÖÑ ÔÓÙÖÖ Ð ÑÓÖ Ò ÓÒÒ Ò Ù Ø ØÒÖ ÓÒ ÓÑÒ ÚÐغ ÒÒ Ð ÙÖÓ Ø Ø ÙÒ ÕÙÐØ ÐØÑ Þ Ð³ÒÒÙÖ ÓÙ Ð ÒØÕÙ Ø ÐÚÖ ÓÙÐÚÖ Ð ÓÙÚÖÐ ÓØ ÒÓÖ ÕÙ ÓÒØ Ð ÐÓÖØÑ ÒÙÑÖÕÙ º ³ Ø Ò ØØ ÓÔØÕÙ ÕÙ³ Ø ÓÒ٠гÓÙÚÖ ÕÙ ÚÓÙ ÚÞ ÒØÖ Ð ÑÒ Ð ÔÖÒÔ ÕÙ ÐÓÖØÑ ÑÔÓÖØÒØ Ø ÔÖ ÒØ ÑÔÐÑÒØ ÔÙ ÓÒ ÓÒØÓÒ¹ ÒÑÒØ Ø ÐÐÙ ØÖ ÔÖ ÜÑÔÐ Ø Ð ÐÑØ ÓÒØ ÔÖ º Ä ÐÚÖ Ø Ø ÔÓÙÖ ÒØÕÙ ÒÚ٠ľ Ä Ó٠Ž Ò ÔÝ ÕÙ Ø ÔÝ ÕÙ ÔÔÐÕÙº ijÓÙÚÖ Ø ÓÒ ØÒ ÙÜ ØÙÒØ Ø ÐÚ ÒÒÙÖ Ñ Ù ØÓÙ Ð ÙØÐ ØÙÖ Ð³ÓÙØÐ ÒÙÑÖÕÙ Ò ÔÖØÙÐÖ ÙÜ ÕÙ ÓÒØ ÔÙ ÓØ ÓÙ ØÑÔ ÔÓÙÖ Ð ÑÓÒ ØÖØÓÒ ÖÓÙÖÙ Ø ÕÙ ÓÙØÒØ ÓÖÖ ÖÔÑÒØ Ð ÔÔÐØÓÒ ÓÒÖØ º Ä ØÜØ Ø ÓÖÒØ ÚÖ Ð ÔÝ ÕÙ ÒÙÑÖÕÙ º ÁÐ Ý ÕÙÒÞ Ò ØÖÑ ÓÙ ÔÐÙØØ ÕÙÚÐÒØ ÒÐ ÒÙÑÖÐ ÔÝ ÓÙ ÓÑÔÙØØÓÒÐ ÔÝ µ Ù ØØ ÙÒ ÒØÒ ÖÔÓÒ ÙÖ ÙÒ ÑÓØÙÖ ÖÖºÁÐÒÚÓÕÙ ÔÐÙ ÙÖ ÑÐÐÓÒ ÙÓÙÖ³Ùº Ò ÕÙ Ø ÓÙÚÖ Ò ÓØ Ô Ù Ò ØÖØ ÙÒ ÐÚÖ Ôݹ ÕÙ ÒÙÑÖÕÙ Ð ³Ò ÔÔÖÓ ÔÖ Ð³ÒØÖÑÖ ÖØÒ ÜÑÔÐ ÜÖ Ø ÔÖÓØ º ÈÖ ÖÔÔÓÖØ ÙÜ ÔÖÓÖÑÑ ØÙÐ ÑØÑØÕÙ ÓÒØ ÒÐÙ ÔØÖ ÕÙ Ò ÓÒØ Ô ØÖØÓÒÒÐÐÑÒØ ÔÖØ Ð³ÒÐÝ ÒÙÑÖÕÙ ÓÑÑ Ð ÔÓÐÝÒÑ ÓÖØÓÓÒÙÜ Ø ÙÒ ÖÔÔÐ ÐÙÐ ÔÖÓÐØ º ÖØÒ ÙØ Õ٠гÜÔÖÒ ÑÐÒØ ÖÖØ ÓÒØ Ø ÓÑ ØÖØ ÓÑÑÖÑÒØÓÙÒØÖÓÙØ Þ ØÖ Ò Ð ÚÐÓÔÔÑÒغ ³ÙØÖ Ù ÓÒØÖÖ ÕÙ ÔÖ ÒØ ÔÐÙ ÑÓØÚÒØ ÓÒØ Ø ÔÐ Ù Ùغ

8 ÅØÓ ÒÙÑÖÕÙ ÔÔÐÕÙ ÇÒ ØÖÓÙÚ ³ÜÐÐÒØ ÐÚÖ ³ÒÐÝ ÒÙÑÖÕÙ Ò ÖÒ º ÁÐ ³Ö ÒØ Ò ÒÖÐ ÙÒ ÔÙÐ ÑØÑØÒ ÓÙ ÙØÙÖ ÑØÑØÒ Ø ÓÒØ Ù ³ÙÒ ÒÚÙ Þ ÐÚº ÆÓÙ ÖÒÚÓÝÓÒ Ý ØÑØÕÙÑÒØ ÓÙÚÖ ÖÓÙÞÜ Ø ÅÒÓØ ËØÞÑÒÒ ÑÐÐÝ ÐÐÖ Ø ÃÖ Øºµ ÔÓÙÖ Ð ÔÐÙÔÖØ ÑÓÒ ØÖØÓÒ º Ä ÔØ ÐÑÒØÖ ØÐ ÕÙ³ÓÒ ÔÙØ Ð ÑÐÖ ÔÒÒØ Ð ÙÜ ÔÖÑÖ ÒÒ ÔÓ Ø¹ÐÙÖØ ÓÒØ Ø ÔÖÚÐ º ÕÙ Ó Õ٠гÓÒ ØÖØ ÑØÓ ÒÙÑÖÕÙ ÔÓ Ð ÕÙ ØÓÒ Ù ÐÒ ÔÖÓÖÑÑØÓÒ ÙØÐ Öº Ë Ð³ÓÙÚÖ ÓÒØÒØ ÕÙÐÕÙ ÜÑÔÐ Ó Ö Ò» Ò ÂÚ Ò ÈÝØÓÒ Ø Ò ÅÔРг ÒØÐ ÜÑÔÐ ÔÖ ÒØ Ø ÖØ Ò Ëк ÐÓÐ ÖØÙØ ÔÙ ÒØ Ø Ð Ò ØÐÐÖ ÒØÖ ÓÒØÓÒ ÖÔÕÙ ÕÙÐØ Ö ÓÒÒк ÁÐ ÔÖÑØ Ð ÔÖÓÖÑÑØÓÒ ÔÐÙ ÙÖ ÒÚÙÜ ÒÚÙ ÐÓÐ ÓÒØÓÒ ØÐÐ ÕÙ ÓÐÚ ÔÓÙÖ Ö ÓÙÖ ÙÒ ÕÙØÓÒ ÒÓÒ¹ÐÒÖ ÓÙ Ó ÔÓÙÖ ÒØÖÖ ÙÒ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ Ú ÓÒØÓÒ ÒØÐ µ Ù ÕÙ³Ù ÒÚÙ ÓÔÖØÓÒ ÐÑÒØÖ º ØØ ÓÙÔÐ Ø ÔÓÕÙÑÒØ ÙØÐ Ø ÔÖÑØ ÙÒ ÚÖØÓÒ ÓÑÑÓ ÔÖÓÖÑÑ º ÍÒ ÙØÖ ÚÒØ ËÐ Ø ÕÙ Ð ÝÒØÜ Ò Ø ÓÖØ ÑÔÐ Ø ÐÑÒØ ÑÐÐ ÔÖ ØÓÙØ ÔÖ ÓÒÒ ÓÖÑ ÑÑ ÓÑÑÖÑÒØ ÓÖØÖÒ ÓÙ ÂÚº Ë Ö ÑÐÒ Ú ÅØÐ ÙÒ ÐÓÐ ØÖ ÖÔÒÙ ÓÒ ØØÙ ÙÒ ÙØÖ ØÙÖ ÔÓ Øº ÕÙ ÔØÖ Ø ÓÑÔÒ ³ÜÖ ÕÙ ÓÒØ Ø ÜÔÖÑÒØ ÔÖ ÒÓѹ ÖÙ ÔÖÓÑÓØÓÒ ³ØÙÒØ Ø ÕÙ ÔÙÚÒØ ÐÐÙ ØÖÖ ÙØÐÑÒØ Ð ÙØ ØÖغ ËÓÒØ ÐÑÒØ ÔÖÓÔÓ ÒÓÒ ÔÖÓØ Ò ØÜØ ÓÙÚÖØ Ð ÓÒÒ ÔÙÚÒØ ØÖ ÒÓÑÔÐØ Ð ÑØÓ ÙÚÖ Ø ÔÖÓ ÖØ Þ ÓÑÑÖÑÒغ Ä ÖÐ ØÓÒ Ù ÔÖÓØ ÑÒÖ ÓÒ ÙÒ ÒÚ Ø ÑÒØ ÔÖ ÓÒÒÐ ÖØÒ Ñ Ò ÓÒØÖÔÖØ ÔÖÑØØÖ Ù ÐØÙÖ ÑÐÖ Ö Ú ÔÔÐØÓÒ Ð³ÒÐÝ ÒÙÑÖÕÙ ÔÐÙ ÔÖÓ Ù ÑÓÒ Öк Ä Ð Ø ÕÙ ØÓÒ ÔÖÓÔÓ ÔÓÙÖ ÕÙ ÔÖÓØ Ò³ Ø Ô ÐÑØØÚ Ø ÔÙØ ØÖ ÓÑÔÐØ ÐÓÒ Ð ÒØÖØ ÙÒº Ä ÔØÖ ½ ÓÒ ØØÙÒØ ÙÒ ÓÖØ ³ÒØÖÓÙØÓÒ ÓÙ ÔÖ¹ÖÕÙ ÚÒØ ³Ô¹ ÔÐÕÙÖ ÙÒ ÕÙÐÓÒÕÙ ÑØÓ ÒÙÑÖÕÙº Î ÙÐ Ö ÙÒ ÓÒØÓÒ Ø Ð ÑÐÐÙÖ ÓÒ ÓÙÚÖÖ ÔÖÓÔÖØ º Ä ÔÖÓÖÑÑØÓÒ ØÐÐ Ù ÐÙÐ ³ÙÒ ÓÒØÓÒ ÑÑ ÐÑÒØÖ Ø ÙÒ ÜÖ ÔÖÓØÐ ØÒØ Ù ÔÓÒØ Ú٠гÐÓÖØÑÕÙ ÕÙ Ù ÔÓÒØ Ú٠гÒÐÝ ÒÙÑÖÕÙº ÒÒ Ð ÓÒ ØÖÙØÓÒ ÚÖÐ Ò ÑÒ ÓÒ Ø ÙÒ ØÔ ÓÐ ØÓÙØ ÑÙÐØÓÒ ÒÙÑÖÕÙº ijÒÐÝ ÒÙÑÖÕÙ ÔÖÓÔÖÑÒØ Ø ÔÔÖØ Ù ÔØÖ Ú Ð³ÒØÖÔÓÐØÓÒº Ë Ð ÔÖØÕ٠гÒØÖÔÓÐØÓÒ ÙÓÙÔ ÑÒÙ Ô٠гÔÔÖØÓÒ ÓÖÒØÙÖ ÓÒ ÖÐ ØÓÖÕÙ ÓÑÑ ÓÒÑÒØ ÑØÓ ³ÒØÖØÓÒ Ø Ö ÓÐÙØÓÒ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ Ø Ö Øº Ä ÑØÓ Ð ÔÐÙ ÑÔÐ Ö ÓÐÙØÓÒ ÕÙØÓÒ ÒÓÒ¹ÐÒÖ ÓÒØ ÔÖ ÒØ ÔØÖ µ Ò ÓÒ ÖÒØ ÙÒ ÔÖÖÔ ÔÐ ÙÜ ÔÓÐÝÒÑ º ÈÙ ÙØ ÙÒ ÖÚ ÖÔØÓÒ ÑÐÐ ÔÓÐÝÒÑ ÓÖ¹ ØÓÓÒÙÜ Ø ÐÙÖ ÔÖÒÔÐ ÔÖÓÔÖØ ÔØÖ µº Ò ÕÙ ÓÒÒ Ò ÓÒØ ÔÔÐÕÙ Ù ÔØÖ ÙÚÒØ ÐÓÖ Ð ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ð³ÐÓÖØÑ Ù ¹ ÄÒÖ ØØ ÔÖØ ÔÙØ ØÖ ÓÑ Ò ÔÖÑÖ ÐØÙÖº Ä ÔØÖ Ø ÓÒØ ÓÒ Ö Ù ÐÙÐ ÒÙÑÖÕÙ ÖÚ Ø ³ÒØÖÐ º Ä ÐÓÖØÑ Ð ÕÙ ÓÒØ Ô Ò ÖÚÙ Ý ÓÑÔÖ Ð³ÐÓÖØÑ ÓÓÐÝÌÙÝ ÔÓÙÖ Ð ØÖÒ ÓÖÑØÓÒ ÓÙÖÖ ÖÔº

9 ÚÒعÔÖÓÔÓ Ä³ÐÖ ÐÒÖ Ø Ð³ÓÒÒÙÖ Ò Ð ÔØÖ Ø ½¼º ÌÓÙØ ³ÓÖ Ð Ö ÓÐÙØÓÒ Ý ØÑ ³ÕÙØÓÒ ÐÒÖ ÔØÖ µ Ý ÓÑÔÖ Ð Ý ØÑ ÙÖØÖÑÒ ØÐ ÕÙ³ÓÒ Ð ÖÒÓÒØÖ ÐÓÖ Ð³ÔÔÐØÓÒ Ð ÑØÓ ÑÓÒÖ ÖÖ º ÔØÖ Ø ÓÑÔÒ ³ÙÒ ÒÒÜ Ö ÑÐÒØ ÕÙÐÕÙ ÒØÓÒ Ø ØÓÖÑ ³ÐÖ ÐÒÖº Ä ÔØÖ ½¼ ØÖØ Ù ÐÙÐ ÚÐÙÖ ÔÖÓÔÖ Ø ÚØÙÖ ÔÖÓÔÖ º ËÓÒØ Ò ÙØ ÓÖ Ð ÔÖÓÐÑ ÖÒØÐ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÓÖÒÖ Ú ÓÒØÓÒ ÒØÐ ÔØÖ ½½µ Ú ÓÒØÓÒ ÙÜ ÐÑØ ÔØÖ ½¾µ ÔÙ ÕÙØÓÒ ÙÜ ÖÚ ÔÖØÐÐ ÔØÖ ½ µº ijÓÙÚÖ ØÖÑÒ ÔÖ ÙÜ ÔØÖ ÓÒ Ö ÔØ ÒÓÒ ØÖÑÒ Ø ÕÙÐÕÙ ÖÙÑÒØ ÔÖÓÐØ ÔÔÐÕÙ Ð ÔÖÓÔØÓÒ ÖÖÙÖ ÜÔÖÑÒ¹ ØÐ Ø Ù Ð ÔÖ ÑÓÒÖ ÖÖ ÔØÖ ½µ ÔÙ ÙÒ ÖÔØÓÒ ÑØÓ ÅÓÒØ ÖÐÓº ÒÓÑÖÙÜ ÙØ ÓÒØ ØÖ ÓÑ ÓØ ÔÖ ÕٳРÑÐÒØ ØÖÓÔ Ð ÓÙ ÑÒÒØ ÙÒ ÜÔÓ ØÖÓÔ ÐÓÒº ³ Ø ÒÓØÑÑÒØ Ð ÑØÓ ÒØ Ø ÖÒØ ÓÒÙÙ ÔÓÙÖ Ð Ö ÓÐÙØÓÒ Ý ØÑ ÐÒÖ ÑØÓ ÑÓÖÒ Ö ÓÐÙØÓÒ ÒÙÑÖÕÙ ÕÙØÓÒ ÙÜ ÖÚ ÔÖØÐÐ ÓÐÐÓØÓÒ ÑØÓ ÔØÖÐ ÐÑÒØ Ò µ Ø Ð ÓÑÔÓ ØÓÒ ³ÙÒ ÑØÖ Ò ÚÐÙÖ ÒÙÐÖ º Ä ÐØÙÖ ÔÓÙÖÖÓÒØ ÓÑÔÐØÖ ÐÙÖ ÒÓÖÑØÓÒ Ö ÙÜ ÖÖÒ Ø ÙÜ ÑÓØ ¹Ð ÓÙÖÒ Ò Ò ÔØÖº ÊÑÖÑÒØ ÈÓÙÖ Ð ÔÖÔÖØÓÒ Ù ÓÙÖ ÕÙ Ø Ð³ÒØÖ ÐÚÖ ³ Ò ÓÒ Ð ÒÓÑÖÙÜ ÓÐÐÙ ÔÖØÙÐÖÑÒØ º Å Ø ÂºÄº ÊÓÙØ ÐÙÖ ÜÔÖÑ Ñ ÖÓÒÒ Òº ÐÚÖ Ò³Ü ØÖØ Ô Ò Ð³ ÔÔÓÖØ ÔÖ ÖÒÓÐ ËÒ º Ä ÜÔÖØ ÕÙ ÓÒØÐÙÐÑÒÙ ÖØ ÓÒØ ÒÓÒ ÙÐÑÒØ ÓÖÖ ÙÒ ÒÓÑÖ ÒÐÙÐÐ ÙØ ÖÔÔ Ø ³ÖÖÙÖ Ñ ÓÒØ Ù ÙÖ ÒÓÑÖÙ ÑÐÓÖØÓÒ º  ÖÒ ÓÑÑ ÐÙÖ ÚÓÙÑÒØ ÐÙÖ ÔØÒ ÐÙÖ ÔÖØ ³Ó ÖÚØÓÒ Ø ÐÙÖ ÖÙÙÖ ÑØÑØÕÙº Ä ÔÖ ÓÒÒÐ ÖÒÓÐ ËÒ Ù ÖÓØ Ñ ÖÓÒÒ Òº ÅÑ ÔÓÐÓ Ø ÓÖ ÓÒØ Ö Ð Ò Ù ÐÚÖ Ú ÙÒ ÜØÖÑ ÓÒÒ ÚÓÐÓÒØ ÐÐ ÓÒØ ØØ ³ÙØÖ ÖÖÙÖ Ø Ú ÔØÒ Ø ÐØ Ö Ò ØÓÙØ Ñ ÙÖ ÑÐÐ Ð Ò ÖÑÖ ÚÚÑÒغ

10

11 ÔØÖ ½ ÊÔÖ ÒØØÓÒ ÖÔÕÙ ÓÒØÓÒ Ä³ÙÒ ØÚØ Ð ÔÐÙ ÖÕÙÒØ Ò ÒÓÖÑØÕÙ ÒØÕÙ ÓÒ Ø ÖÔÖ Ò¹ ØÖ Ð³ÐÐÙÖ ³ÙÒ ÓÒØÓÒ Ð³ ³ÙÒ Ò Ø ØÖ ÒÓÑÖÙÜ ÐÓÐ ÔÙÚÒØ ÖÔÓÒÖ ØØ ØØÒØ ÐØѺ ÆÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ Ò ÔØÖ ÜÑÔÐ Ó Ò ØÖÓ ØÓÖ ÐÓÐ ÙÒ ÓÙ ¹ÔÖÓÖÑÑ Õ٠гÓÒ ÓØ ÒÓÖÔÓÖÖ Ò ÙÒ ÔÖÓÖÑÑ ÔÖÒÔÐ ÔÓÙÖ ÔÖÓÙÖ ÙÒ ØÖ Ò ÐÒ ÙÒ ÔÔÐØÓÒ ÙØÓÒÓÑ ÔÐ ÖÔÖ ÒØÖ ÖÔÕÙÑÒØ ÓÒÒ ÔÖÓÙØ ÔÖ ÙÒ ÙØÖ ÔÖÓÖÑÑ Ø ÒÒ ÐÓÐ ÔÙ ÒØ ÔÐ ÐÙÐÖ Ø ØÖÖº ÇÒ ÔÙØ ÒÓÖ ØÒÙÖ ÙÜ ÙÒ ÔÙ ÖÒØ Ò ÔÖØÕÙ ÓÙ Ò Ð ÓÒØÓÒ Ø ¹ Ò ÔÖ ÙÒ ÓÙ ÓÖÑÙÐ ÓÙ ÙÒ ÔÖÓÖÑÑ ³ Ø ÙÒ ÓÒØÓÒ ÒÐÝØÕÙ µ ÓÙ Ò ÐÐ Ø ÖÔÖ ÒØ ÔÖ ÙÒ ØÐÙ ÚÐÙÖ Ö Ð³ÚÒ ÓÒØÓÒ ÒÙ¹ ÑÖÕÙ µº Ò Ð ÔÖÑÖ Ð ÙÖ ÔÖÓÖÑÑÖ Ð ÓÖÑÙÐ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ Ò Ð ÙÜÑ Ð ÙÖ Ö ÐÖ ÙÒ Ö ÓÒÒ ÔÖ Ð ÐÓÐ ÓÒ Ö ÑÓÒ ÚÓÖ ÒØÖÖ ØÓÙØ Ð ÚÐÙÖ Ù ÐÚÖº ÆÓÙ ÜÔÐÕÙÓÒ Ð ÑÖ ÙÚÖ ÔÓÙÖ ÕÙÐÕÙ ÐÓÐ ÔÖØÕÙ Ø Ð ³ Ò Ð ÔÖÖÔ ÕÙ ÙÚÒغ ½º½º Ä ØÐÙÖ ÌÓÙ Ð ØÐÙÖ ÓÑÔÓÖØÒØ ÓÙØÐ ÖÔÕÙ ÔÙ ÒØ º ÈÓÙÖ Ø ÜÑÔÐ ÒÓÙ ÙØÐ ÖÓÒ Ð ÔÖÓÖÑÑ Ð Ð ÓÐÐØÓÒ ÇÔÒǺÓÖº ÈÓÙÖ ÖÔÖ ÒØÖ Ð ÚÖØÓÒ Ð ÓÒØÓÒ y =exp( x/3) cos(2x) ÒÓÙ Ò ØÐÐÓÒ Ò Ð ÓÐÓÒÒ Ð ÙØ ÚÐÙÖ xº ÁÐ ÙØ ÓÒÒÖ Ð ÙÜ ÔÖÑÖ ÚÐÙÖ ¼ Ò ½ Ø ¼º¼ Ò ¾ ÔÖ ÜÑÔе ÐØÓÒÒÖ ÙÜ ÐÐÙÐ ÔÙ ÖÖ ØÓÙØ Ð ÚÐÙÖ ÙÚÒØ Ù ÕÙ³ ÙÒ ÐÑØ Ó ÔÖ Ð³ÙØÐ ØÙÖµ Ò Ð ÑÑ ÓÐÓÒÒ Ð³ Ð ÔÓÒ ÖÓÔ º Ä ÔÖÓÖÑÑ ÑÒ ÒÓÙ ÚÓÙ¹ ÐÓÒ ÒÒÖÖ ÙÒ ÔÖÓÖ ÓÒ ÖØÑØÕÙ ÕÙ ÒÓÙ ÓÒÖÑÓÒ º Ä ÐÐÙÐ ½ ÓÒØÒÖ Ð³ÜÔÖ ÓÒ Ð ÓÒØÓÒ ÓÑÑ Ð ³Ø ³ÙÒ ÓÖÑÙÐ ÒÓÙ ÖÚÓÒ ÜÔ ¹½» µ Ó ¾ ½µº ÍØÐ ÒØ ÒÓÖ Ð ÔÓÒ ÖÓÔ ÒÓÙ ÖÔÖÓÙ ÓÒ ØØ ÜÔÖ ÓÒ Ò ØÓÙØ Ð ÐÐÙÐ ÙØÐ Ð ÓÐÓÒÒ Ò ÒÕÙÒØ Ò Ð ÓØ ÐÓÙ ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÙÐÓÒ ÙÔÐÕÙÖ ÙÒ ÓÖÑÙк ÁÐ ÙØ Ò ÙØ ÐÕÙÖ ÙÖ Ð³Ò Ò ÖØÓÒ ÖÑÑ Ó Ö Ú Ð ÓÙÖ Ð³ÑÔÐÑÒØ ØÐØÐÐÙ Ò Ø ÖÔÓÒÖ ÙÜ ÕÙ ØÓÒ ÔÓ ÔÖ Ð ÐÓÐ Ó ØÖÓÙÚÒØ Ð ÓÒÒ ÕÙÐÐ Ø Ð ÔÖ ÒØØÓÒ ÓÙغ

12 ½¼ ÅØÓ ÒÙÑÖÕÙ ÔÔÐÕ٠˳ ÒØ ³ÙÒ Ö ÓÒÒ Ð ÙÐ Ó ØÐ ÑÒÙÖ Ø Ð ÐØÙÖ Ù Öº ÆÓÙ ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ Ö Ù ÓÖÑØ ËÁÁµ ÓÒØÒØ ÓÒÒ ÔÖÓÙØ ÔÖ ÙÒ ÙØÖ ÔÖÓÖÑÑ ÓÒØ ÒÓÑÖ ÑÙÜ ÖØ Ú ÙÒ ÔÓÒØ Ñе ÔÖ ÔÖ ÔÐÙ ÙÖ ÐÒ º Ä ÒÓÑ Ù Ö ØÖÑÒÖ ÔÖÖÒ ÔÖ Ð³ÜØÒ¹ ÓÒ º Ú ÔÓÙÖ ÚØÖ ÕÙ³ÇÔÒÇ Ò Ð ÓÒ Ö ÓÑÑ ÙÒ ØÜØ ØÒ Ù ØÖØÑÒØ ØÜØ ÏÖØÖ µº ÆÓÙ ÓÙÚÖÓÒ Ð Ö Ø ÒÓÙ ÒÕÙÓÒ Ò Ð ÓØ ÐÓÙ ÕÙ Ð ÚÐÙÖ ÓÒØ ÔÖ ÔÖ ÐÒ ÕٳРÙØ ÖÖÓÙÔÖ Ð ÔÖØÙÖ Ø ÕÙ Ð ÑÓÐ ÒÓÑÖ Ø ÒÐÓ¹ ÜÓÒº Ä ØÖ ³ØÙ ÓÑÑ ÔÖÑÑÒغ Ë Ð Ö ÓÒØÒØ ÙÜ ÓÐÓÒÒ ÐÐ ¹ ÓÒØ ÙØÐ ÙØÓÑع ÕÙÑÒغ ËÒÓÒ Ð ÙØ ÔÖ Ö Ú Ð ÓÙÖ Ð ÓÐÓÒÒ Ø ÐÐ ÓÖÓÒÒ º ½º¾º ÂÚ Ø ÈØÈÐÓØ ÈØÈÐÓØ Ø ÙÒ ÓÐÐØÓÒ ÑØÓ Ù ³ÙÒ ÖÓ ÔÖÓØ ÔØ ÈØÓÐÑÝ µ Õ٠гÓÒ ÔÙØ ÒÐÙÖ Ò ÙÒ ÔÖÓÖÑÑ Ò ÂÚ ÔÓÙÖ ØÖÖ ÖÔ ÔÓÒØ ÔÖ ÔÓÒغ Ä Ð ØÒ ÙÚÒØ ÔÖÑØ ³Ö ÙÒ ÒÙ Ó ÑÓÖغ Ä ØÒ½º½ ËÒÙ Ó ÑÓÖØ Ò ÂÚ ÑÔÓÖØ Ú º ÙØÐ º ÑÔÓÖØ ÔØÓÐÑÝ º ÔÐÓØ º ÈÐÓØ ÑÔÓÖØ ÔØÓÐÑݺ ÔÐÓØ º ÈÐÓØÔÔÐØÓÒ ÔÙÐ Ð ÖÔ½ ß ÔÙÐ ØØ ÚÓ ÑÒ ËØÖÒ Ö µ ß ËÒÒÖ Ò ÒÛ ËÒÒÖ ËÝ ØÑ º Ò µ ÓÙÐ Ø Ð Ø Ü ÈÐÓØ ÓÙÖ ÒÛ ÈÐÓØ µ ËÝ ØÑ º ÓÙØ º ÔÖÒØ ÙÖ µ ÓÙÐ ØÑÜ Ò º ÒÜØÓÙÐ µ ËÝ ØÑ º ÓÙØ º ÔÖÒØ ÚÐÙÖ Ù Ô µ Ò º ÒÜØÓÙÐ µ ËÝ ØÑ º ÓÙØ º ÔÖÒØ ÚÐÙÖ ÐÔ µ Ð Ò º ÒÜØÓÙÐ µ ËÝ ØÑ º ÓÙØ º ÔÖÒØ ÚÐÙÖ Ø µ Ø Ò º ÒÜØÓÙÐ µ Ü ½º¼ Ø ¼ ÓÙÖ º ÈÓÒØ ¼ Ø Ü ØÖÙ µ ÛÐ Ø ØÑÜµß Ü Åغ ÜÔ Ð Øµ Åغ Ó Ø Øµ»» ÓÒ ØÖÙØÓÒ ÓÙÖ ºÈÓÒØ ¼ Ø Ü ØÖÙ µ»» Ð ÓÙÖ Ø Ø»» ÔÓÒØ ÔÖ ÔÓÒØ Ð ÈÐÓØÔÔÐØÓÒ ÔÔ ÒÛ ÈÐÓØÔÔÐØÓÒ ÓÙÖ µ»» Ð Ð ½ ¾ ½¼ ½½ ½¾ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¾¼ ¾½ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¾

13 ½ ÊÔÖ ÒØØÓÒ ÖÔÕÙ ÓÒØÓÒ ½½ Ä ÐÒ ½ ÔÖÑØØÒØ Ð³Ò ÖØÓÒ ÑØÓ ³ÒØÖ¹ ÓÖØ Ø ÖÔÕÙ º Ä ÐØÙÖ ÓÒÒ Ø ÔÔÐ Ð Ð ËÒÒÖ ÔÓÒÐ Ò Ð ÚÖ ÓÒ ÂÚ ÔÓ ØÖÙÖ ¾¼¼µº Ä ÐÒ ÐÖÒØ Ð ÑØÓ Ò Ø Ð³ÓØ ÓÙÖ Ò ÕÙ Ð ÚÖÐ Ò Ö º Ä ÚÐÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ ÓÒØ ÐÙ ÔÖ Ð Ò ØÖÙØÓÒ ½º ijÓØ ÓÙÖ Ø ÒØÐ ÐÒ ½ Ø ½º Ä ÓÙÐ ÛÐ ÓÒ ØÖÙØ Ð ÓÙÖ ÔÓÒØ ÔÖÔÓÒØ Ðй Ø ÔÖ Ð³Ò ØÖÙØÓÒ ¾º ÆÓÙ ÚÓÙ ÖÔÔÐÓÒ Ð ØÔ ³ÙÒ ÙØÐ ØÓÒ ÑÔÐ ÂÚº ÇÒ Ö Ð ÔÖÓ¹ ÖÑÑ Ð³ ³ÙÒ ØÙÖ ØÜØ Ø ÓÒ Ð³ÒÖ ØÖ ÓÙ Ð ÒÓÑ ÖÔ½ºÚ Ò ÔÖÒÒØ Ö ÕÙ Ð ÒÓÑ Ð Ð Ø Ð ÒÓÑ Ù Ö ÓÒÒØ ÜØÑÒغ ËÓÙ ÏÒÓÛ Ò ÙÒ ÒØÖ ÒÚØ ÓÑÑÒ ÓÒ ÓÑÔÐ ÔÖÓÖÑÑ ÔÖ Ð³Ò ØÖÙØÓÒ Ú ÖÔ½ºÚº Ë ØÓÙØ Ô Ò ÓÒ ÔÙØ ÐÓÖ ÐÒÖ Ð³Ü¹ ÙØÓÒ ÔÖ Ú ÖÔ½º ijÓÖÒØÙÖ ÓØ ÚÓÖ Ó ØÖÓÙÚ Ð ÓÑÔÐØÙÖ Ð ÙØ ÓÒ ÒØÐ Ö ÓÖÖØÑÒØ ÐÚÖÐ ³ÒÚÖÓÒÒÑÒØ ÈÌÀµ Ø Ó ØÖÓÙÚÒØ Ð Ð ÈØÈÐÓØ ÒØÐ Ö ÄËËÈÌÀ µº Ä ÙÖ ÔÔÖØ Ò ÙÒ ÒÓÙÚÐÐ ÒØÖ ÒØÖØÚ ÖØÒ ÔÖÑØÖ Ù ØÖ ÓÑÑ Ð ÐÐ Ü ÓÒØ ÑÓÐ ÔÖ Ð³ÙØÐ ØÙÖ ÑÒÙ Ø µº ½º º ÈÝØÓÒ Ø ÅØÔÐÓØÐ ÎÓÙ ÔÓÙÚÞ ÓÒ ÖÖ ÂÚ Ø ÈÝØÓÒ ÓÑÑ ÒÒØ Ò ÔÐÙ ÑÔÐ Ø ÔÐÙ ÓÑÑÓ º ÈÝØÓÒ Ø ØÓÙØ ÐÓØÕÙ ÓÙ ¹ÔÖÓÖÑÑ ÔÐ µ Ø ÒÓØÖ Ú ÔÐÙ Ð ³ÑÔÐÓ Ø ÔÐÙ ÓÑÑÓ ÕÙ ÂÚ Ò Ð ÓÑÒ ÒØÕÙº ÁÐ ÓÙÖ ÔÒÒØ ³ÙÒ ÒÓÒÚÒÒØ ³ Ø ÙÒ ÐÒ Ò¹ ØÖÔÖØ Þ ÐÒغ ÁÐ ÙØ Ð³ÙØÐ Ö ÔÓÙÖ ÔØØ ÔÖÓÖÑÑ ÓÙ ÔÔÖÒÖ Ð³ÒØÖÖ Ú ÑÓÙÐ ÓÖØÖÒ ÓÙ ÕÙ ÜÙØÖÓÒØ Ð ÖÓ ÐÙÐ º Ä ØÒ½º¾ ËÒÙ Ó ÑÓÖØ Ò ÈÝØÓÒ ÖÓÑ ÔÝÐ ÑÔÓÖØ Ø ÖÒ ¼ ¾ Ô ¼º¼½µ Ð ÐÓØ ÖÛÒÔÙØ ÚÐÙÖ Ð µµ Ø ÐÓØ ÖÛÒÔÙØ ÚÐÙÖ Ø µµ ÜÔ Ð Øµ Ó Ø Øµ ÔÐÓØ Ø µ ÓÛ µ ½ ¾ ÈÓÙÖ ÙØÐ Ö ÈÝØÓÒ Ð ÚÓÙ ÙØ Ò ØÐÐÖ ÈÝØÓÒ Ð ÐÓØÕÙ ÒØÕÙ ËÔÝ Ø ÆÙÑÔÝ Ø Ð ÐÓØÕÙ ÖÔÕÙ ÅØÔÐÓØРгÒÚÖÓÒÒÑÒØ ÔÖÓÖÑѹ ØÓÒ ÒØÖØ ÁÈÝØÓÒ Ø ÓÖ ÔÓÙÖ ÏÒÓÛ µ Ø ÓÑÑÓº Ë ÚÓÙ ÚÓÙÐÞ ÐÒÖ ÈÝØÓÒ ÔÙ ÙÒ ÖÔÖØÓÖ ÕÙÐÓÒÕÙ ÚÓÙ ÚÖÞ Ö ÙÖÖ ÓÒ ÑÒ ³ Ò ÈÌÀº ijÙØÐ ØÓÒ Ø ÑÐÐ ÐÐ ÂÚ Ú ÚÓØÖ ØÙÖ ØÜØ ÚÓÖ ÚÓÙ ÖÞ ÙÒ ÔÖÓÖÑÑ ÖÔ½ºÔÝ ÔÖ ÜÑÔе ÓÒØ ÚÓÙ ÑÒ¹ Þ Ð³ÒØÖÔÖØØÓÒ Ø Ð³ÜÙØÓÒ ÔÙ ÙÒ ÒØÖ ÒÚØ ÓÑÑÒ µ ÔÖ ÔÝØÓÒ ÖÔ½ºÔݺ ÎÓÙ ÔÓÙÚÞ ØÓÙØ Ù Ò ØÔÖ ±ÖÙÒ ÖÔ½ºÔÝ Ò ÁÈݹ ØÓÒº

14 ½¾ ÅØÓ ÒÙÑÖÕÙ ÔÔÐÕÙ ÓÑÑ Ð ÑÓÒØÖ Ð³ÜÑÔÐ ÐÙ¹ÑÑ ÖÙØ Ð³ ÒØе ÐÒ Ø ÓÑÔØ Ø ÔÙ Òغ ÍÒ ÖÒ ÔÖØ Ù ØÖÚÐ Ø Ø Ò ÓÙÐ ÔÖ Ð ÐÒ ½ ÕÙ ÑÔÓÖØ ØÖ ÒÓÑÖÙ ÓÒØÓÒ ÑØÑØÕÙ Ø ÖÔÕÙ º Ä ÐÒ ¾ Ö ÙÒ Ð Ø ÚÐÙÖ Ø Ð ÐÒ Ø ÔÖÑØØÒØ ³ÒØÖÖ Ù ÐÚÖ Ð ÚÐÙÖ α Ø β Ø Ð ÐÒ ÐÙÐ ÔÓÒØ ÔÖ ÔÓÒØ Ð ÚÐÙÖ Ð ÓÒØÓÒº Ðй Ø ÐÓÒ Ð ÝÒØÜ ÅØÐ ³Ó Ð ÒÓÑ Ð ÐÓØÕÙµ ÔÖ Ð³Ò ØÖÙØÓÒ º Ä ÐÒ ÑÔ Ð ÔÖØÓÒ ÚÓØÖ Ù ÖÔÕÙ Ð Ò Ð³ÜÙØÓÒ Ù ÔÖÓÖÑѺ ½ºº ÒÙÔÐÓØ ÒÙÔÐÓØ Ø ÙÒ ÐÓÐ ÖØÙØ Ø ÔÙ ÒØ ÔÓÒÐ ÔÓÙÖ ØÓÙ Ð Ý ØÑ ³Ü¹ ÔÐÓØØÓÒ Ð Ð³ÚÒØ ³ØÖ Þ ÔÙ ÒÓÑÖÒØ ¾ ÅÓÒÚÖÓÒµº ÁÐ ÔÓ ÙÒ ÒÐÝ ÙÖ ÝÒØØÕÙ ÕÙ ÓÒÒØ Ð ÔÐÙÔÖØ ÓÒØÓÒ ÐÑÒØÖ º ÁÐ Ø ØÖ Ð ³ÓÑÔÐÖ Ú ÒÙÔÐÓØ Ð ÙÜ Ø ÕÙ ÒÓÙ ÒÓÙ ÓÑÑ ÔÖÓÔÓ º ÈÓÙÖ ØÖÖ ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÔÖ ÙÒ ÓÖÑÙÐ ÒÙÔÐÓØ ÒÙÔÐÓØ Ð ¼º Ø ÔÐÓØ ¼½¼ ÜÔ ¹Ð ܵ Ó Ø Üµ Ä ÓÒØÓÒ ÔÐÓØ ÑØ ÓÑÑ ÔÖÑÖ ÔÖÑØÖ Ð³ÒØÖÚÐÐ ÚÖØÓÒ Ð ÚÖÐ ÒÔÒÒØ ÐÕÙÐÐ ÓØ ³ÔÔÐÖ x ÔÖ ÓÒÚÒØÓÒº ÈÓÙÖ Ö ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÓÑÑ ÙÒ ÙØ ÚÐÙÖ x, yµ ÖÒ Ò ÓÐÓÒÒ Ò Ð Ö Ü½¾ºØ Ð ÙØ ÖÖ ÒÙÔÐÓØ ÔÐÓØ ¹¾º¼ ¹ º½º»ÒÔÓÐݻܽ¾ºØ Ä ÓÐÕÙ ÖÑÔÐÒØÐ ÓÒØÖ¹ÓÐÕÙ Å˹ÇË ÒÓÙ ÚÓÒ ÔÖ Ð³ÒØÖÚÐÐ ÚÖØÓÒ ÔÓÙÖ Ð ÔÖÑÖ ÚÐÙÖ ÒØÖ ÖÓØ µ Ø ÔÓÙÖ Ð ÓÖÓÒÒ ÚÐÙÖ ÙÚÒØ µº Ë Ð Ö ÓÑÔÓÖØ ÔÐÙ ÙÖ ÓÐÓÒÒ ÒÓÙ ÔÓÙÖÖÓÒ ÒÕÙÖ ÕÙ Ð ÒÓÑÖ Ð ÓÐÓÒÒ ¾ ÚÖÓÒØ ÖÚÖ ³ Ø ÙÜ Ð ÓÐÓÒÒ ³ÓÖÓÒÒ Ò ÓÙØÒØ ÑÔÐÑÒØ Ù Ò ¾ Ð Ò Ð³Ò ØÖÙØÓÒ ÔÖÒغ ÁÐ Ü Ø ÙÒ ÖÒ ÒÓÑÖ ³ÓÔØÓÒ ÔÓÙÖ ÑÓÖ Ð ÖØÖ ØÕÙ Ù ØÖ ¹ ÐÒ ÙØÐ ØÓÒ ÝÑÓÐ ÓÙ ØÖØ ÓÒØÒÙ Ô ÙÖ Ø ÓÙÐÙÖ Ù ØÖص Ø ÔÓÙÖ Ó Ö Ð ØÝÔ ÖÔ ÔÖÑØÖÕÙ ÔÓÐÖµº ÎÓÙ ÔÓÙÖÖÞ Ð ¹ ÓÙÚÖÖ Ò Ð ÒØ Ð³ Ò ÐÒ ÓÙ ÒÓÖ Ò ÙÚÖÒØÚÓØÖ ØÖÚÐ Ò ÙÒ Ö ÙÖ ÕÙ ØÓÙ Ëε Ò ÓÙÚÖÒØ Ö Ò ÙÒ ØÙÖ ØÜØ ÚÓÙ ÚÖÖÞ ÕÙ ÒÙÔÐÓØ ÒÖ ØÖ ÙÒ ÖÒ ÒÓÑÖ ³ÓÔØÓÒ Ø ÔÖÑØÖ º ÎÓÙ ÔÓÙÖÖÞ ÐÓÖ ÑÓÖ ÔÖÓÖ ÚÑÒØ ÚÐÙÖ Ø Ö Ð ØÖ ÒÖ ÔÖ Ð³Ò ØÖÙØÓÒ ÐÓº ËÔÓÒØÒÑÒØ ÒÙÔÐÓØ ÙØÐ ÙÒ ÒØÖ ÓÑÑ ÔÓ Ø ÓÖغ ØØ ÒØÖ Ø ÒØÖØÚ Ø ÖØÒ ÔÖÑØÖ Ù Ò ÔÙÚÒØ ØÖ ÑÓ Ò ÐÕÙÒØ ÙÖ Ð ÖÙÖÕÙ ÓÔØÓÒ Ù ÑÒÙ ÖÓÙÐÒغ ÇÒ ÔÙØ Ù ÒÚÓÝÖ Ð ØÖ Ò ÙÒ Ö ØÒ ÙÒ ÑÔÖÑÒØ ÐÓÒ Ð ÓÖÑØ ÓÙØ ÈÆ Á ÀÈÄ Ø Ò ³ÙØÖ µº

15 ½ ÊÔÖ ÒØØÓÒ ÖÔÕÙ ÓÒØÓÒ ½ Ä ÑÑ ÔÖÓÖÑÑ ÔÙØ ÖÔÖ ÒØÖ ÙÖ Ò ÔÖ ÔØÚ ÓÙ ÓÙÖ ÒÚÙ ÚÓÖ Ð Ö Ðкѵº ½ºº ÅÔÐ Ä ÐÓÐ ÅÔÐ Ø ÓÖÒØ ÚÖ Ð ÐÙÐ ÐÖÕÙ Ð ÔÓ ÔÒÒØ ÔÓ ¹ ÐØ ÖÔÕÙ ÜØÖÑÑÒØ ÔÙ ÒØ ÓÒØ ÚÓ ÙÒ ØÓÙØ ÔØØ ÔÖÙº Ä ÐÓÙ ÙÚÒØ ÔÖÑØ ØÖÖ ÙÒ ÒÙ Ó ÑÓÖغ Ý ÜÔ ¹ÐÔ Üµ Ó Ø Üµ y := e ( αx) cos(βx) ݽ Ù ÐÔ ¼º Ø Ýµ y1 := e ( 0.3 x) cos(4 x) ÔÐÓØ Ý½ Ü ¼ºº½¼µ ÆÓÙ ÙÖÓÒ ÔÙ ÒÓÙ ÓÒØÒØÖ Ð³Ò ØÖÙØÓÒ ÙÒÕÙ ÔÐÓØ ÜÔ ¹¼º ܵ Ó Üµ Ü ¼ºº½¼µ Ñ ÐÚÖ ÓÒ ÔÖÒØ ÒÓÙ ÔÖÑØ ÒÖ ÙÒ ÕÙÒØØ y ÔÒÒØ ÙÜ ÔÖÑØÖ ÓÒØ ÒÓÙ ÔÓÙÚÓÒ ÑÓÖ Ð ÚÐÙÖ ÑÒØ ÔÖ Ð³Ò ØÖÙØÓÒ Ù º Ä ÐØÙÖ ³ÙÒ ØÐÙ ÚÐÙÖ ÜØÖÒ Ø Ù ÑÓÝÒ Ð³Ò ØÖÙØÓÒ ÖØ ÕÙ ÑØ ÙÜ ÔÖÑØÖ ÓÐØÓÖ Ð ÒÓÑ Ù Ö Ø Ð ÒÓÑÖ ÓÐÓÒÒ º ÇÒ ÔÙØ Ù ÔÖ Ö ³Ð ³Ø ³ÒØÖ ÓÙ ÒÓÑÖ ÖØÓÒÒÖ º Ä ÑÒÓÙÚÖ Ø ÑÔÐ Ò Ð ³ÙÒ ØÐÙ ÙÜ ÓÐÓÒÒ ÓÑÑ Ð ÑÓÒØÖ Ð³ÜÑÔÐ ¹ ÓÙ º ÆÓÙ ØÖÓÒ Ð ÖÔ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ Ð³ Ò ØÖÙØÓÒ Å ÖØ»ÒÔÓÐݻܽ¾¾ºØ ¾µ M := [[ 2., 3.1], [ 1.1, 0.99], [0., 1.], [2.222, ], [4., 5.]] ÔÐÓØ Åµ Ä ÒÓÑÖ ÒØÖ ÔÖ ÒØ Ò Ð Ö ÓÒØ Ø ØÖÒ ÓÖÑ Ò ÒÓÑÖ ÖØÓÒ¹ ÒÖ º ÊÑÖÕÙÞ Ù ÕÙ Ð ÓÒØÖ¹ÓÐÕÙ Ù ÒÓÑ Ö ÓÒØ ÖÑÔÐ ÔÖ ÓÐÕÙ ÓÙ ÅÔк ÁÐ Ø ÙÒ ÔÙ ÔÐÙ ÓÑÔÐÕÙ ³ÜØÖÖ ³ÙÒ Ö ÑÙÐعÓÐÓÒÒ ÙÒ ÓÐÓÒÒ ³ Ø ÙÒ ÓÐÓÒÒ ³ÓÖÓÒÒ º ÁÐ ÙØ ÔÖÓÖ ÓÑÑ º Ä Ö ÓÒØ Ð ÒÓÑ ÓÑÔÐØ Ø ÒÔÓÐÝÖÔ¼¾ºØ ÓÒØÒØ Ð ÚÐÙÖ ¹½º ¹½ ¹¾º¾ ¹½ ¹¼º¼ ¹½ ¼ ¼º ¼º ¼º ½º ¾º ¾ º¾½ º º

16 ½ ÅØÓ ÒÙÑÖÕÙ ÔÔÐÕÙ ÇÒ ÐØ Ø ÓÒ ÜØÖØ Ð ÓÒÒ ÚÐÙÖ Ö ÙÜ Ò ØÖÙØÓÒ Å ÖػҼ¼½»ÖÔ¼¾ºØ µ M := [[ 1.9, 1., 2.2], [ 1., 0.04, 1.], [0., 0.97, 0.35], [0.9, 1.87, 2.43], [2., 3., 4.], [3.21, 3.96, 4.43]] ÔÓÒØ Õ Å ½ Å ½ººµ points := [[ 1.9, 2.2], [ 1., 1.], [0., 0.35], [0.9, 2.43], [2., 4.], [3.21, 4.43]] ÔÐÓØ ÔÓÒØ ØÝÐÈÇÁÆÌ ÝÑÓÐÇ ÝÑÓÐ Þ½µ ÅÔÐ ÓÒ Ö M ÓÑÑ ÙÒ Ð Ø Ð Ø ÕÙ Ð Ø ÐÑÒØÖ ÖÔÖ ÒØÒØ ÙÒ ÐÒº Ä Ó ÜØÖØ Ð ÒÓÑÖ Ð ÔÖÑÖ ÓÐÓÒÒ µ Ø ÙÜ Ð ØÖÓ Ñ ÓÐÓÒÒ ÓÖÓÒÒ µ ÐÒ ÔÖ ÐÒ ÔÙ ÖÔÓÖØ Ð ÔÓÒØ ÙÖ ÙÒ ÖÔÕÙ ÙÖ ½º½µº ÙÖ ½º½ Ä ØÖ ³ÙÒ ÙØ ÔÓÒØ ÔÖ ÅÔк ½ºº ËÐ ËÐ Ø ÙÒ ÐÓÐ ÖØÙØ ØÖ Ò ÔØ Ð³ÐÖ ÐÒÖ Ø Ð ÑÙÐØÓÒ Ý ØÑ ÝÒÑÕÙ º ÇÒ ÔÙØ Ð³ÙØÐ Ö ÓÒ ÒØÖØÚ ÓÑÑ ÙÒ ÐÙÐØص ÓÙ ÔÖÔÖÖ Ð³ ³ÙÒ ØÙÖ ØÜØ ÔÖ ÜÑÔÐ ÐÙ ÕÙ Ø ÒÓÖÔÓÖ Ò ËÐ ÔÙ Ð ÚÖ ÓÒ ¾ºµ ÙÒ ÔÖÓÖÑÑ Õ٠гÓÒ Ö ÜÙØÖ Ò Ùغ ÆÓÙ ÙØÐ ÓÒ Ò ÔØÖ ÒØÐÐÑÒØ Ð ÔÖØ ÖÔÕÙ Ëк ÆÓÙ ÓÙØÓÒ ÒÓÖ ØÖÖ ÙÒ ÒÙ Ó ÑÓÖØ Ò ÔÖ Ð³ÕÙØÓÒ x =exp( αt)cos(βt), ÔÓÙÖ α =0.3,β =2Ø 0 t 10º Ä Ò ØÖÙØÓÒ ÙÚÒØ ÖÔÓÒÒØ ÒÓØÖ ÓÙغ

17 ½ ÊÔÖ ÒØØÓÒ ÖÔÕÙ ÓÒØÓÒ ½ Ð ¼º Ø ¾ Ø ¼¼º½½¼ Ü ÜÔ Ð Øµº Ó Ø Øµ ÔÐÓؾ Ø Üµ ½ ¾ Ä Ö ÙÐØØ ÔÔÖØ ÙÖ Ð ÙÖ ½º¾º Ò³ Ø Ô Ð ÐÙ ØÐÐÖ Ð ÝÒØÜ ËÐ ÕÙ Ø ØÖ Ò ÜÔÐÕÙ Ò Ð³ Ò ÐÒ Ò Ð ÑÒÙÐ Ø ÙÖ ÚÖ Ø ÚÓÖ Ð ÖÖÒ Ò Ò ÔØÖµ ÒÓÙ ÒÓÙ ÓÒØÒØÖÓÒ ÕÙÐÕÙ ÒØÓÒ º 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0, ÙÖ ½º¾ ÍÒ ÒÙ Ó ÑÓÖØ ÖÔÖ ÒØ ÔÖ Ëк Ä ÔÖÑÖ ÐÒ ÒØ Ø ÒØÐ Ð ÙÜ ÔÖÑØÖ Ð ÔÓÒØ ¹ÚÖÙÐ Ò¹ ÕÙÒØ ËÐ ÕÙ³Ð Ò ÓØ Ô Ö Ð³ÖÒ Ð ÚÐÙÖ ÕÙ ÚÒÒÒØ ³ØÖ Ò º Ä ÙÜÑ ÐÒ ÒØÐ ÙÒ ÚØÙÖ ÐÒ t ÓÒØ Ð ÓÓÖÓÒÒ ÓÒØ t 1 =0,t 2 =0.1,t 3 =0.2,...,t 101 =1.0 Ð ÐÑÒØ ØÐÙÜ ÚØÙÖ ÑØÖ µ ÓÒØ ØÓÙÓÙÖ ÒÙÑÖÓØ ÔÖØÖ ½º Ä ÐÒ ÙÚÒØ ÐÙÐ Ð ÚØÙÖ xº ÎÓÙ ÔÓÙÚÞ ÓÒ ØØÖ ÕÙ³Ð Ô Ô ÑÐ Ó Ò ÓÙ º Ä ÓÑÔÓ ÒØ Ù ÚØÙÖ t ÓÒØ Ù ÚÑÒØ ÙØÐ ÓÑÑ ÖÙÑÒØ ÓÒØÓÒ ÜÔÓÒÒØÐÐ Ø Ó ÒÙ º Ò ÜÔ ¹Ð ص Ø ÙÒ ÚØÙÖ ÐÒ ÓÑÔÓ ÒØ exp( α t i )ºÄ ÙÜ ØÐÙÜ ÖÔÖ ÒØ ÔÖ ÜÔ ¹Ð ص Ø Ó Ø Øµ ÓÒØ Ò ÙØ ÑÙÐØÔÐ ÐÑÒØ ÔÖ ÐÑÒØ ³ Ø ÕÙ³ÒÕÙ Ð ÒÓØØÓÒ ÔÓÒعØÓÐ ÙÔÖÓÙص ÔÓÙÖ ÓÖÑÖ Ð Ö ÙÐØØ ÙÒ ÚØÙÖ ÐÒ ÓÓÖÓÒÒ x i =exp( αt i )cos(βt i )ºÄ ÔÖÓÖÑÑ ÖÐ Ò ÙØ ÔÖ ÑÒØ Ð ÔÓÒØ Ù ÓÓÖÓÒÒ (t i,x i ) ÔÓÙÖ ÔÖÓÙÖ ÙÒ ØÖ Ð º Ä ÓÒØÓÒ ÔÐÓؾ ÔÙØ ÖÚÓÖ ÖÙÑÒØ ÙÔÔÐÑÒØÖ ÕÙ ÔÖÑØØÒØ ÒÖ Ü ÖÙØÓÒ ÑÓÖ Ð³Ô ÙÖ Ø Ð ÓÙÐÙÖ ØÖØ ³ÒØÖÓÙÖ ÐÒ ÓÙ ÙÒ ØØÖº Ò ÓÙØÒØ Ð ÐÒ Ý ÜÔ ¹Ð صº Ò Ø Øµ Ø Ò ÑÓÒØ Ð³Ò ØÖÙ¹ ØÓÒ ØÖ ÕÙ ÚÒØ ÔÐÓؾ Ø Ü Ý µ ÒÓÙ ÓØÒÓÒ ÙÖ Ð ÑÑ ÖÔ Ð

18 ½ ÅØÓ ÒÙÑÖÕÙ ÔÔÐÕÙ ÓÙÖ ÖÔÖ ÒØÒØ Ð ÙÜ ÓÒØÓÒ x Ø yº ÆÓÙ ÔÓÙÚÓÒ Ù ÓÒ ÖÖ ÙÜ ÓÒØÓÒ Ò ÑÐ ÓÑÑ Ð ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÔÖÑØÖÕÙ ³ÙÒ ÓÙÖ Ðй ³ÓØÒØ ÐÑÒØ ÔÖ Ð³Ò ØÖÙØÓÒ ÖÔÕÙ ÔÐÓؾ Ü Ýµº ÓÑÑÒØ ÔÖÓÖ ÔÓÙÖ ØÖÖ Ð ÓÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒÒØÙÒÖ ÚÐÙÖ ÒÙѹ ÖÕÙ ³ Ø ÒÓÖ ÔÐÙ ÑÔк ÆÓÙ ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ Ð Ö»ÒÔÓÐݻܽ½¾ºØ ÓÒØÒØ Ð ÓÒÒ ÕÙ ÒÓÙ ÒØÖ ÒØ Ö ÓÒ ØÖÓ ÔÖ ÐÒ ÒÓÑÖ ØÒØ ÔÖ ÔÖ Ô ÓÙ ÙÒ ØÙÐØÓÒº ÆÓÙ ÔÖÓÓÒ ÐÓÖ ÓÑÑ ÙØ Å Ö»ÒÔÓÐݻܽ½¾ º Ø ÔÐÓؾ Å ½µ Å µ ØÝÐ µ ½ µ ½ ¾ ËÐ ÑØ Ù Ò Ð ÓÐÕÙ ÕÙ Ð ÓÒØÖ¹ÓÐÕÙ Ò Ð ÒÓÑ Ö º ü Ð ÔÖÑÖ ÐÒ ÓÒ ÐØ Ð ÓÒØÒÙÙÖ Ø ÓÒ ÖÒ Ð ÚÐÙÖ Ò Ð ÑØÖ Mº ÄÚÐÙÖ ¹½ ÓÐ ËÐ ÐÖ ØÓÙØ Ð ÐÒ»ÒÔÓÐݻܽ½¾ºØ ÕÙÐ ÕÙ ÓØ ÐÙÖ ÒÓÑÖ Ø Ð ÔÓÒعÚÖÙÐ Ø Ð ÔÓÙÖ Ð³ÑÔÖ ³Ö ÚÐÙÖ Ð³ÖÒº ÇÒ ÖÔÖ ÒØ Ò ÙØ ÖÔÕÙÑÒØ ØÓÙ Ð ÒÓÑÖ Ð ØÖÓ Ñ ÓÐÓÒÒ M ÓÖÓÒÒ µ Ò ÓÒØÓÒ ÚÐÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ Ð ÔÖÑÖ ÓÐÓÒÒ µº ËÙ ÒØÓÒ ÓÒØÖÖ ËÐ ÖÐ Ð ÔÓÒØ ÔÖ ÑÒØ º ÈÓÙÖ ÚØÖ Ð ÒÓÙ ÚÓÒ ÒÕÙ ÙÒ ØÝÐ ØÖØ ÒØ 3 µ ËÐ ÖÔÖ ÒØ ÐÓÖ ÔÓÒØ ÓРг Ù ÝÑÓÐ ÓÖÖ ÔÓÒÒغ ½ºº Ö Ä ÙØÐ ØÙÖ Ù Ý ØÑ ÄÒÙÜ ÓÒØ ÐÙÖ ÔÓ ØÓÒ ÒÓÑÖÙÜ ÙØÖ ÓÙØÐ ÖÔÕÙ ÖØÙØ º ØÓÒ Ð ÓÐÐØÓÒ ÔÖÓÖÑÑ ÈÐÓØÙØÐ ÕÙ ÐÒÒØ ÔÙ Ð ÐÒ ÓÑÑÒµ Ð ÐÓØÕÙ ÔÔÐÓØ ÓÒÙ ÔÓÙÖ ³ÒØÖÖ ÐÑÒØÚ ÔÖÓÖÑÑ Ò ÓÖØÖÒ ÓÙ µ Ø ÒÒ Ð ÓÑÔØÙÙÜ ÜÑÖ ÒØÖغ ÐÓÐ ÔÓ Ð ÑÑ ÓÒØÓÒÒÐØ ÕÙ ÒÙÔÐÓØ Ð³ÜÔØÓÒ ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÓÙÖ ÓÙ ÙÖ ØÖÓ ÑÒ ÓÒ Ñ Ð Ø ÓÑÔÐØÑÒØ ÒØÖغ ÇÒ ÔÙØ ÒØÖÖ ÙÒ ÓÖÑÙÐ Ò ÙÒ ÒØÖ ÓÑÑÒ ÔÓÙÖ ÖÔÖ ÒØÖ ÙÒ ÓÒØÓÒ ÒÐÝØÕÙ ÓÙ ÑÔÓÖØÖ ÓÒÒ ÓÒØÒÙ Ò ÙÒ Öº ÌÓÙØ Ð ÓÔØÓÒ ÓÒØ Ð ÔÖ ÑÒÙ ÖÓÙÐÒØ º ÇÒ ÔÙØ ÐÑÒØ ÙÚÖÖ ÙÒ ÖÔÕÙ ÓÙ ÓÖÑ Ö ØÜØ ØÖÑÒ ÓÒ ºÖµº Ò ÖÐ ÒØ ÙÒÖ ØÝÔгÚÓØÖ ØÙÖ ØÜØ ÚÓÖ ÚÓÙ ÓÒ ØØÖÞ ÕÙ Ö ÒÖ ØÖ ØÖ ÒÓÑÖÙÜ ÔÖÑØÖ Ù ØÖ ÕÙ ÚÓÙ ÔÓÙÖÖÞ ÑÓÖ ÐÓ Ö Ð ÖÓÒØ ÔÓÒÐ ÐÓÖ ÕÙ ÚÓÙ ÖÐÖÞ Ð Ö ºÖº ½ºº ÈÓÙÖ Ò ÚÓÖ ÔÐÙ ÈØÈÐÓØ ØØÔ»»ÔØÓÐÑݺ ºÖÐݺ٠ÈÝØÓÒ Ø ØØÔ»»ÔÝØÓÒºÓÖ

19 ½ ÊÔÖ ÒØØÓÒ ÖÔÕÙ ÓÒØÓÒ ½ ØØÔ»» ÔݺÓÖ ØØÔ»»ÔÝØÓÒº ÔݺÓÖ ØØÔ»»ÑØÔÐÓØк ÓÙÖÓÖºÒØ ËÐ ØØÔ»»ÛÛÛº кÓÖ ØÖÙØÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÐØ ¹ÓÖÑ º Ä Ô ØØÔ»»ÛÛÛº кÓÖ»ÔÙÐØÓÒ» ÓÒØÒØ ÖÖÒ ÐÚÖ Ø ÐÒ ÚÖ ÒÓÑÖÙÜ ØÜØ ÔÓÕÙ ÖØÙØ º ÅÔÐ ØØÔ»»ÛÛÛºÑÔÐ ÓغÓÑ» ØØÔ»»ÐÙÑÑغÙÒÚ¹ÑÖ ºÖ»ÐÑ»ÓÙÖ»ÑÔлÑÔкØÑÐ ØØÔ»»ÐÓºÒÖºÖ» ÚÓÖ Ð Ô ÔÖ ÓÒÒÐРź ÙÑ º ØØÔ»»Ô ÔÖ Ó¹ÓÖÒºÖ»º ÙÖ»ÒܺØÑÐ ÒÙÔÐÓØ ØØÔ»»ÛÛÛºÒÙÔÐÓغÒÓ» ØÔ»»ØÔºÖ ºÖ»ÔÙ»ÒÙÔÐÓØ» Ö ØØÔ»»ÔРѹغÛÞÑÒÒººÐ»Ö» ÔÐÓØÙØÐ ØØÔ»»ÛÛÛºÒÙºÓÖ» ÓØÛÖ»ÔÐÓØÙØл ÔÔÐÓØ ØØÔ»»ÛÛÛº ØÖÓºÐغٻØÔ»ÔÔÐÓØ» ÁÐ Ü Ø ÒÓÖ ØÖ ÒÓÑÖÙÜ ÐÓÐ Ú ÙÐ ØÓÒ ÓÙ ÐÙÐ ÕÙ ÒÓÙ Ò³ÚÓÒ Ô Ù Ð ÔÓ ÐØ ÑÒØÓÒÒÖ Ò Ð ØÜغ ÎÓ Ð Ø ÁÒØÖÒØ ÖÐØ ÙÜ ÔÐÙ ÓÒÒÙ ³ÒØÖ Ùܺ ÅØÑØ ØØÔ»»ÛÛÛºÛÓÐÖѺÓÑ ÅÙÔØØÔ»»ÛÛÛºÑÙÔº ÅØÐØØÔ»»ÛÛÛºÑØÛÓÖ ºÖ» ǹÅØÖÜ ØØÔ»»ÛÛÛºÓÑØÖܺÓÑ ÇÖÒ ÛÛÛºÓÖÒкÓÑ» ÇØÚ ØØÔ»»ÛÛÛºÒÙºÓÖ» ÓØÛÖ»ÓØÚ» ÊØØÔ»»ÛÛÛºÖ¹ÔÖÓغÓÖ ÊÓÓØØØÔ»»ÖÓÓغÖÒº ËØØÔ»»ÛÛÛº ÑغÓÖ»

20 ½ ÅØÓ ÒÙÑÖÕÙ ÔÔÐÕÙ ½ºº ÜÖ ÜÖ ½ Ò ÙØÐ ÒØ Ð ÐÓÐ ÚÓØÖ ÓÜ ØÖÖ ÔÖÑÒØ ÓÙ ÙÖ ÙÒ ÑÑ ÖÔÕÙµ Ð ÓÙÖ ÖÔÖ ÒØÒØ Ð ÙÜ ÓÒØÓÒ x =exp( αt)cos(βt) ; y =exp( αt)sin(βt) Ú α =0.25,β =6 ÔÙ Ð ÓÙÖ ³ÕÙØÓÒ ÔÖÑØÖÕÙ x(t),y(t)º ÊÔÖÓÙÖ ÒÒ Ð ÙÖ ½º ¹ ÓÙ º 1,1 0,9 0,7 0,5 0,3 0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 0, ,9 0,7 0,5 0,3 0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,1 0,9 0,7 0,5 0,3 0,1 0,1 0,3 0,5 0, ÙÖ ½º ËÔÖк ÜÖ ¾ 0 0,9 0,7 0,5 0,3 0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 ÇÒ ØÖÑÒ Ð ÒÓÑÖ ³ØÓÑ ÖÓØ ÔÖ ÒØ Ò ÙÒ ÒØÐÐÓÒ Ù ÓÙÖ Ù ØÑÔ Ú Ð Ö ÙÐØØ ÙÚÒØ º t N(t) ÊÔÖ ÒØÖ ÖÔÕÙÑÒØ ÓÒÒ Ò ÓÓÖÓÒÒ ÒÓÖÑÐ ÓÙ ÐÓÖØÑÕÙ º ÜÖ ÜÑÒÖ Ò ÓÒØÓÒ ÚÐÙÖ ÒØÖ L, M Ø N г ÔØ ÓÙÖ ³ÕÙ¹ ØÓÒ ÔÖÑØÖÕÙ x =sin(lt)cos(mt); y =sin(lt)sin(nt).

21 ½ ÊÔÖ ÒØØÓÒ ÖÔÕÙ ÓÒØÓÒ ½ ÜÖ µ ÌÖÖ ÙÖ ÙÒ ÑÑ ÖÔÕÙ Ð ÓÙÖ ÖÔÖ ÒØØÚ ÓÒØÓÒ Ø x(t) =cost cos t ; y(t) =sint cos 3t. 2 ÉÙÐÐ Ø Ð ÔÖÓ ÙÒ ÓÒØÓÒ µ ÌÖÖ Ð ÓÙÖ ³ÕÙØÓÒ ÔÖÑØÖÕÙ { x =cost cos t 2, y =sint cos 3t. µ ØØ ÓÙÖ ÔÖ ÒØ ÔÓÙÖ 1 x 0, 8 Ø 0, 8 x 1 ÙÜ ÓÙÐ ÖÑ º ØÖÑÒÖ Ù ÔÖ ÑÒØ ÕÙ ÔÓ Ð Ð ÒØÖÚÐÐ Ò t ÓÖÖ ÔÓÒÒØ º ÌÖÖ ÙÒ ÓÙÐ ÖÒ Ðк ÜÖ ÇÒ ÓÒÒ Ð ÙÜ ÕÙØÓÒ f = t a sin t; Ó t Ø Ð ÚÖÐ Ø a ÙÒ ÔÖÑØÖº g =1 a cos t µ ÊÔÖ ÒØÖ ÖÔÕÙÑÒØ Ð ÓÒØÓÒ f Ø g ÔÓÙÖ a =0, 5; 1; 1, 5º µ ÈÓÙÖ Ð ÑÑ ÚÐÙÖ ØÖÖ Ð ÓÙÖ ³ÕÙØÓÒ ÔÖÑØÖÕÙ x = f(t),y = g(t)º µ ÈÓÙÖ a =1, 5 Ð ÓÙÖ Ù µ ÓÙÔ Ð³Ü ÓÖÞÓÒØк ØÖÑÒÖ Ð ÙÜ ÔÓÒØ ³ÒØÖ ØÓÒ Ð ÔÐÙ ÔÖÓ Ð³ÓÖÒº Ä ÓÙÖ ÔÖ ÒØ Ù ÔÓÒØ ÓÙÐ ÕÙÐÐ ÚÐÙÖ t ÓÖÖ ÔÓÒ Ð ÔÓÒØ ÓÙÐ ØÙ ÙÖ Ð³Ü ÚÖØÐ ÜÖ ÇÒ ÓÒ Ö Ð Ö ÓÙÖÖ s(t) = [cos x cos 3x + cos 5x cos 7x + ] π ÓÒØ Ð ØÖÑ ÒÖÐ ³ÖØ ( 1) n cos(2n +1)x. 2n +1 µ ÉÙÐÐ Ø Ð ÔÖÓ s(t) ÉÙÐÐ Ø ÔÖØ ÊÔÖ ÒØÖ ÖÔÕÙÑÒØ ÙÒ ØÖÓ ÔÖÑÖ ØÖÑ Ð Öº µ ÇÒ ÔÔÐÐ s n Ð ÓÑÑ ÔÖØÐÐ Ð Ö ÐÑØ ÙÜ ØÖÑ ³Ò ÒÖÙÖ ÓÙ ÙÜ n Ò s 2 ÓÑÔÓÖØ Ð ØÖÑ Ò cos x, cos 3x, cos 5xº ÈÓÙÖ π x 2π ØÖÖ Ð ÓÙÖ ÖÔÖ ÒØØÚ s 3,s 4,s 6,s 10 º Ä ÓÑÑ ÔÖØÐÐ ÑÐÒØ ÓÒÚÖÖ ÚÖ ÙÒ ÐÑØ ÐÕÙÐÐ

22 ¾¼ ÅØÓ ÒÙÑÖÕÙ ÔÔÐÕÙ ÜÖ ÍØÐ Ö Ð ÓÒØÓÒ ËÐ ÔÖÑ ÔÓÙÖ ÖÔÖ ÒØÖ Ò ÔÖ ÔØÚ Ð³Ð ³ÕÙØÓÒ ÔÖÑØÖÕÙ x =cos2πt; y =sin2πt; z = t. ÜÖ Ò ½ ÔÖ Ø Þ ÌÙÒÖ ÄÔÞØ ÖÐÒµ Ð ÐÚÖ ÙÒØÓÒÒØÐÒ ÑØ ÓÖÑÐÒ ÙÒ ÃÙÖÚÒ ÔÖÓ ÙÖ º ÂÒ Ø º Ѻ ÐÚÖ Ø ÐÐÙ ØÖ ³ÙÒ ÔÖÓÙ ÓÒ ÓÙÖ Ø ÙÖ ÕÙ Ö ØÒØ ÖÑÖÕÙÐ ÒÓÖ ØÙÐй ÑÒغ Ä ÐÓÐ ÑÓÖÒ ÔÖÑØØÒØ ØÓÙØÓ ÖÔÖÓÙÖ Ò ØÖÓÔ ÔÒ Ð ØÖÚÙÜ ØÙÒØ ÔÐÒ ÂÒ Ø Ñº ÆÓÙ ÚÓÙ ÔÖÓÔÓ ÓÒ ³Ùع Ð Ö ËÐ Ø Ð ÓÒØÓÒ Ð Ò Üµµ ÔÓÙÖ ØÖÖ Ð ÙÖ ÖÔÖ ÒØÒØ J n (x) Ó Ð³Ò n Ø ÓÒ Ö ÓÑÑ ÙÒ ÚÖÐ ÓÒØÒÙº ÎÓÙ ÚÖÞ ÓØÒÖ ÙÒ ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÔÖÓ ÐÐ Ð ÙÖ ½ºº Ä ØÖÙØÓÒ ËÐ ÓÑÔÖÒ ÒÓÑÖÙ ÑÓÒ ØÖØÓÒ ÔÖÑ ÐÐ ¹ ÖÔÖ ÒØØÓÒ Ò ÔÖ ÔØÚ ÓÒØÓÒ ÐÑÒØÖ ³ÙÒ ÖÙÑÒØ ÓÑÔÐÜ ØÓÙØ Ø Ò Ð³ ÔÖØ Ø ÜÖº 1,0 J 0,3 0, x n ÜÖ ÙÖ ½º ÓÒØÓÒ J n(x)º ÙÜ Ö ÐØÖÕÙ +q Ø q ÓÒØ ÔÓ Ö ÔØÚÑÒØ ÙÜ ÔÓÒØ (a, 0) Ø ( a, 0)º ÜÔÖÑÖ Ð ÔÓØÒØÐ ÐØÖÕÙ U Ò ÙÒ ÔÓÒØ (x, y) Ù ÔÐÒ Ø ÙØÐ Ö ÙÒ ÐÓÐ ÔÓÙÖ ØÖÖ ÕÙÐÕÙ ÓÙÖ ÒÚÙÜ U ÓÙÖ ÕÙÔÓØÒØÐÐ µº ÎÓÙ ÚÖÞ ÓØÒÖ ÙÒ Ò ÑÐÐ Ð ÙÖ ½ºº

23 ½ ÊÔÖ ÒØØÓÒ ÖÔÕÙ ÓÒØÓÒ ¾½ ÙÖ ½º ÕÙÔÓØÒØÐÐ º ÜÖ ½¼ ÇÒ ÓÒ Ö ÙÜ ÖÙØ ÐØÖÕÙ ÓÙÔÐ ÔÖ ÙÒ ÒÙØÒ ÑÙØÙÐÐ ÙÖ ½ºµº M C 1 E 1 L 1 L 2 C 2 R 1 R 2 ÙÖ ½º ÖÙØ ÓÙÔÐ º Ä ÖÙØ ½ Ð ÔÖÑÖµ Ø ÐÑÒØ ÔÖ ÙÒ ÒÖØÙÖ ØÒ ÓÒ ÒÙ ÓÐ ÔÙÐ ØÓÒ ω Ø ³ÑÔÐØÙ E 1 ºÇÒ ³ÒØÖ Ð³ÑÔÐØÙ I 2 Ù ÓÙÖÒØ Ò Ð ÖÙØ ¾ Ð ÓÒÖµ Ò ÖÑ ÔÖÑÒÒغ ÈÓÙÖ Ð ÓÒ ÒØÖÓÙØ Ð ÒÓØØÓÒ ω i =1/ L i C i, i =1, 2 Ð ÔÙÐ ØÓÒ Ö ÓÒÒ ÕÙ ÖÙØ Ò Ð³ Ò ÓÙÔе Ø b i =1 ωi 2/ω2 ºÇÒÔÓ Q i = ωl i /R i Ø k = M / L 1 L 2 Ð ÓÒØ ÓÙÔеº Ú ÒÓØØÓÒ Ð³ÑÔÐØÙ Ù ÓÙÖÒØ Ò Ð ÖÙØ ÓÒÖ ³ÖØ I 2 = ke 1 ω 1 L 1 L 2 ( ) 2 ( 1 b 1 b 2 + k 2 b2 + + b ) 2 1 Q 1 Q 2 Q 1 Q 2 Ò ÔÖØÕÙ Ð Ö ØÒ Ø Ð ÒÙØÒ ÓÒØ Ü Ñ Ð ÔØ ÓÒØ Ö¹ ÐÐ º ÁÐ Ø ÐÓÖ ÓÑÑÓ ³ØÙÖ I 2 Ò ÓÒØÓÒ ÚÖÐ w 1 = ω 1 /ω Ø w 2 = ω 2 /ω ÊÔÖ ÒØÖ Ò ÔÖ ÔØÚ ÓÙ ÔÖ ÓÙÖ ÒÚÙ Ð ÙÖ I 2 ÓÒØÓÒ w 1 Ø w 2 º

24 ¾¾ ÅØÓ ÒÙÑÖÕÙ ÔÔÐÕÙ ÇÒ ÔÙØ Ó Ö ÔÖ ÜÑÔÐ Q 1 = Q 2 =8ÓÙ Q 1 =4,Q 2 =16º Ä ÓÒØ ÓÙÔÐ k Ø ØÓÙÓÙÖ ÒÖÙÖ ½º ÎÖÖ ÕÙ³Ð Ü Ø ÙÒ ÚÐÙÖ k Ò¹ ÓÙ ÐÕÙÐÐ Ð ÙÖ Ò ÔÖ ÒØ ÕÙ³ÙÒ ÙÐ ÑÜÑÙÑ Ð³ØÙ ÒÐÝØÕÙ ÑÓÒØÖ ÕÙ ØØ ÚÐÙÖ ÖØÕÙ Ø 1 k c = Q1 Q 2

25 ÔØÖ ¾ ÐÙÐ Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÒØÓÒ ËÒØ ÕÙ³ÙÒ ÓÖÒØÙÖ Ò ÓÒÒØ ÕÙ Ð ÓÔÖØÓÒ Ð³ÖØÑØÕÙ ¹ ØÓÒ ÓÙ ØÖØÓÒ ÑÙÐØÔÐØÓÒ Ø Ú ÓÒµ ÓÑÑÒØ ÔÓÙÚÓÒ ¹ÒÓÙ Ð ÓÒÚÒÖ ÐÙÐÖ ÚÐÙÖ ÒÙÑÖÕÙ x cos x ÓÙ J 3 (x) ÙÒ ÓÒØÓÒ Ð ÔÖÑÖ Ôµ ÆÓÙ ÚÖÓÒ Ö ÔÔÐ ÙÒ ÐÓÖØÑ ØÓÙØ ÓÑÑ Ð ÖØ ÙÒ ÙÑÒ ÕÙ ÖÖØ ÐÙÐÖ Ð ÑÒ 23º ÍÒ ÐÓÖØÑ Ø ÙÒ ÙØ ³ÓÔÖØÓÒ ÐÑÒØÖ Ò ÒÓÑÖ Ò ÓÒØ Ð³ÜÙØÓÒ ÓÖÖØ Ò Ð ÓÒ ÓÖÖ ÓÙÖÒØ Ð Ö ÙÐØØ ÓÙغ ÁÐ Ü Ø ÐÓÖØÑ ÐÙÐ ÔÓÙÖ ÕÙ ÓÒØÓÒº ÖØÒ ØÒØ Ð³ÒØÕÙØ ÔÓÙÖ Ð ÐÙÐ Ù ÔÐÙ ÖÒ ÓÑÑÙÒ Ú¹ ÙÖ ÙÜ ÒØÖ ÓÙ Ð ÐÙÐ ÖÒ ÖÖ ÔÖ ÜÑÔе ³ÙØÖ Ò³ÓÒØ ÕÙ ÕÙÐÕÙ ÒÒ ³Ü ØÒº ijÙØÐ ØÙÖ ÚÖØ ÓÒ Ò ÔÖÒÔ ÖÖ ÙÒ ÔÖÓ¹ ÖÑÑ Ð ØÖÙØÓÒ Ð³ÐÓÖØÑ Ò ÙÒ ÐÒ ÒÓÖÑØÕÙµ ÔÓÙÖ ÐÙÐÖ Ð ÓÙ Ð ÓÒØÓÒ Õ٠гÒØÖ º Ò ÖÐØ ÙÒ ÖÒ ÔÖØ ØÖÚÐ Ø Ø ÔÙ ÕÙÐÕÙ ÒÒ Ð ÑÖÓÔÖÓ ÙÖ ÒÓÖÔÓÖÒØ ÙÒ ÓÔÖØÙÖ Ñع ÑØÕÙ ÔÐ ÐÙÐÖ ÚØ Ø Ò Ð ÓÒØÓÒ ÐÑÒØÖ º Ä ÓÑÔÐØÙÖ ÓÑÔÓÖØÒØ ÐÑÒØ ÓÙ ¹ÔÖÓÖÑÑ ÐÙÐ ÓÒØÓÒ ÔÐÙ ÓÙ ÑÓÒ ÒÓÑÖÙÜ ÐÓÒ Ð ÓÑÔÐØÙÖº ÔÒÒØ ÓÒ ÖÒÓÒØÖ ÒÓÖ ÓÒØÓÒ ÔÐ ØÐÐ ÕÙ Ð ÓÒØÓÒ Ð Ð ÔÓÐÝÒÑ ÄÒÖ ÓÙ Ð ÓÒØÓÒ ÐÐÔØÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÕÙÐÐ Ð Ò³Ü Ø Ô ÔÖÓÖÑÑ ÑÑØÑÒØ ÔÓÒк ÇÒ ÔÙØ ÐÓÖ ÖÖÖ Ð ÔÖÓÖÑÑ ÓÒÚÒÐ Ò Ð ÐÚÖ ÓÙ Ò Ð ÐÓØÕÙ ÓÙ ¹ÔÖÓÖÑÑ ÓÙ ÖÖ ÙÒ ÔÖÓÖÑÑ Ó¹ÑѺ ijÙØÐ ØÓÒ ³ÙÒ ÔÖÓÖÑÑ ØÓÙØ Ø Ø ÔÖØÙÐÖÑÒØ ÖÓÑÑÒ Ò ÙÒ Ö ÔÖÓ ÓÒÒк ÈÖ ÓÒØÖ Ò ÙÒ ÓÒØÜØ ³ÔÔÖÒØ ÒÓÙ ØÑÓÒ ÕÙ³Ð Ø ÜØÖÑÑÒØ Ò ØÖÙØ Ø ÙØÐ ³ÔÔÖÒÖ ÔÖÓÖÑÑÖ Ð ÐÙÐ ³ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÒ ÓØ ÓÙÚÖÖ Ð ÓÒ ÐÓÖØÑ ÓÒ ÔÔÖÒ Ö ÖÖÙÖ ³ÖÖÓÒ ÓÙ ØÖÓÒØÓÒ ÒÒ ÓÒ ³ÒØÖÒ ÖÖ ÙÒ ÔÖÓÖÑÑ ÓÖÖغ Ò ØÓÙ Ð ÑÔÐ Ð ÚÖØÓÒ Ù ÔÖÓÖÑÑ Ø ÑÑØ ÔÖ ÓÑÔÖ ÓÒ Ú Ð Ö ÙÐØØ ÓÙÖÒ ÔÖ Ð ÓÑÔÐØÙÖ ÓÙ ÙÒ ÐÙÐØغ ³ Ø Ò Ø ÔÖØ ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÒ Ö Ð ÔÖÖÔ ÕÙ ÙÚÒغ

26 ¾ ÅØÓ ÒÙÑÖÕÙ ÔÔÐÕÙ ÁÐ Ü Ø ÙÒ ØÓÖ ÓÒØÓÒ ÕÙ ÐÙÐÒØ ÜØÑÒØ Ò ÙØÐ ÒØ ÙÒÕÙ¹ ÑÒØ ÓÔÖØÓÒ ÖØÑØÕÙ ÓÒØ Ð ÔÓÐÝÒÑ Ø Ð ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ º ÁÐ ÓÒØ Ð³ÓØ Ù ÔÖÓÒ ÔÖÖÔº ¾º½º ÈÓÐÝÒÑ Ø ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ ÍÒ ÔÓÐÝÒÑ ÓÙ ÓÖÑ ÒÖÐ ³ÖØ p(x) =a 0 + a 1 x + a 2 x a n 1 x n 1 + a n x n. Ä ÓÒØ a k Ø Ð ÚÖÐ x ÓÒØ ÖÐ º Ë³Ð Ò³Ý ÙÙÒ ÙÐØ ÔÓÙÖ ÐÙÐÖ Ð ÚÐÙÖ ÒÙÑÖÕÙ p(x 0 ) ÔÓÙÖ Ð ÚÐÙÖ x = x 0 Ð ÚÖÐ ÒÓÙ ÔÓÙÚÓÒ ÔÒÒØ ÒÓÙ ÑÒÖ ÕÙÐÐ Ø Ð ÓÒ Ð ÔÐÙ ÖÔ ÔÖÚÒÖ Ù Ö ÙÐØغ Ä ÑØÓ ÒÚ ÓÒ Ø ÐÙÐÖ ÔÖÑÒØ ÐÚÐÙÖ ÕÙ ÔÙ Ò x 0 ÔÙ ÑÙÐØÔÐÖ ÕÙ ÕÙÒØØ x k 0 ÔÖ Ð ÓÒØ a k ÓÖÖ ÔÓÒÒØ ÔÙ Ö Ð ÓÑÑ Ö ÙÐØØ ÒØÖÑÖ º ÈÓÙÖ ÓØÒÖ a k x k 0 ÓÒ ÓØ Ö k ÑÙÐØÔÐØÓÒ n k 1µ Ø ÓÒ n(n +1)/2 ÑÙÐØÔÐØÓÒ Ò ØÓÙØ Ð ³Ý ÓÙØ n ØÓÒ º ijÐÓÖØÑ Ò ÑÒ ÓÒ ÙÒ ÒÓÑÖ ³ÓÔÖØÓÒ ÕÙ ÚÖ ÓÑÑ 1 2 n2 ÐÓÖ ÕÙ n Ø ÖÒ ÓÒ Ø ÕٳРÔÖ ÒØ ÙÒ ÓÑÔÐÜØ ³ÓÖÖ n 2 º ÍÒ ÑØÓ ÔÐÙ ÓÒÓÑÕÙ Ø ÓÒ ÙÖ Ð ÖÑÖÕÙ ÕÙ Ð ÐÙÐ x k 0 ÔÙØ Ö ÑÔÐÑÒØ ÔÖØÖ Ð ÚÐÙÖ x k 1 0 x k 0 = x 0 x k 1 0 º ÇÒ ÐÙÐ Ð³Ò ÑÐ x k 0,k =2...nÒ n 1 ÑÙÐØÔÐØÓÒ Ø ÓÒ Ö Ò ÑÑÓÖ ØÓÙ Ð Ö ÙÐØØ º ÁÐ ÙØ Ò ÙØ ÑÙÐØÔÐÖ ÕÙ ÔÙ Ò x ÔÖ Ð ÓÒØÓÒÚÒÐ n 1 ÓÔÖØÓÒ µ Ø Ö Ð ÓÑѺ ÎÓÙ ÚÖÖÞ Ò ÔÒ ÕÙ Ð ÒÓÑÖ ØÓØÐ ³ÓÔÖØÓÒ Ø ÕÙÚÐÒØ 3nº ijÐÓÖØÑ ÀÓÖÒÖ ÔÖØÓÒÒ Ð ÑØÓ ÔÖÒغ ÁÐ ÖÔÓ ÙÖ Ð Ø ÕÙ Ð ÔÓÐÝÒÑ ÔÙØ ³ÖÖ p(x) =((a n x + a n 1 ) x + a n 2 ) x + + a 1 ) x + a 0. ¾º½µ ËÓÙ ØØ ÓÖÑ Ð ÐÙÐ Ð ÚÐÙÖ ÒÙÑÖÕÙ Ò Ø n ÑÙÐØÔÐØÓÒ Ø n ØÓÒ ÓØ ÙÒ ÓÑÔÐÜØ ³ÓÖÖ nº ÓÑÑÒØ ÔÖÓÖÑÑÖ ÔÖØÕÙÑÒØ ÐÙÐ ÆÓÙ ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ Ð ÔÓÐÝÒÑ Ø ÖÔÖ ÒØ Ò ÑÑÓÖ ÔÖ Ð ÚØÙÖ ÓÒØ a =[a 0,a 1,...,a n ]º Ë Ð Ö Ø ÐÚ Ð Ø ØÙÜ ³ÖÖ Ò ÒØÖ Ð ÓÖÑÙÐ ÔÖÒØ Ø Ð ÚÙØ ÑÙÜ ÙØÐ Ö Ð ÖÙÖÖÒ z 0 = a n ; z k = xz k 1 + a n k, k =1, 2,...,n. ¾º¾µ ÇÒ ÔÙØ Ö ÐÙÐ ÐÑÒ Ò ÙØÐ ÒØ ÙÒ ÔÓ ØÓÒ ÓÑÑ ¹ ÓÙ Ð ³Ø ÐÙÐÖ Ð ÚÐÙÖ x 5 +2x 3 3x 2 +4x 1 ÔÓÙÖ x =2º

27 ¾ ÐÙÐ Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÒØÓÒ ¾ Ä ÔÖÑÖ ÐÒ ÓÒØÒØ Ð ÓÒØ Ù ÔÓÐÝÒÑ ÖÑÖÕÙÞ ÕٳРÙØ Ö ÙÖÖ Ð ÓÒØ ÒÙÐ º Ä ÔÖÑÖ ÐÑÒØ Ð ÙÜÑ ÐÒ Ø z 0 Ð Ø Ð a n Ð ÙÜÑ ÐÑÒØ z 1 µ ÚÙØ 2z 0 + a n 1 =2z 0 =2 Ð ØÖÓ Ñ Ø z 2 =2z 1 + a n 2 =2 2+2=6ºÄÚÐÙÖ ÔÓÐÝÒÑ Ø z n =43º ÍÒ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ Ø Ð ÕÙÓØÒØ ÙÜ ÔÓÐÝÒÑ Ð ÙØ ÓÒ ÐÙÐÖ ÓÑÑ ÔÖÑÑÒØ ÐÒÙÑÖØÙÖ Ø Ð ÒÓÑÒØÙÖº ¾º¾º ÊÐØÓÒ ÖÙÖÖÒ ÖØÒ ÓÒØÓÒ ÙØÐ Ó ÒØ ÖÐØÓÒ ÖÙÖÖÒ Ð ÔÐÙ ÓÙÚÒØ ØÖÓ ØÖÑ º Ä ÓÒØÓÒ Ó ÒÙ Ò ÓÙÖÒØ ÙÒ ÜÑÔÐ ÐÑÒØÖ cos(k +1)x =2coskx cos x cos(k 1)x. ÇÒ ÔÙØ ÙØÐ Ö ØØ ÖÐØÓÒ ÔÓÙÖ ØÐÖ ÖÔÑÒØ ÙÒ ØÐ ÚÐÙÖ cos kx Ð ÚÐÙÖ Ð³ÖÙÑÒØ ØÒØ Ô x гÒØÖÚÐÐ ØÙÐÖ µº ÜÑÔÐ Ä ØÒ¾º½ ÐÙÐ ³ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ ÄÒÖ ÙÒØÓÒ Ý ÔÓÐ Ò Üµ»»ÔÓÐÝÒÓÑ ÄÒÖ ÐØ Ò ¼ ØÒ ÔÔ ÓÒ Üµ ½ ØÒ ÔÔ Ü Ð ÔÚÖ ÓÒ Üµ ÔÖ Ü ½ ÛÐ Ò ÔÔ ¾ Ò ½µ ܺ ÔÖ Ò ÔÚÖ µ» Ò ½µ ÔÚÖ ÔÖ ÔÖ ÔÔ ½ Ò Ò Ý ÔÔ ÒÙÒØÓÒ ½ ¾ ½¼ ½½ ½¾ ½ ½ ½ Ä ÔÓÐÝÒÑ ÄÒÖ Ó ÒØ Ð ÖÐØÓÒ ÖÙÖÖÒ ÙÚÒØ (n +1)P n 1 (x) =(2n +1)xP n (x) np n 1 (x) ÕÙ ÔÖÑØ ÙÒ ÐÙÐ ÖÔ Ø ÔÖ P n (x) ÔÓÙÖÚÙ Õ٠гÓÒ ÓÒÒ P 0 =1Ø P 1 (x) =xº Ä ÙÜ ÔÖÓÖÑÑ ¹ÓÒØÖ Ð ØÒ ¾º½ Ø ¾º¾µ ÔÖÑØØÒØ Ð ÐÙÐ Ô٠г P n ÓÙ Ëк

28 ¾ ÅØÓ ÒÙÑÖÕÙ ÔÔÐÕÙ Ä ØÒ¾º¾ ÌÖ ³ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ ÄÒÖ Ø ÒÔÓÐÝÐÒÖ º µ Ò ÒÔÙØ Ö Ù ÔÓÐÝÒÓÑ µ Ü ÐÒ Ô ½ ½ ¾¼¼µ Ý ÔÓÐ Ò Üµ Ü Ø ÛÒÓÛ ¼µ Ü ¼µ ÔÐÓؾ Ü Ýµ ½ ¾ ÊÑÖÕÙÞ Ð³Ò ØÖÙØÓÒ ÔÔ ÓÒ Üµ ÕÙ Ö ÙÒ ÚØÙÖ Ð ÑÑ ØÐÐ ÕÙ x Ø ÓÒØ ØÓÙØ Ð ÓÑÔÓ ÒØ ÓÒØ Ð ½º ÓÑÑ ÜÔÐÕÙ Ù ï ½º Ð ÓÒ ØÖÙØÓÒ º ÔÖÑØ Ö Ð ÔÖÓÙØ ÓÑÔÓ ÒØ ÔÖ ÓÑÔÓ ÒØ ÙÜ ÚØÙÖ a = {a i } Ø b = {b i } ÐÓÖ a. b = {a i b i }º ÇÒ ØÙÖØ ÓÒ ÒÐÓÙ ÙÒ Ú ÓÒ ÓÙ ÙÒ ÐÚØÓÒ Ð ÔÙ Òº ØÝÔ ÐÙÐ Ø ÙÓÙÔ ÔÐÙ ÖÔ ÕÙ³ÙÒ ÓÙÐ ÓÖº Ä ÙÖ ¾º½ ÑÓÒØÖ Ð Ö ÙÐØØ Ò Ð n =9º 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 ÙÖ ¾º½ Ä ÔÓÐÝÒÑ ÄÒÖ ³ÓÖÖ º ¾º º ÚÐÓÔÔÑÒØ ÐÑØ Ä ÖÒ ÑÓÖØ ÓÒØÓÒ Õ٠гÓÒ ÖÒÓÒØÖ Ò Ò ÔÝ ÕÙ ÑØ ÙÒ ÚÐÓÔÔÑÒØ Ò Ö Ð Ø ÓÒ ØÒØÒØ ³ÙØÐ Ö ÙÒ ÚÐÓÔÔÑÒØ Ò Ö ØÖÓÒÕÙ ÙÒ ÔÓÐÝÒѵ ÔÓÙÖ Ð ÐÙÐ ÒÙÑÖÕÙ ³ÙÒ ØÐÐ ÓÒØÓÒº Ò Ð ÔÖÖÔ ÔÖÒØ Ð Ò³Ý ÚØ ÙÙÒ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ð Ö ÙÐØØ Ò³ØÒØ Ô ØÓÙØ Ø ÜØ Ð ØØ Ù ÙÜ ÖÖÙÖ ³ÖÖÓÒ ÙÖ Ð ÕÙÐÐ ÒÓÙ ÖÚÒÖÓÒ Ð Ò ÔØÖº ijÙØÐ ØÓÒ ³ÙÒ ÚÐÓÔÔÑÒØ Ò Ö ØÖÓÒÕÙ Ù ØÖÑ ÖÒ n Ø ÔÔÖØÖ ÙÒ ÙØÖ ÓÙÖ ³ÖÖÙÖ Ð Ð ÑØÓ ÙØÐ ÐйÑÑ Ù ÐÙ ³ÙÒ Ö ÒÒ ÒÓÙ ÑÒÔÙÐÓÒ ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ n ØÖÑ ÓÑÑØØÒØ Ò Õ٠гÓÒ ÔÔÐÐ ÙÒ ÖÖÙÖ ØÖÓÒØÓÒ ÓÙ ÖÖÙÖ ÑØÓµº

29 ¾ ÐÙÐ Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÒØÓÒ ¾ ØØ ÖÖÙÖ Ø ÓÙÚÒØ Þ Ð ÓÖÒÖ ÓÒØÓÒ ÚÓÖ ÕÙ Ð ÚÖÐ ÒÔÒÒØ Ø ÓÒØÒÙ Ò ÙÒ ÒØÖÚÐÐ Òº ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖÖ Ð ÚÒØ Ø ÒÓÒÚÒÒØ ØØ ÔÔÖÓ ÒÓÙ Ó ÓÒ Ð³ÜÑÔÐ ÑÔÐ Ð ÓÒØÓÒ e x ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÙÖÓÒ ÔÔÖÓÖ ÔÖ ÓÒ ÚÐÓÔÔ¹ ÑÒØ Ò Ö ØÖÓÒÕÙ Ú ÙÒ ÖÖÙÖ ÓÐÙ ÒÖÙÖ Ù ÑÐÐÑ ÙÖ Ð³ÒØÖÚÐÐ ¼ ½¼ º Ä ØÖÑ ÒÖÐ Ù ÚÐÓÔÔÑÒØ Ø u k =( 1) k xk k! º Ä Ö Ø ÓÐÙÑÒØ ÓÒÚÖÒØ ÕÙÐ ÕÙ ÓØ Ü ÕÙ ÑÐÙÖÙ ÑÒØ ÓÑÑ ÒÓÙ ÐÐÓÒ Ð ÚÓÖ Ò³ Ø Ô ÝÒÓÒÝÑ ÖÔÑÒØ ÓÒÚÖÒغ ÆÓÙ ÔÓÙÚÓÒ ØÑÖ Ð ÒÓÑÖ ØÖÑ Ò Ö ÔÖØÖ Ù ÖÔÔÓÖØ u k+1 /u k = x/(k +1)º ÖÔÔÓÖØ Ø ÔÐÙ ÖÒ ÕÙ ÙÒ Ð ØÖÑ Ð Ö ÓÒØ ÖÓ ÒØ Ò ÚÐÙÖ ÓÐÙµ ØÒØ ÕÙk +1< x º Ð ÑÔÐÕÙ ÕÙ³Ù ÓÖ Ð³ÒØÖÚÐÐ Ó Ð ÙÖ Ò ÔÐÙ ½¼ ØÖÑ ÔÓÙÖ ÔÔÖÓ¹ Ö Ð ÓÒØÓÒ ÜÔÓÒÒØÐк Ò Ø ÔÓÙÖ x =10 ÒÓÙ ÚÓÒ ØÖÓÙÚ u , 7 Ø u , 7º ÈÐÙ ÒÒÙÝÙÜ ÒÓÖ ÒØ ÕÙ e 3 20 ÒÓÙ ØÑÓÒ ÕÙ e º Ò ÕÙ ÔÓÙÖ ØØÒÖ ÙÒ ÔÖ ÓÒ ÖÐØÚ Ù ÑÐÐÑ Ð ÔÖÑÖ ØÖÑ ÒÐ ÚÖ ØÖ ÒÖÙÖ º Ä ÔÖÑÖ ØÖÑ ÕÙ ÖÔÓÒ ÖØÖ Ø Ð Ñ ÓÒ ØÖÓÙÚ ÐÓÖ e 10 0, º ÁÐ ÙØ ÖÑÖÕÙÖ ÕÙ ÙÒ ØÖÑ ÓØ ØÖ ÐÙÐ Ú Ð ÑÑ ÔÖ ÓÒ ÓÐÙ ÓØ ½¾ ÓÙÞ µ Ö ÒØ ÔÓÙÖ Ð ÔÐÙ ÖÒ ³ÒØÖ ÙÜ ÓÙ ÔÒ ÔÖÖ ØÓÙØ ÔÖ ÓÒ Ù ÖÖÙÖ ³ÖÖÓÒ ÔÒÒØ Ð³ØÓÒ ØÖÑ Ò ÖÒØ º Ø ÜÑÔÐ Ø ÖØ ÖØÙÖк Ò ÔÖØÕÙ ÓÒ ³ÖÖÒÖØ ÔÓÙÖ ÖÙÖ Ð³ÒØÖÚÐÐ ÒØÓÒ xº ÁÐÑÓÒØÖ ÔÒÒØ ÕÙ Ð ÐÙРг ÚÐÓÔÔÑÒØ ØÖÓÒÕÙ ÓØ Ö Ð³ÓØ ³ÙÒ ØØÒØÓÒ ÖØÒº Ä ØÒ¾º ÜÔÓÒÒØÐÐ ÔÖ ÓÒ ÚÐÓÔÔÑÒØ Ò Ö Ô ½ ÑÜ ¼ ØÖÑ ½ ÓÑÑ ½ ½ Ü ÒÔÙØ ÚÐÙÖ Ü µ ÛÐ Ñܵ ² ØÖѵ Ô µ ØÖÑ Ü ØÖÑ» ÓÑÑ ÓÑÑ ØÖÑ Ö ØÖÑ ÓÑÑ ÛÖØ ±Ó ¾µ Ö µ ½ Ò ÓÑÑ ÜÔ Üµ ½ ¾ ½¼ ½½ ËÒ ÒÓÙ Ð Ö ÓÙÖÖ ÔÖ Ð ÖÑÖÕÙ ÔÖÒØ ÒÓÙ ÚÓÒ Ö ÙÒ ÔÖÓÖÑÑ ÐÙÐ e x ÓÙ ËÐ ÖÔÖÓÙØ ¹ÓÒØÖº ÆÓÙ ÐÙÐÓÒ ÕÙ ØÖÑ ÔÖØÖ Ù ÔÖÒØ ØÖØÓÒ ÐÒ µ Ò ÚØÒØ ÓÒÙ ÑÒØ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÐ ÓÙ ÔÙ Ò x ÖØ ÙÓÙÔ ÔÐÙ ÐÓÒ Ø ÙÖØÓÙØ Ð Ö ÙÐØØ ÒØÖÑÖ ÓÖÖÒØ Ð ÔØ Ð³ÓÖÒØÙÖº Ä ÐÒ µ ÒØ Ö ÙÐØØ ÒØÖÑÖ º

30 ¾ ÅØÓ ÒÙÑÖÕÙ ÔÔÐÕÙ ¾ºº ÔÔÖÓÜÑÒØ È ÍÒ ÓÒØÓÒ ÓÑÑ Ø x Ú ÝÑÔØÓØ ÚÖØÐ ÙÒ ÓÑÔÓÖØÑÒØ ØÖ ÐÓÒ ÐÙ ³ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ Ð Ö ÓÒ ÑÐ ØÖÓÙÚÖ ÙÒ ÚÐÓÔÔÑÒØ ÐÑØ ÓÒÚÒк Ù ÓÒØÖÖ ÙÒ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ ÔÙØ ÔÖ ÒØÖ ÖÒ ÝÑÔØÓØÕÙ Ø ÔÓÙÖÖ ÔÐÙ ÐÑÒØ ÔÔÖÓÖ tg xº Ë Ò ÕÙ ÒÓÙ ÙÖÓÒ Òع ÖØ ÔÓÙÖ ÔÔÖÓÖ ÙÒ ÓÒØÓÒ ÕÙ Ò³ Ô ÙÒ ÓÑÔÓÖØÑÒØ ÔÓÐÝÒÑÐ ÝÖ ÙÒ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐк Ë Ð ØÓÖ ÒÖÐ ØÐÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ü Ø ÒÓÙ Ò Ð ÖÖÓÒ Ô Ñ ÒÓÙ ÔÖ ÒØÖÓÒ ÙÒ ÔÖØÙÐÖ ÓÒÒÙ ÓÙ ÐÒÓÑ ³ÔÔÖÓÜÑÒØȺ ÇÒ ÔÙØ ÖÖ ÙÒ ÔÔÖÓÜÑÒØÈ ÓÑÑ ÙÒ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ ÕÙ ÓØ ÓÒØÖÒØ ØÖ ÑÐÐ ÐÐ ³ÙÒ ÚÐÓÔÔÑÒØ Ò Öº ÆÓÙ ÓÒ ÖÓÒ ÙÒ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ R m,n ÕÙÓØÒØ ³ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ P m Ð ÒÙ¹ ÑÖØÙÖµ Ö m Ø ÓÒØ a j, 0 j m ÔÖ ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ Q n Ð ÒÓÑÒØÙÖµ Ö n Ø ÓÒØ b j, 0 j n Ú b 0 0º ÓÑÑ ÒÓÙ ÔÓÙÚÓÒ Ò ÒÖ Ð ÚÐÙÖ Ð ÖØÓÒ Ú Ö ÙØ Ø ÔÖ ÙÒ ÑÑ ÓÒ ØÒØ ÒÓÙ ÑÔÓ ÓÒ Ò Ö ØÖÒÖ Ð ÒÖÐØ Ð ÓÒØÓÒ b 0 =1ºÄÖ¹ ØÓÒ R m,n ÓÒØÒØ ÓÒ m+n+1 ÓÒØ ØÖÑÒÖº R m,n Ö ÔÖ ÒØÓÒ Ð³ÔÔÖÓÜÑÒØÈ ³ÓÖÖ N +1 Ð ÓÒØÓÒ f(x) ÙÚÓ Ò Ù ÔÓÒØ x = x 0 R m,n (x 0 ) Ø N ÔÖÑÖ ÖÚ ÓÒÒØ Ö ÔØÚÑÒØ Ú f(x 0 ) Ø N ÔÖÑÖ ÖÚ R (p) m,n(x 0 ) f (p) (x 0 ), p =0, 1, 2...,N. ¾º µ Ò ÔÓ ÒØ f (0) = fº ÆÓÙ ÔÓÙÚÓÒ ØÓÙÓÙÖ Ð³ ³ÙÒ ØÖÒ ÐØÓÒ ÒÓÙ ÖÑÒÖ Ù x 0 =0 ÕÙ ÒÓÙ ÙÔÔÓ ÖÓÒ ÖÐ Ò Ð Ùغ ÓÑÑ ÒÓÙ ÔÓ ÓÒ m+n+1 ÓÒØ ÒÓÒÒÙ Ð ÒÓÙ ÙØ ÔÓÙÖ ØÖÑÒÖ ÒØÖÑÒØ Ð ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ ÙØÒØ ÓÒØÓÒ Ð ÙØ ÓÒ ÕÙ m + n = Nº ÁÐ Ø ÓÖ ÕÙ ØÓÒ ÐÙÐÖ Ð ÖÚ Ù Ú R Ø f ÔÓÙÖ Ð ÒØÖ ÕÙ ÖØ Ò ÒÖÐ ÑÔÓ Ðº ÆÓÙ ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ Ð ÓÒØÓÒ f ÑØ ÙÒ ÚÐÓÔÔÑÒØ ÅÄÙÖÒ f(x) = c j x j. j=0 R f ³ÖØ P m (x) Q n (x)f(x). Q n (x) R f Ø N ÔÖÑÖ ÖÚ ÖÓÒØ ÒÙРгÓÖÒ Ð ÒÙÑÖØÙÖ ØØ ÜÔÖ ÓÒ ÓÑÑÒ ÔÖ ÙÒ ØÖÑ Ò x N+1 ÕÙ ÖÚÒØ Ö ÕÙ Ð ÓÒØ ØÖÑ Ò x 0,x 1 x N ÓÒØ ØÓÙ ÒÙÐ º Ú Ð ÓÒÚÒØÓÒ b l =0 l>n ÒÓÙ ÓØÒÓÒ Ð ÖÐØÓÒ a 0 = b 0 c 0 (x 0 ), a 1 = b 0 c 1 + b 1 c 0 (x 1 ), j a j = c j s b s (x j,j m). s=0

31 ¾ ÐÙÐ Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÒØÓÒ ¾ ÄÓÖ ÕÙ ØÓÙ Ð ÓÒØ a j ÔÓÒÐ ÓÒØ Ø ÙØÐ ÓÒ ÓÒØÒÙ Ò ÙÜ 0= j c j s b s s=0 (x j,j = m +1,m+2...,N). ÁÐ Ø ÓÑÑÓ ³ÙØÐ Ö ³ÓÖ Ð ÖÒÖ Ö ³ÕÙØÓÒ ÔÐÙ ÑÔÐ ÔÓÙÖ ØÖÑÒÖ ÖØÒ ÓÒØ b j ÔÙ Ð ÔÖÑÖ Ö ÔÓÙÖ Ð ÓÒØ Ö ØÒØ º ÇÒ ÓÒ ØØ ÑÔÖÕÙÑÒØ ÕÙ Ð ÓÜ m = n ± 1 ØØ ÓÙÚÒØ ÑÐÐÙÖ ÕÙ ³ÙØÖ º Ä Ö ÓÒÒÑÒØ ÔÖÒØ Ò ÔÖÑØ Ô ³ ØÑÖ Ð³ÖÖÙÖ ³ÔÔÖÓÜѹ ØÓÒ Ñ Ð³ÜÔÖÒ ÑÓÒØÖ Õ٠гÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÐÓÒ È Ø ØÖ ÓÒÒº ÜÑÔÐ ÖÓÒ Ð³ÔÔÖÓÜÑÒØ È R 2,2 e x Ù ÚÓ Ò Ð³ÓÖÒº Á m = n =2,N =4 Ð ÒÓÙ ÙØ ÓÒ ÓÒÒØÖ ÔÓÙÖ ÓÑÑÒÖ Ð ÔÖÑÖ ØÖÑ Ù ÚÐÓÔÔÑÒØ Ð³ÜÔÓÒÒØÐк Ä ÓÒØ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ ÓÒØ ³ÙØÖ ÔÖØ R 2,2 ³ÖØ c 0 =1; c 1 =1; c 2 = 1 2 ; c 3 = 1 6 ; c 4 = R 2,2 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 1+b 1 x + b 2 x 2. ÆÓÙ ÓÖÑÓÒ ÑÒØÒÒØ Ð ÒÙÑÖØÙÖ R e x Ø ÒÓÙ ÒØÓÒ ÞÖÓ Ð ÓÒØ x 0,x 1,x 2,x 3,x 4 ÕÙ ÓÒÒ a 0 =1; a 1 = b 1 +1; a 2 = b 1 + b 2 +1/2; 0=b 2 + b 1 /2+1/6; 0 = b 1 /6+b 2 /2+1/24. ÆÓÙ ØÖÓÙÚÓÒ Ò Ö ÓÐÚÒØ Ý ØÑ b 1 = 1/2; b 2 =1/12; a 0 =1; a 1 =1/2; a 2 =1/12 Ø ÓÒ x + x2 (x +6)x +12 R 2,2 = = 12 6x + x2 (x 6)x +12. Ä ÔÖÓÖÑÑ ËÐ ¹ ÓÙ ÔÖÓÙØ Ð ØÖ ÔÖ ÒØ ÙÖ ¾º¾º Ä ØÒ¾º ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ð³ÜÔÓÒÒØÐÐ Ü ÐÒ Ô ¼ ½ ½¼¼µ Ô ½ Ü Üº¾»¾ ܺ» ܺ»¾ Ö Ü µº Ü ½¾µº» Ü µº Ü ½¾µ Ü Ø ÛÒÓÛ ¼µ Ü ¼µ ÜØØÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÜÔ Üµµ ÔÐÓؾ ܳ Ô ÜÔ Üµµ ³ Ö ÜÔ Üµµ ³ µ ½ ¾

32 ¼ ÅØÓ ÒÙÑÖÕÙ ÔÔÐÕÙ ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 ÙÖ ¾º¾ ÖÖÙÖ ³ÔÔÖÓÜÑØÓÒ e x ÔÖ ÓÒ ÚÐÓÔÔÑÒØ ÐÑØ Ò ÒÓÖµ Ø ÔÖ Ð³ÔÔÖÓÜÑÒØ È R 2,2 Ò Ö µº ÎÓÙ ÓÒ ØØÞ ÕÙ ÔÓÙÖ x 1 гÔÔÖÓÜÑÒØÈ Ø ÔÖ ÕÙ ØÖÓ Ó ÔÐÙ ÔÖ ÕÙ Ð ÚÐÓÔÔÑÒØ ÌÝÐÓÖº ¾ºº ÍØÐ ØÓÒ ÐÓØÕÙ ÔÖÓÖÑÑ Ä ÙØÐ ØÙÖ ÐÓÐ ÙØ ÒÚÙ ÓÑÑ ËÐ ÓÒØ ÒÓѹ ÖÙ ÓÒØÓÒ ÔÖÒ ÓÑÑ Ð ÓÒØÓÒ ØÖÓÒÓÑØÖÕÙ ÓÙ ÝÔÖÓÐÕÙ ÖØ Ø ÒÚÖ Ð ÓÒØÓÒ ³ÖÖÙÖ Ð ÓÒØÓÒ Ðº Ä ÐÓÐ ÓÑÑÖ¹ ÙÜ ÅÔÐ ÅØÑص ÓÒØ ÒÓÖ ÔÐÙ Ö º ÙÜ ÕÙ ÖÚÒØ ÐÙÖ ÔÖÓÔÖ ÔÖÓÖÑÑ Ò ÓÒØ Ô ØÒÙ ÓÖ Ð ÐÙÐ ÓÒØÓÒ ÔÐ Ð ÔÙÚÒØ ÑÔÓÖØÖ Ð ÓÙ ¹ÔÖÓÖÑÑ Ò Ö ÔÖØÖ ³ÙÒ ÐÓØÕÙº ÁÐ Ü Ø ØÖ ÒÓÑÖÙ ÓÐÐØÓÒ ÔÖÓÖÑÑ ÒØÕÙ ÖÒ Ò Ð Ù ØÓ ÚÐÐ ÑØÑØÐ ÓØÛÖ ÓÙ ÅË º ÆÓÙ ÔÖÓÔÓ ÓÒ ÙÒ ØÓÙØ Ô¹ ØØ ÜÑÔÐ ³ÙØÐ ØÓÒ Ð ÐÓØÕÙ ÒÙ ËÒØ ÄÖÖÝ ÓÙ ËÄ µ ÖØ Ò Ø ÓÑÔØÐ Ú Ð º ÔÖÓÖÑÑ ÒØ Ø Ø ÕÙÐÕÙ ÐÙÐ ÐÑÒØÖ ÙÖ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ º Ä ÐÒ ¾ ÔÖÓÚÓÕÙÒØ Ð³ÒÐÙ ÓÒ Ò¹ØØ ÓÒ ØÒØ Ø ÓÒØÓÒ Ò Ö ÐÐ ¹ ÓÒØ ÖÓÙÔ ÔÖ ÖÙÖÕ٠гÒØÖÙÖ Ð³Ò ÑРеº Ä ËÄ ÓÒØÒØ Ò ÔÖØÙÐÖ ÔÖÓÖÑÑ ÐÙÐ ÓÒØÓÒ ÔÐ ÒÖØÓÒ ÒÓÑÖ ÐØÓÖ Ö ÓÐÙØÓÒ ³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ Ø ³ÐÖ ÐÒÖº ¾ºº ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÒØÓÒ ÆÓÙ ÚÓÒ ÔÖ ÒØ Ò Ð ÔÖÖÔ ÔÖÒØ ÙÒ ÖØÒ ÒÓÑÖ ÖØØ ÓÙ ÔÖÓ ØÒ ÓÙÖÒÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÒØÓÒ Ò ÙÙÒÑÒØ

33 ¾ ÐÙÐ Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÒØÓÒ ½ Ä ØÒ¾º ÅÒÔÙÐØÓÒ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÒÐÙ Ó ØÖÑ ÒÐ٠л ÐÑØ º ÒÐ٠л ÐÓÑÔÐÜ º ÒÐ٠л ÐÓÑÔÐÜÑغ Ù Ò ÒÑ Ô Ø ÒØ ÑÒ Ú ÐÓÑÔÐÜ Ü Ý Þ Ü ÐÓÑÔÐÜÖØ ½ ¼µ Ý ÐÓÑÔÐÜÖØ ¼ ½µ Þ ÐÓÑÔÐÜ Ü Ýµ ÓÙØ ËÄÊÄ Þµ ³Ø ³ ËÄÁÅ Þµ ÒÐ ÐÓÑÔÐÜÖØ Å ¼µ ÐÓÑÔÐÜÖØ ¼ ÅÈÁ»µ ÐÓÑÔÐÜÔÓÛ µ ÓÙØ ËÄÊÄ µ ³Ø ³ ËÄÁÅ µ ÒÐ ÐÓÑÔÐÜÑÙÐÖÐ ÕÖØ ¾µµ ÓÙØ ÐÓÑÔÐÜ µ Ð ½ ¾ ½¼ ½½ ½¾ ½ ½ ½ ½ ½ ÒÓÙ ÓÙÖ ÖÙÙÖ ÑØÑØÕÙº Ò ÖÐØ Ð³ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÒØÓÒ Ø ÙÒ ÓÑÒ Ò ØÐ ÑØÑØÕÙ ÕÙ ÓÒÒÙ ÙÒ ÖÒ ÚÐÓÔÔÑÒØ ÔÖØÖ Ð Ò Ù ½Ñ к Ò Ð ÐÒ ÕÙ ÙÚÒØ ÒÓÙ ÓÒÒÓÒ ÕÙÐÕÙ ÒÖÐ ÙÖ Ð³ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÒ Ö ³ÙÒ ÔÓÒØ ÚÙ ÔÐÙ ÑØÑØÕÙº Ä ÔÖÓÐÑ ÔÓ Ò ØÖÑ º ÆÓÙ ÒÓÙ ÒØÖ ÓÒ ÙÒ ÓÒØÓÒ f(x) Ð ÚÖÐ ÖÐÐ x Ø ÒÓÙ ÖÓÒ ÓÒÒØÖ ÚÐÙÖ Ò ØÓÙ ÔÓÒØ ³ÙÒ ÖØÒ ÒØÖÚÐк ËÙÐÑÒØ ÚÓÐ f Ø ÓÑÔÐÕÙ Ø ÐÓÒÙ ÐÙÐÖ Ø ÒÓÙ Ò³ÚÓÒ Ô Ð ØÑÔ ³ÙÑÙÐÖ ØÓÙØ Ð ÚÐÙÖ Ò Ö fº ÆÓÙ ÓÒ ÐÓÖ ÖÑÔÐÖ f ÔÖ ÙÒ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ f ÕÙ ÐÙÐ ÐÑÒغ ÈÓÙÖ ÚÓÖ ØØ Ù ØØÙØÓÒ ÔÙØ ÚÓÖ ÙÒ Ò ÒÓÙ ÚÓÒ ÖÔÓÒÖ ÔÐÙ ÙÖ ÕÙ ØÓÒ Ò ÕÙÐÐ ØÓÖ ÓÒØÓÒ ÐÐÓÒ ÒÓÙ Ó Ö f ËÐÓÒ ÕÙÐ ÖØÖ ÐÐÓÒ ÒÓÙ Ö Õ٠гÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ø ÓÒÒ ÓÙ ÑÙÚ ËÙÖ ÕÙÐ ÒØÖÚÐÐ Ð ÔÖÓÔÖØ ÔÖÒØ ÓÚÒعÐÐ ØÖ ÚÖ ÆÓÙ ÒÓÙ ÐÑØÖÓÒ Ù Ð³ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÔÓÐÝÒÑÐ ³ ع¹Ö ÕÙ f Ö ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ Ö Ù ÔÐÙ Ð n ÙÒ ÓÑÒ ÓÒ ÐÒÖ x k,k = 0, 1, 2,...,nµº Ä ØÓÖÑ ÙÚÒØ ÏÖ ØÖ ÖÑ Ð³Ü ØÒ f ÓÙ ÓÒØÓÒ Þ ÒÖÐ º ÌÓÖÑ Ë f Ø ÓÒØÒÙ ÙÖ Ð³ÒØÖÚÐÐ Ò I =[a, b] Ø ɛ Ø ÙÒ ÒÓÑÖ ØÖØÑÒØ ÔÓ Ø ÓÒÒ ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ f ØÐ ÕÙ sup f(x) f (x) <ɛ. x I

34 ¾ ÅØÓ ÒÙÑÖÕÙ ÔÔÐÕÙ ÊÑÖÕÙÞ ÕÙ Ð ØÓÖÑ Ò ÓÒÒ ÙÙÒ ÒØÓÒ ÙÖ Ð ÓÒ ØÖÙØÓÒ f º Á Ð ØÒ ÒØÖ f Ø f Ø Ð ÒÓÖÑ ÒÒ f f =sup f(x) f (x). x I ÇÒ ÔÓÙÖÖØ ÑÒÖ ³ÙØÖ ØÝÔ ³ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó Ð ÒØÓÒ Ð ØÒ ÖØ ÖÒØ ÓÒ ÔÓÙÖÖØ ÔÒ Ö ÔÖ ÜÑÔРгÖØ ÕÙÖØÕÙ ÑÓÝÒ ÕÙ Ø Ò ÓÑÑ f f 2 = I f f 2 dxº Ì Ý Ø Ð ÎÐÐÈÓÙ Ò ÓÒØ Ö ÓÒ ØÖÙÖ Õ٠гÓÒ ÔÔÐÐ Ð ÔÓÐÝÒÑ ³ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÑÒÑÜ ÕÙ ÑÒÑ Ð ØÒ ÑÜÑÐ Ù Ò Ð ÒÓÖÑ ÒÒµ ÒØÖ f Ø f ºÈÓÙÖ ÖÖ ÕÙÐØØÚÑÒØ ØØ ØÓÖ ÓÒ ÕÙ³ÙÒ ÓÒ ÔÓÐÝÒÑ f Ø ØÐ Õ٠гÖÖÙÖ ³ÔÔÖÓÜÑØÓÒ f f ÔÖ ÒØ ÙÒ Ö ³ÜØÖÑÙÑ Þ ÖÙÐÖÑÒØ ÖÔÖØ ÙÖ I ³ÑÔÐØÙ ÒØÕÙ Ø ÐØÖÒØÚÑÒØ ÔÓ Ø Ø ÒØ º ÇÒ ÔÓ ÔÓÙÖ ØÖÓÙÚÖ ÜÔÐØÑÒØ f ³ÙÒ ÐÓÖØÑ ÔÙ ÒØ ³ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ù Ú ÓÒ ÐÓÖØÑ ÊÑ µº Ò Ð ÔÓÐÝÒÑ ÑÒÑÜ Ù ØÖÓ Ñ Ö ÕÙ ÔÔÖÓ e x ÙÖ [ 1, 1] ³ÖØ p 3 (x) =0, , x +0, x2 +0, x 3. ijÖÖÙÖ e x p 3 (x) Ø ÖÔÖ ÒØ ÙÖ Ð ÙÖ ¾º º 0,006 0,004 0,002 0,000 0,002 0,004 0,006 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 ÙÖ ¾º ÖÖÙÖ ³ÔÔÖÓÜÑØÓÒ e x ÔÖ Ð ÔÓÐÝÒÑ ÑÒÑÜ ÙÕÙº Ä ÓÑÔÐØÙÖ ÙØÐ ÒØ ÒÖ ³ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÔÓÙÖ ÚÐÙÖ ØÓÙØ Ð ÓÒØÓÒ º ¾ºº ÚÐÓÔÔÑÒØ ÝÑÔØÓØÕÙ ÄÓÖ ÕÙ Ð ÚÖÐ ÒÔÒÒØ ÚÒØ ØÖ ÖÒ Ð ÚÒØ ÚÑÑÒØ ÔÖ ³ÔÔÖÓÖ ÙÒ ÓÒØÓÒ ÔÖ ÙÒ ÚÐÓÔÔÑÒØ ÓÒ ØÖÙØ Ù ÚÓ Ò ¼ ÓÒ ÔÙØ Ò Ö Ö ÙÒ ØÖÒ ÐØÓÒ ³ÓÖÒ ÔÓÙÖ ÕÙ ÚÐÙÖ ÔÖØÙÐÖ Ñ Ð ÓÑÔÐÕÙ ÒÓØÐÑÒØ Ð ÐÙÐ º Ò ÖØÒ ÓÒ ÔÙØ ÚÓÖ ÖÓÙÖ ÙÒ

35 ¾ ÐÙÐ Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÒØÓÒ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÚÐÐ ÐÓÖ ÕÙ 1/x Ø ÔØØ Õ٠гÓÒ ÔÔÐÐ ÙÒ ÚÐÓÔÔÑÒØ ÝÑÔØÓØÕÙ Ø ÓÒØ ÚÓ Ð ÒØÓÒº ËÓØ Ð Ö ÒÒ c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ÆÓØÓÒ S n Ð ÓÑÑ ÔÖØÐÐ n ÔÖÑÖ ØÖÑ S n = c 0 + c 1 x + c 2 x c n 1 x n 1. ÀØÙÐÐÑÒØ ÓÒ ³ÒØÖ Ð ÓÒÚÖÒ ³ÙÒ Ö ÓÙ Ð ÐÑØ ÓÑÑ ÔÖØÐÐ S n ÕÙÒ n ØÒ ÚÖ Ð³ÒÒº Á ÒÓÙ ÔÖÓÓÒ ÖÑÑÒØ ÖÒØ n Ü ÒÓÙ ÓÒ ÖÓØÖ x Ù Ð ØÓÙØ ÐÑغ ÆÓÙ ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ³Ð Ü Ø ÙÒ 1 ÓÒØÓÒ f ØÐÐ ÕÙ Ð ÖÒ f(x) S n (x) ØÒ ÚÖ ÞÖÓ ÔÐÙ ÚØ ÕÙ x ÕÙÒ n 1 x º Ò ³ÙØÖ ØÖÑ lim x xn 1 f(x) S n (x) =0. Ë ÓÒØÓÒ ÓÒØ ÖÑÔÐ ÒÓÙ ÓÒ ÕÙ Ð Ö Ø ÙÒ ÚÐÓÔÔÑÒØ ÝÑÔ¹ ØÓØÕÙ Ð ÓÒØÓÒ fº ÜÑÔÐ ÓÒ ÖÓÒ Ð ÓÒØÓÒ Ò ÔÓÙÖ x>0 ÔÖ Ð³ÒØÖÐ f(x) = x 1 t ex t dt ÒØÖØÓÒ ÔÖ ÔÖØ ÖÔØ ÒÓÙ ÔÖÑØØÒØ ØÖÒ ÓÖÑÖ ØØ ÜÔÖ ÓÒ Ò f(x) = 1 x 1 x x ( 1)n 1 (n 1)! x n +( 1) n e x t n! dt. tn+1 ÒÓÙ Ð ÙÔÔÓ Ö ÕÙ Ð Ö 1 x 1 x 2 + 2! x 3 4! x 4 ÔÓÙÖÖØ ÖÔÖ ÒØÖ Ð ÚÐÓÔÔÑÒØ ÝÑÔØÓØÕÙ fº ÈÓÙÖ Ð ÔÖÓÙÚÖ ÓÖÑÓÒ f(x) S n+1 (x) =( 1) n n! x e x t dt. tn+1 Ò Ð³ÒØÖРгÜÔÓÒÒØÐÐ Ø ÓÑÔÖ ÒØÖ ¼ Ø ½ ³Ó Ð ÑÓÖØÓÒ 1 1 f(x) S n+1 (x) <n! dt =(n 1)! tn+1 x n, x ÙÒ ÕÙÒØØ ÕÙ ØÒ ÚÑÑÒØ ÚÖ ÞÖÓ ÐÓÖ ÕÙ x ÖÓØ n ÓÒ ØÒغ ÇÒ ÖØ ÓÙÚÒØ 1 t ex t dt 1 x 1 x 2 + 2! x 3 4! x 4. x x

36 ÅØÓ ÒÙÑÖÕÙ ÔÔÐÕÙ ¾ºº ÊÔÖ ÒØØÓÒ ÒÓÑÖ Ò ÑÒ Ä³ÖØÑØÕÙ ÓÖÒØÙÖ ÔÖ ÒØ ÔÖÓÔÖØ ÔÐÙ ÓÑÔÐÕÙ ÕÙ³Ð Ò³Ý Ô¹ ÖØ ÔÖÑÖ ÚÙº ÓÑÔÐØÓÒ ÓÒØ Ù ÕÙ³ÙÒ ÓÖÒØÙÖ ØÓÙØ ÓÑÑ ÙÒ ÙÑÒµ Ò ÑÒÔÙÐ ÕÙ³ÙÒ ÒÓÑÖ ÐÑØ Ö Ð ³Ò ÙØ ÕÙ ÙÓÙÔ ÒÓÑÖ ÓÒÚÐ Ò ÓÒØ Ô ÓÙ ÓÒØ ÑÐ ÖÔÖ ÒØ Ò ÑÒº ³ Ø Ð ÔÖ ÜÑÔÐ ÔÓÙÖ ½»½¼ Ò ¾º Ä Ó ÔÖ ÒØÒØ ÖÑÑÒØ ÔÓÙÖ Ð ÒØÖ Ø ÔÓÙÖ Ð ÒÓÑÖ ÖØÓÒÒÖ º ÓÑÑÒÓÒ ÔÖ ÜÑÒÖ Ð ÒØÖ º ¾ºº½º Ä ÒÓÑÖ ÒØÖ ÆÓÙ ÚÓÒ Ó ÔÓÙÖ ÜÖ Ð Ð ÓÑÔÐØÙÖ ÖÈ Ð Ñ ÓÒ ¹ ÖØÓÒ ÔÖ ÕÙ ÒØÕÙ Ù ÚÓÙÐÖ ÔÖ µ ³ÔÔÐÕÙÒØ ØÓÙ Ð ÓÑÔÐØÙÖ º ÖÈ Ð ÒØ Ü ØÝÔ ³ÒØÖ ÓÒØ ÒÓÙ ÖÔÖÓÙ ÓÒ ¹ ÓÙ Ð Öع Ö ØÕÙ º ØÝÔ ÒØÖ ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÒØÖÚÐÐ ÒØÓÒ ÒÓÑÖ ³ÓØØ µ ÝØ ½ 0 : 255 ÓÖØÒØ ½ 128 : 127 ÑÐÐÒØ ¾ : ÛÓÖ ¾ 0 : ÒØÖ ¾ ÓÙ ÖÒÐ ¾ ÓÙ ÐÓÒÒØ : ÐÓÒÛÓÖ 0 : ÒØ : ÕÛÓÖ 0 : Ä ØÝÔ ÝØ ÛÓÖ ÖÒÐ Ø ÕÛÓÖ Ò ÓÑÔÓÖØÒØ Ô Òº Ä ØÐÐ ØÝÔ ÒØÖ Ø ÖÒÐ ÔÒ Ð ÑÒº Ä Ö ÒÖ Ð ÔÐÙ Ù Ð ÔÐÙ ÒØ ÔÓ Ð ÔÐÙ ÖÒµ ÒÕÙ Ð Ò ¼ ÔÓÙÖ Ð ÒÓÑÖ ÔÓ Ø ½ ÔÓÙÖ Ð ÒØÖ ÒØ º Ò Ð ØÝÔ ÓÖØÒØ ÔÖ ÜÑÔÐ Ð ÔÐÙ ÖÒ ÒÓÑÖ ÔÓ Ø ³ÖØ ¼½½½½½½½ Ð ÚÙØ ½¾º Ä ÒÓÑÖ ÒØ ÓÒØ ÖÔÖ ÒØ ÐÓÒ Ð ÑØÓ Ø Ù ÓÑÔÐÑÒØ ÙÜ ÕÙ ÔÖ ÖØ ÕÙ x Ø ÒØ Ø ÔÐÙ ÔØØ Ò ÚÐÙÖ ÓÐÙ ÕÙ 2 7 µ ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÕÙ ÒÓÙ ÒÓØÓÒ (x) Øx +2 8 º Ä ÖØØ ÙÚÒØ ÔÖÑØ ÓÒ ØÖÙÖ ÐÑÒØ ( x) ÔÖØÖ (x) ÒÖ ØÓÙ Ð ½ Ò ¼ Ø ÖÔÖÓÕÙÑÒØ Ù ÔÓÙÖ Ð Ö Ð ÔÐÙ ÖÓغ Ë x =23, (x) = Ø ( 23) = º ÎÓÙ ÔÓÙÚÞ ÚÖÖ Ò ÔÔÐÕÙÒØ Ð ÖРгÖØÑØÕÙ ÒÖ ÕÙ (23)+( 23) = Ð ÖØÒÙ ½µ Ö ÔÖÙ ÔÙ ÕÙ Ð ÒÓÑÖ Ò³ÓÒØ ÕÙÖ º

37 ¾ ÐÙÐ Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÒØÓÒ Ä³ÓÖÒØÙÖ Ò ÔÖÚÒØ Ô ÐÓÖ ÕÙ Ð Ö ÙÐØØ ³ÙÒ ØÓÒ ÒØÖ ÒØÖ Ø ØÖÓÔ ÖÒº ÇÒ ÔÖ ÜÑÔÐ (127) + (3) = = = ( 124)º ØØ ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÓÒØÓÒÒ ÙÒ ÔÙ ÓÑÑ ÙÒ ÓÑÔØÙÖ ÐÓÑØÖÕÙ ÚÓØÙÖ ÕÙ Ñ ÖÔ ÔÖ ÞÖÓº Ä ÓÒ ÕÙÒ ÔÖØÕÙ Ø Õ٠гÑÔÐØÙ ÒØÖ Ø ÐÑغ ÍÒ Ô Ð ÕÙ Ò ÐÕÙÐ ÙÒ Ø ÔÖÒÖ Ù ÑÓÒ ÙÒ Ó Ø Ð ÐÙÐ Ð ØÓÖÐк Ú Ð ØÝÔ ÑÐÐÒØ Ø ÐÙÐ ÓÖÖØÑÒØ Ø ØÖÓÙÚ Òغ Ä ÔÖÓÐÑ Ò ÔÓ Ô Ú ËÐ ÕÙ Ò ÓÒÒØ Ù ¹ ÐÖØÓÒ Ôе ÕÙ ÒÓÑÖ ÖØÓÒÒÖ Ò Ú ÅÔÐ ÕÙ ÔÙØ ÑÒÔÙÐÖ ÙØÒØ Ö ÕÙ Ð ÑÑÓÖ Ð³ÓÖÒØÙÖ Ð ÔÖÑغ ¾ºº¾º Ä ÒÓÑÖ ÖØÓÒÒÖ Ä ÒÓÑÖ ÑÙÜ ÓÒ Ø Ù ÖØÓÒÒÖ ÓØØÒØ ÚÖÙÐ ÓØØÒص ÓÒØ ÖÔÖ ÒØ ÔÖ ÙÒ ÔÖØ ÖØÓÒÒÖ ÔÖÓ ÔÔÐ ÑÒØ µ Ø ÙÒ ÜÔÓ ÒØ ÓÑÑ ÔÖ ÜÑÔÐ ¾ ¼ ¾ ¾ ÒÓØØÓÒ ÒØÕÙ µº Ä ÒÓÑÖ ÔÖÒØ ÔÙØ Ù Ò ³ÖÖ ¾ ¼ ÓÙ ¼ ¼¾ º ÈÓÙÖ ÚØÖ ÑÙØ Ø ÖÒÖ ÑÜÑÐ Ð ÒÓÑÖÖ ÒØ ÓÒ ÒÚÓÕÙ ÙÒ ÓÒÚÒØÓÒ ÒÓÖÑÐ ØÓÒ ÕÙ Ø Ò ÒÖÐ ÕÙÚÐÒØ ÔÐÖ Ð ÚÖÙÐ Ù Ø ÔÖ Ð ÔÖÑÖ Ö ÒÓÒ ÒÙÐ ¾ ½µº Ò ÒÖ Ð Ò³Ü Ø ÕÙ³ÙÒ Ö ÒÓÒ ÒÙÐ ½µ Ø ÐÙ¹ ÔÙØ ÓÒ ØÖ ÓÙ ¹ÒØÒÙ ÑÔÐصº ÇÒ ØØÒØ Ò ÙÒ Ö ÓÐÙØÓÒ n +1Ö ÔÓÙÖ ÙÒ ÒÓÑÖÑÒØ n Ö º Ä ÖÒØ ³ÓÖÒØÙÖ Ø ÐÓÐ ³ÓÖÒØ Ö ÔØÖ Ð ÒÓÖÑ Ø ÔÖ Ð³ÁÒ ØØÙØ Ó ÐØÖÐ Ò ÐØÖÓÒ ÒÒÖ Á º Ä ÓÒÓÖÑØ ØØ ÒÓÖÑ Ø Þ ÚÖк Ä ÒÓÖÑ ÒØ ÙÜ ØÝÔ ÒÓÑÖ ÓØØÒØ ÒÐ Ó ÙÖ ¾ Ø Ø ÓÙÐ ÕÙ ÓÑÔÓÖØÒØ Ö ÒÖ º Ä ÖÔÖØØÓÒ Ö Ø Ð ÙÚÒØ Ò ÜÔÓ ÒØ Ôº ÖØÓÒÒÖ ÒÐ ½ ¾ ÓÙÐ ½ ½½ ¾ ÁÐ Ü Ø ÙÒ ÓÖÒ ÒÖÙÖ Ø ÙÒ ÓÖÒ ÙÔÖÙÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒÓÑÖ ÖÔÖ ÒØ Ò ÑÒ Ø ÙØÐ ÒØ ØÓÙ Ð Ö ÒØ ÔÖÚÙ ÔÖ ÓÒ ØÝÔº Ø ÒØÖÚÐÐ Ø ÓÒÒ Ò Ð ØÐÙ ÙÚÒغ ØÝÔ Ò ÕÙÚÐÒØ ÒØÖÚÐÐ ÒØÓÒ Ö ÑÙÜ ÔÓÙÖ ÙÒ ÒÓÑÖ ÔÓ Ø ÒÐ 7 8 ½ ÓÙÐ ¾

38 ÅØÓ ÒÙÑÖÕÙ ÔÔÐÕÙ ÁÐ Ø ÐÖ Õ٠гÒØÖÚÐÐ ÒØÓÒ ÓÙ Ð ÒÓÑÖ Ö ÒØ µ ÔÒ Ù ÒÓÑÖ Ö ÒÖ Ø Ö ÔØÚÑÒØ Ð ÖÔÖ ÒØØÓÒ Ð ÔÖØ ÖØÓÒÒÖ Ø Ð³ÜÔÓ Òغ ijÒØÖÚÐÐ ÒØÓÒ ÒÓÑÖ ÒØ Ø Ó¹ ØÒÙ Ò ÔÖÒÒØ Ð³ÓÔÔÓ ÚÐÙÖ ¹ Ù º ËÓÙ ËÐ Ð ÒÓÑÖ ÖØÓÒÒÖ ÓÒØ ÙÒÓÖÑÑÒØ ÙØÝÔ ÓÙк ÖÓ Ø ÖÔÖ ÒØ ÓÒÚÒØÓÒÒÐÐÑÒØ ÔÖ ÙÒ ÒÓÑÖ ÜÔÓ ÒØ Ø ÔÖØ Ö¹ ØÓÒÒÖ ÒÙÐ º Ä ÒÓÑÖ ÓÑÔÖ ÒØÖ ¼ Ø Ð ÓÖÒ ÒÖÙÖ Ð³ÒØÖÚÐÐ ÒØÓÒ ÜÔÓ ÒØÒÙÐ ÔÖØ ÖØÓÒÒÖ ÒÓÒ ÒÙÐе ÓÒØ Ø ÒÓÖÑÐ Ð ÓÑÔÓÖØÒØ ÓÒ ÑÓÒ Ö ÒØ º ÙÜ ÔÐÙ ÖÒ ÕÙ Ð ÓÖÒ ÙÔ¹ ÖÙÖ ÓÒØ ÖÔÖ ÒØ ÔÖ Ð³ÒÒ ÔÖØ ÖØÓÒÒÖ ÒÙÐÐ ÜÔÓ ÒØ Ò ÓÑÔÓÖØÒØ ÕÙ ½µº Ä ÒÓÖÑ ÔÖÚÓØ ÓÑÑÒØÕÙ ÓÔÖØÓÒ ÖØÑØÕÙ ÓØ ØÖØÖ ÒÓÑÖ º ÅÑ ÙÒ ÒÓÑÖ Ø ÖÒÙÖ ÓÖÖØ ÓÒ ÐÙÐ Ø ÓÙÚÒØ ÒØ ³ÙÒ ÖÖÙÖ ³ÖÖÓÒº ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ ÒÓÙ ÙØÐ ÓÒ ÙÒ ÓÖÒØÙÖ Ø ÓÒØÓÒÒÒØÒÒÙ¹ ÑÖØÓÒ Ñк ÝÓÒ ÐÙÐÖ ¾»½ ½ ¾ ¼½¼¼¾¾ººº ÙÒ ÒÓÑÖ Ö¹ ØÓÒÒÖ ÓÒØ Ð ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÑÐ Ò ØÖÑÒ Ñ Ø Õ٠гÙÒØ ÒØÖÐ ÐÙÐ Ú ¾¼ Ö ÒØ º Ë ÒÓÙ ÚÓÒ ÐÖ ÕÙ Ð ÚÖÐ ÓÖÖ ÔÓÒ¹ ÒØ ØØ Ù ØÝÔ ÒÐ ÐÓÖ Õ٠гÓÖÒØÙÖ ÖÒÖ ØØ ÚÐÙÖ Ò ÑÑÓÖ Ð Ð Ö ÐÓÒ Ð ÒÓÖÑ Ù ØÝÔ ÓØ ÚÖ º ËÙÖ ÖØÒ ÑÒ ÓÒ ÓÒ ÖÚ Ð ÚÐÙÖ ¾ ¼½¼ ØÖÓÒØÓÒµ ÙÖ ³ÙØÖ ÓÒ ÖØÒØ ¾ ¼½¼ ÖÖÓÒµº ijÖÖÙÖ Ø ÑÒÑ ÒÖÙÖ ½¼ 7 Ò ÚÐÙÖ ÓÐÙµ Ñ Ð ÙØ ØÖ ÓÒ ÒØ ÕÙ³ÐÐ ÔÙØ ÖÔØÖ ÑÐÐÖ Ó Ù ÓÙÖ ³ÙÒ ÐÙк ÀÙÖÙ ÑÒØ Ð Ò ÕÙ ÖÖÙÖ Ø ÔÖØÕÙÑÒØ ÐØÓÖ Ò ÕÙ ÐÐ ¹ Ò ³ÓÙØÒØ Ô ÓÒ ÓÖÒغ ijÖÖÙÖ ÖÐØÚ ÚÒØ ÑÔÓÖØÒØ ÐÓÖ Õ٠гÓÒ ÓÖÑ Ð ÖÒ ÙÜ ÒÓÑÖ ÚÓ Ò º ÇÒ Ò ÖÑÖÕÙ ÖÒ Ò ÒÖÐ Ù ÔÖ Ö ÔÖÑÖ Ö ÙÐØØ Ø ÑÑØÑÒØ ÑÙÐØÔÐ ÔÖ ÙÒ ÒÓÑÖ ØÖ ÖÒº ÓÑÑÒØ Ö ÐÙÐ ÔÐÙ ÔÖ Ð ÔÒ Ù ÐÒ Ù ÓÑÔÐØÙÖ Ù Ý ØÑ ³ÜÔÐÓØØÓÒ Ø Ð ÑÒ ÈÖ ÜÑÔÐ Ð ÓÑÔÐØÙÖ ÓÖØÖÒ ÁÅ Ä ÔÖÓÔÓ Ð ØÝÔ ÊÄ ½µ ÕÙ Ó Ð ÒÓÑÖ ÖØÓÒÒÖ ÙÖ ½ ÓØØ Ö ÑÙܵ Ø Ð ÓÑÔÐØÙÖ ÒÙ ÔÓ Ù ØÝÔ ÐÓÒ ÓÙÐ ÙÖ Ü ÓØØ ½ Ö ÑÙܵº ÈÓÙÖ ÐÐÖ ÔÐÙ ÐÓÒ ÓÒ ÔÙØ ÙØÐ Ö ÐÒ ÔÙÜ ÓÑÑ ÈÖ ÓÙ ÒÓÖ ÑØÖ Ö Ð ÖÖÙÖ ³ÖÖÓÒ Ò ÖÓÙÖÒØ Ù ÐÙÐ ÔÖ ÒØÖÚÐÐ ÚÓÖ Ð ÖÖÒ µº ¾ºº ÈÓÙÖ Ò ÚÓÖ ÔÐÙ É ÙÓÖÙÑ ºÑغÒÙѹÒÐÝ ØØÔ»»ÛÛÛºÑØÓѺÓÑ»ÓÖÔÖ»ØÒÓºÑÖ»ÒܺØÑÐ ÅË ØØÔ»»Ñ ºÒ غÓÚ ÐÓØÕÙ ÒØÕÙ ÆÍ ØØÔ»»ÛÛÛºÒÙºÓÖ» ÓØÛÖ» Ð ÆÓÖÑ Á ØØÔ»»ÛÛÛºÖÑÒºÙÔ¹ÒÒݺֻÖÒÐÙ»Ö¾ºÔ

39 ¾ ÐÙÐ Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÒØÓÒ ØØÔ»»ÛÛÛºÖ ºÖ»»ÓÐÝÒ»ÓÙÖ»ÔÖ ÓÒ»Ò ¹½¾¼¼ºÔ ØÓÖ ÑØÑØÕÙ ÒØÓÒ ØØÔ»»ÛÛÛº Ò ¹Ò¹ÐÒºÓÑ ÚÓÖ ØÓÒÒÖ ÒØÕÙ ÒØÖغ ÐÙÐ ÓÒØÓÒ Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Êº ÌÓÓÖ ÁÒØØÓÒ Ð³ÒÐÝ ÒÙÑÖÕÙ º Å ÓÒ ÈÖ ½µº ϺÀº ÈÖ ºÈº ÐÒÒÖÝ Ëºº ÌÙÓÐ Ý ÏºÌº ÎØØÖÒ ÆÙÑÖÐ ÊÔ Ø ÖØ Ó ÒØ ÓÑÔÙØÒ ÑÖ ÍÒÚÖ ØÝ ÈÖ ÑÖ ¾¼¼µº ź ÖÑÓÛØÞ Áº ËØÙÒ ÀÒÓÓ Ó ÑØÑØÐ ÙÒØÓÒ ÓÚÖ ÆÛ ÓÖ ½µº ØØÔ»»ÔÖ ÓºÒ ¹ÐÝÓÒºÖ»Ò¹ÑкÑÙÐÐÖ»ÖÒ¹ÒܺØÑРº¹Åº ÅÙÐÐÖ ÐÑÒØÖÝ ÙÒØÓÒ ÐÓÖØÑ Ò ÑÔÐÑÒØØÓÒ ÖÙ Ö Ó ØÓÒ ½µº º¹Åº ÅÙÐÐÖ ÐÙÐ Ø ÖØÑØÕÙ ÓÖÒØÙÖ ÀÖÑ ØÖØ Á¾ ÈÖ ¾¼¼µº ØØÔ»»ÛÛÛºÑغØÒÓÒººÐ»Ø ÐÓÐ ÐÙÐ ÔÖ ÓÒ ÖØÖÖ ØØÔ»»ÔÖºÑغٹÓÖÙÜºÖ ØØÔ»»ÛÛÛºÑÔÖºÓÖ ÐÓÐ ÔÓÐÝÚÐÒØ ÓÑÔÖÒ ÈÊÁ Ø ÅØÔÐÓØÐ ØØÔ»» ºÑØºÛ ÒØÓÒºÙ» ÖØÑØÕÙ ÔÖ ÒØÖÚÐÐ ØØÔ»»ÛÛÛº ºÙØÔºÙ»ÒØÖÚйÓÑÔ»ÑÒºØÑÐ ÖÖÙÖ Ø ÓÙ Ø ØÖÓÔÕÙ ØØÔ»»ÛÛÛºÒºØÙѺ»Ùл٠ºØÑÐ ¾º½¼º ÜÖ ÜÖ ½ µ ÐÙÐÖ Ð ÚÐÙÖ ÒÙÑÖÕÙ Ù ÔÓÐÝÒÑ p(x) =2x 3 3x +1ÔÓÙÖ x =2ÔÙ ÔÓÙÖ x =1Ò ÙØÐ ÒØ Ð Ñ ÀÓÖÒÖº µ ÅÑ ÕÙ ØÓÒ ÔÓÙÖ p(x) =7x 4 +5x 3 2x 2 +8Ò x =0, 5º ÜÖ ¾ Ä ÔÓÐÝÒÑ ÀÖÑØ H n (x) Ó ÒØ Ð ÖÐØÓÒ ÖÙÖÖÒ H 0 (x) =1; H 1 (x) =2x; H n+1 (x) =2xH n (x) 2nH n 1 (x). µ ÓÖÑÖ Ð ÔÓÐÝÒÑ H 3 Ø H 4 º

40 ÅØÓ ÒÙÑÖÕÙ ÔÔÐÕÙ µ ÐÙÐÖ ÒÙÑÖÕÙÑÒØ H 5 (0, 5) Ò ÓÒ ØÖÙÖ ÔÓÐÝÒѺ µ ÊÔÖ ÒØÖ ÖÔÕÙÑÒØ Ð ÔÖÑÖ ÔÓÐÝÒÑ º ÜÖ Ä ÓÒØÓÒ arctan x ÑØ Ð ÚÐÓÔÔÑÒØ Ò Ö arctan x = x x3 3 + x5 5 x7 7 + µ ËÓØ s n Ð ÓÑÑ ÔÖØÐÐ Ð Ö ØÖÓÒÕÙ ÔÖ Ð n¹ñ ØÖѺ ÉÙÐÐ ÖÖÙÖ ØÖÓÒØÓÒ ÓÑÑعÓÒ Ð³ÓÒ ÖÑÔÐ arctan x ÔÖ s n µ ÇÒ ÔÖÓÔÓ ÐÙÐÖ π г Ð ÖÐØÓÒ π/4 = arctan 1º ÓÑÒ ÙÖ¹ عРØÖÑ Ð Ö ÔÓÙÖ Õ٠гÖÖÙÖ ÙÖ π ÓØ ÒÖÙÖ ½¼ 5 µ Ä Ö Ò ÓÒÚÖ Ô ÐÓÖ ÕÙ x > 1 ÙØÐ Ö ÙÒ ÖÐØÓÒ ÒØÖ arctan x Ø arctan (1/x) ÔÓÙÖ ÔÓ Ö ³ÙÒ ÖÙÑÒØ ØÓÙÓÙÖ ÒÖÙÖ ½º ÐÙÐÖ arctan 2º ÜÖ Ä ÓÒØÓÒ Ð ³ÓÖÖ ÞÖÓ J 0 (x) ÒØÖÚÒØ ÓÙÚÒØ Ò ÔÝ ÕÙº ÐÐ Ø Ò ÔÖ ÓÒ ÚÐÓÔÔÑÒØ Ò Ö ( ) x J 0 (x) = ( 1) k k 2 2 k. k! 0 µ ÌÖÓÙÚÖ Ò ÓÒØÓÒ x ÙÔÔÓ ÒØÖ Ð ÖÒÙ ØÖÑ Ð ÔÐÙ ÖÒ Ò ÚÐÙÖ ÓÐÙº µ ÖÖ ÙÒ ÔÖÓÖÑÑ ÔÓÙÖ ÐÙÐÖ J 0 (x) Ú Ö ÒØ ÔÓÙÖ 0 <x 20 ÕÙÐ ÖØÖ ³ÖÖØ ÐÐÞ¹ÚÓÙ ÙØÐ Ö ÓÑÔÖÞ ÚÓ Ö ÙÐØØ ÙÜ ÚÐÙÖ ÜØ J 0 (5) = 0, ; J 0 (10) = 0, ; J 0 (15) = 0, ÜÖ Ä ÓÒØÓÒ ³ÖÝ ÓÒØ ÙØÐ Ò Ð ØÓÖ Ð ÖØÓÒº ÐÐ ÓÒØ Ò ÓÒ ÓÒÚÒØÓÒÒÐÐ ÔÖØÖ ÚÐÓÔÔÑÒØ Ò Öº ÇÒ ÔÓ f(x) = ! x x x ! 9! ( ) 1 = 3 k x 3k 3 0 k (3k)! ; g(x) = x + 2 4! x x x ! 10! ( ) 2 = 3 k x 3k+1 3 (3k +1)!. Ó (x) n = x(x +1)(x +2) (x + n 1). 0 k

41 ¾ ÐÙÐ Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÒØÓÒ ÇÒ ÐÓÖ Ai(x) =c 1 f(x) c 2 g(x) ; Bi(x) = 3[c 1 f(x)+c 2 g(x)], Ú c 1 =0, Ø c 2 =0, º ÈÖÓÖÑÑÖ Ð ÐÙÐ Ai Ø Bi ÓÒ ÙÖÖ ÙÒ ÔÖ ÓÒ ÓÐÙ ½¼ 5 ÙÖ Ð³Ò¹ ØÖÚÐÐ [ ]º ÊÔÖ ÒØÖ ÖÔÕÙÑÒØ ÓÒØÓÒ ÙÖ Ð ÑÑ ÒØÖÚÐк 1 0,8 0,6 y 0,4 0, x 0,2 0,4 ÙÖ ¾º Ä ÓÒØÓÒ ³ÖÝ Ai(x) Ò ÒÓÖµ Ø Bi(x) Ò Ö µº Ä Ö ÙÐØØ ÚÓÙ Ø ÑÓÒØÖ ÙÖ ¾ºº Ä ÖÔ Ð ÓÒØÓÒ Bi(x) ÕÙ ÔÖ ÒØ ÙÒ ÖÒ ÒÒ Ø ØÖÓÒÕÙº ÜÖ ÖÖ ÙÒ ÔÖÓÖÑÑ ØÒ ÐÙÐÖ cos x Ø sin x ÔÖØÖ ÐÙÖ ÚÐÓÔÔÑÒØ Ò Ö ØÖÓÒÕÙº Ä ÔÖÓÖÑÑ ÓÑÔÓÖØÖ Ð ØÔ ÙÚÒØ º µ ÍØÐ ØÓÒ Ð ÔÖÓØ Ð ÝÑØÖ Ø ÖÐØÓÒ ÒØÖ ÒÙ Ø Ó ÒÙ ³Ö ÓÑÔÐÑÒØÖ ÔÓÙÖ ÖÑÒÖ Ð³ÖÙÑÒØ Ò Ð³ÒØÖÚÐÐ π/4 x π/4º ÇÒ ÔÙØ ÖÖ x = k(π/2) + r ÔÙ n = k mod 4 Ø ÒÒ ÜÔÖÑÖ sin x Ø cos x Ò ÓÒØÓÒ sin r Ø cos r ÔÓÙÖ ÕÙ ÚÐÙÖ nº µ ÐÙÐ ÔÖ ÖÙÖÖÒ ØÖÑ Ö ÔÓÙÖ ØØÒÖ ÙÒ ÖÖÙÖ ÓÐÙ ÓÒÒ Ð³ÚÒ ÔÖ ÜÑÔÐ 10 6 µº µ Ù Ö ÙÐØغ

42 ¼ ÅØÓ ÒÙÑÖÕÙ ÔÔÐÕÙ ÜÖ Ä³ÓØ ÑØÑØÕÙ ÖÔÖ ÒØ ¹ ÓÙ Ø ÙÒ ÖØÓÒ ÓÒØÒÙ f = b 0 + b 1 + b 2 + a 1 a 2 a 3 b 3 + a 4 b 4 + ÈÓÙÖ ÑÔÐÖ Ð ØÖÚÐ ÑÔÖÑÙÖ ÓÒ Ð³ÖØ ÔÐÙØØ a 2 a 3 a 4 f = b 0 + a 1 b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + ÍÒ ÜÔÖ ÓÒ ÒÖ Ò³ ³ÒØÖØ ÕÙ Ð a i Ø Ð b i ÓÒØ ÓÒ ØÒØ ÓÙ ÓÒØÓÒ ÑÔÐ x ÓÑÑ Ò Ð ÖÔÖ ÒØØÓÒ Ð ÓÒØÓÒ ØÒÒØ x 2 x 2 x 2 tg x x Ò ØÖÓÒÕÙÒØ Ð ÖØÓÒ ÓÒØÒÙ ÔÖÒØ ÔÖ Ð ØÖÑ x 2 /9 Ø Ò ÖÙ ÒØ Ù ÑÑ ÒÓÑÒØÙÖ ÓÒ ÓØÒØ tg x x x 2 + x x 2 + x 3. ÉÙÐ ÓÒØ Ð ÔÖÑÖ ÞÖÓ ÒÙÑÖØÙÖ Ø ÙÜ Ù ÒÓÑÒØÙÖ ÓÑÔÖÞ ÚÓ Ö ÙÐØØ ÙÜ ÚÐÙÖ ÜØ º ÜÖ µ ÓÒ ØÖÙÖ Ð ÔÓÐÝÒÑ p ÕÙ ÖÔÖ ÒØ Ð ÚÐÓÔÔÑÒØ ÐÑØ Ð³ÓÖÖ Ð ÓÒØÓÒ f(x) = argth x Ù ÚÓ Ò Ð³ÓÖÒº ØØ ÓÒØÓÒ ÑØ Ù Ð ÖÔÖ ÒØØÓÒ Ò ÖØÓÒ ÓÒØÒÙ g = x x 2 4x 2 9x µ ÊÔÖ ÒØÖ ÙÖ ÙÒ ÑÑ ÖÔÕÙ Ð ÚÖØÓÒ f,p Ø g ÔÓÙÖ x < 0, 9º µ ÎÓÙ ÚÞ Ò ÓÙØ ÔÖÓ ÓÒ ÖØ ÒÐ Ò ÒØ Ð ÒÓÑÒ¹ ØÙÖ ÔÓÙÖ ÐÙÐÖ gº ijÐÓÖØÑ ÏÐÐ ÖØ ¹ ÓÙ ÔÖÑØ ÙÒ ÐÙÐ Ý ØÑØÕÙº ËÓØ f(x) =b 0 + a 1 a 2 a 3 b 1 + b 2 + b 3 + Ð ÖØÓÒ ÓÒØÒÙ ÒÖÐ Ø ÓØ f n Ð ÚÐÙÖ f(x) ÐÙÐ Ò ÒÐÙÒØ ØÓÙ Ð ØÖÑ Ù ÕÙ³ a n Ø b n ÓÑÔÖ º Ë ÓÒ ÔÓ f n = A n B n, ÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ Ð ÕÙÒØØ A n Ø B n ÔÙÚÒØ ³ÓØÒÖ ÔÖ Ð ÖÐØÓÒ ÖÙÖ¹ ÖÒ ÙÚÒØ A 1 =1; B 1 =0; A 0 = b 0 ; B 0 =1; A j = b j A j 1 + a j A j 2 ; B j = b j B j 1 + a j B j 2 ; j =1, 2,...,n.

43 ¾ ÐÙÐ Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÒØÓÒ ½ ÇÒ ÒØÖÖÓÑÔØ Ð ÐÙÐ ÐÓÖ ÕÙ ÙÜ ÚÐÙÖ Ù Ú f n Ø f n+1 ÓÒØ Ù¹ ÑÑÒØ ÔÖÓ Ð³ÙÒ Ð³ÙØÖº ÖÖ ÙÒ ÔÖÓÖÑÑ ÔÓÙÖ ÐÙÐÖ argth xº ÜÖ ÇÒ ÔÖÓÔÓ ÓÖÑÖ Ð³ÔÔÖÓÜÑÒØ È R 3,4 Ð ÓÒØÓÒ Ø xº µ ÓÒ ØÖÙÖ Ð ÚÐÓÔÔÑÒØ ÅÄÙÖÒ ØØ ÓÒØÓÒ Ð³ÓÖÖ Ò x Ð Ø ÓÑÑÓ ³ÙØÐ Ö Ð ÖÐØÓÒ (th x) =1 th 2 xº µ Ò ÙÖ Ð³ÔÔÖÓÜÑÒØ Èº ÇÒ ÙØÐ Ö Ð ÔÖÓÔÖØ ÝÑØÖ Ð ÓÒØÓÒ ÔÓÙÖ ÚØÖ ÐÙÐÖ ØÖÑ ÒÙØÐ º µ ÊÔÖ ÒØÖ ÖÔÕÙÑÒØ Ð ÓÒØÓÒ Ø ÓÒ ÔÔÖÓÜÑØÓÒº ÜÖ ½¼ Ä ÓÒØÓÒ ÜÔÓÒÒØÐÐ ÒØÖÐ Ø Ò ÓÑÑ Ei(x) = e t x t dt. Ò ÒØÖÒØ ÔÖ ÔÖØ ÓÒ ØÖÓÙÚ Ù ÚÑÒØ ü гÓÖÖ Ò Ð ÚÒØ Ei(x) = e x x Ei(x) = e t t [ x x e t e x dt = t2 x 1 1 x + 2! n! + +( 1)n x2 x n + e t t x +2 x e t t 3 dt. ] +( 1) n+1 (n +1)! x e t dt, tn+2 ÕÙ ÓÒ ØØÙ Ð ÚÐÓÔÔÑÒØ ÝÑÔØÓØÕÙ Ei(x) ÓÙ ÙÒ ÓÖÑ ÙÒ ÔÙ ÔÐÙ ÒÖÐ ÕÙ³Ù ï ¾ºº µ ÇÒ ÔÔÐÐ S(x) Ð Ö ÕÙ ÙÖ ÒØÖ ÖÓØ Ø¹ÐÐ ÓÒÚÖÒØ µ ÅÓÖÖ Ð³ÒØÖÐ ÔÓÙÖ ÑÓÒØÖÖ ÕÙ lim x [xn (xe x Ei(x) S n )] = 0. Ò ÕÙ S n ÓÑÑ ÔÖØÐÐ Ð Ö S Ø ÙÒ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ xe x Ei(x) Ø ÕÙ ØØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ³ÙØÒØ ÑÐÐÙÖ ÕÙ x Ø ÔÐÙ ÖÒ n ØÒØ ÓÒÒº µ ÖÖ ÙÒ ÔÖÓÖÑÑ ÔÓÙÖ ÐÙÐÖ Ø ÖÔÖ ÒØÖ ÖÔÕÙÑÒØ Ð ÔÔÖÓÜѹ ØÓÒ Ei(x) ÔÓÙÖ n ÚÖÒØ ¾ ¾¼ ÓÒ Ø ÔÖ ÜÑÔÐ ÕÙ Ei(10) 0,