Sommaire. Premier semestre. Logique Raisonnement. Sommes et produits. Systèmes linéaires. Calculs complexes et trigonométrie
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- Jules Dumont
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1 Sommaire Premier semestre Logique Raisonnement 1 Démontrer une implication ou une équivalence 13 2 Raisonner par contraposée ou par l absurde 16 3 Raisonner par analyse-synthèse 20 4 Raisonner par récurrence simple, multiple ou forte 24 Sommes et produits 5 Calculer une somme à l aide de sommes de référence 29 6 Effectuer un changement d indice dans une somme 33 7 Calculer une somme télescopique 36 8 Majorer, minorer, encadrer une somme 40 9 Utiliser la formule du binôme de Newton Calculer une somme double Calculer un produit Manipuler les factorielles et les coefficients binomiaux 56 Systèmes linéaires 13 Résoudre un système, paramétré ou non, par la méthode du pivot de Gauss-Jordan 60 Calculs complexes et trigonométrie 14 Manipuler forme algébrique et forme exponentielle d un complexe Montrer qu un complexe est réel ou imaginaire pur Linéariser un produit de cosinus et sinus avec les formules d Euler Exprimer cos(nx) et sin(nx) en fonction de cos(x) et sin(x) Résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique Résoudre une équation du second degré Calculer et manipuler les racines n-ièmes d un complexe Utiliser les complexes pour simplifier des sommes de réels Résoudre des problèmes de colinéarité, d alignement, de parallélisme 93 5
2 23 Résoudre des problèmes d orthogonalité Étudier des transformations complexes et les composer 101 Calculs réels 25 Établir une égalité Établir une inégalité Résoudre une équation avec des valeurs absolues ou des radicaux Résoudre une inéquation avec des valeurs absolues ou des radicaux Manipuler la partie entière 120 Fonctions : généralités 30 Déterminer l ensemble de définition d une fonction Déterminer les variations d une fonction Montrer qu une fonction est paire / impaire Montrer qu une fonction est périodique Manipuler les fonctions circulaires réciproques 136 Équations différentielles 35 Trouver des primitives Résoudre une équation différentielle (ED) homogène d ordre Résoudre une ED linéaire d ordre 1 à coefficients constants Résoudre une ED linéaire d ordre 1 par variation de la constante Résoudre une ED linéaire d ordre 2 à coefficients constants 153 Suites usuelles 40 Étudier une suite arithmético-géométrique Étudier une suite récurrente linéaire d ordre Étudier une suite récurrente du type u n+1 = f(u n ) Étudier une suite implicite 167 Suites réelles : généralités 44 Déterminer la limite d une suite avec la définition Calculer une limite indéterminée Utiliser les théorèmes de limite monotone Utiliser le théorème des suites adjacentes Déterminer une limite par encadrement ou comparaison 184 6
3 Fonctions : limites, continuité 49 Lever une forme indéterminée Calculer une limite Montrer qu une droite est asymptote à une courbe Montrer qu une fonction est ou n est pas continue en un point 197 Fonctions : dérivabilité 53 Montrer qu une fonction est dérivable en un point Calculer la dérivée d une fonction composée Calculer la dérivée d une fonction réciproque Utiliser la formule de Leibniz Mettre en œuvre le théorème des valeurs intermédiaires Mettre en œuvre le théorème de la bijection Mettre en place le théorème de Rolle Mettre en place le théorème des accroissements finis Utiliser l inégalité des accroissements finis 228 Équivalence et négligeabilité 62 Montrer que des suites ou des fonctions sont équivalentes Montrer qu une fonction ou une suite est négligeable ou dominée par une autre 234 Développements limités 64 Utiliser la formule de Taylor-Young Déterminer le développement limité d un produit Déterminer le développement limité d un quotient Déterminer le développement limité d une composée Utiliser les développements limités 252 Arithmétique 69 Trouver le PGCD et le PPCM de deux entiers Établir une relation de Bézout Résoudre une équation diophantienne Manipuler les congruences 268 7
4 Polynômes 73 Pratiquer la division euclidienne de polynômes Factoriser un polynôme dans C[X] Factoriser un polynôme dans R[X] Montrer qu un polynôme est nul Trouver le PGCD de deux polynômes Montrer que deux polynômes sont premiers entre eux 290 Fractions rationnelles 79 Décomposer une fraction rationnelle en éléments simples 294 Deuxième semestre Espaces vectoriels 80 Montrer qu un vecteur est combinaison linéaire d autres vecteurs Montrer qu un ensemble est un sous-espace vectoriel Montrer qu un ensemble est un sous-espace vectoriel engendré Montrer qu une famille est libre (ou liée) Montrer qu une famille est une base d un espace vectoriel Utiliser le théorème de la base incomplète Extraire une base d une famille génératrice Calculer le rang d une famille de vecteurs Calculer la dimension de la somme de deux sous-espaces vectoriels Montrer qu une somme de deux sous-espaces est directe Montrer que deux sous-espaces sont supplémentaires Montrer qu une somme d au moins trois sous-espaces est directe Montrer qu un espace vectoriel est somme directe d au moins trois sous-espaces 344 Calcul matriciel 93 Effectuer les opérations de base sur les matrices Multiplier deux matrices par blocs Calculer la puissance n-ième d une matrice Montrer qu une matrice carrée est inversible et déterminer son inverse 361 8
5 Applications linéaires 97 Montrer qu une application est linéaire Déterminer la matrice d une application linéaire Déterminer le noyau d une application linéaire Déterminer l image et le rang d une application linéaire Utiliser le théorème du rang Montrer qu une application linéaire est bijective Trouver le rang d une matrice Caractériser un projecteur Caractériser une symétrie 401 Déterminants 106 Décomposer une permutation en produit de cycles Calculer un déterminant par opérations sur les lignes ou les colonnes Calculer un déterminant par développement ou par blocs Utiliser le déterminant pour étudier l inversibilité d une matrice 417 Espaces préhilbertiens réels 110 Montrer qu une application est un produit scalaire Calculer la norme d un vecteur Utiliser l inégalité de Cauchy-Schwarz Montrer que deux sous-espaces sont orthogonaux Orthonormaliser une famille libre Minimiser une distance par projection orthogonale Caractériser une isométrie vectorielle Montrer qu une matrice est orthogonale 447 Intégration sur un segment 118 Trouver des primitives de fonctions composées Effectuer un changement de variable Faire une intégration par parties Reconnaître et utiliser une somme de Riemann Étudier une intégrale fonction de sa borne supérieure Étudier une suite intégrale Écrire et utiliser la formule de Taylor avec reste intégral 471 9
6 Séries 125 Étudier la convergence d une série à l aide des sommes partielles Étudier la nature d une série à termes positifs Étudier une suite à l aide d une série Étudier l absolue convergence d une série 484 Dénombrement 129 Dénombrer un ensemble fini Dénombrer des listes 491 Probabilités 131 Calculer la probabilité d une intersection finie Calculer la probabilité d une réunion finie Appliquer la formule des probabilités totales Utiliser la formule de Bayes 508 Variables aléatoires discrètes 135 Déterminer la loi d une variable aléatoire discrète Reconnaître une loi uniforme Reconnaître une loi binomiale Calculer l espérance d une variable aléatoire finie Utiliser le théorème de transfert Calculer la variance et l écart type d une variable aléatoire finie Utiliser les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev Déterminer la loi d un couple Déterminer une loi marginale Calculer la covariance de deux variables aléatoires Utiliser la covariance
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