MATHEMATIQUES ECE 1 NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR

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1 MATHEMATIQUES ECE NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR CALCULS NUMERIQUES Fractions, puissances, racines carrées, résolution d équations et inéquations GENERALITES SUR LES FONCTIONS ) Nombre dérivé d une fonction en un point ) Tangente à la courbe représentative d une fonction en un point ) Dérivées d une somme, d un produit et d un quotient ) Etude des variations Recherche d etremum 5 ) Notion de continuité Propriétés des valeurs intermédiaires 6 ) Conveité et point d infleion FONCTIONS USUELLES ) Fonction trinôme du second degré : f () a + b + c Equation du second degré Signe du trinôme, inéquations du second degré ) Fonctions ; ; Etude des variations Représentation graphique ) Fonctions eponentielles Sens de variations et représentation graphique Propriétés fondamentales Fonctions e u() ) Fonction logarithme népérien Sens de variations et représentation graphique Propriétés fondamentales SUITES ) Etude du sens de variation d une suite ) Suites arithmétiques ) Suites géométriques ) Suites arithméticogéométrique 5 ) Limite de la suite (q n ) avec q > 0

2 MATHEMATIQUES ECE EXERCICES (sans calculatrice!!) EXERCICES DE CALCULS NUMERIQUES Eercice : Simplifier les fractions suivantes Eercice : Réduire au même dénominateur en choisissant le plus petit dénominateur commun. a) b) c) d) n n e) + f) n + n + n + g) Eercice ) Ecrire à l aide des puissances de et les quantités et 6 5 ) Transformer les epressions ln et ln en faisant apparaitre ln ) Simplifier les epressions A ep( ) ep() B ln() ln C ep( ln5) Eercice : Résoudre les inéquations suivantes I : ( 5) (5 ) < 0 I : I : I : ln () ln () I 5 : I 6 : + + ( + ) I : + 5

3 EXERCICES SUR LES FONCTIONS Eercice : Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la dérivée puis étudier le sens de variations sur D f a) f () e e b) f () ln c) f () ( ) e d) f () e e) f () + ln f) f () + ln e g) f () + h) f () ( + ) e + Eercice : ) Soit g la fonction définie sur IR par g () e + a) Calculer g () et dresser le tableau de variations de g b) Calculer g() et en déduire le signe de g() ) Soit f la fonction définie sur ]0 ; + [ par f () e + ln a) Démontrer que pour tout ]0 ; + [ f () g() b) En déduire le tableau de variations de f Eercice : ) On considère la fonction g définie sur ] ; + [ par g() a + b ln Déterminer les réels a et b pour que la représentation (Γ) de g coupe l ae des abscisses au point E d abscisse e et que la tangente à (Γ) en E soit parallèle à la droite (D) d équation y + ) On considère la fonction f définie sur ] ; + [ par f () e ln a) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations b) Donner une équation de la tangente (T) à la courbe représentative (C) de f au point d abscisse e Eercice : Soit f la fonction définie sur ]0 ; + [ par f () ln + ) Etudier les variations de f ) Calculer f () et en déduire le signe de f () ) Montrer que l équation f () admet une solution unique sur [ ; e] Eercice 5 : Soit f la fonction définie sur IR par f () ( ) e ) Etudier les variations de f ) Calculer f () et étudier la conveité de f. Déterminer les points d infleion éventuels.

4 Eercice 6 Cet eercice est un questionnaire à choi multiples. Pour chacune des questions, une seule des trois réponses proposées est eacte. Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + [ par f ( ) ln. ) f ( e) est égal à: a. 6 e ln e ; b. e ( ln ) ; c. ln(e) e. ) L'ensemble des solutions de l'équation f ( ) 0 est : a. S {0 ; e } ; b. S { e } ; c. S {ln}. ) Sur [0 ; + [ la fonction f est : a. convee. b. concave c. ni convee, ni concave. Eercice : Soient f et g deu fonctions dérivables et convees sur un intervalle I. ) a) Quel est le sens de variation de chacune des fonctions dérivées f et g sur I. b) Quel est le sens de variation de la fonction f + g sur I? c) En déduire que la fonction f + g est convee sur I. ) a) Quel est le sens de variation de la fonction ( f ) sur I? b) En déduire la concavité de la fonction ( f) sur I ) λ est un réel strictement positif a) Quel est le sens de variation de la fonction λ f sur I? b) En déduire que la fonction λ f est convee sur I. Eercice 8 : On considère la fonction f définie sur [0 ; + [ par : f ( ) ( + 5) e +. On note (Cf) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. On note f ' la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [0 ; + [. f '( ) 8 5 e ) a) Démontrer que pour tout réel de [0 ; + [ on a : ( ) b) Etudier le signe de la fonction f ' sur l'intervalle [0 ; + [. c) À l'aide des questions a. et b., dresser le tableau de variation de la fonction f. ) Justifier que l'équation f() admet une unique solution 0 dans l'intervalle [0 ; ]. ) Déterminer les intervalles contenus dans [0 ; + [ dans lesquels Cf est située audessous de ses tangentes.

5 EXERCICES SUR LES SUITES Eercice : Etudier le sens de variation de la suite (u n ) dans chacun des cas suivants : a) u n 5n + n n b) u n n + u c) 0 n IN u n + u n 5 u 0 d) n IN u n + (u n) + Eercice : On pose u 0 et pour tout n, u n + a u n + b où a et b sont deu nombres strictement positifs. Pour chacune des propriétés suivantes, dire si elle vraie ou fausse en justifiant votre réponse. a) (u n ) est une suite arithméticogéométrique b) Si a et b alors u 5 c) Si a alors (u n ) est une suite arithmétique d) Si a alors (u n ) est une suite géométrique e) Si b 0 alors (u n ) est une suite géométrique f) Si b 0 alors pour tout n de IN u n a n + g) Si a alors pour tout n de IN u n + nb h) Si a et b alors la suite (u n ) est strictement croissante Eercice : Soit la suite (u n ) définie par la donnée de son premier terme u et par la relation : pour tout entier naturel n, u n +,0 u n + 00 ) Calculer u et u ) Pour tout entier naturel n, on pose v n u n a) Calculer v 0 b) Montrer que (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. c) Eprimer v n en fonction de n d) En déduire que u n (,0) n e) Déterminer la limite de la suite (u n )