PROBABILITÉS. I) Introduction, aperçu historique. Loi de probabilité

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1 Table des matières PROBABILITÉS Résumé de cours I) Introduction, aperçu historique 1 II) Loi de probabilité 1 III)Probabilité d évènement 2 1. Le vocabulaire des probabilités Calculs de probabilités I) Introduction, aperçu historique Dans ce chapitre nous débutons l étude de ce que l on appelle des expériences aléatoires (du latin alea qui signifie dé (à jouer), qui se dit...az-zahr en arabe, nous donnant le mot hasard!), c est-à-dire des phénomènes dont les résultats sont par nature impossibles à prévoir avec exactitude. C est le but de la théorie des probabilités, élaborée entre le XVII e siècle (avec Blaise Pascal (cidessous), Pierre de Fermat, Bernoulli) et le XX e siècle (où elle est réellement finalisée, en particulier par les mathématiciens russes, comme Andreï Kolmogorov, mort en 1987). Cette théorie est très féconde (encore aujourd hui) et trouve des applications dans d innombrables domaines : sciences dures, sciences humaines, industrie, assurances, économie (avec la théorie des jeux),... Historiquement, les fondations de cette théorie ont été jetées par Pascal, sur l insistance de ses compagnons de jeu, pour répondre à ce que l on appelait à l époque le problème des partis : comment répartir les gains d un jeu entre les participants lorsque ce jeu n est pas arrivé à son terme? Faut-il rembourser leur mise aux joueurs, ou bien y a-t-il un partage à faire selon les chances de gagner de chacun de ces joueurs? D ailleurs, les exemples d expériences aléatoires que vous rencontrerez sont souvent du domaine du jeu (lancer de dés, pièces de monnaie, tirage d une boule dans une urne, loteries...). II) Loi de probabilité Une expérience est dite aléatoire lorsqu elle a plusieurs issues (ou résultats) possibles et que l on ne peut ni prévoir ni calculer laquelle de ces issues sera réalisée. Une issue possible est aussi appelée une éventualité liée à l expérience aléatoire. Lancer un dé à six faces : E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, obtenir un 2 est une éventualité de cette expérience aléatoire. Tirage des six numéros gagnants du Loto : obtenir la combinaison est une éventualité de cette expérience aléatoire. Imaginons une expérience : on lance un dé un grand nombre de fois; on compte et relève les fréquences d apparition de chaque numéro; comment modéliser, simuler cette expérience aléatoire? La recherche d un modèle mène à la notion de probabilité. page 1/6

2 Modéliser une expérience aléatoire par une loi de probabilité, c est associer à chaque issue x i un nombre p i positif ou nul tel que : chaque p i représente les chances de réalisation de l issue x i ; p 1 + p 2 + p n = 1. Exercice 2 p 80. On peut valider un tel modèle grâce à la propriété suivante appelée la loi des grands nombres dont voici un énoncé vulgarisé. Théorème 1. Pour une expérience donnée, dans un modèle défini par une loi de probabilité P, les distributions de fréquences obtenues dans des séries de taille n se rapprochent de P quand n devient grand. Conséquences immédiates : on peut modéliser une expérience aléatoire par une loi de probabilité en identifiant la fréquence de réalisation de chaque issue à sa probabilité; on peut simuler une expérience aléatoire en simulant en fait un modèle de cette expérience. Exemple : voir 1 p 68. (intéressant pour la manipulation ou simplement pour apprendre les formules...). Exercice 1 p 80. Dans le cas où l on associe à chacune des n issues d une expérience aléatoire la même probabilité p, on parle de loi équirépartie. Alors p = 1 n. Exemple de loi équirépartie : un lancer de dé non pipé. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, p = 1 6. de loi non équirépartie un lancer de dé pipé : on peut ici définir la loi de probabilité par un tableau... somme de deux lancers de dé E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, et par un tableau on détermine par exemple que p(2) = 1 36 et p(2) = 1 6. Exercices 6 (cartes), 7 (tableau), 8 (arbre), 10 (plus fin) p 81. III) Probabilité d évènement 1. Le vocabulaire des probabilités L ensemble formé par les éventualités liées à une expérience aléatoire est appelé univers de l expérience; il est très souvent noté Ω. page 2/6

3 Lancer d une pièce de monnaie : Ω = {.....;...} Lancer un dé à six faces : Ω = {...;...;...;...;...;...} (univers à six éléments). Lancer de deux dés à six faces : Ω = {(...;...); (...;...); (...;...);...;(...;...); (...;...)} (univers à...éléments). Tirage des six numéros gagnants du Loto Ω = {(...;...;...;...;...;...); (...;...;...;...;...;...);...} (univers à 14 millions d éléments environ!) Un évènement de l expérience aléatoire est une partie quelconque (un sous-ensemble) de l univers. Un évènement ne comprenant qu une seule éventualité est qualifié d évènement élémentaire. Exemple : lancer d un dé à six faces : obtenir un 5 est un évènement élémentaire que l on peut noter {5}. Obtenir un numéro pair est un évènement de cette expérience aléatoire, que l on peut noter {...;...;...}; il est composé des évènements élémentaires obtenir un 2, obtenir un 4 et obtenir un 6. L évènement qui ne contient aucune éventualité est qualifié d évènement impossible, et est noté. L évènement qui est composé de toutes les éventualités (c est-à-dire Ω lui-même) est appelé évènement certain. Tirage des six numéros gagnants du loto : obtenir la combinaison est un évènement...(les numéros vont de 1 à 49). Lancer d un dé à six faces : obtenir un nombre compris entre 1 et 6 (inclus) est un évènement... Soient A, B deux évènements. L évènement A et B est l évènement qui se réalise lorsque A et B se réalisent simultanément. On le note A B. On dit aussi A inter B. L évènement A ou B est l évènement qui se réalise lorsque au moins l un des évènements A et B se réalise. On le note A B. On dit aussi A union B. Lancer d un dé à six faces : si A est l évènement obtenir un nombre compris entre 1 et 3(inclus) et B l évènement obtenir un nombre pair, alors l évènement A B est l évènement..., et l évènement A B est l évènement.... Autrement dit, A= {...;...;...}, B= {...;...;...}, A B = {...} et A B = {...;...;...;...;...}. Tirage au hasard d une carte dans un jeu de 32 cartes : si A est l évènement tirer un cœur, et B l évènement tirer une figure, alors l évènement A B est.... L évènement A B, lui, est... Autrement dit, A B = {.....;...;...;...} et A B = {.....;...;...;..... ; ;......;...;...;...;...;...;...;.....;...;...;...;...;} page 3/6

4 Dire que deux évènements A et B d une expérience aléatoire sont incompatibles signifie qu ils n ont aucune éventualité en commun (c est-à-dire lorsque l intersection des sous-ensembles A et B est vide : A B = ). Lancer d un dé à six faces : les évènements obtenir un 3 et obtenir un nombre pair sont des évènements incompatibles. Tirage d une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes : les évènements tirer un huit et tirer un trèfle ne sont pas des évènements incompatibles. Pour tout évènement A il existe un évènement noté A, et appelé évènement contraire de A, qui est composé des éléments de Ω qui ne sont pas dans A. On a en particulier A A = Ω. Lancer d une pièce de monnaie : si A= {P } alors son évènement contraire est A = {...}. Lancer d un dé à six faces : si A est l évènement obtenir un nombre inférieur ou égal à 4, alors son évènement contraire A est l évènement.... Propriété 1. Un évènement A et son évènement contraire A sont incompatibles : A A = ; Le contraire de l évènement A est A lui-même : A = A; Le contraire de l évènement impossible est l évènement certain : = Ω. 2. Calculs de probabilités Supposons qu une loi de probabilité soit définie sur l univers Ω associé à une expérience aléatoire. La probabilité d un évènement A, notée p(a), est alors définie comme la somme des probabilités p i des éventualités ω i qui le composent. Lancer d un dé à 6 faces non truqué. Si A est l évènement obtenir un multiple de 3, A= {...;...} et p(a)= = =..... Si B est l évènement obtenir un nombre pair, B= {...;...;...} et p(b)= =..... =..... page 4/6

5 Propriété 2. Un cas particulier : l équiprobabilité Dans ce cas on peut calculer la probabilité de n importe quel évènement A par : que l on peut aussi écrire p(a)= nombre d éventualités composant l évènement A nombre d éventualités composant Ω p(a)= nombre de cas favorables nombre total de cas Les cas d équiprobabilité abondent, et sont souvent signalés par une expression particulière : lancer d un dé non truqué, tirage d une boule dans une urne parmi des boules non discernables les unes des autres, tirage au hasard d une carte dans un jeu bien battu... Exercice 21 p 82. Propriété 3. Pour tout évènement A on a 0 p(a) 1 La probabilité de l évènement certain est égale à 1, celle de l évènement impossible est égale à 0 : p(ω) = 1etp( ) = 0. Pour tous évènements A et B, on a p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) En particulier : Si A et B sont deux évènements incompatibles, alors on a p(a B) = p(a) + p(b) Si A est un évènement, dont l évènement contraire est A, alors on a p(a) = 1 p(a) Exemple Situation d équiprobabilité : tirage au hasard d une carte dans un jeu de 32 cartes On note C l évènement tirer un carreau ; C= { ;......;...;...;...;...;...;...} S l évènement tirer un 7 ; S= {.....;...;..... ;......} H l évènement tirer un 8 ; H= {.....;...;...;...} T l évènement tirer un trèfle ; T= {.....;...;..... ;......;...;...;...;...} On a p(c)=... Soit D l évènement tirer une carte autre qu un carreau, qui est l évènement contraire de C. Alors on peut directement écrire que p(d)= p(c) =... Les évènements S et H sont incompatibles; on a ainsi S H= tirer un 7 ou un 8 et p(s H)=.... Les évènements S et T sont compatibles; on a ainsi S T= tirer un 7 ou un trèfle et p(s T)=... Exercices page 5/6

6 25 & 27 p 83; 31 p 84. page 6/6