REPONSE DES CIRCUITS A UN ECHELON DE TENSION REGIME TRANSITOIRE D ORDRE 1

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1 CICUITS ELECTIQUES. DUPEAY Lycée F. BUISSON PTSI EPONSE DES CICUITS A UN ECHELON DE TENSION EGIME TANSITOIE D ODE 1 «Une panne d élecricié laisse l aveugle indifféren» Grégoire Lacroix Dans les circuis élecriques, les régimes on oujours un débu. Nous allons éudier commen à parir des condiions iniiales, les courans e les ensions s éablissen dans les circuis. I Echelon de ension Nous allons appliquer à des circuis ( C série, L série e LC série) de façon soudaine, une ension coninue E (on allume le généraeur à = ). Ce effe es modélisé par un échelon de ension représené sur la figure suivane : ZOOM Disconinuié de la ension : c es une modélisaion En réalié, il n y a pas de disconinuié mais une «moné» rès rapide de la ension II éponse à un échelon de ension : circui d ordre 1 C série 2.1 Equaion différenielle qui gouverne la ension aux bornes du condensaeur Loi des mailles : E = + u = + i. Caracérisique condensaeur : i = dq d = C d d. Ainsi : E = + C d d. On consae que C es homogène à un emps, on pose par définiion : C = consane de emps du circui 1

2 On réécri l équaion différenielle du premier ordre sous une forme canonique (sandard) : d d + Exercice d applicaion 1: Circui équivalen en régime permanen e grandeurs élecriques. A parir de la connaissance du comporemen du condensaeur en DC, représener le circui équivalen au circui précéden en régime permanen (c es-à-dire quand +, les ensions e = E courans ne varien plus dans le emps). En déduire i + ( ) e u c ( +). 2

3 2.2 ésoluion de l équaion différenielle a) condiion iniiale 1 : < = U : le condensaeur es chargé On va «séparer les variables» e d d = E d E = d, on inègre: U d E = 1 d ce qui donne : ln u E C = U E soi u E = U E C ( )e. Pour résumer : ( ) = U pour < E + ( U E )e pour > Nous consaons que ( ) es coninue à =. b) condiion iniiale 2 : < = : le condensaeur es déchargé On procède comme en a) ce qui donne immédiaemen : pour < ( ) = E 1 e pour > Nous allons déerminer i ( ). i ( ) = C d d = C E e pour > e i ( ) = pour <. i ( ) = pour < C E e pour > 3

4 Nous consaons que i ( ) es disconinue à =. emarque : équaion de la angene di d = = 1 C E = E. L équaion de la angene s écri : y = E 2 C 2 C + cse. A =, y = E = cse y = E 1 1 C e à y = = = C. On rerouve l inerpréaion graphique de la consane de emps. 2.3 égime ransioire e régime permanen éponse complèe du condensaeur = réponse puremen + réponse du régime TANSITOIE PEMANENT (parie emporaire) (parie permanene) ( ) = ( U E )e + E Quand +, = E, C se compore donc comme un inerrupeur ouver. La réponse du régime ransioire disparaî (meur) rapidemen, seule à long erme la réponse du régime permanen demeure. On peu écrire la réponse complèe ( ) sous la forme suivane : ( ) = + ( ) + ( ) ( + ) e 4

5 Si l insan iniial es el que =, on écrira : ( ) = + ( ) + ( ) ( + ) e ( ) En résumé, pour connaîre la réponse d un circui C à un échelon de ension, il fau connaîre rois choses : La ension iniiale aux bornes du condensaeur ( ). La ension finale aux bornes du condensaeur ( + ). La consane de emps du circui. 2.4 Aspecs énergéiques Energie sockée par le condensaeur : ε C = P C ( ) d = ( )i ( ) d On par de la condiion iniiale 2 : < =. ε C = E 1 e C E e d = C E 2 e + C E 2 2 e 2 = C E 2 + C E 2 2 = C E 2 2 >. On peu rerouver direcemen ce résula avec ε C = 1 2 C 2 avec = E quand +. Energie dissipée par la résisance : ε = P ( ) d = u ( )i ( ) d ε = E 2 d = E 2 2 e e 2 2 = C E 2 = C E >. Energie fournie par le généraeur : ε G = P G ( ) d = u G ( )i ( ) d ε G = E 2 e d = C E 2 e = C E 2 <. Le signe moins devan l inégrale provien du fai que nous sommes en convenion généraeur. Par conre, le résula final es physique, ε G < car on a un généraeur physique, il fourni de l énergie au circui. Pour conclure : Energie cédée par le généraeur (-CE 2 < ) = Energie sockée par le condensaeur 1 2 CE 2 > + Energie reçue puis dissipée par la résisance 1 2 CE 2 > 5

6 Quelque soi la valeur de, ε = ε C. Si es pei, i es imporan pendan un emps cour. Si es grand, i es faible pendan un emps long. III éponse à un échelon de ension : circui d ordre 1 L Série 3.1 Equaion différenielle qui gouverne l inensié Loi des mailles : E = u L + u = u L + i. Caracérisique de la bobine : u L Ainsi : di d + L i = E L. = L di d. On consae que L es homogène à un emps, on pose par définiion : L = consane de emps du circui On réécri l équaion différenielle du premier ordre sous une forme canonique : di d + i = E L Exercice d applicaion 2: Circui équivalen en régime permanen e grandeurs élecriques. A parir de la connaissance du comporemen de la bobine en DC, représener le circui équivalen au circui précéden en régime permanen (c es-à-dire quand +, les ensions e courans ne varien plus dans le emps). En déduire i + ( ) e u L ( +). 6

7 3.2 ésoluion de l équaion différenielle On procède comme dans le paragraphe 2.2. Condiion iniiale : i =. On peu «séparer les variables» comme dans le paragraphe 2.2 ou bien chercher la soluion sous la forme (ce qui es équivalen d un poin de vu mahémaique) : ( ) = SGSSM Ae - i + SPASM E. A, i = donc A = E. Au final : i ( ) = pour < E 1 e pour > Nous consaons que i ( ) es coninue à =. 7

8 Nous allons déerminer u L ( ). u L ( ) = L di d = L E e = E e. u L pour < ( ) = E e pour > Nous consaons que u L ( ) es disconinue à =. 3.3 égime ransioire e régime permanen éponse complèe du circui en i ( ) = réponse puremen + réponse du régime TANSITOIE (parie emporaire) Mahs SGSSM PEMANENT (parie permanene) Mahs SPASM ( ) = E e i + E Quand +, i = E, L se compore donc comme un fil sans résisance. La réponse du régime ransioire disparaî (meur) rapidemen, seule à long erme la réponse du régime permanen demeure. On peu écrire la réponse complèe i ( ) sous la forme suivane : i ( ) = i ( + ) + i ( ) i ( + ) e Si l insan iniial es el que =, on écrira : i ( ) = i ( + ) + i ( ) i ( + ) e ( ) 8

9 En résumé, pour connaîre la réponse d un circui L à un échelon de ension, il fau connaîre rois choses : ( ). L inensié iniiale du circui i L inensié finale du circui i ( + ). La consane de emps du circui. 3.4 Aspecs énergéiques Energie sockée par la bobine: ε L = P L ( ) d = u L ( )i ( ) d ε L = E 1 e E e d = E 2 e e 2 d = E 2 e + E 2 2 e 2 = L E 2 1 L E 2 = 1 L E 2 > On peu rerouver direcemen ce résula avec ε L = 1 2 L i 2 avec i = E quand +. Energie dissipée par la résisance : ε = P ( ) d = u ( )i ( ) d ε = E 2 1 e 2 d = E 2 2e + E 2 2 e 2 + E 2 Energie fournie par le généraeur : ε G = P G ( ) d = u G ( )i ( ) d ε G = E 2 1 e d = E 2 e E 2 LE 2 = <. 2 2L E 2 = + L E = 3 L E >. 2 Quand +, la bobine devien un fil e le généraeur doi en permanence compenser les peres d énergie dues à la résisance. Dans la réalié, le généraeur ne foncionne pas indéfinimen. Cela se radui mahémaiquemen par le fai que l on n inègre pas jusqu à l infini mais jusqu à un emps fini. Pour conclure : Energie cédée par le généraeur ( < ) = Energie sockée par la bobine 1 LE 2 2 > 2 + Energie reçue puis dissipée par la résisance ( + > ) 9

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