FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

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1 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES Définition ( voir animation ) On dit qu'un repère orthonormé (O; i, j) est direct lorsque ( i ; j ) = + []. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, si M est le point du cercle trigonométrique image du réel, l'abscisse de M est appelée cosinus de, elle est notée cos ou cos(). l'ordonnée de M est appelée sinus de, elle est notée sin ou sin(). sin M cos Propriété (voir démonstration 0) Pour tout réel, on a : - cos ; - sin ; cos + sin = 0 sin 0 cos Valeurs particulières (voir démonstration 0) ( voir animation ) 6 4 Définition On appelle fonction cosinus la fonction : On appelle fonction sinus la fonction : Propriété (voir démonstration 0) cos : IR IR cos sin : IR IR sin Pour tout réel : cos( + ) = cos et sin( + ) = sin On dit que les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions périodiques de période. Pour tout réel : cos(- ) = cos et sin(- ) = - sin La fonction cosinus est paire, la fonction sinus est impaire. 4 6 O 0 Propriété (voir démonstration 04) ( voir animation ) + Pour tout réel : - sin + = cos ; cos sin - = cos ; cos sin ( + ) = - sin ; + = - sin - = sin cos ( + ) = - cos sin ( - ) = sin ; cos ( - ) = - cos - + sin O cos TS Fonctions trigonométriques page / 5

2 Propriété : Formules d'addition (voir démonstration 05) On a cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b cos (a- b) = cos a cos b + sin a sin b sin (a- b) = sin a cos b - cos a sin b Propriété : Formules de duplication (voir démonstration 06) cos (a) = cos a - sin a = cos a - = - sin a sin (a) = sin a cos a Eercice 0 (voir réponses et correction) On considère un réel α tel que α et sin α = Calculer les valeurs eactes de cos α ; sin α ; cos α ; sin α ; cos α Propriété (admise) ( voir animation ) lim sin 0 = et lim cos - = 0 0 Rappel Le nombre dérivé en a d'une fonction f est la limite quand h tend vers 0 de f(a + h) - f(a) h. On peut écrire sin h = sin(0 + h) - sin 0 h h donc lim sin h correspond au nombre dérivé de la fonction sinus en a = 0. h 0 h De même lim cos h - correspond au nombre dérivé de la fonction cosinus en a = 0. h 0 h Propriété (voir démonstration 07) La fonction sinus est dérivable sur IR et sa dérivée est : (sin )' = cos La fonction cosinus est dérivable sur IR et sa dérivée est : (cos )' = - sin Eercice 0 (voir réponses et correction) Calculer les dérivées des fonctions suivantes, en précisant l'ensemble de dérivabilité : f() = sin - 5 cos ; g() = sin ; h() = sin ; tan() = sin cos Tableau de variations Sur l'intervalle [- ; ], la fonction cosinus a le tableau de variations suivant : - 0 -sin cos - - Sur l'intervalle [- ; ], la fonction sinus a le tableau de variations suivant : - - cos sin TS Fonctions trigonométriques page / 5

3 Représentation graphique de la fonction cosinus ( voir animation ) On peut tracer, sur l'intervalle [- ; ], la courbe représentative de la fonction cosinus. La fonction cosinus étant une fonction paire, la courbe a pour ae de symétrie l'ae Oy. On peut ensuite compléter la courbe sur IR en utilisant le fait que la fonction cosinus est périodique de période. La courbe se complète donc en faisant des translations de vecteur V (; 0) ou - V (-; 0) V (;0) - - On a cos = 0 et la tangente au point d'abscisse a pour coefficient directeur - sin = -. Représentation graphique de la fonction sinus ( voir animation ) On peut tracer, sur l'intervalle [- ; ], la courbe représentative de la fonction sinus. La fonction sinus étant une fonction impaire, la courbe a pour centre de symétrie l'origine O. On peut ensuite compléter la courbe sur IR en utilisant le fait que la fonction sinus est périodique de période. La courbe se complète donc en faisant des translations de vecteur V (; 0) ou - V (-; 0) V (;0) - - On a sin 0 = 0 et la tangente au point d'abscisse 0 a pour coefficient directeur cos 0 =. ( voir animation ) On sait que pour tout réel, sin + courbe de la fonction cosinus en faisant une translation de vecteur = cos. La courbe de la fonction sinus peut donc se déduire de la V ; 0. cosinus cos V sinus + Eercice 0 (voir réponses et correction) ( voir animation ) Avec le logiciel GeoGebra, en utilisant des curseurs : ) Représenter sur un même graphique f et g définies par f() = sin et g() = k sin avec k IR. ) Représenter sur un même graphique f et g définies par f() = sin et g() = sin( k ) avec k IR. ) Représenter sur un même graphique f et g définies par f() = sin et g() = sin( + k) avec k IR. 4 ) Représenter sur un même graphique f et g définies par f() = sin et g() = U sin T + Φ avec U [0; ] ; T [; 0] et Φ [-5; 5]. Quelle est la période de la fonction g? TS Fonctions trigonométriques page / 5

4 Propriété (admise) α + k L'équation cos = cos α où α est un réel fié, a pour solutions : α + k et - α + k avec k ZZ cos α Ce résultat peut être visualisé sur la courbe de la fonction cosinus -α + k α α cosα α α α+ α+ La représentation graphique de la fonction cosinus permet aussi d'obtenir l'ensemble des solutions d'inéquations du type cos > cos α ; cos cos α... Propriété (admise) L'équation sin = sin α où α est un réel fié, a pour solutions : α + k et - α + k avec k ZZ - α + k sin α α + k Ce résultat peut être visualisé sur la courbe de la fonction sinus sinα α α α α α+ α+ La représentation graphique de la fonction sinus permet aussi d'obtenir l'ensemble des solutions d'inéquations du type : sin > sin α ; sin sin α... Eercice 04 (voir réponses et correction) Résoudre dans IR les équations et représenter les solutions sur un cercle trigonométrique. sin = ; cos = ; cos = - ; sin = Eercice 05 (voir réponses et correction) ) En utilisant la courbe de la fonction cosinus, donner les solutions dans IR de l'inéquation : cos ³ - Préciser les solutions qui sont dans l'intervalle [- ; ]. ) En utilisant la courbe de la fonction sinus, donner les solutions dans IR de l'inéquation : sin - 0 Préciser les solutions qui sont dans l'intervalle [0 ; ]. ) En utilisant la courbe de la fonction cosinus, donner les solutions dans IR de l'inéquation : cos ³ Préciser les solutions qui sont dans l'intervalle [0 ; ]. TS Fonctions trigonométriques page 4 / 5

5 Eercice 06 (voir réponses et correction) ) Soit f définie par f() = sin. En utilisant les formules de duplication, démontrer que f'() = cos. ) Soit g définie par g() = cos. En utilisant les formules de duplication, démontrer que g'() = - sin. ) Soit h définie par h() = sin ( + b) avec b IR. Démontrer que h'() = cos ( + b). Propriété (admise) Soient a et b deu réels. La fonction f définie sur IR par f() = sin (a + b) est dérivable sur IR et on a f'() = a cos (a + b) La fonction g définie sur IR par g() = cos (a + b) est dérivable sur IR et on a g'() = -a sin (a + b) La propriété sera démontrée de façon plus générale dans les compléments sur les dérivées. Eercice 07 (voir réponses et correction) Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes : f() = sin ; g() = cos ; h() = - sin + ; t() = sin - cos Eercice 08 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie sur IR par f() = sin ( + ) ) Eprimer f() en fonction de sin et cos ) Calculer la dérivée de f de deu façons différentes. Vérifier que les deu résultats sont identiques. Eercice 09 (voir réponses et correction) Soit f la fonction définie sur IR par f() = cos sin - sin Calculer f'() et donner son epression en fonction de cos. Étudier le signe de f'() et donner le tableau de variations de f sur [- ; ]. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. TS Fonctions trigonométriques page 5 / 5