12.1 Les suites réelles

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1 Suites réelles jeudi février 08 Raisonner, argumenter dans le cadre d une étude de suites : Reconnaître une suite définie de façon explicite, implicite ou par récurrence. Prouver l existence d une limite l en majorant u n l. Prouver la divergence d une suite à l aide de suite(s) extraite(s). Calcul de limites, lever une indétermination. Relation de comparaison. Exploiter ces résultats pour déterminer le comportement asymptotique de suites.. Les suites réelles Exercice.. Soit (u n ) une suite de nombres réels positifs et supposons qu il existe (a, b) R + R tel que a et u n+ au n + b pour tout entier naturel n. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a u n a n u 0 + b an a. Exercice.. Montrer par récurrence la proposition suivante : q R n N : n q n+ q n si q ; q = k=0 n + sinon. Exercice.3. Étudier la monotonie des suites définies par : ) u n = ln(n) n ) u n = n k=0 e k k + 3) u n = n! n Exercice.4. Étudier la monotonie de la suite (u n ) n N définie par u 0 R + ; u n+ = ln ( cos(u n )) + 7u n pour tout entier naturel n Exercice. (Suite arithmético-géométrique). On considère la suite définie par u 0 = 4 u n+ = un+4 pour tout n N 3 ) a) Représenter graphiquement (u n ). b) Démontrer que (u n ) est bornée. c) Étudier le sens de variation de (u n ). ) a) Démontrer que la suite (v n ) définie par v n = u n est une suite géométrique. b) En déduire une expression de u n en fonction de n. 3) Calculer n k=0 u k pour tout n N. Exercice.6. La suite (u n ) est définie par u 0 = et pour tout n N, u n+ = 4 u n + 3.

2 TSI Suites numériques 07/08 ) Déterminer un nombre réel h tel que la suite (v n = u n + h) soit géométrique. ) Donner l expression de u n en fonction de n 3) Calculer la somme des n premiers termes de (u n ) Exercice.7. Étudier la suite définie par récurrence par u 0 = et u n+ = 3 u n Exercice.8 (Suite de Fibonnacci). Le but de cet exercice est, au travers de l étude des suites (u n ) telles que : u n+ = u n+ + u n pour tout entier naturel n, ( ) de déterminer une expression du n-ème terme de la suite de Fibonacci en fonction de n. ) Déterminer les nombres q non nuls tels que la suite (u n ) définie par u n = q n pour tout n vérifie la propriété ( ). Supposons que u n = q n pour tout n avec q un nombre réel non nul. Soit n un entier naturel, alors d après la relation ( ), on a q n+ = q n+ + q n q n+ q n+ q n = 0 q n (q q ) = 0 q q = 0 car q 0 Ainsi (u n ) vérifie ( ) si et seulement si q est une racine du polynôme X X. Le discriminant du polynôme est = ( ) 4 ( ) =. Ainsi, q peut valoir ou + ) Soit q et q les deux solutions de la question précédente. Soit a et b deux nombres réels. On considère la suite (v n ) définie par v n = a q n + b q n pour tout entier n Montrer que (v n ) vérifie aussi la propriété ( ). Soit q = et q = + les deux solutions de la question précédente. Soit n un entier naturel, par hypothèse sur q et q, on a v n+ v n+ v n = a q n+ + b q n+ (a q n+ + b q n+ ) (a q n + b q n ) C est-à-dire la suite (v n ) vérifie aussi la propriété ( ). = a(q n+ q n+ q n ) + b(q n+ q n+ q n ) = 0 3) On rappelle que la suite de Fibonacci (w n ) est définie ainsi : Exprimer w n en fonction de n. w 0 = 0 w = w n+ = w n+ + w n pour tout entier n

3 Essayons de déterminer a et b deux nombres tels que w n = aq n + bqn valeurs prises par w 0 et w, on déduit que 0 = aq 0 + bq 0 pour tout entier n. À l aide des = aq + bq 0 = a + b = a + b + b = a = a a + = a b = = a = = Ainsi, d après la question précédente, on déduit que (( ) n ( ) n ) + w n = pour tout entier naturel n.. Limites Exercice.9. En revenant à la définition de la limite d une suite, montrer que : ) lim n + n = 0 ; n 3) lim n + n + = ; ) lim n + n3 = + ; 4) lim n + sin( n ) = 0. ) En effet, soit ɛ > 0, on pose N = ɛ + ɛ, alors pour tout entier n N : n N n 0 = n N ɛ ɛ ) En effet, soit A 0, on pose N = 3 A + 3 A, alors pour tout entier n N : n N n 3 A n 3 A 3) En effet, soit ɛ > 0. Notons que pour tout entier n, on a n n + = n + = n + Posons N = ɛ +, alors pour tout entier n N, on a n N n ɛ + n ɛ n + n ɛ n + ɛ n n + ɛ 3

4 TSI Suites numériques 07/08 4) Soit ɛ > 0. Rappelons que pour tout x R, sin(x) x. Posons N = ɛ +, alors pour tout entier n : n N n ɛ ɛ n sin( n ) Exercice.0. Étudier la convergence des suites définies par : ) u n = + ( )n n ) u n = n n + cos (n!e n ) 3) u n = e n n (cos n + ( ) n ) 4) u n = n 3 n n + 3 n Exercice.. Pour tout n N, on pose u n = ) Montrer que (u n ) est convergente. ) u n = n + sin(n) n ln(n ) 6) u n = n e n 7) u 0 R et u n+ = cos (u n) 3 n + (n)! 4 n (n!). ) Pour tout n N, on pose v n = (n + )u n. Etablir que (v n ) est convergente. 3) En déduire le calcul de la limite de (u n ) Exercice.. Soit (u n ) n N une suite de nombres réels, on suppose qu il existe a 0 et l R tels que pour tout entier naturel n, on ait u n+ l a u n l. ) Établir par récurrence une majoration de u n l en fonction de u 0 l, a et n. ) On suppose que a <, que peut-on en déduire de la suite (u n )? Exercice.3. On considère la fonction f : R R définie par f(x) = e x 3x 4 pour tout x R. ) Dresser le tableau de variations de f. ) Justifier que l équation f(x) = 0 admet deux solutions x < 0 < x sur R. 3) En déduire que pour tout x [x ; x ] ; 3 (ex ) x. 4) Exprimer 3 (ex ) en fonction de x, en déduire que pour tout x [x ; x ] ; x 3 (ex ). On considère la suite (u n ) n N définie par u 0 = 0 u n+ = 3 (eun ) ) Montrer que (u n ) est décroissante et minorée. pour tout n N 6) Justifier que (u n ) tend vers une limite l. Déterminer lim u n+ en fonction de l. 7) En revenant à la relation de récurrence, en déduire que l = x. Exercice.4. Étudier la suite (u n ) définie par u n = nx n Exercice.. pour x R fixé. ) Soit x le réel dont le «développement décimal illimité» est égal à :,.... Par définition, x est la limite de la suite (x n ) définie par pour tout entier naturel non nul n. x n =, }... } = n fois 4 n k=0 0 k

5 a) Exprimer x n en fonction de n. b) En déduire l expression de x sous forme de fraction irréductible. ) Calculer l = lim n nk= 4 0 k et donner le «développement décimal illimité» de l. 3) Soit y le réel dont le «développement décimal illimité» est :, Écrire y sous forme fractionnelle. Exercice.6 (Série harmonique). Pour tout n N, on pose H n = ) Établir que (H n ) n N est monotone. ) Montrer que, pour tout n N : H n H n 3) En déduire que lim H n = + n + ln(x + 3) Exercice.7. Soit f la fonction définie par x x + 3. Étudier la suite (u n) la suite définie n+ par u n = f(t)dt. n n a + k Exercice.8. Soit a un réel fixé. On définit, pour tout entier naturel n, u n =. k=0 k+ ) Montrer que pour tout réel x, x + x + = x. a + k a ) Montrer que pour tout entier naturel k, = k k+ a k+ 3) En déduire, pour tout entier naturel n, une expression simplifiée de u n. 4) En déduire la limite de la suite (u n ). n k=. k..3 Suites adjacentes Exercice.9. Pour tout entier naturel non nul n, on pose u n = n k= ( ) k+ k. ) Montrer que les suites (u p ) et (u p+ ) sont adjacentes. On notera l leur limite commune. ) Montrer que pour tout entier n non nul, le réel l est compris entre les deux termes consécutifs u n et u n+. 3) Écrire un algorithme permettant de calculer et d afficher les 0 premiers termes de la suite (u n ). Le coder. En déduire un encadrement de l. Exercice.0 (Série alternée). * Soit (a n ) n N une suite décroissante convergeant vers 0. Pour tout entier n, on pose S n = n k=0 ( ) k a k. ) Montrer que (S n ) n N est décroissante et (S n+ ) n N est croissante. ) Justifier que S m S n+ pour tous entiers m et n. 3) En déduire que la suite (S n ) converge vers une limite S. 4) Montrer que S n S a n+. Exercice. (Moyenne arithmético-géométrique). Soient (u n ) et (v n ) deux suites définies par récurrence par v 0 > u 0 > 0, u n+ = u n v n, et v n+ = u n + v n

6 TSI Suites numériques 07/08 ) Montrer que pour tout n N, 0 < u n < v n ) Montrer que la suite (u n ) est croissante et que la suite (v n ) est décroissante. 3) Montrer que les deux suites (u n ) et (v n ) convergent vers la même limite. Exercice.. On définit deux suites (a n ) et (b n ) par 0 < b 0 < a 0 et pour tout entier n : ) Montrer que pour tout n, on a 0 < b n a n. ) Étudier la monotonie des suites (a n ) et (b n ) a n+ = a n + b n b n+ = a nb n a n + b n 3) Montrer que (u n ) et (v n ) convergent vers la même limite..4 Applications Exercice.3. Soit a un réel strictement positif. Soient (u n ) et (v n ) les suites définies par la donnée de u 0 > 0 et pour tout entier n, u n+ = a(u n ) et v n = ln(u n ). ) Montrer que la suite (v n ) est bien définie ) Montrer que la suite (v n ) est arithmético-géométrique 3) Donner l expression de u n en fonction de n. Exercice.4. On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 0 et u n+ = u n u n +. ) Montrer que la suite (u n ) est bien définie et que u n > pour n 3. ) En déduire que la suite (v n ) définie par v n = u n est bien définie. Montrer qu elle est u n géométrique. 3) Donner v n puis u n en fonction de n. 4) En déduire l existence et la valeur de la limite de (u n ). Exercice.. On considère la suite (u n ) définie par u 0 = et pour tout n N, u n+ = u n 4 u n 3. ) On pose f(x) = x 4. Étudier les variations de f. x 3 ) Montrer par récurrence que n N, u n existe et u n <. 3) On définit la suite (v n ) par v n = u n. Montrer que (v n) est arithmétique. 4) En déduire l expression de v n puis celle de u n en fonction n et calculer lim n + u n Exercice.6. Soit (u n ) une suite à valeurs dans [ ; [. On définit une suite (v n ) par récurrence par : v 0 = u 0 et v n+ = v n + u n+ + v n u n+ ) Montrer que la suite (v n ) est strictement positive. 6

7 On note que v 0 = u 0 > par hypothèse sur la suite (u n). Soit n N, supposons que v n > 0, alors vn > 0 u n+ > 0 vn + u n+ > 0 + v n u n+ > > 0 v n+ = v n + u n+ + v n u n+ > 0 Ainsi, par récurrence, pour tout entier n, on a v n > 0. ) Étudier le signe de la suite ( v n ). Montrons par récurrence que v n > 0. On note que v 0 = u 0 > = 0 car u 0 <. Soit n N, supposons que v n > 0, alors v n+ = + v nu n+ (v n u n+ ) + v n u n+ = v n + u n+ (v n ) + v n u n+ = ( v n)( u n+ + v n u n+ Or par hypothèse u n+ > 0 et par hypothèse de récurrence v n > 0, ainsi le numérateur de v n+ est strictement positif et le dénominateur est positif comme nous l avions déjà vu dans la question précédente. Ainsi, v n+ > 0 et par récurrence pour tout entier n, v n > 0. 3) En déduire que (v n ) est monotone. Soit n N, on a v n+ v n = v n + u n+ v n ( + v n u n+ + v n u n+ = u n+( v n) + v n u n+ or, on a vu dans les questions précédentes que 0 < v n <, ainsi v n < et v n > 0. On en déduit que v n+ v n > 0 et donc que la suite (v n ) est strictement croissante. 4) Montrer que (v n ) est convergente. D après la question ), la suite (v n ) est majorée par et d après la question précédente, (v n ) est croissante, ainsi d après le théorème de la limite monotone, la suite (v n ) est convergente. ) Montrer que pour tout n N, on a 0 v n+ ( v n). Soit n N, d après la question ), v n+ 0, il nous reste à montrer l autre inégalité. On a : v n+ = + v nu n+ (v n u n+ ) + v n u n+ = v n + u n+ (v n ) + v n u n+ = ( v n)( u n+ + v n u n+ Or + v n u n+ > 0 et Ainsi, = ( u n+ + v n u n+ ( v n ) u n+ u n+ = u n+ u n+ + v n u n+ v n+ ( v n) 6) En déduire la limite de (v n ). On déduit par récurrence de la question précédente que : n N : 0 v n n ( v 0). Ainsi, par le théorème de l encadrement, on déduit que ( v n ) converge vers 0 et donc la suite (v n ) converge vers. 7

8 TSI Suites numériques 07/08 Exercice.7. On considère les suites (u n ) et (v n ) définies par : v 0 > u 0 > 0 n N, u n+ = n N, v n+ = u n u n + v n v n u n + v n ) Montrer que ces deux suites sont bien définies et strictement positives. ) Montrer qu elles sont convergentes. 3) Étudier les suites d n = v n u n et q n = un v n. 4) Calculer la limite de (u n ) et de (v n ).. Équivalence entre suites Exercice.8. Déterminer, lorsqu elles existent, les limites des suites suivantes et donner un équivalent simple de chacune d elles : ) a n = n 3 n + 4 n ; 8) h n = ln(n) n + ( ) n ; ) b n = 3 n n ; 3) c n = n + 03 n ; 4) d n = n / + ; ) e n = 4n n 3 n ; 6) f n = ( ) n + n ; 7) g n = ( )n + n 3 n ; 9) u n = ln(n + 3) ; 0) v n = n n ; ) w n = n 3 n+ + n 0 ; ) x n = ( ) n + 3 n ; 3) y n = n + cos(n) ( 3) n + sin(n) ; 4) z n = an b n ; où a et b sont deux réels a n + bn strictement positifs. Exercice.9. ) Donner une équivalent simple de + n. ) En déduire que n + n n. Exercice.30. On considère les suites (u n ) n et (v n ) n 0 définies par u n = n ln(n) et v n = n. ) Calculer les limites des suites (u n ) et (v n ). ) Montrer que n ln(n) n. 3) Calculer la limite de eun (e vn ) n 0? e vn Exercice.3. Vrai ou Faux? Soient (u n ) et (v n ) deux suites de réels non nuls. ) Si u n v n alors e un e vn. lorsque n vers l infini. Que peut-on en déduire des suites (eun ) n et 8

9 ) Si lim u n v n = 0 alors e un e vn. 3) Soit α R. On suppose que u n et v n sont strictement positifs pour tout n. Alors u α n v α n. 4) u n n v n n. 9