Exercices d introduction à la physique quantique

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1 Constante de Planck : h = 6, J.s. Charge élecrique élémentaire : e = 1, C. Célérité de la lumière dans le vide : c = 3, m s 1. 1 Vrai ou faux 1. La force d interaction électrique est négligeable devant les autres forces d interaction au niveau des atomes comme au niveau des planètes. 2. La quantification de l énergie des atomes est expliquée dans le cadre de la mécanique de Newton, tout comme le mouvement des planètes. 3. Les fréquences des photons émis par un gaz d atomes sont égales aux fréquences des photons absorbés. 2 Laser CO 2 Un laser à CO 2 émet un rayonnement de longueur d onde 10,6 µm. 1. Calculer l énergie d un photon produit par un tel laser. 2. Si l énergie produite par le laser à chaque impulsion est égale à 1 J, quel est le nombre de photons émis? 3 Spectre d émission et d absorption Une décharge électrique dans un tube contenant un gaz atomique à faible pression produit un spectre d émission. 1. Ce spectre est-il continu? Comment l expliquer? 2. (a) Quelle relation permet de calculer la fréquence du photon émis lors d une transition entre deux niveaux E i > E j? Même question dans le cas où le photon est absorbé. (b) Représenter schématiquement les deux processus. 4 Atome d hydrogène (1) Les valeurs d énergie des différents niveaux de l atome d hydrogène sont données par la relation : E n = 13,6 n 2, avec E n en ev et n un entier positif non nul. 1. Définir l état fondamental de l atome et indiquer la valeur de son énergie. 2. Donner la valeur de l énergie du premier état excité de l atome d hydrogène. 3. L atome d hydrogène peut-il exister avec une énergie égale à -10,2 ev? 4. Un atome d hydrogène peut-il absorber une énergie égale à 10,2 ev? Justifier. 5 Atome d hydrogène (2) Une des raies d émission de l atome d hydrogène correspond à l émission de photons d énergie égale à 2,86 ev. 1. Convertir l énergie des photons en Joule. 2. Calculer la fréquence des photons et en déduire la valeur de leur longueur d onde dans le vide. 3. De quelle couleur est cette raie d émission? Prépa Santé G 3 1/ 5 Physique

2 6 Noyau d uranium 234 Un noyau d uranium 234 dans un état excité émet un photon d énergie 0,2 MeV. 1. Déterminer la fréquence et la longueur d onde de la radiation correspondante. 2. À quel domaine du spectre électromagnétique appartient cette radiation? 7 Atome d hydrogène (3) L énergie d un atome d hydrogène est quantifiée et ne peut prendre que les valeurs suivantes : E n = E 0 n 2 avec E 0 = 13,6 ev et n = 1,2,3... un entier positif non nul. 1. (a) Représenter sur un diagramme les niveaux d énergie en électronvolt de l atome d hydrogène, pour n compris entre 1 et 5. Indiquer les valeurs numériques. (b) Définir ce qu on appelle état fondamental et état excité. (c) S aider de ce diagramme pour justifier le caractère discontinu du spectre d émission de l atome d hydrogène. 2. L énergie d ionisation de l atome d hydrogène est l énergie à fournir à un atome d hydrogène dans son état fondamental pour lui arracher son électron. Une fois l atome d hydrogène ionisé, son énergie est égale à 0. Quelle est la valeur de l énergie d ionisation de l atome d hydrogène? 3. L atome d hydrogène passe du niveau d énergie correspondant à n = 5 au niveau n = 3. (a) Calculer la longueur d onde de la radiation émise. (b) À quel domaine du spectre électromagnétique cette longueur d onde appartientelle? 4. Les quatre premières raies de la série de Balmer correspondant au niveau n = 2 ont pour longueur d onde : 410 nm, 434 nm, 486 nm, 656 nm. Les longueurs d ondes de la série dite de Paschen sont supérieures à 820 nm. Les séries de Balmer et de Paschen ont été découvertes respectivement en 1885 et Justifier cette chronologie. 5. L atome d hydrogène étant dans un état correspondant au niveau n = 3, il reçoit un photon d énergie 0,5 ev. Le photon est-il absorbé? 6. L atome d hydrogène étant dans un état correspondant au niveau n = 3, il reçoit un photon d énergie 2,0 ev. (a) Montrer que l électron est arraché. (b) Calculer l énergie emportée par l électron en ev. (c) Sous quelle forme cette énergie est-elle emportée? 8 Spectre d émission du mercure On donne ci-dessous quelques niveaux d énergie de l atome de mercure : E 4 = 2,72 ev, E 3 = 3,75 ev, E 2 = 4,99 ev, E 1 = 10,45 ev. 1. Calculer les énergies des photons émis par l atome de mercure lorsqu il passe : (a) du niveau E 4 au niveau E 2, (b) et du niveau E 3 au niveau E 1. Exprimer les résultats en électronvolt et en joule. 2. (a) Calculer les valeurs des longueurs d onde dans le vide λ 42 et λ 31 des rayonnements émis. (b) Dans quels domaines de radiation se trouvent ces deux longueurs d onde? Prépa Santé G 3 2/ 5 Physique

3 9 Vrai - Faux L énergie d un atome d hydrogène est quantifiée et ne peut prendre que les valeurs suivantes : E n = E 0 n 2 avec E 0 = 13,6 ev et n = 1,2,3... entier positif non nul. Répondre par vrai ou faux aux affirmations qui suivent : 1. Les longueurs d onde de la série de Paschen (désexcitations vers l état d énergie E 3 ) sont supérieures à 820 nm. 2. Les raies de la série de Balmer (désexcitations vers l état d énergie E 2 ) appartiennent toutes au domaine du visible. 3. L atome d hydrogène étant dans un état correspondant au niveau n = 3, il reçoit un photon d énergie 0,5 ev. Ce photon est absorbé. 4. L atome d hydrogène étant dans un état correspondant au niveau n = 3, il reçoit un photon d énergie 2 ev. L électron est arraché et son énergie cinétique est de 0,49 ev. 10 Niveaux d énergie de l atome de lithium La figure suivante représente un diagramme simplifié des niveaux d énergie de l atome de lithium de numéro atomique Z = 3, et de structure électronique (K) 2 (L) 1. Les longueurs d ondes des 4 transitions représentées sur le diagramme sont λ 1 = 671 nm, λ 2 = 812 nm, λ 3 = 323 nm et λ 4 = 610 nm. E IV V λ 4 III λ 2 II λ 3 λ 1 I 1. (a) Qu est-ce qu un spectre de raies d émission? un spectre de raies d absorption? (b) Expliquer en quoi la quantification de l énergie d un atome permet d interpréter l aspect des spectres de raies d émission et d absorption. 2. (a) Montrer que l énergie d un photon s exprime en fonction de sa longueur d onde λ dans le vide par la relation E = 1240, avec λ en nm et E en ev. λ (b) Calculer l énergie des photons émis pour les quatre transitions données. 3. (a) Combien d électrons contient l atome de lithium? Comment sont-ils répartis sur les couches électroniques? (b) L énergie du niveau fondamental vaut E 1 = 5,39 ev. Calculer les énergies E i pour chaque niveau du diagramme. 4. (a) Calculer la valeur de la longueur d onde d une radiation incidente susceptible d ioniser un atome de lithium à partir de l état fondamental. On précise que l énergie d ionisation de l atome de lithium est l énergie à fournir à cet atome dans son état fondamental pour lui arracher un de ses électrons. Une fois l atome ionisé, son énergie est nulle. (b) Quelle est la formule de l ion ainsi obtenu? Prépa Santé G 3 3/ 5 Physique

4 11 Spectre de rotation L énergie cinétique de rotation des molécules est quantifiée : elle ne peut prendre que certaines valeurs bien distinctes. Dans le cas de molécules diatomiques, comme le monoxyde de carbone CO ou encore le chlorure d hydrogène HCl, l énergie cinétique de rotation est donnée par la relation : E l = Bhcl(l + 1) où B est une constante caractéristique de la molécule, ayant pour dimension l inverse d une longueur, et l est un nombre entier sans dimension, positif ou nul, associé à l état de rotation de la molécule. 1. Représenter sur un diagramme les différents niveaux d énergie associés aux états de rotation, pour l < Identifier l état fondamental. 3. Déterminer l expression donnant la fréquence des radiations émises lorsqu on passe d un état de rotation repéré par l à un état d énergie inférieure repéré par l. 4. Donner l expression de l énergie séparant deux niveau de rotation consécutifs. 5. Dans le cas du chlorure d hydrogène HCl, la constante B vaut m 1. Calculer la longueur d onde du photon le moins énergétique que la molécule est susceptible d absorber. 6. Dans quel domaine du spectre électromagnétique se situent les radiations susceptibles de changer l état de rotation de la molécule HCl? 12 Ions hydrogénoïdes Le modèle proposé par N. Bohr en 1913 pour expliquer le spectre de raies de l atome d hydrogène peut s étendre à tous les systèmes atomiques ne comportant qu un seul électron. Ceux-ci sont obtenus par l ionisation d atomes. Les niveaux d énergie de ces ions «hydrogénoïdes» sont donnés par la relation : E n = en ev où Z est le 13, 6 Z2 numéro atomique de l ion et n un entier positif. 1. Déterminer la relation donnant la longueur d onde du rayonnement émis lors de la transition de l état repéré par l entier p vers l état repéré par n. 2. Pour Z = 2 et Z = 3, identifier les atomes correspondants et calculer les 6 premiers niveaux excités, ainsi que celui de l état fondamental. 3. Représenter sur un diagramme, les uns à côté des autres, les niveaux d énergie calculés précédemment pour Z = 2 et Z = 3, ainsi que les 6 premiers niveaux de l atome d hydrogène. Utiliser trois couleurs différentes. 4. Déterminer les longueurs d onde des raies optiques associées à ces trois entités chimiques. Les comparer et conclure. 13 Lampe à vapeur de sodium On utilise les lampes à vapeur de sodium pour éclairer des tunnels routiers. Ces lampes contiennent de la vapeur de sodium à très faible pression. Cette vapeur est excitée par un faisceau d électrons qui traversent le tube. Les atomes de sodium absorbent l énergie des électrons. L énergie est restituée lors du retour à l état fondamental sous forme de radiations lumineuses. Les lampes à vapeur de sodium émettent surtout de la lumière jaune. Données : c = 3, m s 1 ; h = 6, J.s ; e = 1, C. n 2 Prépa Santé G 3 4/ 5 Physique

5 Spectre d émission d une lampe à vapeur de sodium (λ en nm) 330,3 568,8 doublet 589,0/589,6 615,4 819,5 1138,2 E (ev) 0 E 5 = 0, 85 E 4 = 1, 38 E 3 = 1, 52 E 2 = 1, 94 E 1 = 3, 03 diagramme d énergie de l atome de sodium E 0 = 5, L analyse du spectre d emission d une lampe à vapeur de sodium révèle la présence de raies de longueur d onde λ bien définie. (a) Quelles sont les longueurs d onde des raies appartenant au domaine du visible? au domaine des ultraviolets? au domaine de l infrarouge? (b) S agit-il d une lumière polychromatique ou monochromatique? Justifier votre réponse. (c) Quelle est la valeur de la fréquence ν de la raie de longueur d onde λ = 589,0 nm? (d) Parmi les données présentées en début de l exercice, que représentent les grandeurs h et e? 2. On donne le diagramme simplifié des niveaux d énergie de l atome de sodium. (a) Indiquer sur le diagramme, l état fondamental et les états excités. (b) En quoi ce diagramme permet-il de justifier la discontinuité du spectre d émission d une lampe à vapeur de sodium? (c) On considère la raie jaune du doublet du sodium de longueur d onde λ = 589,0 nm. i. Calculer l énergie E (en ev) qui correspond à l émission de cette radiation. (On donnera le résultat avec le nombre de chiffres significatifs adapté aux données). ii. Sans justifier, indiquer par une flèche notée 1 sur le diagramme des niveaux d énergie la transition correspondante. 3. L atome de sodium, considéré maintenant à l état E 1, reçoit une radiation lumineuse dont le quantum d énergie E a pour valeur 1,09 ev. (a) Cette radiation lumineuse peut-elle interagir avec l atome de sodium à l état E 1? Justifier. (b) Représenter sur le diagramme la transition correspondante par une flèche notée 2. La raie associée à cette transition est-elle une raie d émission ou une raie d absorption? Justifier votre réponse. Prépa Santé G 3 5/ 5 Physique