MODELISATION ET SIMULATION NUMERIQUE DES SYSTEMES ANALOGIQUES

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1 MODELISATION ET SIMULATION NUMERIQUE DES SYSTEMES ANALOGIQUES Hervé MOREL Drecteur de Recherche - CNRS Herve.Morel@nsa-lyon.fr AMPERE - INSA de LYON mard 2 octobre 24 Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE - 22

2 Table des matères Généraltés sur la modélsaton des systèmes...8. Défntons Proprétés des systèmes Varables d'entrées et varables de sorte Systèmes dynamques État d'un système Système dstrbué Modèle formel Système lnéare Système nvarant par déplacement temporel Système autonome Système détermnste Système mxte....3 Théore des systèmes lnéares....4 Quelques pèges classques de modélsaton Formulaton fréquentelle des systèmes non lnéares Utlsaton de constantes négatves dans les modèles élémentares... 2 Équatons dfférentelles et modèles à varables d'état Systèmes d'équatons autonomes Défntons Interprétaton de la noton de varables d'état EDA et EDO, quelles dfférences? Rappels Solutons des EDA "Bfurcatons" Proprétés des systèmes d'équatons lnéares autonomes Lnéarsaton d'une EDA Indce d'une EDA lnéare Constante de temps - Radeur d une EDO Comportement des systèmes détermnstes autonomes Ponts d'équlbre Cycles lmtes Bfurcaton, Attracteurs et Chaos Défnton générale d'un modèle à varables d'état Conclusons Les méthodes classques d assemblage Les schémas blocs Les réseaux de Krchhoff, la méthode nodale Noton de réseau de Krchhoff La méthode nodale modfée Autres méthodes d'assemblages Utlsaton d'un modèle de résstance bnare Topologe varable Les graphes de lens Notons de base Représentaton graphque Les composants élémentares Règles de causalté d'un composant...4 Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

3 4.5 Interprétaton d une règle de causalté Graphe de lens d un crcut électrque descrpton de l'algorthme Smplfcaton des graphes de lens Analyse de causalté Analyse de Causalté Descrpton de l'algorthme Analyse de Causalté (Algébrque) Bcausalté Analyse de causalté d'un crcut RLC Analyse de causalté d'un crcut RLC: constructon de l'edo Analyse de causalté d'un crcut hacheur smple Exercce Graphes de lens commutés La foncton «nterrupteur» Noton d'nterrupteur déal Interrupteur déal et causalté Graphe de lens commuté Défntons Analyse de causalté des graphes de lens commuté Mode de fonctonnement d'un graphe de lens commuté Méthodes numérques Méthodes d'optmsaton Défntons Expresson pratque de fonctons coût Expresson des contrantes Classfcaton des méthodes d'optmsaton Les méthodes de descente Généraltés La méthode de Newton Généralté sur les méthodes de descente Méthodes de gradent Méthodes des gradents conjugués Méthode de relaxaton Méthodes de pénalsaton Approche mnmax Programmaton lnéare, la méthode du smplexe Méthodes stochastques Recut smulé Algorthmes génétques Systèmes d'équatons non lnéares, les méthodes homotopques Prncpe des méthodes homotopques Les prncpales méthodes homotopques Intégraton numérque Les méthodes d'ntégraton Évaluaton du coût de calcul de la résoluton d'un système (non lnéare) Intégraton numérque et ndce d'un système (non lnéare) Modèles moyens des convertsseurs de pussance Introducton Un algorthme de constructon de modèle moyen Exercces : REFERENCES...5 Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

4 9. Systèmes d'équatons dfférentelles Méthodes d'optmsaton Méthodes d'ntégraton numérque Comportement des systèmes dfférentels autonomes: Méthode Nodale graphes de lens Modèles moyens:...6 Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

5 Introducton "D'une cause détermnée que l'on suppose donnée sut nécessarement un effet, et au contrare s nulle cause détermnée n'est donnée, l est mpossble qu'un effet suve" AXIOME III, ETHIQUE, SPINOZA, 675

6 Le sujet de ce cours est la maîtrse des systèmes temporels. La Théore des Systèmes est généralement vue comme une ntroducton à l'automatque, mas ben souvent seuls les systèmes lnéares sont abordés. Notre objectf est au contrare d'analyser les systèmes non lnéares que l'on ne peut pas smplement approxmer par un système lnéare. De nombreux autres sujets d'étude sont relatfs à la noton de système. C'est par exemple le cas de la modélsaton par éléments fns. Nous consdérerons qu'l s'agt alors d'une approche "composant". Nous verrons toutefos que souvent une modélsaton plus smple consste à représenter un tel composant par un système. La noton de système est auss très largement répandue dans les crcuts logques complexes. Cet aspect ne sera pas non plus abordé c. Pourtant l'approche hérarchque (top-down) qu est très largement utlsée dans les outls de concepton de la mcro-électronque est transposée dans ce cours au domane analogque : "Du Système au Composant", et surtout pas l'nverse. Ce cours peut donc être vu comme un pont sur les dernères technques utlsées dans les travaux de recherche. Son objectf est de donner une bonne maîtrse des outls de smulaton (analogque ou mxte) qu sont actuellement utlsés dans le monde ndustrel et dans les laboratores de recherche. Mas nous ouvrrons auss sur les évolutons possbles. Certes toutes ces technques ne sont pas ndspensables dans la mesure où l'on peut s'en passer. Par exemple ren n'nterdt d'écrre un programme nformatque en langage machne! Mas l est ben connu que ce n'est une technque effcace pour fournr un produt fable et performant. La maîtrse de la modélsaton des systèmes et des outls de smulaton a donc pour objet d'amélorer la concepton des systèmes (analogques). Actuellement la plupart des crcuts logques complexes sont conçus avec des outls très élaborés qu assurent que le crcut fonctonne correctement dès sa premère fabrcaton dans la très grande majorté des cas. Il est malheureusement ben clar que ce n'est pas le cas des systèmes (ou des crcuts) analogques. Le prncpal contenu scentfque de ce cours repose sur l'analyse de la structure des équatons dfférentelles représentatves d'un système. Nous verrons qu'un système (d'équatons dfférentelles) peut être détermnste, c'est-à-dre que sa soluton est unque. C'est un très bon ndcateur pusque tout système physque, conçu par un ngéneur, est détermnste. Un outl plus élaboré est l'ndce d'un système (d'équatons dfférentelles). Lorsqu'un système est détermnste, l peut quand même avor un comportement bzarre. C'est le problème des bfurcatons. Certans explquent par exemple le phénomène du brusque écroulement de la tenson d'un réseau par une bfurcaton. Pre encore un système détermnste peut devenr chaotque et son comportement apparaîtra comme aléatore. De toutes ces proprétés la nature détermnste est toutefos la plus mportante. Car un système non détermnste aboutt très souvent à des écarts très mportants entre la smulaton et l'expérence. En revanche la smulaton des bfurcatons ou du chaos ne pose pas de problèmes numérques réels. Évdemment le chox et le rôle de la méthode d'ntégraton numérque seront abordés. De plus l'estmaton du coût du calcul est proposée. Les méthodes de mse en équaton des systèmes sont présentées: schéma bloc, méthode nodale, graphe de lens. Ce sont ces méthodes qu sont mses en œuvre par les smulateurs MATLAB (SIMULINK), SPICE, SABER, et les langages de modélsaton MAST et VHDL-AMS. La méthode des graphes de lens est à l'heure actuelle peu utlsée en électronque, mas certanes ndustres comme l'ndustre automoble y font de plus en plus appel. Les prncpaux outls basés sur la méthode des graphes de lens sont unverstares : 2-SIM, CAMPG, PACTE. D'autres utlsateurs de la méthode des graphes de lens transposent leur problème sur des smulateurs comme MATLAB. L'analyse de causalté des graphes de lens est présentée. C'est une méthode qu permet de savor s un système est détermnste ou non. Quelques modélsatons par la méthode des graphes de lens sont proposées. Enfn nous montrons l'utlsaton de l'analyse de causalté pour construre de façon systématque un modèle moyen d'un convertsseur statque. Un modèle moyen n'utlse pas la foncton "nterrupteur". Il est au contrare basé sur la foncton "gan". Cela a l'avantage de contourner avantageusement de nombreux problèmes de résoluton numérque, car la smulaton d'un modèle moyen peut coûter jusqu'à envron 6 fos mons cher que la smulaton avec des modèles de composants à sem-conducteur. Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

7 Généraltés sur la modélsaton des systèmes Ce chaptre rappelle les prncpes de la noton de systèmes. Toutefos, contrarement à la Théore des systèmes en automatque, nous nous attacherons à présenter les caractérstques des systèmes (fortement) non lnéares.. Défntons. Un modèle est une représentaton formelle et abstrate de l analyse que l on sat fare d un phénomène physque. Par exemple: v=r, pour une résstance électrque, C dv =, pour une capacté électrque, dt c T t =k 2 T x 2 avec T t, =T t, et unforme. T L = pour la dffuson de la chaleur dans un barreau x Un système est une assocaton de composants. C est par exemple un crcut électrque ou un réseau de dstrbuton..2 Proprétés des systèmes.2. Varables d'entrées et varables de sorte Au nveau d un système, on peut défnr des varables d entrée et des varables de sorte. C est typquement ce que représente un schéma bloc (block dagram, en anglas) d un système : u u 2 u 3 u m s y s t è m e y y 2 y p Fg. Représentaton symbolque d'un système à m entrées et p sortes..2.2 Systèmes dynamques Un système peut être dynamque, ce qu sgnfe que son état évolue en foncton du temps. L état du système correspond à la descrpton complète du système à un nstant donné. Connassant les entrées du système à un nstant, le modèle du système permet de calculer l évoluton future de l état du système. Il apparaît donc qu à chaque nstant, l état du système résume le passé du système. C est la connassance mnmale nécessare pour calculer l évoluton du système connassant l évoluton des varables d'entrée..2.3 État d'un système L état du système est décrt par la valeur de varables d état. Ces varables sont la mémore du système..2.4 Système dstrbué S le système physque est dstrbué, alors son modèle comportera une nfnté de varables d état. En effet le modèle sera composé d équatons aux dérvées partelles. Par contre s le système est d ordre fn alors le vecteur d état est d ordre fn. Souvent, on parle alors de "systèmes à constante localsée". Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

8 .2.5 Modèle formel Le système peut être décrt par un modèle formel (une représentaton mathématque). Soent u et y deux fonctons à valeurs réelles, u: entrée du système, u F R,R n y: sorte du système, y F R, R n u y R R n u R R n y t u t t y t Un modèle est une applcaton qu calcule la sorte en foncton de l'entrée: F R,R n F F R,R n u F y=f u F est "une foncton de foncton" qu décrt complètement le système, F est appelé opérateur de transfert. Par la sute, un système sera donc désgné par un opérateur de transfert F..2.6 Système lnéare Un système caractérsé par un opérateur de transfert F est lnéare s l'opérateur F est lnéare : u, u 2 F R,R n,, 2 R,F u 2 u 2 = F u 2 F u Système nvarant par déplacement temporel. Pour τ>, l'opérateur "retard de τ " est classquement défn comme sut: F R,R n r F R,R n u r u r t =u t Un système, caractérsé par un opérateur de transfert, est nvarant par déplacement temporel, s tout retard τ sur une entrée u mplque le même retard à la sorte y=f(u). C'est-à-dre :, y=f u r y =F r u Ou encore en abrégé F r =r F. C'est-à-dre qu'un système est nvarant par déplacement temporel s son opérateur de transfert commute avec l'opérateur de retard. S l'on consdère, d une part, une sorte y correspondant à une entrée u telle que y=f u, et s on consdère par alleurs deux autres sgnaux u et y tels que u t =u t et y t = y t, alors on a y =F u. C est le cas, par exemple, de la plupart des composants élémentares : capacté, nductance, résstance, transformateur, tous les composants à sem-conducteur. Plus généralement tout modèle consttué d'équatons dfférentelles et algébrques qu ne dépendent pas explctement du temps vérfe cette proprété!.2.8 Système autonome Un système est autonome s'l n'a pas de varable d entrée n de dépendance explcte du temps. Notons que c est le seul type de système qu pusse être smulé!.2.9 Système détermnste Un système est détermnste, s pour des condtons ntales données, l possède une soluton unque. Notons que tous les systèmes physques sont détermnstes, sauf peut-être les systèmes quantques. Un modèle qu condut à des bfurcatons ou ben un comportement chaotque n'est pas un modèle d'un système réel. L'exemple du flambage est classque. Lorsque l'on appue sur les deux extrémtés d'une règle, celle-c peut s'ncurver vers le haut ou vers le bas : Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

9 A C'est du mons ce que prédt le modèle standard de la Résstance des Matéraux (RdM). En revanche, lorsque l'on fat l'expérence, nous constatons faclement que la règle s'ncurve toujours dans le même sens. Cela est dû à la texture de la règle qu n'est pas prse en compte dans le modèle standard de RdM. Cec llustre ben qu'un modèle non détermnste est le résultat d'une modélsaton ncomplète..2. Système mxte Un système peut être mxte, c'est-à-dre nclure des composants appartenant à des domanes physques dfférents. S l'on consdère un véhcule électrque générque, de manère hérarchque, on pourra soler la chaîne de tracton qu ellemême comportera un onduleur pour almenter le moteur électrque. Cet onduleur comporte des nterrupteurs de pussance commandés par une électronque numérque. À ce nveau le modèle de l onduleur est mxte pusqu l content des partes analogques, numérques et de pussance....3 Théore des systèmes lnéares L'étude de la commande et la régulaton des systèmes reposent essentellement sur les systèmes lnéares. En fat, une proprété est ndspensable pour permettre l'étude classque d'un système lnéare : l'nvarance par déplacement temporel. Proprété (P): un système lnéare, défn pour tous les nstants passés et futurs, admet pour seules fonctons propres, les fonctons harmonques (ou les fonctons snusoïdales du temps) s et seulement s, l est nvarant par déplacement temporel. Démonstraton. Notons u la foncton harmonque de pulsaton ω t u t =e t. Comme l'opérateur F est lnéare, l vent, F r u t =F e t =F e e t =e F e t sot s nous posons y =F u F r u t =e y t S l'on suppose que le système est nvarant par déplacement temporel, nécessarement nous avons, F r u t =r F u =r y t = y t Ans, t,,, y t =e y t Notons qu'à ce nveau la défnton du système pour tous les nstants est nécessare! Auss pouvons-nous fxer arbtrarement, t= et t '=. Il vent alors, y t ' =e t ' y = y u t ' Et comme y est une constante que l'on peut noter, nous obtenons,, F u = u () u ω est donc une foncton propre de l'opérateur F! Il nous reste à démontrer la récproque, c'est-à-dre que s F est un modèle lnéare et vérfe (Erreur : source de la référence non trouvée), alors nécessarement F est un système nvarant par déplacement temporel. Nous allons commencer par vérfer que nécessarement la condton d'nvarance temporelle est satsfate pour les fonctons harmonques. Le sgnal d'entrée retardé s'écrt, r u t =u t =e t =e u t (2) Donc, au nveau de la réponse, en applquant la lnéarté de F, nous obtenons, F r u t =F e u t =e F u t (3) Dans cette parte de la démonstraton, nous supposons que u ω est donc une foncton propre de l'opérateur F, auss, B Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE - 22

10 F r u t =e F u t =e u t = e u t (4) En applquant à nouveau l'équaton (Erreur : source de la référence non trouvée) nous obtenons, F r u t = e u t = r u t (5) et comme l'opérateur de retard est lnéare, F r u t = r u t =r u t (6) sot en tenant compte de (Erreur : source de la référence non trouvée), F r u t =r F u t (7) Ce qu prouve que nécessarement les fonctons harmonques vérfent la condton d'nvarance temporelle. Cette proprété s'étend faclement à toute foncton temporelle appartenant à L (R), pusqu avec la noton de transformée de Fourrer, une foncton de L (R) se décompose comme une somme contnue de fonctons harmonques. Pour démontrer la proprété pour des sgnaux à valeurs réelles, la démarche est dentque, mas les calculs sont plus lourds, car l est nécessare de décomposer en parte réelle et magnare, c'est-à-dre d'utlser des fonctons snus et cosnus. Cec termne la démonstraton. Remarques et nterprétatons. Cette proprété est fort utle, car elle justfe l'analyse fréquentelle des systèmes lnéares. Il faut toutefos avor à l'esprt que l'analyse fréquentelle est une vue de l'esprt! Elle demande en effet que les sgnaux d'entrée et de sorte soent connus pour tous les nstants du passé et du futur! Cette hypothèse est nécessare pour établr la proprété P. De plus l'hypothèse d'nvarance temporelle est-elle auss nécessare pour établr la proprété P. Un contre-exemple smple est le système défn par l'opérateur F: t F u t =e u t Ce système est manfestement lnéare, mas l n'est pas nvarant par déplacement temporel. Évdemment, un tel système ne correspond pas un système physque réel. D'une façon générale, tous les systèmes physques vérfent la condton d'nvarance temporelle. Par exemple, un système qu n'a aucune dépendance explcte du temps vérfe cette condton. Le seul élément classque d'un système qu peut dépendre explctement du temps est une source (de sgnal, de tenson...). Mas l dot être ben clar auss qu'l s'agt d'une vue de l'esprt, car une source est toujours une représentaton smplfée d'un système parfos fort complexe..4 Quelques pèges classques de modélsaton..4. Formulaton fréquentelle des systèmes non lnéares. Une mauvase modélsaton qu est pourtant assez courante est de consdérer une représentaton fréquentelle pour un système non lnéare. Les formulatons temporelles, même smplfées, sont toujours justfables mathématquement à partr des équatons physques locales, des équatons aux dérvées partelles, par ntégraton dans des domanes utles (vor dans le chaptre 9, la modélsaton des composants à sem-conducteur, l'approxmaton Interne). En revanche l n'exste aucune justfcaton mathématque globale, d'une formulaton fréquentelle pour un système non lnéare. La seule possblté détournée est de consdérer, à un nstant t donné, le système lnéarsé. Dans ce cas on dot supposer que les varatons de temps, t, sont suffsamment pettes autour de l'nstant t, pour que l'approxmaton lnéare sot valable. Mas pour le système lnéarsé, la transformaton entre la formulaton temporelle et la formulaton fréquentelle demande une varaton du temps, Δt, nfne dans le passé et le futur, par défnton de la transformée de Fourrer. Ces deux hypothèses sont donc parfatement contradctores. D'un pont de vue beaucoup plus pratque, l est utle de précser qu'aucun smulateur de crcut ne permet de formuler dans le domane fréquentel un modèle non lnéare et de le smuler dans le domane temporel. La seule excepton correspond à la descrpton d'un modèle lnéare par une foncton de transfert..4.2 Utlsaton de constantes négatves dans les modèles élémentares Une autre mauvase modélsaton est l'utlsaton d'une résstance, d'une capacté ou d'une nductance de valeur négatve. Certes dans certans systèmes l'utlsaton de tels éléments condut à des résultats justes. Mas l faut ben avor conscence que de tels éléments ne sont pas réels, car utlsés seuls ls condusent à des systèmes non physques. Par exemple, le crcut suvant condut à une exploson de la tenson. Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE - 22

11 2 Équatons dfférentelles et modèles à varables d'état L'objectf de ce chaptre est de montrer que tous les systèmes d'équatons dfférentelles n'ont pas les mêmes proprétés, d'exstence et d'uncté de la soluton. Il en résulte des comportements très dfférents, face aux technques d'ntégraton numérque. Enfn, la noton de modèle à varables d'état est rappelée. 2. Systèmes d'équatons autonomes. Plaçons-nous tout d'abord dans le cadre des systèmes autonomes, c'est-à-dre dans le cadre des systèmes sans sgnal d'entrée. En effet, les prncpaux résultats mathématques sont drectement applcables dans ce cas. 2.. Défntons Défnton D: Équaton Dfférentelle et Algébrque (EDA) C'est un système d'équatons qu a la forme suvante : G dz dt,z, t = (8) Où z est le vecteur des varables systèmes. Remarque: une EDA s'appelle en anglas " Dfferental and Algebrac Equaton" (DAE) Un cas partculer d'eda est la forme (9,): dx =g x, a,t dt (9) =L x,a,t () Où x est le vecteur consttué d'une parte des éléments de z. x est appelé vecteur d'état du système. Le vecteur, a, est le vecteur consttué des autres éléments de z. C'est le vecteur des varables algébrques. Le théorème des fonctons mplctes permet de transformer une équaton (8) sous la forme (9,). La récproque est mmédate. En revanche, une forme très dfférente d'une équaton dfférentelle est auss appelée, «problème de Cauchy». Défnton: Problème de Cauchy. dx =f x,t dt () x t= =x (2) Ce système d'équatons est classquement appelé un problème de Cauchy, ou Équaton Dfférentelle Ordnare (EDO). Remarque : en anglas, une EDO s'appelle "Ordnary Dfferental Equaton" (ODE). Notons que la transformaton n'est pas toujours possble. Théorème (Cauchy Lpschtz) : s la foncton, f, est lpschtsenne (ou plus smplement contnûment dérvable) au vosnage de x, alors le problème de Cauchy admet une soluton unque au vosnage de t=, t>. Un problème de Cauchy qu satsfat cette condton est dt "réguler". Ce n'est pas toujours le cas! Prenons une capacté non lnéare défne par le modèle : C v =C v 2u (3) Le crcut consttué de cette capacté non lnéare en sére avec une résstance, R, a pour varable d'état, x= v u, proportonnelle à la charge, u et C sont deux constantes : une tenson de référence, et une capacté, respectvement. Le crcut a pour équaton : dx dt = 2 x (4) R C Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

12 S la capacté est ntalement non chargée, x()= (5) Ce problème de Cauchy (4,5) ne respecte pas les condtons du théorème pusque la foncton racne carrée n'est pas dérvable en. Il est facle de vérfer que la foncton, x t = 2 t 2 pour t et x t = snon (6) R C est une soluton du problème de Cauchy (4,5) pour tout τ>. Évdemment, un système physque dont le modèle est un problème de Cauchy réguler est détermnste ( A..) Interprétaton de la noton de varables d'état Notons que l'ntalsaton d'un problème de Cauchy est smple. Il sufft de donner la valeur ntale de x: x. S le système est lnéare, l exste une soluton unque, quelle que sot la valeur de x. Snon la foncton, f, peut avor un domane de défnton plus restrent et toutes les valeurs ntales ne sont pas forcément valdes. Une soluton d'un problème de Cauchy est donc complètement décrte par la valeur ntale du vecteur d'état x, x. Cela veut donc dre qu'à l'nstant t, le vecteur x(t) décrt complètement le système : l s'agt donc ben de "l'état" du système. 2.2 EDA et EDO, quelles dfférences? 2.2. Rappels Un système de n équatons lnéares à n nconnues, admet une et une seule soluton, s et seulement s le système est réguler (le détermnant est non nul) Solutons des EDA Malheureusement, cela n'est plus vra, pour des systèmes d équatons non lnéares. Par exemple l'équaton à deux varables : x 2 y 2 = x=, y= admet une seule soluton. L'équaton à une varable x²= x= x= admet deux solutons. L'équaton à une varable x 2 = n'admet aucune soluton (réelle). Une EDA ne correspond pas forcément à un système détermnste "Bfurcatons". Une EDA peut admettre pluseurs solutons pour une même condton ntale. { dx dt = y y 2 = { x=t y =} x t= =} ou { x= t (7) y= } Pourtant l s'agt ben d'une EDA de la forme (9,) où g(x,a)=a et L(x,a)=a 2 - sont des fonctons C (nfnment contnûment dérvables). Le problème vent de ce que L =. Nous verrons dans le paragraphe suvant que la a noton d'ndce caractérse de façon plus générale ce problème. En fat, en mathématque la noton de bfurcaton n'est pas celle que nous venons de vor. (comportement des équatons dfférentelles autonomes). Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

13 2.3 Proprétés des systèmes d'équatons lnéares autonomes 2.3. Lnéarsaton d'une EDA Sot une EDA décrte par une foncton, G(d,z,t) : G ż, z,t = (8) Le développement du premer ordre, en sére de Taylor de la foncton, G, autour du pont (d =z ', z ), s'écrt : G d, z, t =G d, z, t G d d, z, t d d G z d, z, t z z (9) En défnssant les matrces jacobennes, A= G d d,z, t (2) et B= G z d, z, t (2) et en posant, c t = G d d, z,t. ż G z d, z,t.z G d, z, t (22) L'EDA (8) s'écrt, au vosnage du pont (z ',z ): A.z' + B.z = c (23) qu est une EDA lnéare Indce d'une EDA lnéare L'étude générale des EDA lnéares est tratée dans [Petzold-82]. L'dée est la trgonalsaton du système (23), par l'étude du "pegne", B+λ.A. Il est montré que les seuls systèmes de la forme (23) qu possèdent une soluton peuvent s'écrre sous la forme: dx dt = M x c (24) P da =a c dt 2 (25) où P est une matrce n-nlpotente. C'est-à-dre que n est le plus pett enter tel que P n =. Dans la pratque la matrce, P, est semblable à une matrce contenant des blocs de Jordan et dont le plus grand est de talle n. Par exemple voc des matrces 2-nlpotentes et 3-npotentes. P=[ ] et P=[ ] (26) Défnton: L'ndce n est l'ndce de l'eda Évdemment s n=, nous retrouvons le cas d'une EDO lnéare, et le système est détermnste. n= correspond aux cas des EDA de la forme (2) dont l n'est pas possble de reformuler comme une EDO, c'est donc un cas non détermnste. Enfn le crcut suvant correspond à une EDA d'ndce 2: Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

14 C I G ( t ) Fg. 2: crcut d'ndce 2 Les équatons de ce crcut peuvent s'écrre sous la forme de l'eda: du I t = (27) dt C u=g t (28) où le vecteur système est z=(-/c,u). Sous forme matrcelle cela donne : [ ] d dt [ /C u ] = [ /C u ] [ I t /C (29) G t ] sot une équaton de la forme (25) avec un degré de nlpotence de 2. Évdemment, ce système n'est pas un système détermnste. En fat la soluton de ce système est : u(t) = G(t) (3) (t) = I-C.G'(t) (3) Elle ne dépend absolument pas du "passé" du système : l n'est pas possble de l'ntalser! Enfn, l semblerat que l'on ne pusse pas représenter un système d'ndce supéreur ou égal à 3 par un crcut électrque (Réseau de Krchhoff) Constante de temps - Radeur d une EDO Les constantes de temps sont lées aux valeurs propres de la matrce,m. Les partes réelles sont nécessarement postves, car elles correspondent à des solutons en exponentel du temps (et les solutons dovent rester bornées). Les partes magnares correspondent à des solutons pérodques. Oblgatorement l exste des valeurs propres conjuguées deux à deux, car les solutons sont à valeurs réelles. Auss une caractérsaton complète des constantes de temps du système correspond aux partes réelles et aux modules des valeurs propres. Le condtonnement du système () est défn par le rapport du plus grand module de valeur propre sur le plus pett module de valeur propre. R= max (32) max Il est drectement lé aux proprétés numérques du système. S R est grand, le système est dt "rade", et dans la pratque l est dffcle à résoudre. 2.4 Comportement des systèmes détermnstes autonomes Dans ce chaptre nous allons étuder le comportement des systèmes détermnstes autonomes, c'est-à-dre des systèmes de la forme : dx (33) =f x dt x t= =x (34) où la foncton f est suffsamment régulère pour assurer l'exstence et l'uncté de la soluton de ce problème (cf. 2..). Pusqu'un tel système ne dépend pas explctement du temps, son comportement est plus smple. De plus nous verrons que le comportement d'un système peut souvent se comparer au comportement d'un système autonome. Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

15 2.4. Ponts d'équlbre Défnton : un pont d'équlbre du système autonome (33,34) est une valeur x e du vecteur d'état qu annule le second membre de (33): f(x e )= (35) Le comportement du système (33,34) au vosnage d'un de ces ponts d'équlbre est celu de son système lnéarsé. dx dt = A x b (36) Il ne dépend donc que des valeurs propres de la matrce A (le jacoben du système). S toutes les valeurs propres ont une parte réelle strctement négatve, c'est un pont d'équlbre asymptotquement stable (un puts). S certanes valeurs propres ont une parte réelle nulle (sans être multple), c'est un pont d'équlbre stable. S certanes valeurs propres ont une parte réelle strctement postve, c'est un pont d'équlbre nstable. S toutes les valeurs propres ont une parte réelle strctement postve, c'est une source. Évdemment, seul le cas asymptotquement stable correspond à un système physque. Exemple: un crcut RLC parallèle. L C u R Fg. 3: crcut RLC parallèle Le système d'équatons est: d / L dt [ u] [ = /C / RC ] [ u] (37) L'équaton caractérstque de ce système est 2 R C LC = sprale qu s'enroule autour du pont d'équlbre =, u=. La smulaton montre très classquement une Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

16 Remarques: Fg. 4: Smulaton dans le plan de phase du crcut RLC parallèle. Un système lnéare ne possède qu'un seul pont d'équlbre stable. Donc un système qu possède deux ponts d'équlbre stables est non lnéare. Un pont de fonctonnement statque (analyse DC avec SPICE) est pont d'équlbre stable du système (crcut). Proprété : L'erreur d'ntégraton numérque d'un système s'annule au vosnage d'un pont d'équlbre stable : lorsqu'une smulaton transtore aboutt à un pont de fonctonnement statque, l'erreur d'ntégraton numérque dmnue de façon très sensble Cycles lmtes Nous venons de vor qu'l y avat deux comportements de base : le puts et la source. Dans un système non lnéare, le système peut "suvre" l'nfluence d'un puts pus d'une source. Cela peut donc aboutr à un comportement cyclque. Reprenons le crcut RLC en ajoutant une non-lnearté N R. L C u R N R Fg. 5: crcut oscllant La non-lnéarté N R est caractérsé par la Fg. 5. Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

17 G b N R G a v N R - E E G b Fg. 6: Descrpton de la non-lnéarté La smulaton de ce crcut (dans les condtons d'accord) correspond à la Fg. 6. Fg. 7: smulaton du crcut oscllant depus un pont de départ arbtrare. Cette fos la sprale "s'arrête" sur un cycle lmte (Fg. 7). Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

18 Fg. 8: cycle lmte du crcut oscllant. La Fg. 8 montre la parte de la caractérstque de la résstance non lnéare qu est utlsée. Fg. 8: Parte utlsée de la caractérstque de la résstance N R Un cycle lmte ne peut pas se croser, car snon la soluton de (33,34) ne serat pas unque! Un système qu possède un cycle lmte est nécessarement non-lnéare. Les crcuts oscllants sont des systèmes avec un cycle lmte. Les systèmes plotés par des générateurs de sgnaux pérodques peuvent donc être vus comme des systèmes autonomes. Un système qu possède un cycle lmte est au mons d'ordre 2. Malheureusement l exste d'autres comportements encore plus complexes: les attracteurs et le chaos Bfurcaton, Attracteurs et Chaos Prenons le crcut de Chua [Kennedy-93]: Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

19 L C 2 R u 2 u N R Fg. 9: Crcut de Chua Les smulatons sont fates avec les valeurs : L=8 mh, R=2,5, C= nf, C2= nf, Ga=-55/6 ms, Gb=- 9/22 ms. Suvant la valeur de R nous obtenons des comportements très dfférents. S R>2 Ω, le système possède deux ponts d'équlbre P + (=,97 ma, u =+3.97 V, u 2 =24.65 mv) et P - (=-.97 ma, u = -3.97V, u 2 = mV). La trajectore s'enroule donc autour d'un de ces ponts d'équlbre en foncton du pont de départ de la smulaton. C Fg. : Convergence vers le pont d'équlbre P+ (R=2 Ω). Fg. : Convergence vers le pont d'équlbre P- (R=2 Ω). S l'on dmnue la valeur de la résstance R on obtent un cycle lmte. Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

20 Fg. 2: Convergence vers un cycle lmte (R=887 Ω). Fg. 3: Cycle lmte (R=887 Ω). S la résstance R dmnue encore un peu, on obtent un cycle à pérode double. Notons que pusqu'un cycle ne peut pas se croser, le crosement apparent est le résultat d'une projecton. Une conséquence est qu'un système avec un cycle à pérode double est au mons d'ordre 3. Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

21 Fg. 4: Cycle lmte avec pérode double (R=862 Ω). En dmnuant encore un peu la résstance R nous obtenons l'attracteur (étrange) en sprale de Chua. Fg. 5: Attracteur en sprale de Chua (R=848 Ω). Enfn pour une valeur encore un peu plus fable, on obtent l'attracteur en double sprale de Chua. Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

22 Fg. 6: Attracteur en double sprale de Chua (R=77 Ω) Fg. 7: Sgnaux transtores correspondant à l'attracteur en double sprale de Chua La Fg. 7 montre un comportement presque cyclque. Pourtant les ampltudes changent sans cesse. On peut donc consdérer que ce crcut a un comportement aléatore (chaotque). Toutefos l est parfatement détermnste. En fat tous ces comportements complexes correspondent à l'nfluence des deux ponts d'équlbre. Plus la valeur de la résstance est fable plus les deux ponts d'équlbre jouent un rôle mportant. Par exemple dans l'attracteur en double sprale de Chua la trajectore "s'enroule" successvement autour des deux ponts d'équlbre. Comme pour les cycles lmtes à pérode double, un système chaotque est au mons d'ordre 3, l comporte au mons une lnéarté et une source d'énerge pour entretenr le cycle. Une bfurcaton correspond à un changement de comportement du système. La défnton générale d'une bfurcaton repose sur les systèmes paramétrés : Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

23 dx =f x, (38) dt En fat cette défnton est pratque pour étuder les systèmes bouclés où le paramètre µ est lentement varable (lo de commande) par rapport au reste du système. Une bfurcaton est une valeur du paramètre µ pour lequel la soluton n'est pas structurellement stable. La stablté structurelle veut dre qu'un pett changement des paramètres du système (et de l'état ntal) n'ntrodut pas de grande varaton de la soluton. Ce n'est pas le cas par exemple du crcut RLC parallèle pour la valeur R=+. D'une façon plus pragmatque, on peut observer une valeur partculère de la soluton, par exemple le maxmum d'une varable d'état. Cela permet d'obtenr un dagramme de bfurcaton. En partculer la valeur de R pour laquelle le système passe d'un cycle lmte smple à un cycle lmte à pérode double est une bfurcaton. Fg. 8: dagramme de bfurcaton pour le crcut de Chua 2.5 Défnton générale d'un modèle à varables d'état Défnton D: un modèle à varables d'état est un système d'équatons de la forme suvante, dx =f x,u dt y=h x,u,t (39) (4) où x est le vecteur d'état, u est le vecteur des varables d'entrée, y est le vecteur des varables de sorte et t est le temps. L'équaton () est l'équaton d'état et (2) est la relaton de sorte ou encore la règle de causalté. Pour garantr l'uncté de la soluton l est nécessare de supposer que la foncton, f, sot contnûment dérvable par rapport à x. Défnton D2 : un modèle à varables d'état contrant, est un système d'équatons de la forme suvante, dx =g x, a, y dt =L x, a,u y=h x,a,u,t (4) (42) (43) où, x est le vecteur d'état, a est le vecteur des varables algébrques, u est le vecteur des varables d'entrée, y est le vecteur des varables de sorte et t est le temps. L'équaton (4) est l'équaton d'état, l'équaton (42) est l'équaton algébrque et (43) est la relaton de sorte ou encore la règle de causalté. Défnton D3: un modèle dégénéré à varables d'état est un système d'équatons de la forme suvante m dz dt,z, t = (44) Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

24 où z est le vecteur des varables systèmes, u est le vecteur des varables d'entrée, y est le vecteur des varables de sorte et t est le temps. Souvent un modèle dégénéré à varables d'état peut se représenter comme un modèle à varables d'état contrant. L'avantage de la forme (D2) est que les varables d'état y sont clarement dentfées. Dans la forme (D3) on ne sat pas quelles composantes du vecteur z ont le drot d'être ntalsées! Évdemment, le théorème de Cauchy-Lpschtz montre que s u est une foncton connue du temps, un modèle à varable d'état (non dégénéré n contrant) a un comportement unque, c'est-à-dre une soluton unque pour des condtons ntales données. Malheureusement cela n'est pas le cas d'un modèle à varables d'état dégénéré. Pourtant la plupart des smulateurs modernes permettent de défnr des modèles dégénérés à varables d'état à l'ade d'un langage permettant la descrpton drecte des équatons représentatves sous l'une des formes (D-D3). Par exemple SABER utlse le langage MAST, ELDO utlse le langage HDL-A, SMASH utlse ABCD et PACTE utlse le langage MPML. Mas s nous ne pouvons réécrre un tel modèle dégénéré sous la forme (D), c'est-à-dre s son ndce est supéreur ou égal à un, l est probable de rencontrer des problèmes de smulaton numérque. 2.6 Conclusons Une EDO ne pose pas de problème formel. Au pre le système a un comportement très complexe ou est rade et l faut donc utlser des méthodes d'ntégraton très stables. Les comportements complexes comme une bfurcaton où le chaos ne pose pas plus de problèmes que la smulaton d'un système rade. En revanche, pour une EDA d'ndce supéreur ou égale à un, le tratement numérque peut poser beaucoup de problèmes et le rsque est très grand d'obtenr des résultats de smulaton très dfférents de l'expérence (et donc de la réalté). Auss dans la sute de l exposé, on s attachera à répondre à la queston : Comment savor s l'eda d'un système physque est d'ndce? Ce qu revent à savor s le système physque est détermnste. Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

25 3 Les méthodes classques d assemblage. Il exste deux grandes méthodes classques : les schémas blocs et les réseaux de Krchhoff. 3. Les schémas blocs. Cette méthode a l avantage de représenter graphquement la hérarche d un système en montrant les varables d entrée et de sorte de chaque sous-système. B B 2 Ce type de représentaton est partculèrement ben adapté à l étude de l Automatque dans la mesure où fgurent clarement les boucles de (contre-)réacton. Chaque bloc est un modèle à varable d'état (D vore D2). Par exemple un bloc peut être décrt par une foncton de transfert. Les équatons d'un bloc peuvent s'écrre : B 3 dx dt =f x,u y =h x, u,t (45) (46) où x sont les vecteurs d'état, u sont les varables d entrée et y sont les varables de sorte, pour le bloc numéro. D autre part, chaque flèche entre deux blocs unfe une varable d entrée et une varable de sorte. Auss un schéma bloc, outre tous les modèles des blocs, décrt une lste de relaton du type : u = y j (47) où u est une varable d'entrée et y j est une varable de sorte. Fnalement, les équatons du schéma bloc correspondent à une EDA. dx s dt =f s x s,a s (48) =a s h s x s, a s,t (49) où x s est le vecteur d'état du système (l'ensemble des vecteurs d'état des blocs), a s est l'ensemble des varables d'entrée des blocs, fusonnées avec l'ensemble des varables de sorte des blocs, f s et h s rassemblent les fonctons f et h de tous les blocs. Le système sera détermnste s l n y a pas de boucle, ou ben s les boucles sont causales, c est-à-dre s le long de cette boucle l effet n est observable qu après l applcaton des causes. Les schémas blocs sont utlsés dans les logcels commercaux dédés à l Automatque : Matlab, MatrxX, Tutsm, Acsl... Par contre, comme l n exste pas de méthode smple de transformaton d un réseau de Krchhoff en un schéma bloc, les crcuts électrques sont donc classquement analysés sous la forme de réseaux de Krchhoff. 3.2 Les réseaux de Krchhoff, la méthode nodale 3.2. Noton de réseau de Krchhoff Un réseau de Krchhoff est une représentaton graphque de la connexon des composants à l ntéreur d un crcut électrque ou d'un système en général. Cette représentaton matéralse très ben le câblage du crcut. Les composants sont connectés à des nœuds à travers des branches. Cette méthode est très pratque pour les crcuts électrques, et a été étendue à des crcuts électrques équvalents à des systèmes acoustques, thermques... Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

26 Néanmons on peut vor une lmte à la représentaton graphque du réseau de Krchhoff qu suppose la crculaton d un flux de partcules. C est vra dans un crcut électrque, avec un flux d électrons - et la représentaton est élégante-, ce n est plus vra en thermque avec la dffuson de la chaleur. Auss la représentaton des systèmes thermques complexes avec de nombreux chemns thermques, est-elle ben mons clare que pour les crcuts électrques même très complexes.? P T Dans les logcels de type Spce (Spce, Saber, Eldo, Smash...), les réseaux de Krchhoff sont ms en oeuvre avec la méthode nodale modfée [Ho-75] qu est une extenson de la méthode nodale [Chua-75], La méthode nodale modfée P La méthode nodale consste à décrre le crcut à partr des nœuds du crcut. Un nœud est souvent assocé à un numéro (SPICE 2), ou à un nom (SPICE 3). À chaque nœud est assocée une varable qu défnt le potentel électrque à ce nœud. La Fg. ass-2 donne un exemple de crcut hacheur comportant 6 nœuds. Classquement dans les smulateurs SPICE, un nœud, le nœud de référence, dot être le nœud. E 4 R g G R L Fg. ass-2. Un crcut hacheur de tenson Typquement ce crcut se décrt par une lste de connexon, une "netlst" du type: V L 2 u R D 3 BYT2_6 M 5 4 IRF25 R2 4 5 V2 4 PULSE( 5 n n 5u 5u) Fg. ass-3. Exemple de netlst au format SPICE. V=E, L=L,R=R, D=D,M=T,R2=R G,V2=G. L'dée prncpale de la méthode nodale est de consdérer le système d'équatons mplctes correspondant aux équatons des nœuds. En fat l est facle de montrer que pour que ce système sot réguler l ne faut pas consdérer l'équaton du nœud de référence, le nœud. C'est facle à comprendre pusque l'on peut très ben consdérer que le potentel au nœud de référence est toujours zéro. Les varables du système pour la méthode nodale sont donc les potentels aux nœuds, autres que le nœud de référence. Pusque l'on formule les équatons du système en termes de potentel aux nœuds, les équatons des malles du crcut sont automatquement vérfées. Par exemple l'équaton de la malle R, L, D s'écrt : 5 T 2 M 3 D Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

27 R.v + L.v + D.v = Ce qu se tradut en termes de potentels aux nœuds par : (v 2 -v ) + (v 3 -v 2 ) + (v -v 3 ) = Les équatons des nœuds tradusent que pour chaque nœud du crcut la somme des courants entrants est nulle. Les modèles des dfférents composants du crcut dovent donc exprmer les courants dans chaque branche d'un composant en foncton des potentels aux nœuds. En conséquence, un modèle de composant dans la méthode nodale modfée est un modèle dégénéré à varable d'état. Par exemple, le modèle d un composant à deux nœuds a la forme suvante : =f N v dv,v 2, dt, dv 2 dt où est le courant dans le composant et v et v 2 sont les potentels des nœuds de connexon. Par exemple, R = v v 2 R C =C dv 2 dt dv dt (5) (5) (52) En revanche, l est clar que dans cette approche, une nductance ou une source de tenson ne sont pas drectement représentables. C'est la qu'ntervent la dfférence entre la méthode nodale et la méthode nodale modfée. Dans la méthode nodale modfée, on utlse la noton de varable supplémentare qu permet d'utlser comme varable du système d'équatons, les varables z, des varables qu ne correspondent pas à un potentel à un nœud du crcut. Pour que le système d'équatons reste réguler, l est donc nécessare d'ajouter une nouvelle équaton à résoudre smultanément avec les équatons des nœuds du crcut. Dans le cas d'une nductance ou d'une source de tenson, la varable supplémentare est le courant qu traverse l'nductance et l'équaton supplémentare correspond au modèle d'état du composant. L { v v dx } 2 =L dt (53) =x V { v 2 v =E t (54) =x } Le système d équatons assocé à un crcut a donc la forme générale suvante, F dz, z,t = (55) dt où z est consttué des potentels aux nœuds, suv par les varables supplémentares dues aux sources de tenson et aux nductances. Il s agt là encore d une EDA. Le premer commentare est que cette méthode n est pas causale : l n est pas précsé de varable d entrée ou de varable de sorte. Par exemple, dans l'approche nodale, l est mpossble de savor s le courant de base d un transstor bpolare à joncton est une cause du fonctonnement du dspostf, ou ben une conséquence. Exemple: mse en équaton du crcut hacheur. Nous allons supposer que nous connassons un modèle à varables d'état de la dode et du transstor MOS. Pour la dode : dq D = dt D Q D v=g Q D (56) (57) Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

28 et v sont dans ces équatons, le courant et la tenson aux bornes de la dode. Q D est la charge stockée dans la dode. C'est la varable d'état de ce modèle. dq G = dt G dq J = dt D g 2 Q G,Q J (59) v GS =g 3 Q G,Q J (6) v DS =g 4 Q G,Q J (6) (58) G, D, v GS et v DS correspondent aux défntons classques pour un MOS. Q G représente la charge de grlle et Q J représente la charge de joncton. S v a et v c désgnent les potentels d'anode et de cathode respectvement, les équatons de la dode peuvent se réécrre comme sut : = D g v a v c C v a v c dv a dt dv c (62) dt où C(v) est la capacté non lnéare défne par C v =/ g Q D. Pour le transstor MOS, (6,6) permettent de défnr Q G et Q j comme des fonctons de v DS et v GS. G = Q G v GS dv G dt dv s dt Q G v DS D =g 2 Q G v G v S, v D v S,Q J v G v S,v D v S Q J v GS dv D dt dv s (63) dt dv D dt dv s dt dv G dt dv s dt Q J v DS (64) Nous pouvons donc écrre le système d'équatons dfférentelles et algébrques correspondant à la méthode nodale modfée pour ce crcut hacheur. Les varables du système sont donc {v,v 2,v 3,v 4,v 5, E, L, G } où E, G et L sont respectvement les courants dans les sources E et G et dans l'nductance L. En suvant l'ordre de déclaraton des composants dans la lste de connexons de la Fg. ass-2, nous obtenons : pour le nœud, E v v 2 R D g v 3 v C v 3 v dv 3 dt dv dt = (65) pour le nœud 2, v v 2 R L= (66) pour le nœud 3, L D g v 3 v C v 3 v dv 3 dt dv dt g 2 Q G v 5, v 3,Q J v 5, v 3 Q J v GS pour le nœud 4, dv 5 dt Q J v DS dv 3 dt = G v 4 v 5 R G = (68) pour le nœud 5, (67) Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

29 v 4 v 5 Q G R G v GS dv 5 dt Q G v DS dv 3 dt = (69) pour le composant E, v E= (7) pour le composant L, v 2 v 3 L d L = (7) dt Pour le composant G, v 4 G t = (72) Dans la pratque, les smulateurs de crcut n'écrvent pas drectement ce système de 8 équatons non lnéares (65-72) à 8 nconnues, {v,v 2,v 3,v 4,v 5, E, L, G }, mas ls assemblent drectement la matrce d'admttance qu correspond à la matrce jacobenne du système d'équatons non lnéares. 3.3 Autres méthodes d'assemblages D'autres méthodes de mse en équaton sont utlsées souvent en électronque de pussance pour smuler les systèmes qu utlsent la foncton "nterrupteur" Utlsaton d'un modèle de résstance bnare Une façon très classque pour représenter la foncton "nterrupteur" est l'utlsaton d'un modèle de résstance bnare. R o n R o f f v Fg. 9: modélsaton de l'nterrupteur par une caractérstque lnéare par morceaux. Cette approche a l'avantage d'être smple et effcace. Par exemple un crcut qu ne comprend que des éléments lnéares et des nterrupteurs, reste un système lnéare (par segment temporel). Deuxèmement la mse en équaton est smple, car l'nterrupteur est toujours consdéré comme une résstance. Souvent cette approche est assocée à une formulaton par varables d'état et le changement d'état des nterrupteurs correspond toujours à la contnuté des varables d'état. Notons que les smulateurs basés sur la méthode nodale utlsent auss la modélsaton par résstance bnare pour représenter un nterrupteur déalsé: cela condut à une formulaton mplcte très smple. Le prncpal nconvénent de cette approche est l'ntroducton de radeurs dans le système. C'est ben connu pour les smulateurs basés sur la méthode nodale Topologe varable. Une autre approche pour représenter l'nterrupteur est au contrare de le consdérer comme un court-crcut à l'état passant (v=) et par un crcut ouvert à l'état bloqué (=). Cette fos la foncton premère de l'nterrupteur est clarement utlsée et les systèmes d'équatons obtenus ne sont pas rades (donc facles à résoudre). L'nconvénent majeur de cette approche est la complexté de la mse en équaton (la matrce d'état peut changer de structure et de dmenson au rythme des changements d'état des nterrupteurs). v Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE

30 4 Les graphes de lens. 4. Notons de base. Cette théore a été ntrodute en 96 par H. Panter (bond graph). Elle a été étable surtout par des mécancens et des automatcens. Notons que l utlsaton de cette théore dans le monde de l électronque (de pussance) date de 987 (Asher). On peut consdérer que les graphes de lens unfent la représentaton par schémas blocs et les réseaux de Krchhoff. En effet, un graphe de lens est une représentaton graphque de type réseau où les connexons entre les composants sont explctes. Mas dans un graphe de lens, la noton de causalté exprme clarement les varables d entrée et de sorte. L ouvrage que l on prendra comme référence est celu de Karnopp et Rosenberg [Karnopp-9]. Les graphes de lens sont basés sur une expresson énergétque de la dynamque des systèmes. Un système est dvsé en sous-systèmes, et le graphe de lens du système ndque comment l énerge est échangée entre les sous-systèmes. Le modèle d un sous-système ndque comment l énerge est stockée, modfée ou dégradée à l ntéreur du bloc. P: Le Premer Prncpe mpose la contnuté temporelle de l'énerge. Le Premer Prncpe de la Thermodynamque exprme la conservaton de l énerge. Ans le stockage d énerge ndque un effet mémore. Comme on peut toujours décomposer les systèmes physques utlsés par les ngéneurs en mcrosystèmes qu vérfent eux auss le Premer Prncpe, nous pouvons légtmement supposer la conservaton spatale de l énerge. Une varaton d énerge à un endrot du système dot correspondre à un flux de pussance venant d'un autre endrot du système (excepté pour les sources d énerge). En d'autres termes, la contnuté temporelle de l'énerge résulte clarement du Premer Prncpe. Mas s nous n'avons que la contnuté temporelle, l serat possble pour un système que l'énerge "dsparasse" dans un composant A du système (défn par une poston spatale) et "réapparasse" dans un composant B du système (défn par une autre poston spatale). L'hypothèse de contnuté spatale de l'énerge mpose que ce cas de fgure ne sot pas possble : l dot exster un flux d'énerge, un transfert d'énerge, caractérsé par une pussance qu s'écoule de A vers B. En fat, tous les systèmes réels, étudés dans les scences de l'ngéneur et le géne électrque en partculer, sont consttués d'un contnuum de mcrosystèmes qu vérfent eux-mêmes les los physques fondamentales et le Premer Prncpe en partculer. Ans l'hypothèse de contnuté spatale est asément satsfate dans les scences de l'ngéneur. P2: Comme tout système est un contnuum de mcrosystèmes, l y a auss contnuté spatale de l'énerge : Les varatons d'énerge résultent d'un transfert d'énerge. Nous venons donc d'explquer que nécessarement une varaton d'énerge dans un composant du système s'explquat par un flux d'énerge. Mas, toujours pour les scences de l'ngéneur nous pouvons consdérer qu un flux d énerge correspond à un flux de partcules : la décomposton en mcrosystèmes dentfe toujours la noton de partcule fctve ou réelle. Dans le domane électrque, l'électron est manfestement la partcule qu contrbue au transfert d'énerge. Dans le domane thermque, l est classque dans les représentatons crstallnes d'utlser la noton de phonon. Nous lassons le son au lecteur d'envsager d'autres cas concrets. P3: Un transfert d'énerge est la conséquence d'un flux de partcules (réelles ou fctves). Alors le Second Prncpe de la Thermodynamque, et en partculer les relatons d Onsager, affrme que le flux d énerge s exprme comme le produt d une varable de flux par une varable d effort. La varable de flux, notée f, est le flux des partcules, c est-à-dre le nombre de partcules par unté de temps. La varable d effort, notée e, est une varable ntensve, c'est-à-dre ndépendante de la quantté de matère ou de partcules. P4: Le Second Prncpe mpose qu'un transfert d'énerge est proportonnel au flux de partcules. Le coeffcent de proportonnalté est une varable ntensve appelée "effort". La table suvante propose les varables de flux et d effort dans quelques domanes physques courants. domane physque varable de flux varable d effort Électrque le courant, la tenson, u Modélsaton et smulaton des systèmes analogques H. Morel, INSA Lyon, Lab. AMPERE