Unité 2: Représentation interne des informations. Unité 2: Représentation interne des informations

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1 Objectifs: À la fin de cette unité, - vous saurez comment les caractères et les nombres entiers positifs et négatifs sont représentés dans la mémoire d'un ordinateur. - vous saurez comment on effectue les opérations arithmétiques addition et soustraction avec des entiers binaires. - vous saurez comment effectuer la multiplication et la division binaire Pour y arriver, vous devrez maîtriser les objectifs suivants : - effectuer ces opérations arithmétiques sur des entiers dans n'importe quelle base, en particulier en binaire et en hexadécimal; Pierre Marchand, Introduction Types d information traitées par l ordinateur : Nombres, instructions, images, séquences d images animées, sons, etc., toujours représentées sous forme binaire. Une information élémentaire correspond donc à un chiffre binaire 0 ou appelé bit. Avantages du binaire : facile à réaliser techniquement à l aide de bistables (systèmes à deux états d équilibre). opérations fondamentales simples à effectuer, sous forme de circuits logiques. Pierre Marchand,

2 3. Introduction Types d information traités : instructions et données. Les instructions sont écrites en langage machine et représentent les opérations (e.g. addition, multiplication, etc.) effectuées par l ordinateur. Elles sont composées de plusieurs champs : - Le code de l opération à effectuer (opcode) - Les opérandes impliqués dans l opération. Les données sont les opérandes sur lesquelles portent les opérations. On distingue les données numériques et les données non numériques (e.g. texte). Pierre Marchand, Le binaire Pierre Marchand,

3 Le binaire En décimal, avec n chiffres, on obtient 0 n combinaisons possibles, i.e. on peut compter de 0 à 0 n -. Exemple : Avec 3 chiffres, on a 0 3 = 000 combinaisons possibles et on peut compter de 000 à 999. En binaire, avec n bits, on obtient 2 n combinaisons possibles, i.e. on peut compter de 0 à 2 n - Exemple : avec 8 bits, on a 2 8 = 256 combinaisons possibles et on peut compter de à, i.e. de 0 à 255. Pierre Marchand, Données non numériques ASCII 7 bits ->28 caractères : 26 lettres majuscules A - Z 26 lettres minuscule a - z 0 chiffres 0 à 9 33 caractères de ponctuation sp,! #$%& ()*+,-. /< = >?@ [ ] ^_` { } ~ 33 caractères de contrôle : null, etx, bel, bs, ht, lf, vt, ff, cr,, del Pierre Marchand,

4 3.2 Données non numériques ASCII étendu Aussi connu sous le nom de ISO ou ISO latin. Définit les caractères ASCII 28 à bits -> 256 caractères caractères internationaux caractères semi-graphiques Dans les deux cas, les caractères sont représentés dans l ordinateur par un nombre binaire de 8 bits indiquant l indice i.e. la position du caractère dans la table ASCII. Dans le cas de l ASCII simple, le nombre doit être inférieur à 28. Pierre Marchand, Données non numériques Par exemple : A = 65 0 = B = 66 0 = a = 97 0 = = 32 0 = = 48 0 = = 49 0 = = 50 0 = = 57 0 = Pierre Marchand,

5 3.2 Données non numériques Les codes ISO à définissent les caractères entre 28 et 255 pour couvrir les besoins de la majorité des pays d Europe. UNICODE 6 bits -> caractères Code qui se veut universel et qui contient, en plus de tous les caractères européens, caractères asiatiques. Le code ASCII est contenu dans les 28 premiers caractères d UNICODE. UNICODE est supporté par Windows NT, Windows 2000, Java, et certains systèmes UNIX, MacOS > 8.5, etc. Pierre Marchand, Données non numériques ISO/IEC 0646 Deux formats : 6 bits (UCS-2) ou 32 bits (UCS-4) UCS-2 équivalent à UNICODE 2.0 UCS-4 inclut : Caractères musicaux Symboles mathématiques Écritures anciennes telles que les hiéroglyphes. Pierre Marchand,

6 3.3. Entiers positifs ou nuls Pierre Marchand, Entiers positifs ou nuls Systèmes de numération Représentation pondérée d un nombre N dans une base B : N = a n B n + a n- B n- + + a B + a 0 = où a n = 0,, B- Les bases B les plus usitées sont : B = 0, décimal B = 2, binaire B = 6, hexadécimal B = 8, octal n i=0 a i B i Pierre Marchand,

7 3.3. Entiers positifs ou nuls Systèmes de numération Représentation pondérée dans une base B Exemples : = = = = = 22 0 Pierre Marchand, Entiers positifs ou nuls Décimal Binaire Octal Hexadécimal Pierre Marchand,

8 3.3. Entiers positifs ou nuls Décimal Binaire Octal Hexadécimal A 0 3 B C D E 5 7 F Pierre Marchand, Entiers positifs ou nuls Remarques 0 B = B quel que soit B : 0 2 = 2, 0 7 = 7, 0 8 = 8, 0 6 = 6 0 Ajouter un 0 à droite (décalage à gauche) = multiplication par B Enlever le chiffre de droite (décalage à droite ) = division entière par B Pierre Marchand,

9 3.3. Entiers positifs ou nuls Représentation hexadécimale Comme 6 = 2 4, on peut toujours représenter un nombre binaire en regroupant les bits en groupes de 4 et en écrivant la notation hexadécimale 0 - F pour chacun de ces groupes : Exemple : 00 2 = 7CF 6 Pour indiquer qu un nombre est en hexadécimal, on utilise le posfixe h ou H, ou le préfixe $, ou encore, en notation C/C++, le préfixe 0x. 7CFh ou 7CFH, $7CF, 0x7CF Pierre Marchand, Entiers positifs ou nuls Addition binaire Pierre Marchand,

10 Entiers positifs ou nuls Addition hexadécimale BE +8D 4B AD +2C D9 Pierre Marchand, Entiers positifs ou nuls Soustraction binaire à la main Quand le chiffre du bas est supérieur à celui du haut, on emprunte 2 au chiffre de gauche suivant et on ajoute ce 2 au chiffre du haut. On fait la soustraction. L emprunt soustrait au chiffre de gauche. Voyez l animation sur le site Web: Pierre Marchand,

11 Notation signe et grandeur Sur 8 bits, on pourrait garder bit pour le signe et 7 bits pour la grandeur. C est la notation signe et grandeur que nous utilisons en arithmétique ordinaire. signe grandeur Par exemple, avec la notation signe et grandeur sur 8 bits, on aurait : +5 = et -5 = Pierre Marchand, Compléments à et à 2 Une autre possibilité est d utiliser le complément à ou le complément à 2. Complément à sur 8 bits : Le complément à est obtenu en inversant tous les bits du nombre : +5 = et -5 = 00 Dans le cas du complément à, +5 + (-5) = = -0 Pierre Marchand,

12 Complément à 2 : Le complément à 2 est obtenu en additionnant au complément à : +5 = et -5 = 0 ( 00 + ) Dans le cas du complément à 2, +5 + (-5) = Les micro-ordinateurs actuels utilisent tous le complément à 2 sur 8, 6 ou 32 bits pour représenter les nombres négatifs. Pierre Marchand, La représentation en complément à 2 va de -2 n- à 2 n- - Avec des motifs de 8 bits : Nombres positifs à 0 ou encore 00 6 à 7F 6 = 0 à 27 Nombres négatifs à ou encore 80 6 à FF 6 = -28 à - Avec des motifs de 6 bits : Nombres positifs 0000 à 7FFF = 0 à Nombres négatifs 8000 à FFFF = à - Pierre Marchand,

13 Avec des motifs de 32 bits : Nombres positifs à 7FFFFFFF 6 = 0 à Nombres négatifs à FFFFFFFF 6 = à - Pierre Marchand, Complément à 0 Pour illustrer le principe du complément à 2, on pourrait faire la même chose en base 0. Sur 4 digits, les nombres 0 à 4999 seraient positifs et les nombres 5000 à 9999 seraient négatifs. Le complément à 0 d un nombre N s obtiendrait en faisant N ou N + : Ainsi, le complément à 0 de 000 serait 9000, et = ()0000. Pierre Marchand,

14 Complément à 6 De la même façon, en notation hexadécimale, on peut utiliser le complément à 6 pour représenter les nombres négatifs. Sur 8 bits, on l obtient en soustrayant le nombre de FF 6 et en ajoutant au résultat : 5 = = FF = FA = FB 6 = 0 2 Remarquez que c est le même résultat qu en complément à 2. Sur 6 bits : 5 = = FFFF = FFFB 6 Pierre Marchand, Soustraction L ordinateur effectue la soustraction en additionnant le complément à 2 sur des motifs de 8 bits, 6 bits, 32 bits, etc. 5-4 = 5 + (-4) retenue () ou = 4 + (-5) ou emprunt () Pierre Marchand,

15 Soustraction en hexadécimal avec ou sans le complément à 6 : Sur 6 bits : 5-4 = 5 + (-4) 4-5 = 4 + (-5) retenue FFFC () FFFB FFFF ou ou emprunt ()FFFF Pierre Marchand, Attention! Pour les nombres dont le bit le plus significatif est, il y a deux interprétations possibles. Par exemple, sur 8 bits, peut représenter +44 si on le considère comme un nombre non signé ou -2 si on le considère comme un nombre en complément à 2. C est lors de la déclaration d une variable en mémoire qu on détermine si le processeur doit la traiter comme signée ou non signée. char a; // a est considéré comme signé en complément à 2 unsigned char b; // a est considéré comme non signé Pierre Marchand,

16 Unité 3: Représentation interne des informations 3.2 Données non numériques Endianisme Quand un nombre est représenté sur plusieurs octets, il peut être écrit en mémoire de deux façons : L octet de poids fort à l adresse basse : big-endian L octet de poids faible à l adresse basse : little-endian Par exemple, le nombre décimal s écrit F28A en hexadécimal. En little-endian, la mémoire contiendra 8A F2, tandis qu en bigendian, elle contiendra F2 8A Pierre Marchand, Unité 3: Représentation interne des informations 3.3. Entiers positifs ou nuls Multiplication La multiplication binaire s effectue comme la multiplication décimale ordinaire, mais est beaucoup plus simple, puisqu il n y a que des et des Pierre Marchand,

17 Unité 3: Représentation interne des informations 3.3. Entiers positifs ou nuls Multiplication On peut également effectuer cette opération en hexadécimal : B 0D 8F 0D 5F On utilise à cette fin la table de multiplication hexadécimale du supplément (Appendice 5). Pierre Marchand, Unité 3: Représentation interne des informations 3.3. Entiers positifs ou nuls Division La division binaire s effectue comme la division décimale ordinaire, mais elle est beaucoup plus simple, puisque les facteurs sont ou 0. 0 / Résultat : 0 2, reste 00 2 Pierre Marchand,

18 Unité 3: Représentation interne des informations 3.3. Entiers positifs ou nuls Division L ordinateur effectue cette division au moyen de décalages d un registre à l autre. Pour simplifier, utilisons des registres de 6 bits. Initialement le registre R contient des 0 et le registre D contient le dividende. R D On décale D vers R un bit à la fois. Chaque fois que R Diviseur, on soustrait le diviseur de R et on met à la suite du quotient, sinon, on met 0 à la suite du quotient. On effectue 6 décalages de D. À la fin, R contient le reste. Voyez l animation sur le site du cours : Pierre Marchand, Unité 3: Représentation interne des informations 3.3. Entiers positifs ou nuls Division (0 / 00) sur 6 bits R D Décalage no Q = Q = Q = Q = Q = Q = Pierre Marchand, Q =

19 Unité 3: Représentation interne des informations 3.3. Entiers positifs ou nuls Division On peut également effectuer la division binaire en hexadécimal. Il faut ici aussi utiliser la table de multiplication hexadécimale. Exemple : 7CB / C CB C4 07 Réponse : 7CB 6 / C 6 = 47 6 reste 7. Pierre Marchand,