Conjecture de Syracuse

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1 Conjecture de Syracuse Énoncé du problème [1] : Soit (U)n la suite définie par : (U)0=N, avec N N* [(U)n]/2 si (U)n est pair. et (U)n+1 = 3(U)n +1 si (U)n est impair. La Conjecture de Syracuse affirme que pour tout N entier non nul choisi pour (U)0, la suite (U)n finie par passer par 1, puis cycle unique [4 ; 2 ; 1]. On dira qu'un entier naturel non nul vérifie Syracuse, s'il vérifie la Conjecture sur la suite (U)n définie précédemment. THEOREME: TORO 1 Si P pair avec P =2ß où ß impair vérifiant Syracuse, avec Sy(P)=ß vérifie Syracuse alors P+(P+1) vérifie Syracuse. PREUVE : Comme P est pair, alors (P+1) est impair, et la somme est impair. Soit H=P+(P+1), comme c'est impair on applique Syracuse Sy(H) : Sy(H)=3[P+(P+ 1)]+1. Sy(H)=6P+4=2(3P+2) qui est pair. Sy((Sy(H))=3P+2 comme P est pair, on remplace P par 2ß et on aura Sy((Sy(H))=2(3ß+1). D'où finalement : Sy[Sy((Sy(A))]=3ß+1. Comme ß est impair et vérifie Syracuse, 3ß+1 vérifie Syracuse. Cela signifie que : Si P 2 N* vérifie Syracuse avec Sy(P)=ß impair vérifiant Syracuse alors : P+(P+1) vérifie Syracuse. 1

2 «Cette page 2 n'est pas raisonnable car elle ne démontre pas clairement que si N N* vérifie Syracuse alors N+N+1 vérifie également Syracuse, ce qui rend ma démonstration incomplète.». On montre que le résultat est applicable pour tout élément I impair vérifiant Syracuse: Soit I un entier impair vérifiant Syracuse, et soit P un entier pair vérifiant Syracuse avec P=2ß avec ß impair vérifiant Syracuse on a: (2P+1)+2I=(2I+1) +2P. Où P et I commutent dans la relation. Comme d'après TORO 1 : (2P+1) vérifie Syracuse, on déduit que (2I+1) vérifie Syracuse. Part conséquent : TORO 1 s'applique aux entiers impairs vérifiant Syracuse : Si I est un entier impair vérifiant Syracuse : I+(I+1) = 2I+1 vérifie Syracuse. On montre que le résultat est applicable pour tout élément P pair vérifiant Syracuse: Soit P un entier pair vérifiant Syracuse, et soit I un entier impair vérifiant Syracuse on a: (2I+1)+2P=(2P+1) +2I. Comme d'après TORO 1: (2I+1) vérifie Syracuse, on déduit que (2P+1) vérifie Syracuse. Part conséquent : THEOREME: TORO s'applique pour tous les entiers vérifiant Syracuse : Soit un entier non nul quelconque N vérifiant Syracuse : N+N+1=2N+1 vérifie Syracuse. Ce théorème appelé théorème TORO va nous permettre de valider le BLOC(k+1)impair.

3 Méthode : Je travaille sur les nombres entiers avec une représentation binaire. En effet, la représentation binaire permet d'identifier rapidement un nombre pair. Un nombre entier représenté en binaire commence toujours par 1 vers la gauche et fini soit par 0 dans le cas pair, soit 1 dans le cas impair. Je vais démontrer par récurrence que tout nombre entier naturel non nul vérifie la conjecture de Syracuse. Pour les séquences en binaire : Principe de la représentation des nombres entier en binaire (base 2) : 0000 représente l'entier naturel représente l'entier naturel représente l'entier naturel représente l'entier naturel représente l'entier naturel représente l'entier naturel représente l'entier naturel représente l'entier naturel représente l'entier naturel 8... L'idée consiste à travailler sur une partition de N* et travailler par "BLOC" d'entiers naturels ayant un même nombre de bits noté k. On remarque facilement que les nombres sous la forme «2 puissance i» avec i N s'écrivent : avec un nombre de 0 égale à i. Or pour tout i N, Sy() appliqué à «2 puissance i» tend vers 1 (on fait des divisions par deux systématiquement, ce qui revient à retirer un zéro de droite après chaque division et on fini par tomber sur 1). 3

4 Voici ma partition de N* représentant les "BLOC" bout à bout, ayant individuellement le même nombre de bits : =1 BLOC(1) (2⁰ = 1 ligne) et 1 seul bit =2 BLOC(2) (2¹ = 2 lignes) et 2 bits = =4 BLOC(3) (2² = 4 lignes) et 3 bits = = = =8 BLOC(4) (2³ = 8 lignes) et 4 bits = = = = = = =15

5 =16 BLOC(5) (2⁴ = 16 lignes) et 5 bits = = = = = = = = = = = = = = =31 Les BLOC(1), BLOC(2) et BLOC(3) vérifient la Conjecture de Syracuse (voir en annexes). On continue suivant cette façon de représenter les entiers naturels, bien connue des électroniciens et informaticiens, pour la construction de tous les blocs suivants et en particulier du BLOC(k), k étant ici le nombre de bits de l'entier naturel N écrit en binaire, on peut écrire : Pour un entier naturel N à k bits, N est placé dans le bloc BLOC(k) avec «2 puissance k-1» lignes. Soit k N*, le BLOC(k), k étant le nombre de bits du bloc, j utilise la représentation : (k) bits

6 Par construction on a : Soit k N*, le BLOC(k), k étant le nombre de bits du bloc : (k-1)bits : BLOC(k-1) (k) bits : BLOC(k) HR supposée vraie pour tout N du bloc BLOC(k) (k+1) bits : BLOC(k+1) Remarque : Pour tout k N* : BLOC(k) = [2.BLOC(k-1)] U [2.BLOC(k-1)+1] BLOC(k+1) = [2.BLOC(k)] U [2.BLOC(k)+1]

7 Début du raisonnement par récurrence : 1) La propriété P(k) est vérifiée pour k = 1, 2, 3 (voir en annexe). 2) On suppose la propriété P(k) vraie. Voici l hypothèse de récurrence sur k, supposée vraie : tout élément N entier naturel non nul à k N* bits, présent dans le bloc BLOC(k), vérifie la Conjecture de Syracuse. P(k)<=>{Pour tout N N* à k bits avec k N*, N BLOC(k) : N vérifie Syracuse}est supposé vrai c est notre HR. on a : BLOC(k) = BLOC(k)pair U BLOC(k)impair supposé vrai. 3) On démontre que P(k) => P(k+1). On montre que BLOC(k+1) reste vrai. D après l HR : BLOC(k) = [BLOC(k)pair] U [BLOC(k)impair] On écrit le BLOC(k+1) : Pour tout k N*, BLOC(k+1) =[BLOC(k+1)pair] U [BLOC(k+1)impair] 1)Vérifions que [BLOC(k+1)pair] reste vrai : Comme le [BLOC(k+1)pair] est pair, Sy{[BLOC(k+1)pair]} = BLOC(k) Ce qui permet d'écrire que: Pour tout k N*, [BLOC(k+1)pair] est vrai. 7

8 2)Vérifions que [BLOC(k+1)impair] reste vrai : Par construction des blocs binaires on a : BLOC(k+1) = [2.BLOC(k)] U [2.BLOC(k)]+1] Or le BLOC(k) c'est l'hr. 1) Il faut vérifier d'abord que [2. BLOC(k)] reste vrai : Comme [2. BLOC(k)] est pair, Sy([2. BLOC(k)]) = BLOC(k) est l'hr. Part conséquent : [2. BLOC(k)] reste bien vrai. 2) Il faut vérifier que [2. BLOC(k)]+1] reste vrai. Soit H=[2. BLOC(k)]+1]. On peut écrire que H=[2. BLOC(k)pair]+1] U [2. BLOC(k)impair]+1] i) pour [2. BLOC(k)pair]+1] on applique TORO sur les éléments pairs et par conséquent : [2. BLOC(k)pair]+1] reste vrai. ii) pour [2. BLOC(k)impair]+1] on applique TORO sur les éléments impairs et par conséquent : [2. BLOC(k)impair]+1] reste vrai. On peut écrire que H=[2. BLOC(k)pair]+1] U [2. BLOC(k)impair]+1] reste vrai. Soit H=[2. BLOC(k)]+1] reste vrai. Comme on a [2. BLOC(k)] vérifié mais aussi [2. BLOC(k)]+1] vérifié. On a :BLOC (k+1) = [2.BLOC(k)] U [2.BLOC(k)]+1] qui reste vrai.

9 On peut écrire que : D après l HR : BLOC(k) = [BLOC(k)pair] U [BLOC(k)impair] on a déduit : Pour tout k N*, BLOC(k+1) =[2.BLOC(k)] U [2.BLOC(k)+1] avec : [2.BLOC(k)] = BLOC(k+1)pair avec : [2.BLOC(k)+1] = BLOC(k)impair Soit finalement : D après l HR : BLOC(k) = [BLOC(k)pair] U [BLOC(k)impair] on obtient : Pour tout k N*, BLOC(k+1) =[ BLOC(k+1)pair] U [BLOC(k+1)impair]. vérifié Ce qui permet d'écrire : P(k) => P(k+1) 4) Conclusion : On a démontré par récurrence sur le nombre de bits k d'un nombre entier naturel non nul N que : Pour tout k N*, le BLOC(k)vérifie la Conjecture de Syracuse. Or lorsque k parcourt N*, les BLOC(k) mis bout à bout représentent l'ensemble N*. Donc pour tout entier non nul, la suite (U)n finira par passer par 1 puis cycle unique [4 ; 2 ; 1]. 9

10 Application numérique de la démonstration: On suppose k=3 l'hr: BLOC(3) = 4,5,6,7 supposé vrai et vérifiant Syracuse. On montre que k=4 reste vrai : BLOC(4)=8,9,10,11,12,13,14,15 1) On prend les éléments pairs du BLOC(4) : 8,10,12,14, Sy(8)=4 vrai par HR donc 8 vérifie Syracuse. Sy(10)=5 vrai par HR donc 10 vérifie Syracuse. Sy(12)=6 vrai par HR donc 12 vérifie Syracuse. Sy(14)=7 vrai par HR donc 14 vérifie Syracuse. conclusion: 8,10,12,14 vérifient Syracuse. 2) a) On prend les éléments pairs du BLOC(3) : 4,6 et on applique TORO sur les éléments pairs : = 9 qui vérifie Syracuse = 13 qui vérifie Syracuse. b) On prend les éléments impairs du BLOC(3) : 5,7 et on applique TORO sur les éléments impairs : 5+5+1=11 qui vérifie Syracuse =15 qui vérifie Syracuse. Conclusion: 9,13,11,15 vérifient Syracuse. Finalement on obtient que si BLOC(3) = 4,5,6,7 supposé vrai et vérifiant Syracuse, on a bien le BLOC(4)=8,9,10,11,12,13,14,15 vrai et vérifiant Syracuse.

11 On suppose k=4 l'hr: BLOC(4) = 8,9,10,11,12,13,14,15 supposé vrai et vérifiant Syracuse. On montre que k=5 reste vrai : BLOC(5)=16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31 1) On prend les éléments pairs du BLOC(5) 16,18,20,22,24,26,28,30 Sy(16)=8 vrai par HR donc 16 vérifie Syracuse. Sy(18)=9 vrai par HR donc 18 vérifie Syracuse. Sy(20)=10 vrai par HR donc 20 vérifie Syracuse. Sy(22)=11 vrai par HR donc 22 vérifie Syracuse. Sy(24)=12 vrai par HR donc 24 vérifie Syracuse. Sy(26)=13 vrai par HR donc 26 vérifie Syracuse. Sy(28)=14 vrai par HR donc 28 vérifie Syracuse. Sy(30)=15 vrai par HR donc 30 vérifie Syracuse. conclusion: 16,18,20,22,24,26,28,30 vérifient Syracuse. 2) a) On prend les éléments pairs du BLOC(4) : 8,10,12,14, et on applique TORO pair : = 17 qui vérifie Syracuse = 21 qui vérifie Syracuse = 25 qui vérifie Syracuse = 29 qui vérifie Syracuse. b) On prend les éléments impairs du BLOC(4) : 9,11,13,15 et on applique TORO impair : 9+9+1=19 qui vérifie Syracuse =23 qui vérifie Syracuse =27 qui vérifie Syracuse =31 qui vérifie Syracuse. Conclusion: 9,13,11,15 vérifient Syracuse. Finalement on obtient que si BLOC(4) 8,9,10,11,12,13,14,15 supposé vrai et vérifiant Syracuse, on a bien le BLOC(5)= 16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31 vrai et vérifiant Syracuse. 11

12 On peut finalement dire le Théorème : Soit (U)n la suite définie par : (U)0=N, avec N N* [(U)n]/2 si (U)n est pair. et (U)n+1 = 3(U)n +1 si (U)n est impair. La suite (U)n finie par passer par 1, puis cycle unique [4 ; 2 ; 1].

13 Annexes : Vérification de la Conjecture de Syracuse est vérifiée pour les BLOC(1), BLOC(2), BLOC(3) pour le raisonnement par récurrence sur le nombre de bits des BLOC(k) : BLOC(1) : [1 ; 4 ; 2]. BLOC(2) : le cycle. BLOC (3) : Pour 1 on obtient : qui défini un cycle en décimale de Pour 10 on obtient : 1 puis le cycle. Pour 11 on obtient : puis Pour 100 on obtient : 10 1 puis le cycle. Pour 101 on obtient : puis le cycle. Pour 110 on obtient : puis le cycle. Pour 111 on obtient : puis le cycle. La Conjecture de Syracuse est vérifiée pour les BLOC(1), BLOC(2), BLOC(3). i) Multiplication par deux d'un nombre binaire : il suffit de rajouter un 0 à droite. Exemples : 2X5 = 10 en base dix. Cinq en base deux = 101 Dix en base deux = X101 = 1010 en base deux ; ici on a ajouté un zéro à droite de cinq. ii) Division par deux d'un nombre binaire pair : il suffit d'enlever un 0 à droite. Exemples : 14/2 = 7 en base dix. Quatorze en base deux = 1110 Sept en base deux =

14 Théorème de Mélanie : Tout nombre binaire N écrit sous la forme : alternant 1 et 0 vérifie Syracuse assez rapidement, s'il s'écrit sous (k+1) bits,k N, il atteint 1 après exactement un total de (k+3) transformations ou itérations. Démonstration : Comme le nombre fini par 0, il est divisible par deux et devient : qui est impair. Notons k le nombre de bits le représentant et N sa nouvelle valeur en entier naturel. L'opération 3N+1 peut être écrite (2N)+(N+1) c'est à dire le double de N plus le suivant de N. On applique cette règle sur de k bits. N = (k) bits 2N = (k)bits on ajoute un 0 à droite car on multiplie par deux N. Le suivant de N est N+1: (k) bits + 1 N+1= (k) bits On calcule à présent 3N+1 c'est à dire (2N)+(N+1) : 2N = (k+1) bits + N+1 = (k) bits 3N+1 = (k+2) bits Ce nombre tendra rapidement vers 1 car il est de la forme «2 puissance k+1». Conclusion: Tout nombre binaire de la forme à (k+1) bits, après une première transformation Syracuse Sy()pair puis une suivante transformation Syracuse Sy()impaire, puis (k+1) transformations Syracuse Sy()pair soit exactement un total de (k+3) transformations Sy() est égale à 1.

15 Exemples d'application du théorème précédent : Pour 101 en binaire à k+1 bits correspond à l'entier naturel 5 en base dix. Sy(5) = Ici k+1=3 donc k=2 et on a bien k+3 transformations soit 2+3=5. Pour 1010 en binaire à k+1 bits correspond à l'entier naturel 10 en base dix. Sy(10) = Ici k+1=4 donc k=3 et on a bien k+3 transformations soit 3+3=6. Pour en binaire à k+1 bits correspond à l'entier naturel 21 en base dix. Sy(21) = Ici k+1=5 donc k=4 et on a bien k+3 transformations soit 4+3=7. Pour en binaire à k+1 bits correspond à l'entier naturel 42 en base dix. Sy(42) = Ici k+1=6 donc k=5 et on a bien k+3 transformations soit 5+3=8.... Pour en binaire à k+1 bits correspond à l'entier naturel en base dix. Sy(87381) = Ici k+1=17 donc k=16 et on a bien k+3 transformations soit 16+3=19. 15

16 Corollaire : Tout entier naturel écrit en binaire sous la forme : N= N tends vers 1 assez rapidement car s il possède z zéros à sa droite avec z N*, après (z-1) divisions par deux il s écrira sous une forme applicable au théorème précèdent : , avec (k+1) bits, k N*. N Atteint 1 après exactement un total de (z-1) + (k+3) transformations ou itérations de Syracuse. Exemples d'application du Corollaire : N= ici z=5 et (k+1)=8 donc k=7 d où 1 est atteint pour (5-1)+ (7+3)=14 itérations de Syracuse. N=2720 en décimale voici la séquence en binaire: N= ici z=8 et (k+1)=4 donc k=3 d où 1 est atteint en (8-1)+ (3+3)=13 itérations de Syracuse. N=1280 en décimale voici la séquence en binaire:

17 Remerciements : A Nelly et Je souhaite remercier ma famille qui m'a beaucoup soutenu tout au long de mes recherches. Référence : [1] The 3x+1Problem: An Overview Jeffrey C. Lagarias 17