FINANCE Mathématiques Financières

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1 INSTITUT D ETUDES POLITIQUES 4ème Année, Economie et Entepises 2005/2006 C.M. : M. Godlewski Intéêts Simples Définitions et concepts FINANCE Mathématiques Financièes L intéêt est la émunéation d un pêt. Cette émunéation est dite à intéêts simples losque les intéêts ne s ajoutent pas au capital pou pote eux mêmes intéêt. L intéêt simple est vesé à l issue du contat et il est calculé au po ata tempois, soit popotionnellement à la duée du pêt. Soit une somme placée pou un an à taux d intéêt annuel à teme échu. Au bout d un an cette somme devient V valeu acquise) et vaut V = + = + ). Soit une somme placée à intéêts simples pendant n années. Au bout de cette péiode, la valeu acquise V n vaut V n = + n ) = + n). Soit une somme placée à intéêts simples pendant m mois. Au bout de cette péiode, la valeu acquise V m vaut V m = + m 2 ) = + m 2 ). Soit une somme placée à intéêts simples pendant j jous. Au bout de cette péiode, la valeu acquise V j vaut l année dite commeciale compote pa hypothèse jous) V j = + j ) = + j ). L intéêt obtenu pa un placement à intéêts simples au taux pendant j jous, noté i vaut Fomules de base i = j ) = j = j /. Soit une somme placée su j jous au taux d intéêt simple la valeu acquise pa au bout de j jous est V j = + j )

2 la valeu actuelle de V j, notée est = V j + j le taux d intéêt, connaissant la somme initiale, la somme finale et la duée de placement, est = V j j la duée de placement en jous j, connaissant la somme initiale, la somme finale et le taux est j = V j le montant total des intéêts acquis, noté R est R = j Intéêts pécomptés et taux effectif de placement On peut evisage le vesement des intéês au moment du vesement du capital. On pale alos d intéêts pécomptés. Il en ésulte que le placement est effectué à un taux effectif difféent du taux d intéêt annoncé, qui conventionnellement coespond à des intéêts vesés à l issue du contat. Soit le placement d une somme au taux annuel, su j jous, les intéêts étant pécomptés. Au jou du placement de, on eçoit le taux on place effectivement = j, = j ). Le taux effectif de placement, noté e est e = V ) 0 j ) j e = j. j, 2

3 Intéêts Composés Définitions et concepts Un capital est dit placé à intéêts composés losque à l issue de chaque péiode de placement les intéêts s ajoutent au capital, et potent eux mêmes intéêt au taux du contat inital capitalisation des intéêts). Pa convention on suppose que l on est en intéêts composés losque le placement excède une année. La ègle généale est que l intéêt soit payé à teme échu, soit à la fin de chaque année de placement. Soit une somme, placée su n années au taux d intéêt annuel à teme échu. Au bout d un an, cette somme devient V V = + = + ), la somme V pote intéêt pendant la seconde année et devient V 2 et on peut écie V 2 = V + ), V 2 = + ) 2. D une façon généale, à la fin de la n e année, la somme placée devient V n = + ) n. La fomule de base est généale. Elle este valide si la péiode de capitalisation des intéêts n est pas annuelle. On convient alos que n est le nombe de péiodes et le taux d intéet échu vesé pou une péiode. Fomules de base Soit une somme placée su n péiodes au taux d intéêt échu pou une péiode. la valeu acquise pa au bout de n années est notée V n la valeu actuelle de V n, notée V n = + ) n V n = + ) = V n + ) n n le taux d intéêt, connaissant la somme initiale, la somme finale et la duée de placement est = n Vn = Vn ) n. 3

4 la duée du placement, connaissant la somme initiale, la somme finale et le taux est n = lnv n) ln ) ln + ) = ln Vn ln + ) le montant total des intéêts acquis au cous du placement d une somme au taux pendant n années, noté R est R = + ) n ) Taux équivalents et taux popotionnels Un capital placé au taux annuel devient V = + ), et si ce même capital est placé pendant un an, mais que les intéêts sont capitalisés p fois dans l année, au taux p, la valeu acquise devient V = + p ) p. Les deux taux sont dits équivalents si les deux valeus acquises au bout d un an sont égales. Soit d où V = V, + ) = + p ) p, et le taux annuel équivalent au taux p capitalisé p fois dans l année est = + p ) p, et le taux p d une péiode capitalisé p fois dans l année, équivalent au taux annuel est p = + ) p. On appelle taux popotionnel au taux annuel, coespondant à une péiode p fois plus petite que l année, un taux d intéêt p, calculé au po ata tempois p = p. 4

5 Empunts indivis Définitions et concepts Un empunt indivis est un empunt contacté aupès d un seul pêteu. Un tel empunt fait l objet d un embousement selon difféentes modalités fixées contactuellement, appelées modalités d amotissement. L empunteu vese au pêteu des intéêts à intevalles égulies su le capital détenu au cous de la péiode écoulée, et embouse le capital empunté soit en une seule fois à l échéance soit en plusieus fois. On appelle annuités la suite des églements effectués à intevalles de temps égaux. Si l intevalle est d un mois on pale de mensualités, si l intevalle est d un timeste on pale de timestialités, etc. Rembousement pa annuités constantes Losque les n annuités du embousement A d un capital K empunté au taux annuel sont égales ente elles, on pale de embousement pa annuités constantes. La somme des valeus actuelles des annuités A est égale au capital empunté. A K = + ) + A + ) + + A 2 + ), n ) K = A + ) + + ) + +, 2 + ) + ) n K = A. Cette fomule est généalisable ; si l empunt est embousé mensuellement timestiellement), il convient d utilise pou le calcul un taux d intéêt mensuel timestiel). On peut déduie de la fomule généale : le montant de l annuité constante, connaissant le capital empunté, la duée de l empunt et le taux d intéêt A = K + ) n la duée de l empunt, connaissant le capital empunté, le montant de l annuité constante de embousement et le taux d intéet n = ln ) K A ln + ) 5

6 le taux d intéêt d un empunt, connaissant le capital empunté, la duée de l empunt et le montant de l annuité constante de embousement, à pati de + ) n K A = 0 Rembousement pa factions constantes du capital Soit un empunt de montant K contacté pou n années au taux d intéêt. On souhaite embouse chaque année une faction constante de capital K. n L annuité A p de l année p est égale à la somme de la faction de capital embousé et des intéêts su le capital D p dû à la fin de l année p : L annuité de l année p + vaut sachant A p = K n + D p. A p+ = K n D p, on a D p = D p K n, A p+ = K n + D p K ), n A p+ = K n + D p K n, et on a donc K n A p+ = A p K n. Les annuités de embousement sont en pogession aithmétique de aison et de pemie teme A = K + K. n 6

7 Rembousement pa factions, annuités en pogession géométique Soit un capital K empunté au taux su n années, embousable pa annuités, coissant en pogession géométique de aison + i) à pati de la pemièe annuité. La somme des valeus actuelles des embousements est égale au capital empunté A A + i) A + i)n K = + + +, + ) + ) 2 + ) n ) A + i) + i)n K = A + + +, + ) + ) 2 + ) n K = A +i + i Rembousement en masse à la denièe échéance - céation d un fonds d amotissement Chaque année l empunteu ne ègle que les intéêts. Il peut néanmoins pévoi le embousement en masse du total de l empunt à l échéance, en plaçant chaque année su un compte les sommes nécessaies. Le taux d intéêt qu il obtient su ce compte est en généal inféieu au taux de l empunt contacté, mais l empunteu conseve la libeté d épagne ou non dans le fonds d amotissement. Soit l empunt d un capital K au taux su n années. En vue d un embousement en masse à l échéance, l empunteu épagne chaque année su un compte taux d intéet ) une somme constante pou couvi le embousement final K. Soit A la somme épagnée chaque année su le fonds d amotissement. La valeu acquise à la date n de ces vesements est ) n A + A + ) + + A + ) n = K, A + ) n + ) = A + ) n = K, A = K + ) n. Chaque année l empunteu ègle des intéêts K su le capital empunté. La chage annuelle de l empunteu est donc égale K + ) n + K.. 7

8 Rentes Définitions et concepts Une ente est une suite de vesements effectués à intevalles de temps constants et dont bénéficie le titulaie de la ente. Chaque vesement est appelé teme de la ente. Si le nombe de temes est fini, on est en pésence d une ente tempoaie. Dans le cas contaie, on est en pésence d une ente pepétuelle. On appelle date oigine ou plus simplement oigine de la ente la date qui pécède d une péiode le vesement du pemie teme de la ente. Evalue une ente se amène à calcule à une date donnée, appelée date d évaluation, et compte tenu d un taux d intéêt, la valeu de la suite des vesements. L étude des entes est tès poche de l étude du embousement d un empunt pa annuités constantes l analyse d une ente étudie la position du céancie ; l analyse d un empunt étudie celel du débiteu). Rente tempoaie immédiate à temes constants La ente est dite immédiate losque la date d évaluation pécède d une péiode le pemie vesement des n vesements constants égaux à A. La date d évaluation est dans ce cas confondue avec la date d oigine. La valeu de la ente à la date d évaluation, compte tenu du taux d intéêt, est = A + ) + A + ) + + A 2 + ), n = A + ) n. Rente tempoaie difféée à temes constants La ente est difféée losque la date d évaluation pécède de d péiodes la date d oigine et pécède donc de d + ) péiodes le pemie des n vesements égaux à A. La valeu de la ente à la date d évaluation, compte tenu du taux d intéêt, est V d V d = + ) = A + ) n. d + ) d Rente tempoaie anticipée à temes constants La ente est anticipée losque la date d évaluation est postéieue à la date oigine de a factions de péiodes. 8

9 Le pemie des n vesements égaux à A intevient donc moins d une péiode apès la date d évaluation. La valeu de la ente à la date d évaluation, compte tenu du taux d intéêt, est V a V a = + ) a a + ) n = A + ). Rente pepetuelle immédiate à temes constants La date d évaluation confondue avec la date d oigine pécède d une péiode le pemie teme d une suite infinie de vesements tous égaux à A. La valeu de la ente à la date d évaluation, compte tenu d un taux d intéêt, est A = + ) + A + ) + + A 2 + ) +..., p ) = A + ) + + ) ) p On est en pésence d une pogession géométique de pemie teme +), de aison inféieue à et qui compote un nombe de temes tendant ves l infini. = A + ) = A. +, Rente pepetuelle difféée à temes constants La date d évaluation pécède de d péiodes la date d oigine d une ente pepétuelle composée d une infinité de temes égaux à A. La valeu de la ente à la date d évaluation, compte tenu d un taux d intéêt, est V d V d = + ) d = A + ) d. Rente pepetuelle anticipée à temes constants La date d évaluation est postéieue à la date d oigine de a factions de péiodes. Le pemie vesement intevient donc moins d une péiode apès la date d évaluation. La valeu de la ente à la date d évaluation, compte tenu d un taux d intéêt, est V a 9

10 V a = + ) a = A + )a. Factionnement d une ente Si chaque année, les temes constants A d une ente annuelle font l objet de p vesements de montants égaux à A, à intevalles égaux, à la fin de chaque pe p année, on dit que la ente est factionnée. Ainsi, une ente annuelle peut ête églée en quate églements timestiels. Le factionnement conduit à vese pa anticipation une patie des sommes dues en fin d année. Soit le taux annuel et p le taux équivalent coespondant au p e d année. On a + p ) p = +, La valeu de la ente annuelle, compte tenu d un taux d intéêt annuel, pou n temes de montant A, est + ) n = A. La valeu de la ente factionnée, compte tenu d un taux d intéêt p pa péiode, pou np temes constants A, est p et on peut écie et on en déduit ou encoe = A + p ) n, p p = A + p ) p ) np, p p V 0 = p p, = = p p p p. 0