Partie I : Un produit scalaire sur E.

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1 J.F.C. p. 1 EM LYON 008 S J.F. COSSUTTA Lycé Marclin BERTHELOT SAINT-MAUR jan-francois.cossutta@wanadoo.fr Préliminair : Valur d l intégral d Gauss Soit m un rél. Posons σ = 1 t R, ψ m ) = 1 π σ m) σ. ψ m st un dnsité d un variabl aléatoir qui suit la loi normal d paramètrs m t σ. Ainsi ψ m ) d ist t vaut 1. Par conséqunt, Notons alors qu : R, πσ ψ m ) = m) σ = m) t π σ = π. Donc m) d ist t vaut π. Pour tout rél m, πσ ψm ) ) d ist t vaut π σ. m) d ist t vaut π. Parti I : Un produit scalair sur E. 1. Soint t β du réls qulconqus! + β β = β) 0, donc + β β. En divisant par il vint β 1 + β ). Si t β sont du réls positifs ou nuls) : β 1 + β ). Dans tout la suit w st l application d R dans R défini par : R, w) = c st dans II...). u, v t w sont continus sur R donc l produit u v w st continu sur R. D plus la qustion précédnt donn : R, 0 u) v) = u) v) 1 En rmarquant qu w st positiv sur R on obtint : R, 0 u) v) w) = u) v) w) 1 u) + v) ) = 1 u)) + v)) ). u)) + v)) ) w) ou ncor : R, 0 u) v) w) 1 u)) w) + 1 v)) w) ). D plus ) + ) u) w) d t v) w) d convrgnt car u t v sont ds élémnts d E.

2 Ainsi 1 u)) w) + 1 ) v)) w) d convrg. J.F.C. p. ) t ls règls d comparaison sur ls intégrals généralisés d fonctions positivs donnnt alors n du tmps...) la convrgnc d Finalmnt u) v) w) d. u) v) w) d st absolumnt convrgnt donc convrgnt. Si u t v sont du élémnts d E, u) v) d convrg. 3. a. Notons E l R-spac vctoril ds applications d R dans R continus sur R t montrons qu E st un sous-spac vctoril d E. Par définition d E, E st contnu dans E. Posons R, θ) = 0. θ st un élémnt d E t d tout évidnc θ st donc un élémnt d E t ainsi E n st pas vid. θ) ) d convrg. Soit λ un rél. Soint u t v du élémnts d E. Montrons qu λ u + v st un élémnt d E. λ u + v st tout d abord continu sur R car u t v sont continus sur R. Obsrvons qu λ u + v) w = λ u w + λ u v w + v w. D plus ls trois intégrals ) + ) + u) w) d, v) w) d t u) v) w) d convrgnt d après la définition d E t la qustion précédnt. Alors par combinaison linéair Cci achèv d montrr qu λ u + v appartint à E. λ u) + v) ) w) d convrg. Cci achèv aussi d montrr qu E st un sous-spac vctoril du R-spac vctoril E. E st un R-spac vctoril. b. Notons d abord qu si u t v sont du élémnts d E, un rél! Soint λ un rél. Soint u, v t t trois élémnts d E. λ u + v t) = 1 λ u + v)) t) d = 1 π π u) v) d convrg donc u v) st λ u) t) + v) t) ) d. Alors λ u + v t) = λ 1 u) t) d + 1 v) t) d = λ u t) + v t) car touts π π ls intégrals convrgnt.

3 J.F.C. p. 3 λ R, u, v, t) E 3, λ u + v t) = λ u t) + v t). u, v) E, u v) = 1 u) v) d = 1 v) u) d = v u). π π Soit u un élémnt d E. R, u) ) 0 t Alors u u) = 1 ) u) d st un rél positif ou nul. π u E, u u) 0. Soit u un élémnt d E tl qu u u) = 0. u w st continu sur R ; u w st positiv ou null sur R ; u) ) w) d = 0 ; u) ) d convrg. 1 + ) u) d = 0. π = +! Alors plus d dout, u w st null sur R. R, u) ) ) w) = 0 t w) 0 donc R, u) = 0 ou R, u) = 0. u = 0E. u E, u u) = 0 u = 0 E. Ls cinq points précédnts prmttnt d dir qu :..) st un produit scalair sur E. 4. Soit k un élémnt d N. Montrons qu k appartint à E. Tout d abord k st continu sur R. Montrons maintnant qu lim k) ) = lim ) ) k+1 = 0 par croissanc comparé. k ) d convrg. k) st continu sur R ; k) ) 1 = o ; [1, + [, k) 0 t 1 0 ; 1 d convrg. Ls règls d comparaison sur ls intégrals généralisés d fonctions positivs donnnt alors la convrgnc + d k ) d donc la convrgnc d k ) d. 1 0

4 k) étant pair sur R, Ainsi 0 k ) d convrg t vaut 0 k ) d). k ) d convrg. C qui achèv d montrr qu k appartint à E. Soit alors P un élémnt d F. Montrons qu P appartint à E. r Il ist un élémnt r d N t r + 1 réls a 0, a 1,..., a r tls qu R, P ) = a k k. k=0 J.F.C. p. 4 Or pour tout k dans N, k appartint à E ; P st donc combinaison linéair d élémnts d E. Comm E st un spac vctoril, P appartint à E. F st contnu dans E. Parti II : Polynôms d Hrmit 1. R, w) =. R, w ) =. R, w ) = + ) = 4 ). R, w ) = ) ) = ). ) ) Ainsi R, H 1 ) = =, R, H ) = 4 ) = 4, ) R, H 3 ) = ) = R, H 1 ) =, H ) = 4 t H 3 ) = a. Soit n un élémnt d N. R, H n ) = 1) n w n) ). En dérivant on obtint : R, H n) = 1) n ) w n) ) + 1) n w n+1) ) = H n ) 1) n+1 w n+1) ). Donc R, H n) = H n ) H n+1 ) ou R, H n+1 ) = H n ) H n). Pour tout n dans N t pour tout dans R : H n+1 ) = H n ) H n). b. Montrons par récurrnc qu pour tout n dans N, H n st un polynôm d dgré n. La propriété st vrai pour n=0 car R, H 0 ) = 1. Supposons la propriété vrai pour un élémnt n d N. Montrons la pour n + 1. R, H n+1 ) = H n ) H n) t,, H n t H n sont ds polynôms. Ainsi H n+1 st un polynôm.

5 J.F.C. p. 5 D plus H n st un polynôm d dgré n donc H n ) st un polynôm d dgré n+1 t H n st un polynôm d dgré strictmnt infériur à n. Par conséqunt H n+1 st un polynôm d dgré n + 1. Cci achèv la récurrnc. Pour tout n dans N, H n st un polynôm d dgré n. c. Soit un rél. H 0 ) = 1. Alors H 1 ) = H 0 ) H 0) =. H ) = H 1 ) H 1) = ) = 4. H 3 ) = H ) H ) = 4 ) 8 = H 4 ) = H 3 ) H 3) = ) 4 1) = Nous avons ainsi rtouvé ls résultats d II.1. D plus : R, H 4 ) = Pour tout n dans N, notons n l cofficint du trm d plus haut dgré d H n. 0 = 1 car H 0 = 1. Soit n un élémnt d N. L trm d plus haut dgré d H n st n n. Ainsi l trm d plus haut dgré d H n st n+1. D plus H n st un polynôm d dgré strictmnt infériur à n. L trm d plus haut dgré d H n H n, donc d H n+1, st alors n n+1. Ainsi n+1 = n. n ) n n st la suit géométriqu d raison t d prmir trm 1. Donc n N, n = n. Pour tout n dans N, l cofficint du trm d plus haut dgré d H n st n. 4. R, w ) = w). Un récurnc simpl donn alors n N, R, 1) n w n) ) = w n) ). Alors n N, R, 1) n 1) n w n) ) = 1) n w n) ). Donc n N, R, 1) n H n ) = H n ). Finalmnt : n N, R, H n ) = 1) n H n ) = 1) n H n ). Pour tout n dans N t pour tout dans R : H n ) = 1) n H n ). Soit n un élémnt d N. Si n st pair R, H n ) = H n ) t H n st pair). Si n st impair R, H n ) = H n ) t H n st impair).

6 J.F.C. p. 6 Pour tout n dans N, H n a la parité d n. Parti III : Lin ntr l produit scalair t ls polynôms d Hrmit 1. a. Soit n dans N t soit P un élémnt d F. Montrons qu P H n 1 ) = P H n ). Il suffit d montrr qu P ) H n 1 ) d = P ) H n ) d. Soit t β du réls. Posons R, l n ) = H n 1 ). P t l n sont d class C 1 sur R. Notons aussi qu : R, l n) = H n 1) + H n 1 ) ) = H n 1 ) H n 1) ) = H n ). Un intégration par partis donn alors : P ) H n 1 d = [P ) H n 1 ) ] β + P ) H n ) d. Ainsi : P ) H n 1 ) d = P β) H n 1 β) β P ) H n 1 ) + P ) H n ) d N rst plus qu à fair tndr vrs t β vrs +. Mais pour cla un ptit résultat intrmédiair s impos. Lmm 1 : Pour tout élémnt Q d F : lim Q) ) = lim Q) ) = 0. Montrons l lmm. Dans ctt pruv lim voudra dir indifférmnt lim ou lim. Soit Q un élémnt d F. Si Q st l polynôm nul l résultat st clair. Supposons Q 0 F. Soit a r l trm d plus haut dgré d Q. Q) a r donc Q) a r. Alors Q) = Q) a r = a ) Alors lim Q) = lim a ) ) r Cci achèv la démonstration du lmm. P H n 1 st un élémnt d F. L lmm donn alors lim P β) H n 1 β) β) = 0. β + ) r ). = 0 par croissanc comparé. Donc lim Q) ) = 0. lim P ) H n 1 ) ) = 0 t En faisant succssivmnt tndr vrs t β vrs + dans ) on obtint : P ) H n 1 ) d = P ) H n ) d cs du intégrals convrgnt).

7 J.F.C. p. 7 En multipliant par 1 π on obtint : P H n 1 ) = P H n ). Pour tout n dans N t pour tout P dans F : P H n 1 ) = P H n ). b. Montrons l lmm suivant. Lmm : n N, k [0, n], P F, P H n ) = P k) H n k ). Soit P un élémnt d F t n un élémnt d N. Montons par récurrrnc qu k [0, n], P H n ) = P k) H n k ). La propriété st vrai pour k = 0! Supposons la propriété vrai pour un élémnt k d [0, n 1]. Montrons la pour k + 1. En appliquant l résultat d la qustion précédnt il vint : P k) H n k ) = P k)) Hn k) 1 ) = P k+1) H n k+1) ). Cci qui achèv la récurrnc. Soit n un élémnt d N t P un élémnt d F n 1. L lmm donn n particulir P H n ) = P n) H n n ) = P n) H 0 ). Or P n) st l polynôm nul car P appartint à F n 1. Donc P H n ) = P n) H 0 ) = 0. Pour tout n dans N t pour tout P dans F n 1 : P H n ) = 0. c. Soit n dans N. Montrons qu H 0, H 1,..., H n ) st un famill orthogonal. C st vrai si n = 0! Supposons n non nul. Soint i t j du élémnts distincts d [0, n]. Montrons qu H i H j ) = 0. Comm H i H j ) = H i H j ) on put supposr pour c fair qu i < j. Alors H i F i car dg H i = i), H j F j car dg H j = j) t H i F j 1 car i j 1). L résultat prćédnt appliqué pour n = j j N car i < j) t P = H i prmt d dir qu H i H j ) = 0. H i t H j sont orthogonau. Ainsi ls élémnts d la famill H 0, H 1,..., H n ) sont dans F t sont du à du orthogonau. Pour tout n dans N, la famill H 0, H 1,..., H n ) st orthogonal dans F.

8 J.F.C. p. 8. Soit n un élémnt d N. H 0, H 1,..., H n ) st famill orthogonal d élémnts non nuls d F n. C st donc un famill libr d élémnts d F n d cardinal n + 1. Comm F n st d dimnsion n + 1, H 0, H 1,..., H n ) st un bas d F n. Pour tout n dans N, la famill H 0, H 1,..., H n ) st un bas orthogonal) d F n. 3. a. Soit n un élémnt d N. L lmm donn H n = H n H n ) = H n n) H n n ) = H n n) H 0 ). Pour tout n dans N, H n = H n) n H 0 ). b. Soit n un élémnt d N. H n = H n) n H 0 ) = 1 L préliminair donn π H n n) H 0 d = 1 π n n! d = n n! + d. π d = π. Alors H n = n n! donc H n = n n!. Pour tout n dans N, H n = n n!. Parti IV : Un ndomorphism symétriqu 1. Soit P un élémnt d F. P + X P + P st ncor un élémnt d F! fp ) appartint à F. f st un application d F dans F. Soit λ un rél. Soint P t Q du élémnts d F. fλ P + Q) = λ P + Q) + X λ P + Q) + λ P + Q = λ P Q + X λ P + Q ) + λ P + Q. fλ P + Q) = λ P + X P + P ) + Q + X Q + Q) = λ fp ) + fq). f st un application linéair. Finalmnt : f st un ndomorphism d F.. a. Soit P un élémnt d F. g h)p ) = g hp ) ) = gp ) = X P P ) = P + X P + P P = fp ) P = f Id F )P ). h g)p ) = gp ) ) ) = X P P = P + X P P = fp ) + P = f + Id F )P ). P F, g h)p ) = f Id F )P ) t h g)p ) = f + Id F )P ). Donc

9 J.F.C. p. 9 g h = f Id F t h g = f + Id F. b. g h = f Id F. En composant à droit par g il vint : g h g = f g g. h g = f + Id F donc n composant à gauch par g il vint : g h g = g f + g. Alors f g g = g f + g. Donc f g g f = g. f g g f = g. 3. Soit λ un réls t P un élémnt d F tls qu fp ) = λ P. gp ) = f g)p ) g f)p ) = f gp ) ) g fp ) = f gp ) ) gλ P ) = f gp ) ) λ gp ). Ainsi f gp ) ) = λ + ) gp ). Pour tout rél λ t pour tout élémnt P d F, si fp ) = λ P alors f gp ) ) = λ + ) gp ). 4. a. fh 0 ) = H 0 + X H 0 + H 0 = H 0 car H 0 = H 0 = 0 F puisqu H 0 = 1. fh 0 ) = H 0. b. Soit k un élémnt d N. gh k ) = X H k H k = H k+1 d après II.a.. Pour tout élémnt k d N : gh k ) = H k+1. Montrons par récurrnc qu : k N, fh k ) = k + 1) H k. fh 0 ) = H 0 = 0 + 1) H 0 ; la propriété st vrai pour k = 0. Supposons la propriété vrai pour un élémnt k d N. Alors fh k ) = k + 1) H k. IV 3. donn alors f gh k ) ) = k + 1) + ) gh k ). Comm gh k ) = H k+1 : fh k+1 ) = k + 3) H k+1 = k + 1) + 1 ) H k+1. Cci achèv la récurrnc. Pour tout élémnt k d N : fh k ) = k + 1) H k. 5. Soint P t Q du élémnts d F. Soint t β du réls. Posons : R, l P ) = P ). l P t Q sont d class C 1 sur R. Notons aussi qu : R, l p) = P ) + P ) ) = P ) + P ) = fp )) P ) ).

10 J.F.C. p. 10 En posant T = fp ) P on a R, l p) = T ). Intégrons alors par partis. P ) Q ) d = P ) Q ) d = [ ] β l P ) Q ) d = l P ) Q) l P ) Q) d. [P ) Q) ] β β + T ) Q) d. P ) Q ) d = P β) Qβ) β P ) Q) + N rst plus qu à fair tndr vrs t β vrs +. P t Q sont du élémnts d F donc d E, ainsi Pour ds raisons analogus lim T ) Q) d ist égalmnt. D plus P Q st un élémnt d F ; l lmm 1 donn alors : P ) Q) ) = 0 t P β) Qβ) β) = 0. lim β + T ) Q) d P ) Q ) d ist. En faisant tndr succssivmnt vrs r β vrs + dans ) il vint : P ) Q ) d = T ) Q) d. En multipliant par Alors P Q ) = fp ) P Q) = fp ) Q) P Q). ). 1 π on obtint : P Q ) = T Q). P, Q) F, P Q ) = fp ) Q) P Q). 6. Dans ctt qustion n st un élémnt d N. a. Soit P un élémnt d F n. P st un élémnt d F n. P st un polynôm d dgré strictmnt infériur à n donc XP st égalmnt un élémnt d F n. P, XP t P sont donc trois élémnts du sous-spac vctoril F n. Alors fp ) = P + X P + P st un élémnt d F n. P F n, fp ) F n. b. Soint P t Q du élémnts d F n. D après IV 5. : fp ) Q) = P Q ) + P Q) t fq) P ) = Q P ) + Q P ). La symétri d..) donn alors fp ) Q) = fq) P ) puis fp ) Q) = P fq)) t nfin : f n P ) Q) = P f n Q)).

11 J.F.C. p. 11 f n st un ndomorphism symétriqu d F n. Rmarqu f st égalmnt un ndomorphism symétriqu d F! c. Rapplons qu H 0, H 1,, H n ) st un bas orthogonal d F n. D plus k [0, n], f n H k ) = fh k ) = k + 1) H k t H k 0 Fn ; ainsi pour tout élémnt k d [0, n], H k st un vctur propr d f n associé à la valur propr k + 1). H 0, H 1,, H n ) st un bas orthogonal d F n contitué d vcturs proprs d f n. Posons k [0, n], G k = 1 H k H 1 k = k k! H k. G 0, G 1,, G n ) st un bas orthonormal d F n ncor contitué d vcturs proprs d f n. ) 1 k k! H k st un bas orthonormal d F n contitué d vcturs proprs d f n. k [0,n ] Parti V : Intrvntion d ponntills 1. Soit a un rél. D abord ϕ a st un application d R dans R continu sur R. R, ϕ a ) ) = a = + a +a )+a = a a). Or Ainsi Alors a) d convrg t vaut π d après l préliminair. a a) d convrg t vaut π a. ϕa ) ) d convrg t vaut π a. Cci achèv d montrr qu : Rmarqu Rtnons égalmnt qu : a R, ϕ a st un élémnt d E. ϕ a )) d = π a.. Soint a t b du réls. ϕ a ϕ b ) = 1 ϕ a ) ϕ b ), d. π R, ϕ a ) ϕ b ) = a b = a+b) = a+b ) ). = ϕ a+b )) La rmarqu d la prmièr qustion prmt d dir qu : ϕ a+b ) ) d = π a+b ).

12 J.F.C. p. 1 Alors ϕ a ) ϕ b ) d = π a+b ). Ainsi ϕ a ϕ b ) = a+b ). a, b) R, ϕ a ϕ b ) = a+b ). 3. Soit n un élémnt d N. ϕ ln n = ϕ ln n ϕ ln n ) = ln n+ Ainsi ϕ ln n = n 1 Plus d dout : ln n ) = ln n = n. la séri d trm général ϕ ln n divrg. 4. Soit n un élémnt d N. ϕ n = ϕ n ϕ n) = n=0 n+ n La séri géométriqu d raison 1 st convrgnt car 1 < 1. + ) n 1 D plus = = 1 La séri d trm général ϕ n convrg t ) = n. Alors : ϕ n = + n=0 ϕ n = 1 ) n 1. Parti VI Un limit d probabilité conditionnll 1. w st continu sur R. Posons R, W ) = 0 wt) dt. W st la primitiv sur l intrvall) R qui prnd la valur 0 n 0. W st donc d class C 1 sur R t R, W ) = w). Notons qu la convrgnc d ]0, + [, Φ) = t dt = t dt donn la convrgnc d t dt W étant d class C 1 sur R, Φ st d class C 1 sur ]0, + [. D plus ]0, + [ Φ ) = W ) = w) =. t dt = W ) + t dt pour tout rél. t dt. Φ st d class C 1 sur ]0, + [ t ]0, + [ Φ ) =.. a. lim Φ) = lim = 0, lim lim ) t dt = 0 comm rst d un intégral convrgnt. 1 = 0, lim 1 ) 1 3 = 0 t lim = 0.

13 J.F.C. p. 13 Alors par produit lim G) = 0 t lim K) = 0. lim Φ) = 0, lim G) = 0 t lim K) = 0. b. Φ, G t K sont dérivabls sur ]0, + [, donc G Φ t Φ K sont égalmnt dérivabls sur ]0, + [. ]0, + [, G Φ) ) = G ) Φ ) = ) ) 3 ) +. ]0, + [, G Φ) ) = ) + 1 = ]0, + [, G Φ) ) 0 donc G Φ st croissant sur ]0, + [. ]0, + [, Φ K) ) = Φ ) K ) = ]0, + [, Φ K) ) = ) + 1 = 1. ]0, + [, Φ K) ) 0 donc Φ K st croissant sur ]0, + [ ) ). G Φ t Φ K sont croissants sur ]0, + [. c. G Φ st croissant sur ]0, + [ t lim G Φ)) = 0 0 = 0 ; ainsi ]0, + [, G Φ)) 0. Φ K st croissant sur ]0, + [ t Alors ]0, + [, G) Φ) K). lim Φ K)) = 0 0 = 0 ; ainsi ]0, + [, Φ K)) 0. ]0, + [, G) Φ) K). d. Soit un élémnt d ]0, + [. G) Φ) K) t Alors G) Φ) K). Or : G) = 1 1 t K) = Finalmnt : ]0, + [, 1 1 Φ) 1. Comm lim 1 1 ) = 1, il vint par ncadrmnt lim ) Φ) Alors lim = 1 t : Φ) Φ) ) Φ) = a. ψ 0 : 0) 1 ) st un dnsité d X. Notons qu R, ψ 0 ) = 1. π 1/ ) π

14 R, P X ) = 1 P X > ) = 1 ψ 0 ) d = 1 1 π R, P X ) = 1 P X > ) = 1 1 π Φ). d = 1 1 π Φ). J.F.C. p. 14 Rmarqu On a égalmnt : R, P X > ) = 1 π Φ). b. Soit c un rél positif. Soit un rél. P X>) X + c) = P {X + c} {X > } ) P X > ) P X > + c) P X>) X + c) = 1 = 1 P X > ) ) Φ) Φ) donc lim = 1. Par composition ds limits : Alors Φ + c) Φ) +c) +c) Φ + c) Par conséqunt : Φ) ) Φ + c) Ainsi lim Φ) Donc lim lim P X>)X + c) = = P < X + c) P X > ) 1 π Φ + c) 1 π Φ) = 1 Φ + c) = 1. Ainsi Φ + c) +c) +c) = Φ + c) Φ) P < X) P X > + c) P X > ) +c) + c) = + c +c) + + = +c) c c. +c) + = c c. c+c = lim = 0 car c st strictmnt positif. lim 1 ) Φ + c) = 1. Φ) Pour tout rél c strictmnt positif : lim P X>)X + c) = 1.