Applications du produit scalaire
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- Louis Pruneau
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1 pplications du produit scalaire I Relations métriques dans le triangle Soit un triangle BC. On note B = c, C = b et BC = a. On note BC, B BC et CB c b On note S l'aire du triangle BC 1) Relation d'l KSHI B a C BC² = BC = ( C B ) = C² C. B + B² or C. B = C B cos ( C ; B ) BC² = C² C B cos ( C ; B ) + B² soit a² = b² + c² b c cos c'est la relation d'l KSHI par permutation : b² = a² + b² - a b cos B et c² = a² + b² - a b cos Ĉ ) Théorème de la médiane Soit I le milieu de [BC] B² = ( I + IB )² = I² + I. IB + IB² C² = ( I + IC )² = I² + I. IC + IC² En ajoutant membre à membre, B² + C² = I² + I. IB + IB² + I² + I. IC + IC² B² + C² = I² + I.( IB + IC ) + IB² + IC² B² + C² = I² + 1 BC² avec IB + IC = 0 et IB = IC = 1 BC 3) utres relations Soit un triangle BC et H le projeté orthogonal de C sur [B]. 1
2 C H B S = 1 B CH Dans le triangle CH rectangle en H, CH = C sin D'où S = 1 B C sin Soit S = 1 bc sin Par permutation, S = bc sin = ac sin B = ac sinĉ En divisant tout par abc et en inversant, on obtient a b c abc sin ˆ sin Bˆ sin Cˆ S II Relations métriques dans le plan Soient, B et M trois points du plan. Soit I le milieu de [B]. 1) Transformation de M MB M MB ( MI I ) ( MI IB ) B MI I IB MI.( I IB ) MI B M MB MI ) Transformation de M MB M MB ( M MB ).( M MB ) ( MI I MI I ).( M MB ) MI. B B. IM 3) Transformation de M. MB M MB B. IM M. MB ( MI I ).( MI IB ) MI MI.( I IB ) I. IB
3 MI B M. MB MI B III Droite et produit scalaire 1) Equation d'une droite Toute droite du plan a pour équation cartésienne ax + by + c = 0 avec (a ; b) (0 ; 0). Cette droite a pour vecteur directeur V ( b ; a). Réciproquement l'ensemble des points M (x ; y) tels que ax + by + c = 0 avec (a;b) (0;0) est une droite de vecteur directeur V ( b ; a). ) Vecteur normal et équation de droite n M d Dire qu'un vecteur n est normal à une droite d signifie que n 0 et que la direction de n est orthogonale à celle de d. D est l'ensemble des points du plan tels que M. n = 0 Dans un repère orthonormal, si une droite d a pour équation de la forme ax + by + c = 0, (a ; b) (0;0) alors le vecteur n (a ; b) est normal à d. 3) Droites perpendiculaires Dans un repère orthonormal, soit (D) la droite d'équation ax + by + c = 0 et (D') la droite d'équation a'x + b'y + c' = 0. Dire que (D) et (D') sont perpendiculaires équivaut à dire que aa' + bb' = 0. IV Cercle et produit scalaire 1) Cercle de diamètre [B] Le cercle de diamètre [B] est l'ensemble des points M tels que M. MB 0. M 3
4 I B ) Equation d'un cercle en repère orthonormal Soit un cercle, M(x ; y) un point du cercle, I( x I ; cercle. L'ensemble des points M est tels que IM² = R² soit (x x I )² + (y y I )² = R² On peut aussi utiliser le fait que M. MB 0 V pplication à la trigonométrie 1) Formules d'addition Soit le cercle trigonométrique de centre O muni d'un repère ( O; i, j). Soit le point du cercle tel que ( i, O) = a Soit B le point du cercle tel que ( i, OB) = b y I ) le centre du cercle et R le rayon du a b B O Les coordonnées de sont (cos a ; sin a) Les coordonnées de B sont (cos b ; sin b) O. OB = cos a cos b + sin a sin b O. OB = O OB cos ( O ; OB ) = cos (a b) d'où cos (a b) = cos a cos b + sin a sin b si l'on change b en b, on obtient cos (a + b) = cos a cos b sin a sin b en posant sin (a b)= cos [ ab ( ) ] on obtient sin (a b) = sin a cos b sin b cos a si l'on change b en b, on obtient sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a 4
5 ) Formules de duplication Sin a = sin a cos a + sin a cos a = sin a cos a cos a = cos a cos a sina sin a = cos² a sin² a cos a = cos² a 1 = 1 sin² a (en utilisant sin² a + cos² a = 1) D'où cos ² acos 1 a et sin ² a 1 cos a 5
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