Corollaire Une droite est orthogonale à toute droite d'un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Transcription

1 Définition I. Définition. Remarques : deux vecteurs de l espace sont nécessairement coplanaires, les expressions établies dans le plan sont encore valables dans l espace. ( ). Si H est le projeté orthogonal de B sur (OA) alors Démonstration : Savoir-faire : Savoir calculer le produit scalaire de deux vecteurs. Soit ( ) et ( ) calculer. Produit scalaire dans l espace. Dans l espace, une unité de longueur étant fixée, le produit scalaire des vecteurs u et v est le nombre 1 noté u v défini par : u v ( u + 2 v 2 u 2 v 2 ) Soit u, v et w trois vecteurs de l'espace. u u u v v u u (v + w ) (k u ) v. u v u et v sont Soit u x y z Alors u v x et v ( y z ) deux vecteurs de l'espace muni d'un repère orthonormé O; i; j; k. Définition II. Vecteur normal à un plan. 1) Définition et propriétés Un vecteur non nul n de l'espace est normal à un plan P lorsqu'il est orthogonal à tout vecteur admettant un représentant dans P. Remarque : le plan P qui passe par A et de vecteur normal est l ensemble des points M tels que. Théorème Un vecteur non nul n de l'espace est normal à un plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P. Corollaire Une droite est orthogonale à toute droite d'un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. 93

2 Démonstration (exigible BAC ROC) : Si une droite est orthogonale à toute droite d'un plan P alors elle est en particulier orthogonale à 2 droites de P. Démontrons la réciproque : Soit une droite (d) de vecteur directeur orthogonale à deux droites (d1) et (d2) de P sécantes et de vecteurs directeurs respectifs et.alors et sont non colinéaires et orthogonaux au vecteur. Soit une droite quelconque ( ) de P de vecteur directeur. Démontrons que ( ) est orthogonale à (d). Savoir-faire : Savoir déterminer si un vecteur est normal à un plan : ABCDEFGH est un cube. On considère le repère ( ). Démontrer que le vecteur est normal au plan (ABG). Savoir-faire : Savoir déterminer un vecteur normal à un plan : Dans un repère orthonormé, soit ( ) ; ( ) et. ( ) Déterminer un vecteur normal au plan (ABC). Théorème 2) Equation cartésienne d'un plan L'espace est muni d'un repère orthonormé ( O, i, j, k ). Un plan P de vecteur normal n (a, b, c) non nul admet une équation cartésienne de la forme avec d R. Réciproquement, si a, b et c sont non tous nuls, l'ensemble des points M(x, y, z) tels que ax + by + cz + d, avec d R, est un plan. Démonstration (exigible BAC ROC): 94

3 Réciproquement, supposons par exemple que a 0 (a, b et c sont non tous nuls). On note E l'ensemble des points ( ) vérifiant l'équation. Exemple : Le plan d'équation cartésienne pour vecteur normal ( ). Savoir-faire : Savoir déterminer une équation cartésienne de plan: Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan P passant par le point A( ) et de vecteur normal ( ). Savoir-faire : Savoir déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan: Dans un repère orthonormé, le plan P a pour équation. Soit A( ) et B( ). 1) Démontrer que la droite (AB) et le plan P sont sécants. 2) Déterminer leur point d'intersection. Savoir-faire : Savoir déterminer l'intersection de deux plans: Dans un repère orthonormé, les plans P et P ' ont pour équations respectives et. 1) Démontrer que les plans P et P' sont sécants. 2) Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection d. 95

4 3) Plans perpendiculaires Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est orthogonal à un vecteur normal de l'autre. - Admis - Savoir-faire : Savoir démontrer que deux plans sont perpendiculaires: Dans un repère orthonormé, les plans P et P' ont pour équations respectives. Démontrer que les plans P et P' sont perpendiculaires. et BAC S, Pondichéry

5 BAC S, Liban 2016 BAC S, Amérique du nord