Divisibilité, congruences

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1 Divisibilité, congruences I. Divisibilité dans Z ( Z ensemble des entiers relatifs ) On note l ensemble des entiers naturels = { 0, 1, 2,., 10000,., , } On note l ensemble des entiers relatifs = {,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,.} La somme, la différence et le produit de deux entiers relatifs est un entier relatif. Toute partie de non vide a un plus petit élément. Exemple : { } est une partie de N qui a pour plus petit élément 8. Une partie de Z n a pas forcément de plus petit élément. a. Définition. 1. Activité d approche : nombres magiques, un exemple de code-barres. 2. Notion de multiple et diviseur. Définition : soit a et b deux entiers relatifs, b différent de 0. S il existe un entier relatif k tel que a= k b, on dit que b divise a. a est un multiple de b. b est un diviseur de a. On note parfois b a (b divise a) Exemple : 7 divise 21, 7 est un diviseur de = 21, 21 multiple de est un multiple de 6 et 9. 2, 3, 6, 9, 18, 27 sont des diviseurs de 54. Tous les multiples de 7 ont une écriture de la forme : Donnez tous les multiples de 2 : Donnez tous les multiples de 1 : Donnez tous les multiples de 0 : b. Premières remarques. - 0 est un multiple de tout entier mais 0 n a qu un seul multiple : lui-même. - Tout entier non nul n a au moins 4 diviseurs : 1, n, -n, -1. Il a un nombre FINI de diviseurs compris entre n et n. - En revanche, un entier non nul a une infinité de multiples. c. Quelques critères de divisibilité

2 3. Transitivité Soit a, b et c trois entiers relatifs tels que b et c non nuls. Si c divise b et b divise a alors c divise a. Démonstration Soit b et c entiers relatifs non nuls. c divise b donc il existe k dans tels que b= k c. b divise a donc il existe k dans tel que a= k b. a= k b = k (kc)=(kk )c avec kk appartenant à. a est un multiple de c, c est non nul donc c est un diviseur de a. Exemple : Pour tout n, n +1 divise 2 1 Pour tout n, n 2 1divise n 4 1. Donc pour tout n, n +1 divise n 4 1. n. 2 n car 1 n 1 n 1 4. Combinaison linéaire Soit a, b et c trois entiers relatifs tels que c non nul. - Si c est un diviseur commun à a et b, alors c divise a + b et a b. - Plus généralement, c divise ma + nb pour tous m et n entiers relatifs. On dit que c divise toute combinaison linéaire entière de a et b. Démonstration Si c, non nul, divise a et b alors il existe deux entiers relatifs a et b tels que a = a c et b = b c. Pour tous entiers relatifs m et n, ma + nb = ma c + nb c = c ( ) ma + nb avec ma + nb entier et c non nul. Donc c divise ma + nb. En prenant m = 1 et n = 1 ou n = -1, on obtient en particulier c divise a + b et a b. Algorithme : recherche des diviseurs d un entier.

3 II. Division euclidienne 1. Le calendrier perpétuel. 2. Principe de la division avec entiers. Poser la division de 43 par est le dividende, 5 le diviseur, 8 le quotient et 3 le reste. On cherche le multiple de 5 le plus proche de 43 par valeur inférieure. 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,., 40 = 8 5 et 45 >43. Multiples de 8 = { } 43 = Ecrire sous forme d égalité la division de par = (1674) Théorèmes. Division euclidienne Soit a un entier relatif. Soit b un entier naturel non nul. Alors il existe un unique couple d entiers q et r avec 0 r < b tels que a = b q + r. Dans la division, a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste. Si le reste est nul alors b divise a. Bien noter que le reste est strictement inférieur au diviseur.

4 Démonstration : Les multiples de b dans sont {, -kb, -(k-1)b,, -2b, -b, 0, b, 2b,, (k-1)b, kb, }, k. 1 er cas : a est un multiple de b donc a est un terme de la suite ci-dessus donc il existe un entier relatif q tel que a = bq. 2 ème cas : a n est pas un multiple de b. Alors il existe des multiples de b inférieurs à a et des multiples de b supérieurs à a. Ainsi il existe un entier relatif q tel que bq a ( q 1) b où (q+1)b désigne le plus petit multiple de b supérieur à a. Conclusion : Les deux cas permettent d affirmer qu il existe un entier relatif q tel que : bq a ( q 1) b On a alors 0 a bq b On pose r a bq On obtient a bq r avec 0 r b. On obtient donc l existence du couple (q, r). Il reste à prouver l unicité. Supposons qu il existe deux couples q, r et q', r' tels que a bq r bq' r' avec q et q entiers relatifs et 0 r b et 0 r' b. En soustrayant membre à membre les deux égalités, on obtient : bq bq' r' r b q q' r' r Donc r' r est un multiple de b or b r' r b. Le seul multiple de b correspondant à ces conditions est 0 donc r' r et par suite q q'. Algorithme : Division euclidienne, affichage du quotient et du reste.

5 III. Congruences 1. Exemples et définitions Dans la division euclidienne par 2, les restes possibles sont 0 et 1. Un nombre pair s écrit 2k, k. Un nombre impair s écrit 2k+1, k. Etude de la congruence modulo 4. Dans la division euclidienne par 4, les restes possibles sont 0, 1, 2 et 3 Classification des entiers naturels : Tout entier n positif s écrit sous la forme 4k, 4k +1, 4k+2 ou 4k+3 1 ère ligne : k = 0, 2 ème ligne : k =1, Pour les négatifs? Division de même reste a, b deux entiers relatifs. n un entier naturel tel que n 0, les deux nombres a et b ont le même reste dans la division par n si et seulement si a b est un multiple de n. Démonstration. Soit a et b deux entiers relatifs ayant le même reste r dans la division par n. Donc a = kn + r avec k et b = k n + r a b ( k k' ) n avec k k Donc a b est un multiple de n. Réciproquement, a b est un multiple de n donc il existe K tel que a b Kn soit a Kn b Par définition de la division euclidienne par n, il existe un unique entier relatif q et un unique naturel r avec 0 r < n tels que b = n q + r. On en déduit a Kn b Kn ( nq r) ( K q) n r avec 0 r < n Par définition de la division euclidienne, r est le reste de la division de a par n. Donc a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n. Congruence Deux nombres a et b sont dits congrus modulo n (n 0) pour exprimer que a et b ont le même reste dans la division par n. (Ce qui revient aussi à dire que a b est divisible par n). On note alors (notation de Gauss) : a b (modulo n) ou a b (n) On dit que l'on a écrit une congruence de module n. Exemples : 41 6(7) mais 41 27(7) ou ou 41 76(7) ; (6) car -227 = 6 ( 38) 1

6 Transitivité : Soit a, b, c et n des entiers relatifs tels que n 0. Si a b(n) et b c(n) alors a c(n) 2. Opérations et congruence Quel est le reste de la division par 7 de ? m est un nombre dont la division par 7 donne 4 ; n est un nombre dont la division par 7 donne 3 Quel est le reste de m + n?, de mn?, de m 2? de n 3? a. Congruence et addition. Démonstration : Soient a b (mod n) et a' b' (mod n). a b kn Ceci signifie que. En ajoutant membre à membre : (a + a') (b + b') = (k + k') n. a' b' k' n Et donc que a + a' b + b' (mod n). Théorème d addition : Si l'on ajoute membre à membre deux congruences de module n, on obtient une congruence de même module n. On dit aussi que la relation de congruence est compatible avec l'addition. b. Congruence et multiplication. De même : Soient a b (mod n) et a' b' (mod n). a b kn Ceci signifie que. a' b' k' n Alors aa' bb' = aa' ba' + ba' bb' = a'(a b) + b(a' b') = a'kn + bk'n = (a'k + bk')n. Et donc aa' bb' (mod n). Théorème de multiplication : Si l'on multiplie membre à membre deux congruences de module n, on obtient une congruence de même module n. La congruence est compatible avec la multiplication. On en déduit immédiatement que la congruence est compatible avec l'élévation à une puissance. Conclusion : Soit a b (mod n) et c d (mod n) Alors : a +c b+d (mod n) a -c b-d (mod n) ac bd (mod n) a k b k (mod n)

7 Attention : On ne peut pas simplifier une congruence comme une égalité. 2a 2b( n) n implique pas a b(n). Par exemple, 20 16(4) mais 10 et 8 ne sont pas congrus modulo Applications Montrer, que pour tout entier naturel n>0, n n est un multiple de 7. Montrer que, pour tout n, n 1 2n 1 n est multiple de 6. Exercice : 59 Quels sont les restes des divisions euclidiennes de 100 par 3 et 7? (3) donc (3) 1(3) 100 = donc 100 2(7). Par suite (7) 2 0 1donc 2 0 1(7) 2 1 2donc 2 1 2(7) donc 2 2 4(7) 2 3 8donc 2 3 1(7) donc Tout entier n positif s écrit sous la forme 3k, 3k+1, 3k+2, k donc (7) Au final, (7).

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