DC21 Modélisation en régime sinusoïdal établi, utilisation des nombres complexes IMPEDANCES / BILAN DE PUISSANCE

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1 L usage des nombres complexes est incontournable en ce qui concerne l étude des circuits électriques : du point de vue énergétique (bilan de puissance et dimensionnement d un réseau de distribution électrique, modélisation des machines électriques alternatives), du point de vue informationnel (impédance complexe, filtrage et comportement fréquentiel, tracés de Bode). Modèle d un chauffage à induction Modèle d une machine asynchrone SOMMAIRE 1 RAPPELS MATHEMATIQUES DEFINITIONS, ECRITURE CARTESIENNE ET ECRITURE POLAIRE ALGEBRE COMPLEXE UTILISATION DES NOMBRES COMPLEXES EN REGIME SINUSOÏDAL INTERET ET DOMAINES D EMPLOI NOTATION ET REPRESENTATION DANS LE PLAN COMPLEXE DES GRANDEURS SINUSOÏDALES FONCTIONS DU TEMPS DERIVATION ET INTEGRATION EN COMPLEXE DES FONCTIONS SINUSOÏDALES DU TEMPS IMPEDANCE ET ADMITTANCE COMPLEXE DEFINITION DE LA RESISTANCE ET DE LA REACTANCE COMPLEMENTS : CONDUCTANCE G, ET SUSCEPTANCE B D'UNE ADMITTANCE Y ELEMENTS R, L, C ASSOCIATION D IMPEDANCES, QUELQUES EXEMPLES SIMPLES PHENOMENES DE RESONANCE (ELEMENTS RLC) EN SERIE, RESONANCE SERIE EN PARALLELE, RESONANCE PARALLELE (CIRCUIT BOUCHON) PUISSANCE EXPRIMEE EN FONCTION DES ELEMENTS RLC PUISSANCE ACTIVE P EN W PUISSANCE REACTIVE Q EN VAR PUISSANCE APPARENTE COMPLEXE... 8 JC_ROLIN_08_2017 page 1 sur 8 Lycée G. EIFFEL DIJON

2 1 RAPPELS MATHEMATIQUES 1.1 Définitions, écriture cartésienne et écriture polaire En mathématique, les nombres complexes utilisent symboliquement la lettre i tel que i ² = -1, mais en électricité la lettre j est utilisée afin d'éviter la confusion avec un courant. Soit le nombre complexe écrit sous forme cartésienne Z = a + j. b, on appelle : - a sa partie réelle, soit Re [ Z ] - b sa partie imaginaire, soit Im [ Z ]. Si a = 0, Z est un imaginaire pur, si b = 0, Z est un réel pur. On appelle conjugué de Z noté Z*, le nombre complexe avec partie imaginaire de signe opposé, soit : Z = a j. b On a alors : Z + Z* = 2a ; Z. Z* = a² + b² Ces deux expressions donnent des réels. Pour la représentation géométrique des nombres complexes, on définit le plan complexe tel que : - L'abscisse représente l'axe réel noté Re, soit pour le complexe Z, sa partie réelle a = Re [ Z ]. - L'ordonnée représente l'axe imaginaire noté Im, soit pour Z sa partie imaginaire b = Im [ Z ]. La représentation géométrique de Z = a + j. b dans le plan complexe est donnée ci-contre : an complexe ou plan Z Im b Z On remarque : a = ρ. cos (φ) et b = ρ. sin (φ) = Z, module de Z, tel que ρ = a 2 + b² = arg [Z], argument de Z, tel φ = artan(b/a) a On parle également de phase pour l'argument de Z. De cette représentation, on déduit l'écriture polaire d'un nombre complexe : Z = ρ(cos φ + j. sinφ) L'étude des séries convergentes appliquée aux nombres complexes (cf math), permet d'établir la formule d'euler : exp(j) = (cos φ + j. sinφ) Un nombre complexe peut s'écrire sous la forme exponentielle Z = ρ. e jφ 1.2 Algèbre complexe On utilise selon le cas, la forme cartésienne ou la forme exponentielle des nombres complexes suivants. Z 1 = a 1 + j b 1 = 1. exp (j 1 ) Z 2 = a 2 + j b 2 = 2. exp (j 2 ) Addition et soustraction : (utilisation de la forme cartésienne). Z 1 + Z 2 = (a 1 + a 2 ) + j ( b 1 + b 2 ) Z 1 - Z 2 = (a 1 - a 2 ) + j ( b 1 - b 2 ) Multiplication et division : (utilisation de la forme polaire). Z 1. Z 2 = 1. 2 exp j ( ) Z 1 / Z 2 = ( 1 / 2 ). exp j ( 1-2 ) Inverse : (utilisation de la forme polaire) ( Z 1 ) -1 = (1/ 1 ). exp -j ( JC_ROLIN_08_2017 page 2 sur 8 Lycée G. EIFFEL DIJON

3 Dérivation et intégration par rapport à l'argument : Soit Z =. exp j, sa dérivée par rapport à est dz / d = j exp j. Or j = exp j ( / 2 + k 2). Il vient dz / d =. exp j ( + /2). La dérivation correspond à une rotation de + /2 dans le plan complexe. Soit Z =. exp j, et son intégrale par rapport à soit. exp j d = j -1 exp j =. exp j ( - /2) L'intégration correspond à une rotation de - /2 dans le plan complexe. 2 UTILISATION DES NOMBRES COMPLEXES EN REGIME SINUSOÏDAL 2.1 Intérêt et domaines d emploi La fonction sinusoïdale joue un rôle de première importance en électricité pour les raisons suivantes. - La production d'énergie électrique se fait sous forme de tensions sinusoïdales dans les alternateurs, ce qui permet une distribution facile et économique à l'aide de transformateurs. Les grandeurs relatives à ces réseaux sont donc sinusoïdales. - Dans le cas d'un signal périodique de forme quelconque, on utilise son développement en série de Fourier. La fonction périodique est alors la somme d'un terme constant et de termes sinusoïdaux, ce qui permet de faire l'étude fréquentielle de chaque composante sinusoïdale de la série, sous forme complexe. De façon générale l'analyse du signal (électrique, acoustique, vibrations mécaniques...), utilise les grandeurs sinusoïdales et leurs compositions (somme, produit...). 2.2 Notation et représentation dans le plan complexe des grandeurs sinusoïdales fonctions du temps Soit les grandeurs instantanées aux bornes d un dipôle avec ω. t = θ angle instantané. La tension sinusoïdale Le courant sinusoïdal u(t) = U. 2 sin (ω. t) i(t) = I. 2 sin (ω. t φ) Dans un réseau linéaire en régime sinusoïdal établi, tous les courants et tensions varient avec la même pulsation, et seules les valeurs efficaces (U et I ici) sont significatives pour les grandeurs énergétiques (puissances). La tension U est prise à l origine des phases. On écrit simplement la transformation u(t) = U. 2 sin(ω. t) U = U i(t) = I. 2 sin (ω. t φ) I= I. e jφ 2.3 Dérivation et intégration en complexe des fonctions sinusoïdales du temps Dériver une grandeur sinusoïdale par rapport au temps revient dans le plan complexe à une multiplication par j, soit multiplier par cette grandeur et lui faire effectuer une rotation de + / 2 Intégrer une grandeur sinusoïdale par rapport au temps revient dans le plan complexe à une division par j, soit diviser par cette grandeur et lui faire effectuer une rotation de - / 2 Exemples : Pour un condensateur, si la tension appliquée est u(t) = U. 2 sin (ω. t), l'expression du courant i (t) est déterminée par la relation i(t) = C. du / dt. En complexe, I = j.c.. U, le courant est en avance de π/2 sur la tension appliquée. Pour une inductance, u(t) = L di / dt, le courant est obtenu par une intégration vis à vis du temps. En complexe, I = U / (jl.), le courant est en retard de π/2 sur la tension appliquée. Im Représentation dans le plan complexe avec positif (charge inductive) I U Re JC_ROLIN_08_2017 page 3 sur 8 Lycée G. EIFFEL DIJON

4 2.4 Impédance et admittance complexe L' impédance Z d'un dipôle est le rapport : L'admittance Y d'un dipôle est le rapport : Z = U / I (on utilise en général les grandeurs efficaces) Y = I / U = 1 / Z Pour U = U et I = I exp (- j ) on détermine Z = (U / I ). exp j ( ) Z = U / I est le module de Z et son argument De Y = (I / U). exp j (- ) = Y exp -j (), on déduit le module Y = I / U = 1 / Z et l'argument Définition de la résistance et de la réactance La résistance R est la partie réelle d'une impédance complexe, soit R = Re ( Z ). La réactance X est la partie imaginaire d'une impédance complexe, soit X = Im ( Z ) On écrit alors Z = Z exp ( j ) = R + j X on en déduit Z² = R² + X² et = arctan (X / R ) Im X G Z R Re On a représenté ci-contre l'impédance Z et son inverse l'admittance Y dans le plan complexe. B Y 2.6 COMPLEMENTS : Conductance G, et susceptance B d'une admittance Y L'admittance Y peut s'écrire sous la forme : Y = G + j B - G est la conductance soit G = Re ( Y ) = ( I / U ) cos = 1 / R - B est la susceptance soit B = Im ( Y ) = - ( I / U ) sin = -1 / X On trouve leur représentation dans le plan complexe sur la figure précédente. L'emploi des impédances est adapté aux montages séries, celui des admittances aux montages parallèles. JC_ROLIN_08_2017 page 4 sur 8 Lycée G. EIFFEL DIJON

5 2.7 Eléments R, L, C Pour déterminer toutes les composantes complexes de ces dipôles, on part des relations instantanées, où dériver et intégrer par rapport au temps revient à respectivement multiplier par j ou diviser par jdans le domaine complexe. Les résultats utiles sont résumés ci-dessous (Introduction à l électrotechnique Coulon et Jufer EPFL). JC_ROLIN_08_2017 page 5 sur 8 Lycée G. EIFFEL DIJON

6 2.8 Association d impédances, quelques exemples simples 3 PHENOMENES DE RESONANCE (ELEMENTS RLC) 3.1 En série, résonance série Le courant I est identique dans tous les éléments, et les tensions UR, UL, UC différent en module et en phase. On peut écrire la relation complexe : En développant L'impédance équivalente du dipôle est Sa partie imaginaire s'annule pour Pour = 0 le courant I est maximum et réel, il vaut La tension aux bornes de C est Le coefficient de surtension ou facteur de qualité Q est le rapport Ce circuit est un CIRCUIT RESONANT SERIE. JC_ROLIN_08_2017 page 6 sur 8 Lycée G. EIFFEL DIJON

7 3.2 En parallèle, résonance parallèle (circuit BOUCHON) La tension U est identique pour tous les éléments, et les courants IR, IL, IC, différent en module et en phase. On peut écrire en complexe pour le courant total I En développant, I= IR + IL + IC L'admittance équivalente est, Sa partie imaginaire s'annule pour la pulsation de résonance propre L'admittance étant alors minimale, l'impédance Z = 1/ Y est maximale. Le courant I passe par un minimum I min = U / R. Le facteur de qualité est Ce circuit est désigné sous le terme de CIRCUIT BOUCHON. 4 PUISSANCE EXPRIMEE EN FONCTION DES ELEMENTS RLC 4.1 Puissance active P en W La puissance active est localisée dans les éléments résistifs R. En régime sinusoïdal avec U et I grandeurs efficaces, P = U.I.cosφ avec φ = 0 car élément résistif pur soit : P = U.I En fonction du courant I En fonction de la tension U P = R.I² P = U² / R 4.2 Puissance réactive Q en VAR La puissance réactive est localisée dans les éléments réactifs ou réactance X et elle est du signe de X. Cette puissance n'a pas d'effet énergétique utile, mais elle traduit des échanges d'énergies à valeur moyenne nulle entre la source et des éléments réactifs, inductances ou capacités. Comme elle augmente le courant dans les conducteurs de ligne, on cherche à réduire son effet par compensation (compensation de l'énergie réactive). Lorsqu'un récepteur ou un ensemble de récepteurs possède une impédance Z = R + j X, la puissance réactive est du signe de la réactance X ou de, avec= arc tan (X / R). Pour un récepteur inductif dont la tension est en avance sur le courant, est positif, Q aussi. Pour un récepteur capacitif dont la tension est en retard sur le courant, est négatif, Q aussi. JC_ROLIN_08_2017 page 7 sur 8 Lycée G. EIFFEL DIJON

8 4.2.1 Cas d une inductance pure En régime sinusoïdal avec U et I grandeurs efficaces, Q = U.I.sinφ avec φ argument de l impédance Pour une inductance pure Z = jl imaginaire positif, φ = +π/2 soit : Q = U.I En fonction du courant I En fonction de la tension U Q = X.I² = L..I² Q = U² / X = U² / L Cas d une capacité pure En régime sinusoïdal avec U et I grandeurs efficaces, Q = U.I.sinφ avec φ argument de l impédance Pour une capacité pure Z = 1 / jc imaginaire négatif, φ = -π/2 soit : Q = - U.I En fonction du courant I En fonction de la tension U Q = X.I² = -(1/C.).I² Q = U² / X = U² / (-1/C.) = - U².C La compensation de puissance réactive est obtenue en associant aux circuits en général de nature inductive, des capacités de compensation, de façon à diminuer voire annuler le terme X de l'impédance équivalente après compensation vue de l source de tension. 5 PUISSANCE APPARENTE COMPLEXE Soit un dipôle et les grandeurs U et I complexes à ses bornes : I U = U I = I exp (- j ) U Le développement du produit complexe S = U. I *, avec I* conjugué de I tel que I* = I.e jφ donne : S= U.I* = U.I.e jφ. = U.I cos + j U.I sin = P + j Q On déduit alors U et I étant en valeurs efficaces (méthode des électriciens). La puissance active comme étant la partie réelle soit La puissance réactive comme étant la partie imaginaire soit P = Re [ U. I*] Q = Im [ U. I*] Attention les physiciens ont l habitude de prendre les amplitudes complexes et non les valeurs efficaces, les résultats sont alors modifiés d un coefficient ½ soit : P = ½. Re [ U. I*] Q = ½. Im [ U. I*] JC_ROLIN_08_2017 page 8 sur 8 Lycée G. EIFFEL DIJON