Dynamique des systèmes de solides 2

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1 Dynamiqe es sysèmes e solies I. Inroion. lô qe iliser le rinipe Fonamenale e la Dynamiqe il es parfois inéressan e isposer n héorème expriman la onseraion e l énergie. B : rire rapiemen l éqaion e moemen. Déerminer la pissane n aionner. Déerminer le renemen n méanisme. an éablir e héorème por n solie pis n sysème e solies, nos allons inroire les noions e pissane, raail, énergie e renemen. II. issane ne aion méaniqe.. issane éeloppée à l insan par ne aion méaniqe exériere sr n sysème maériel ans son moemen par rappor à n repère. oi n ensemble maériel éformables o inéformables en moemen par rappor à n repère. es somis à ne aion méaniqe el qe en o poin e s exere la fore élémenaire F. F pe êre ne aion olmiqe, srfaiqe... ar exemple, ans le as e la pesaner, on a masse olmiqe e z eer niaire erial asenan. F. g.. z, ae la La pissane éeloppée à l insan par ee aion méaniqe sr ans son moemen par rappor à n repère es : aion F. emarqe : i la pissane es posiie alors l aion méaniqe es morie. i la pissane es négaie alors l aion méaniqe es résisane.. Cas solie La pissane éeloppée par ne aion méaniqe sr le solie, ans le moemen e par rappor à es égale a ommomen orser inémaiqe e par rappor à e orser e l aion méaniqes sr.

2 aion aion Démonsraion : oi n solie en moemen par rappor à n repère. On exere sr ne aion méaniqe el qe en el qe en o poin e s exere la fore élémenaire F. aion F. On ilise la relaion e IGNON ae n poin fixe e. aion F. F. or le exième erme on ilise la relaion.. aion F.. F On pe sorir es inégrales e. aion F. F appel : Le orser ne aion méaniqe s éri : F F M F aion. F. M aion appel : Le orser inémaiqe s éri : Finalemen : aion aion emarqe : Ce ommomen ne épen pas poin hoisi mais les orsers oien êre exprimés a même poin.

3 xemple ans le as e l aion e la pesaner sr n solie m. g. z pes 0G 0 G G pes pes pes m. g. z. G m. g. G z G z G : iesse eriale III. issane es iner-effors. issane es effors inériers e liaison enre solies inéformables liés oi n sysème maériel onsié e solie e en moemen par rappor à n repère e liés enre ex par ne liaison L. Les pissanes éeloppées par les aions exérieres s érien : remier erme : : issane es effors exériers sr le sysème maériel. 3

4 Dexième erme : issane issipée ans la liaison enre les solies. On l appelle pissane es iner-effors e on la noe Finalemen : issanes éeloppées par les aions exérieres sr e : Une liaison parfaie es ne liaison qi ne issipe pas énergie : 0. Les liaisons normalisées son es liaisons parfaies.. Cas ne liaison parfaie : Liaison pio Torser inémaiqe : 0 y Torser aion méaniqe ransmissible enre les solies par la liaison pio : F M X Y Z L M N X Y Z issane es iner-effors : 0 L N 0 4

5 3. Cas n moer MOTU Moer Moer MOTU MOTU MOTU MOTU moer moer moer moer moer moer C moer. 4. D n ressor OT OT ressor ressor OT l F ressor. B K l l0. 5. Cas ona ponel. oi solies e en ona en n poin M. oi π le plan angen ommn à e a poin M. es n eer niaire apparenan a plan π. n es n eer niaire perpenilaire a plan π. F M M M M F N T N. n T. M 0 M.. n M. n 0 n M 5

6 Cas : as e froemen F N n. Cas : Froemen e glissemen M 0. T f. N e M. T 0 f : Coeffiien e froemen o faer e froemen. f an, : angle e froemen. T es sr le ône. Cas 3 : Froemen sans moemen M 0. f T es à l inérier ône. T. N Dans erain as on reherhe la limie e l éqilibre e qi nos amène à se T f. N. plaer sr le one Cas 4 : olemen sans glissemen M 0. i les froemen ne son pas nls, alors T f. N. issane issipée par n ona ponel F M M M M M N. n T. 0 M M M N. n T.. M M. n T. M appel : 0 La pissane es nlle lorsqe : La iesse e glissemen es nlle M 0 Il n y a pas e froemen T 0 6

7 I. Théorème e l énergie inéiqe. Cas n ensemble maériel. oi n ensemble maériel éformables o inéformables en moemen par rappor à n repère. es somis à ne aion méaniqe el qe en o poin e s exere la fore élémenaire F. La ériée e l énergie inéiqe e es égale à la somme es pissanes éeloppées par les aions méaniqes exérieres s exerçan sr e e la pissane es iner-effors enre les solies e. in. Cas n sel solie Démonsraion ans le as n sel solie : rinipe fonamenal e la ynamiqe : D On mliplie e haqe oé par le orser inémaiqe D, a.m a.m a.m. a.m.. 7

8 8. a.m. a.m...m. a 0. a.m..m.. a rois mixes opposés on ilise m..m. a..m. Finalemen : Démonsraion ans le as e solies : On aiionne : emarqe : Conrairemen a FD, le TC fai inerenir les aions méaniqes inérieres. Dans os les as por es liaisons parfaies : LIION j i 0

9 emarqe : Inerie o masse éqialene. or erains méanismes sysème iséro par exemple l énergie inéiqe pe se mere sos la forme :. I.. m.. I.. m. is is ero ero eq is eq ero On a ii Ieq I M p. is ero e Meq M ero I is. p Ces qaniés onsanes représenen : L inerie éqialene méanisme por n aionner qi enraînerai la is. La masse éqialene méanisme por n aionner qi enraînerai l éro.. xpression e l énergie inéiqe n solie L expression e l énergie inéiqe es. C poin fixe e..,.,.. emarqes : elaion à ne sro pas iliser por n sysème e solies. Cas pariliers : 9

10 Moemen e ranslaion e.. m. G, Moemen e roaion aor n axe O,z fixe ans.. I. O, z Moemen plan e. On émonre qe :.[ m. G, I G, z. ] I. Complémens : raail e énergie poenielle. Traail ne aion méaniqe sr n sysème maériel ans son moemen par rappor à n repère. oi n ensemble maériel en moemen par rappor à n repère. es somis à ne aion méaniqe el qe en o poin e s exere la fore élémenaire F. Le raail e ee aion méaniqe enre e es oben en somman la pissane éeloppée par ee aion enre es insans : aion aion. emarqe : Conrairemen à la pissane, le raail n es pas ne graner insananée mais es éfini sr n ineralle e emps o e éplaemen. 0

11 . nergie poenielle Lorsqe l aion es onserarie, 'es-à-ire qe le raail proi par ee fore es inépenan hemin sii par son poin aion, alors le raail e ee fore ne épen qe e l éa iniial e e l éa final e l énergie poenielle. aion p p C es le as e l aion méaniqe e pesaner : i la ireion z es eriale asenane ae l énergie poenielle e pesaner. Le raail éeloppé par le pois es pois m. g. z z g g Comme nos l aons prééemmen, la pissane es aions melles éeloppée par n ressor érie égalemen n poeniel. or n ressor e raion ompression : e OT K. l o l or n ressor e orsion : e OT C. o K. l l o l énergie poenielle élasiqe. C. o l énergie poenielle élasiqe. Bilan énergéiqe enre ex insans Le TC inégré enre ex insans e onne por n niqe solie : g g or n sysème e solie : g g in

12 Théorème ineressan por faire n bilan énergéiqe enre ex insans. xemple : nergie issipée lors freinage ne harge.. m. 0 g rail g air g roes hassis enemen n méanisme. Définiion : Le renemen es le rappor e la pissane éeloppée en sorie s sr la pissane reçe en enrée e. s On a s e e e Dans la pls par es as l énergie inéiqe e les pissanes son onsanes en régime permanen e le TC onne : 0 on e s issipée e e issipée i les graners prééenes ne son pas onsanes à o insan il fa faire n bilan sr n yle e érire : s e yle yle e yle e yle yle issipée