Problèmes de fiabilité dépendant du temps

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1 Problèmes de fiabilité dépendant du temps Bruno Sudret Dépt. Matériaux et Mécanique des Composants

2 Pourquoi la dimension temporelle? Rappel Résistance g( RS, ) = R S Sollicitation g( Rt (), St (),) t = Rt () St () Résistance - activation de phénomènes aléatoirement dans le temps Initiation de la corrosion des armatures - dégradation des propriétés des matériaux Ténacité de l acier de cuve 2

3 Pourquoi la dimension temporelle? Sollicitations - chargements climatiques. vent, hauteur de vague (dynamique). neige (pseudo-statique) - chargement sismique : γ(t) (dynamique) - charges de trafic, d occupation de bureau, etc. (pseudo-statique) - température de fluide (transitoire) 3

4 Sommaire Processus stochastiques : notions élémentaires Problèmes de fiabilité dépendant du temps - Formulation - Problèmes à marge décroissante Approche asymptotique - Taux de franchissement - Bornes sur la probabilité de défaillance - Intégration de Laplace - Mise en oeuvre Méthode PHI2 - Calcul analytique du taux de franchissement - Mise en oeuvre Exemples d application 4

5 Processus stochastiques Définition : ensemble de variables aléatoires X (, t ω) indexées sur le temps Xtω (, 0) : réalisation Xt ( 0, ω) (trajectoire du processus) Variable aléatoire x () t X(, t ω ) 1 1 x () t 2 x () t 3 f X ( xt, ) 0 t t 1 2 t x Caractérisation : densité conjointe de tout ensemble fini de variables f ( x x ) pour tout (t 1,.. t n ) X X n t1,..., 1,, t n 5

6 Notations Moyenne Variance Fonction d auto-corrélation Fonction d auto-covariance 6

7 Propriétés importantes (1) Stationnarité Moyenne et écart-type indépendant du temps Fonction d auto-corrélation invariante par translation Différentiabilité R ( t, t ) R ( t t ) XX 1 2 XX 2 1 Propriétés: (convergence en moyenne quadratique) 7

8 Propriétés importantes (2) Ergodicité Moyenne temporelle Espérance Ergodicité : permet de déterminer les propriétés d un processus à partir d une seule trajectoire 8

9 Processus ponctuel On considère un évènement se produisant aléatoirement dans le temps On définit les temps d arrivée (aléatoires) 0 < T < < n 1 ( ω) T ( ω) La fonction de comptage N(t,ω) est le nombre d occurrence de l évènement avant l instant t (processus à valeur entières) : ( ω) ( ω) { } N t, = sup n: Tn t 9

10 Processus ponctuel de Poisson Le processus ponctuel est de Poisson ssi s< t, N( t) N( s) 1) suit une loi de Poisson de paramètre (λ est l intensité du processus) λ( t s) soit en particulier 2) Les v.a. Nt ( 1), Nt ( 2) Nt ( 1), Nt ( k) Nt ( k 1) sont indépendantes Corollaire : - temps de première occurrence : loi exponentielle - Les intervalles T k+1 T k suivent des lois exponentielles -Le temps T k suit une loi gamma Γ( λ,k ) 10

11 Processus de renouvellement à saut St () fs () s T1 T 2 T 3 T4 T5 t L occurrence des sauts suit un processus de Poisson Les amplitudes S sont indépendantes les unes des autres Les amplitudes S suivent la même loi f S (s) (charges de trafic, occupation de locaux, etc.) 11

12 Processus gaussien Définition : {X(t 1 ),, X(t n )} est un vecteur gaussien. En particulier X(t) est de moyenne µ () t X de variance σ 2 () t X de densité Caractérisé par le coefficient d auto-corrélation Différentiabilité : ssi existence de la dérivée croisée 12

13 Processus gaussien stationnaire Propriétés de X(t) Moyenne, écart-type constant Autocorrelation ρ(t) : dépendant d une seule variable Propriétés du processus dérivé Différentiabilité si ρ (0) existe Pulsation : Moyenne nulle Ecart-type : 13

14 Coefficients d autocorrélation 14

15 Exemples de trajectoires (méthode de discrétisation EOLE) Moyenne : 5 Ecart-type : 1 λ = 1 15

16 Sommaire Processus stochastiques : notions élémentaires Problèmes de fiabilité dépendant du temps - Formulation - Problèmes à marge décroissante Approche asymptotique - Taux de franchissement - Bornes sur la probabilité de défaillance - Intégration de Laplace - Mise en oeuvre Méthode PHI2 - Calcul analytique du taux de franchissement - Mise en oeuvre Exemples d application 16

17 Problème de fiabilité dépendant du temps X (, t ω) Ensemble de variables aléatoires et de processus scalaires S (, t ω) j R ( ω) j gtxtω (, (, )) Fonction d état limite Probabilité cumulée de défaillance Probabilité instantanée de défaillance 17

18 Problèmes à marge décroissante (1) Définition La fonction d état limite ne comporte que des variables aléatoires et des fonctions du temps (pas de processus au sens strict) : on note Les réalisations de g sont des fonctions décroissantes du temps Propriété fondamentale ) la probabilité cumulée de défaillance se calcule comme la probabilité instantanée. 18

19 Problèmes à marge décroissante (2) Applications : problèmes de durabilité des structures le modèle de dégradation a une cinétique connue, par contre ses paramètres sont mal estimés g est fonction de t et de variables aléatoires X la performance du matériau se dégrade de façon monotone la fonction g est décroissante Exemple : corrosion des armatures dans le béton d o d(t) Temps d initiation aléatoire : (modèle de carbonatation du béton) 19

20 Sommaire Processus stochastiques : notions élémentaires Problèmes de fiabilité dépendant du temps - Formulation - Problèmes à marge décroissante Approche asymptotique - Taux de franchissement - Bornes sur la probabilité de défaillance - Intégration de Laplace - Mise en œuvre Méthode PHI2 - Calcul analytique du taux de franchissement - Mise en oeuvre Exemples d application 20

21 Franchissements d un processus Franchissements en croissant (upcrossing) Franchissement en décroissant (downcrossing) a xt () g( t, x( t) ) t N ( 0, t ) T1 T2 t Défaillance premier passage de g dans le domaine négatif P (0, t) = P( T t) T 1 temps de premier passage : f 1 21

22 Taux de franchissement Définition Nt ( 1, t2) : nombre (aléatoire) de franchissements entre t 1 et t 2 Propriété Remarque : processus régulier 22

23 Bornes sur la probabilité de défaillance Cas général Problème stationnaire 23

24 Cas des processus à sauts 24

25 Cas des processus différentiables at () at () xt () xt () t xt () t t + t Formule de Rice : 25

26 Formule de Rice : applications Processus stationnaire et seuil constant Processus stationnaire gaussien et seuil constant Xt ()~ Nµ ( Xt X, σ X) ()~ N(0, σ ) X indépendants : X ()et t X() t Processus stationnaire gaussien et seuil variable 26

27 Approche asymptotique (1) Calcul de ν + - Résumé - franchissement de seuil (plus généralement, d une surface) déterministe - seule source d incertitude : dans le processus (gaussien) insuffisant pour traiter des problèmes pratiques - problème de l intégration temporelle à résoudre dans le cas non stationnaire 27

28 Approche asymptotique (2) Notation Principes R : variables aléatoires Q : paramètres aléatoires de séquences ergodiques S : processus stochastiques, de paramètres pouvant dépendre de Q,R - Formules analytiques pour calculer le taux de franchissement conditionnel - Intégration asymptotique (Laplace) dans le temps - Intégration du nombre de franchissements conditionnels : asymptotique 28

29 Intégration de Laplace - principe Soit à approximer : λ, h(x), f(x) >0 + différentiabilité On suppose que f possède un minimum en un point critique x* développement limité autour de ce point x*=a ou b : x* ]a,b[ : 29

30 Mise en oeuvre de l approche asymptotique Détermination du point critique t* Utilisation d un algorithme FORM d Abdo-Rackwitz modifié qui détermine en même temps le point de conception et le t* minimisant β(t) sur [t 1,t 2 ] Implémentation Méthode développée par Rackwitz, Breitung, Faber et al., Implémentée dans COMREL TV Différentes approximations dans le raisonnement, pas toujours faciles à maîtriser Difficile de compréhension et de mise en œuvre 30

31 Sommaire Processus stochastiques : notions élémentaires Problèmes de fiabilité dépendant du temps - Formulation - Problèmes à marge décroissante - Bornes sur la probabilité de défaillance Approche asymptotique - Taux de franchissement - Intégration de Laplace - Mise en oeuvre Méthode PHI2 - Calcul analytique du taux de franchissement - Mise en oeuvre Exemples d application 31

32 Méthode PHI2 (1) Retour sur la définition du taux de franchissement : au numérateur, probabilité de défaillance d un système parallèle Approche intuitive (Der Kiureghian, 1995 ; Andrieu, 2002) On calcule la différence finie pour t suffisamment petit : Résolution d un problème de fiabilité d un système parallèle à deux composants par FORM Problème : choix de t délicat instabilités numériques 32

33 Méthode PHI2 approche analytique (1) Notations Soit : (Sudret, 2005) On a : Résolution FORM indice de fiabilité à l instant t+h Indice de fiabilité à l instant t Produit des cosinus directeurs Φ 2 : fonction de répartition binormale 33

34 Méthode PHI2 approche analytique (2) Problème stationnaire indépendant du temps : Problème non stationnaire avec : dépendant du temps, à intégrer pour avoir et la borne sup de P f (t 1,t 2 ) 34

35 P [ gtxtω (, (, )) > 0] Méthode PHI2 mise en oeuvre [ gtxt+ tω ] P (, (, )) 0 obtenu par FORM en fixant t dans les fonctions du temps β(t), α(t) remplaçant les processus S (, t ω ) par des v.a (1) obtenu par FORM en fixant t+ t dans les fonctions du temps remplaçant les processus Sj ( t+ t, ω) (2) (1) par des v.a corrélées aux S j j S j S j β(t+ t), α(t + t) Cas stationnaire : Choix de t : petit devant la longueur de corrélation (~1%), schéma très stable 35

36 Méthode PHI2 résumé Deux analyses FORM de problèmes indépendants du temps - Utilisation d outils / logiciels classiques de fiabilité (pas d implémentation spécifique pour calculer ν + ) - La deuxième est très rapide (choix du point de départ) - On peut aussi utiliser les corrections SORM des indices de fiabilité Pour calculer la probabilité de défaillance cumulée - schéma d intégration cumulatif (type trapèzes) pour avoir t P f (0,t) 1 t E[ N ( t t )] t ( t + k t) + ν ( t + ( k+ 1) t) ; t = N , 2 ν 1 1 k= intégration asymptotique de Laplace si la variation temporelle est lente, et si on connaît le point critique t N 36

37 Sommaire Processus stochastiques : notions élémentaires Problèmes de fiabilité dépendant du temps - Formulation - Problèmes à marge décroissante - Bornes sur la probabilité de défaillance Approche asymptotique - Taux de franchissement - Intégration de Laplace - Mise en oeuvre Méthode PHI2 - Calcul analytique du taux de franchissement - Mise en oeuvre Exemples d application 37

38 Un exemple analytique (1) Fonction d état limite N ( µ, σ ) Taux de franchissement R R Processus gaussien N ( µ, σ ) S S t2 t1 ρs ( t1, t2) = exp λ pulsation ω = 2/ o 2 λ Probabilité cumulée de défaillance β LB LB P f = 1 ( LB P ) UB 1 UB = Φ f β = Φ ( P f ) 38

39 Un exemple analytique (2) 39

40 Durabilité d une poutre corrodée F(ω,t) d c (t)=κ t zone corrodée corroded area h 0 b 0 sound steel acier sain gt () = M () t Mt () ult M ult () t = bth 2 () () t 4 σ e Fl ρstb0h0l Mt () =

41 Variables aléatoires Parameter Type of distribution Mean Coefficient of variation Load Gaussian 3500 N 20 % Steel yield stress Lognormal 240 MPa 10 % Beam breadth Lognormal 0.2 m 5 % Beam height Lognormal 0.04 m 10 % Cas n 1 : la charge est constante dans le temps (variable aléatoire) Cas n 2 : la charge est modélisée par un processus gaussien, de longueur de corrélation 1 jour Durée de vie de la structure : 20 ans 41

42 Résultats (années) Taux de franchissement 42

43 Résultats Indice de fiabilité 43

44 Conclusions Problèmes à marge décroissante - dégradation lente de structures : variables aléatoires + fonctions du temps monotones - se ramène à un problème indépendant du temps - on peut utiliser les techniques classiques (FORM/SORM/IS/subset simulation, etc.) Approches par taux de franchissement - nécessaire quand il y a des processus stochastiques - permet d obtenir une borne supérieure de P f (t 1,t 2 ), c est-à-dire de la fonction de répartition du temps de première défaillance 44

45 Conclusions (2) Approche asymptotique - basée sur des formules analytiques pour le franchissement de processus élémentaires - utilisation de formules d intégration asymptotique dans le temps et dans l espace des paramètres - difficile d accès, implémenté dans un logiciel unique (COMREL TV) Méthode PHI2 - plus intuitif dans sa formulation - utilise les outils de l analyse de fiabilité système classique (FORM) Pas d implémentation spécifique (FERUM, PhimecaSoft, OpenTurns) 45

46 Merci de votre attention 46