Exercices résolus de mathématiques. TRI 0 EXTRI000 EXTRI Jacques Collot. 30 juillet 03.

Transcription

1 xercices résolus de mathématiques. TRI 0 XTRI000 XTRI009 Jacques ollot 30 juillet TRI 0 - -

2 XTRI00 Liège, septembre 000. éterminer la distance entre les points et à partir des données fournies sur le des ci-après m m m m 0 5 ( ) cos m - TRI 0 - -

3 XTRI00 Liège, septembre 998. Soit le pentagone donné à la figure ci-*dessous ; calculer en degrés la somme des angles a + b + c + d + e γ 5 7 δ β 3 0 ε 0 α La somme des angles internes dun pentagone est ( ) égale à : La somme des angles externes sera donc : α+β+γ+δ+ε ( ) utrement dit, la somme est indépendan te de la forme du pentagone, et il est inutile de se lancer dans un calcul détaillé. Modifié le 3 août TRI 0-3 -

4 XTRI003 Liège, juillet 996. alculer l aire du quadrilatère non-convexe, sachant que a 0 cm ; b 50 cm ; c 60 cm ; d 70 cm et l angle β 50 d c a β b cos50 87 cm s 08.5 cm ( )( )( ) cm cm cm - TRI 0 - -

5 XTRI00 Liège, septembre 997. n se basant sur la figure ci-dessous où les angles et sont égaux à 5, déterminer l aire hachurée 0 cm 0 cm cm 0 cm F 0 cm 0 cm 5 5 G H 60 cm 0 cm - TRI 0-5 -

6 Laire recherchée S est égale à : S + F F GH 60² 60 F 900 car F est un demi carré de côté égal à ( ) 60 F car la hauteur 0 0 et GH car GH 0 ( triangles semblables) S 600 cm² Note : Linformation sur (0 cm) est donc inutile. Solution proposée par amien Gérard Les trois triangles ont la même hauteur. onc, étant donné quon ne recherche que laire, on peut librement basculer les triangles supérieurs en bas et faire coller leurs sommets contre le sommet du triangle que se trouve déjà en bas. Là, on voit que ca ne donne quun seul gros triangle dont laire est base hauteur/ à savoir 60 0/600 cm Modifié le août 005. Modifié le 8 juin 06 (amien Gérard) - TRI 0-6 -

7 XTRI005 Liège, juillet 000. On donne un triangle dont les longueurs sont connues. Par le sommet, à l intérieur du triangle, on mène deux segments de droites, et, formant avec, et, des angles des 0 degrés, tels que et appartiennent au côté,. (voir figure ci-après). alculer la surface du triangle 0 0 m 95 m 0 m m m H 0 m - TRI 0-7 -

8 - TRI ² cos cos ² 0² ² ) 35, cos 95 95² ² 0² ) : m ire H H H + +

9 XTRI006 Liège, juillet 999. onnaissant les distances suivantes ruxelles - Lisbonne thènes ruxelles erlin Lisbonne thènes erlin ruxelles Rome Lisbonne Rome thènes Rome 73 km 089 km 30 km 80 km 8 km 873 km 00 km alculer la distance erlin ruxelles. Suggestion : utiliser uniquement les formules de calcul d angles ou de côtés dans des triangles, après avoir représenté graphiquement la situation géographique des villes. ruxelles 3 erlin 73 km 089 km 80 km 30 km 8 km Lisbonne 873 km Rome 3 00 km 5 3 thènes - TRI 0-9 -

10 - TRI km 65 cos ² 089² ² cos ² ² 30² 5.8 cos ² ² 873² cos ² 873² ² cos ² 089² 00² cos ² 73² 8²

11 XTRI007 Liège, septembre 999. onnaissant les distances suivantes ruxelles erlin ruxelles - Lisbonne ruxelles Rome ruxelles - thènes Lisbonne - erlin Lisbonne Rome erlin - thènes 68 km 73 km 8 km 089 km 30 km 873 km 80 km alculer l aire du quadrilatère ruxelles erlin - thènes - Lisbonne. ruxelles 68 km erlin 73 km 80 km 089 km 30 km 8 km Lisbonne 873 km Rome thènes - TRI 0 - -

12 Le quadrilatère recherché est la somme des triangles : ruxelles - erlin - thènes et ruxelles - Lisbonne - erlin 30² 68² 73² arc cos ² 30² 68² arc cos ² 68² 80² arc cos S S km² - TRI 0 - -

13 XTRI008 Liège, juillet 998. Soit le quadrilatère donné par les longueurs de ses côtés et d une de ses diagonales (figure ) a) calculer en degrés les angles indiqués sur la figure b) calculer la surface du quadrilatère. c) calculer le rapport entre, d une part, la distance du point au centre du cercle circonscrit au triangle et, d autre part, le rayon de ce cercle. d) calculer le rapport entre, d une part, la distance du point au centre O du cercle circonscrit au triangle et d autre part, le rayon de ce cercle (figure ). Le rayon du cercle circonscrit à un triangle est donné par la formule R abc/s où S est la surface du triangle et a, b, c les longueurs des côtés. Suggestion : calculer R, µ puis dans le triangle O, calculer la longueur du segment O,. (Figure ) - TRI 0-3 -

14 a) ² ² + 5² 5 cosβ β5.378 δ77.36 ( 3,, 5) est un triplet pythagoricien λ90 α arc cos 5 est rectangle α et γ b) S ² ² S c) d) Le centre du cercle circonscrit au rectangle,est situé en G milieu de G est rectangle G R ² ² + 3² 3 cos R 3.87².87² 3² µ arc cos.87 3 cosµ O G² ².5² ( ) ( ) O² ² +.87².87 cos O R G R G ( ) - TRI 0 - -

15 XTRI009 Liège, juillet 997. onsidérons un repère Oxy dans lequel les coordonnées des points, et sont (0, ), (3.5, 5), (5, 0). Toutes les données de position sont exprimées en centimètres. éterminer l aire de l hexagone défini à la figure ci-dessous où les angles O,, et sont respectivement égaux à 5, 50, 0 et TRI 0-5 -

16 alculons les distances : O O 5 de même O ( 3.5 0) ² + ( 5) ² On a : 6.033² 3.60² ² arc cos ² 5.0² 3.60² arc cos ² 5² 5.0² arc cos onc et onc S S cm² - TRI 0-6 -