Calcul numérique T R E 1

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1 C H A P I T R E Calcul numérique REVOIR les opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire ; les puissances de dix ; les puissances d exposant entier relatif ; l écriture scientifique d un nombre positif DÉCOUVRIR les règles de calcul sur les puissances SOCLE COMMUN SC Calculer avec des nombres relatifs en écriture fractionnaire SC Utiliser les règles de calcul avec des puissances sur des exemples Hanging Heart signifie «cœur suspendu» en anglais Cette œuvre fut exposée en 006 au Palazzo Grassi, à Venise Jeff Koons, né en 955, est un artiste américain mondialement connu pour ses sculptures monumentales Hanging Heart est un énorme cœur étincelant suspendu à un nœud parfaitement équilibré Ce cœur en acier inoxydable est couvert de plus de dix couches de peinture, mesure près de 3 mètres de hauteur et pèse environ,5 tonne Chez l adulte en bonne santé, le pouls au repos est d environ 70 pulsations par minute Ce nombre correspond au nombre de battements du cœur ) Calculer le nombre de pulsations sur une journée ) a) Calculer le nombre de pulsations durant 60 années de sa vie (On considère qu une année dure 365 jours) b) Écrire ce résultat en écriture scientifique 3

2 ACTIVITÉS Je calcule avec des fractions A Addition avec des fractions Voici les calculs justes d Amélia : Justifier chacune des égalités Q, W et E écrites par Amélia 5 7 = = 0 = 0 = Q W E B Multiplication avec des fractions Voici les calculs justes de Berny : = 5 5 Justifier chacune des égalités Q W E Q, W, E et R écrites par Berny C Division avec des fractions Voici les calculs justes de Chahine : Justifier chacune des égalités Q, W et E écrites par Chahine = = = 7 Je revois R 4 35 : = = = Q W E J utilise la notation puissance A Puissance d exposant entier positif Écrire chaque produit sous la forme a n, où a est un nombre relatif et n un entier positif a) ; b) 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 ; c) ( 7) ( 7) ( 7) Calculer mentalement chaque expression a) 5 3 ; b) ( 3) 4 ; c) 0,7 ; d) ( ) 7 B Puissance d exposant entier négatif On rappelle que l inverse du nombre 3 est aussi noté 3 Recopier et compléter les égalités suivantes : 3 = = Écrire chaque expression sous la forme d une fraction la plus simple possible a) 4 3 ; b) ( ) ; c) 7 3 J utilise l écriture scientifique d un nombre décimal Soleil Terre Lune Je revois Je revois La distance de la Terre au Soleil est d environ cent cinquante millions de kilomètres La vitesse de la lumière est d environ trois cent mille kilomètres par seconde Donner l écriture scientifique : a) de la distance Terre Soleil (en km) ; =,5 0? b) de la vitesse de la lumière (en km/s) a) En utilisant les écritures scientifiques trouvées, calculer la durée (en s) que met un rayon lumineux issu du Soleil pour atteindre la Terre b) Exprimer cette durée en minutes et secondes 4

3 CHAPITRE 4 J établis des règles de calcul pour les puissances d un nombre relatif a désigne un nombre relatif non nul A Produit et quotient On veut exprimer le produit a 4 a 3 sous la forme a n, avec n un entier relatif a) Décomposer a 4 et a 3 en produits de facteurs égaux à a b) Ainsi, combien de facteurs égaux à a comporte le produit a 4 a 3? c) Recopier et compléter les égalités suivantes : a 4 a 3 = a 4 3 = a On veut exprimer le quotient a7 a 4 sous la forme an, avec n un entier relatif a) Décomposer a 7 et a 4 en produits de facteurs égaux à a b) Simplifier alors la fraction a7 a4 par le plus grand nombre possible de facteurs égaux à a c) Recopier et compléter les égalités suivantes : a7 a4 = a7 4 = a 3 Écrire chaque expression sous la forme a n, avec n un entier relatif a) a 5 a 3 ; a 5 = a 5 b) a 3 a 7 ; c) a a ; d) a 6 5 a ; e) a 5 3 a = a 3 a3 8 B Puissance d une puissance Recopier et compléter les expressions ci-dessous a) (a ) 3 = a a a = a 3 = a ; b) (a ) 3 = ( a )3 = a a a = a = a 3 = a Écrire les expressions suivantes sous la forme a n, avec n un entier relatif : a) (a ) 3 ; b) (a ) 3 5 J établis des règles de calcul pour les puissances de nombres relatifs a et b désignent des nombres relatifs non nuls A Puissance d un produit de deux nombres relatifs Recopier et compléter les expressions suivantes : a) (ab) 3 = ab = a a a = a b ; b) (ab) 5 = (ab) = (ab) = a b = a b En appliquant cette méthode, calculer mentalement 0 6 B Puissance d un quotient de deux nombres relatifs Recopier et compléter l expression suivante : ( a b) 3 = ( a a = b) b a) Justifier que : ( a b) b = a b) En déduire que : ( a b b) = a 0 6 = ( 0) 6 CHAPITRE CALCUL NUMÉRIQUE 5

4 COURS Calculs avec des écritures fractionnaires a) Addition et soustraction PROPRIÉTÉ On a : a, b et c désignent des nombres relatifs, avec b 0 a b + c b = a + c a et b b c b = a c b EXEMPLES : = + 8 = = = 5 7 Remarque : Pour additionner ou soustraire deux écritures fractionnaires de dénominateurs différents, on commence par les mettre au même dénominateur EXEMPLE : 7 3 = = = 4 = b) Multiplication et division PROPRIÉTÉ On a : a, b, c et d désignent des nombres relatifs, avec b 0, c 0 et d 0 a b c d = a c a et b d b : c d = a b d c Remarque : Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse EXEMPLES : = = 8 = 8 7 : 5 3 = = = = 5 Puissances d un nombre relatif a) Puissances d exposant entier positif = = = 5 3 = 5 5 = 3 5 : 3 7 = = = DÉFINITION a désigne un nombre relatif et n désigne un nombre entier positif non nul Le produit de n facteurs tous égaux à a se note a n a n = a a a a n est une puissance du nombre a et se lit «a exposant n» n facteurs égaux à a Le nombre n est appelé l exposant e t i e e ye 6 EXEMPLES : 5 = = 3 ( 4) 3 = ( 4) ( 4) ( 4) = 64 ( 5) 3 = ( 5) ( 5) ( 5) = 8 5 EXEMPLES : ( 7) = 7,8 0 = 0 6 = = Cas particuliers : a = a Pour a 0, on convient que : a 0 =

5 CHAPITRE b) Puissances d exposant entier négatif DÉFINITION a désigne un nombre relatif non nul et n désigne un nombre entier positif non nul Le nombre a n est l inverse du nombre a n : a n = a n EXEMPLES : 4 3 = 4 = 3 64 ( 3) 4 = ( 3) 4 = 8 ( 6 7) = ( 6 = ) = = 0 = = 0, Cas particulier : Pour a 0, a = a = a Ainsi, le nombre a est l inverse du nombre a EXEMPLES : 7 = 7 ( 3) 3 = 3 Écriture scientifique d un nombre décimal DÉFINITION L écriture scientifique d un nombre décimal est l unique écriture de la forme a 0 n dans laquelle : a est un nombre décimal qui possède un seul chiffre avant la virgule, ce chiffre étant non nul ; n est un nombre entier relatif EXEMPLES : L écriture scientifique du nombre est, L écriture scientifique du nombre 0, est 7, Règles de calcul pour les puissances de nombres relatifs a désigne un nombre relatif non nul ; n et p désignent des nombres entiers relatifs a n a p = a n + p an a p = an p PROPRIÉTÉS (ADMISES) (a n ) p = a n p EXEMPLES : = ( 8) = 7 3 ( 3) ( 3) 5 = ( 3) 5 = ( 3) 7 (6 4 ) 7 = = 6 8 a et b désignent des nombres relatifs non nuls ; n désigne un nombre entier relatif (a b) n = a n b n ( a b ) n = an b n PROPRIÉTÉS (ADMISES) EXEMPLES : (4x) 3 = 4 3 x 3 = 64x 3 ( 3) 4 = 4 3 = CHAPITRE CALCUL NUMÉRIQUE 7

6 À L ORAL Calculs à l aide d écritures fractionnaires Pour les exercices à 5, calculer chaque expression SC a) ; b) ; c) SC a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) a) 5 7 ; b) 9 ; c) ; d) ; e) 6 4 ; f) a) 4 5 : 3 7 ; b) 8 5 : 7 3 ; c) 7 : 5 ; d) 5 4 : 3 ; e) : ( ; f) ( ) : ( 8) 4) 5 a) ; b) ; c) Calculer chaque expression On donnera le résultat sous la forme la plus simple possible a) ; b) 3 5 ; c) ; d) 5 3 : 5 Puissances d un nombre relatif 7 Calculer chaque nombre a) 7 ; b) 8 ; c) 3 ; d) 0 7 ; e) ( 5) ; f) 9 ; g) 5 ; h) ( 6) ; i) 3 0 ; j) 3 ; k) ( ) 3 ; l) 3 8 Compléter chaque égalité à l aide d un exposant entier relatif a) 36 = 6 ; b) 8 = ( ) ; c) 8 = ( 3) ; ; f) 0,5 = d) 3 = 3 ; e) 5 7 = ( 7 5) 9 Compléter chaque égalité à l aide d un exposant entier relatif a) 0000 = 0 ; b) 0,0 = 0 ; c) 0,000 = 0 ; d) 000 = 0 ; e) 0,0000 = 0 ; f) 0,0= 0 Écriture scientifique d un nombre décimal 0 Donner l écriture décimale de chaque nombre a) 8 0 ; b) 7,3 0 3 ; c),4 0 ; d), 0 4 ; e) 8,6 0 4 ; f) Donner l écriture scientifique de chaque nombre a) 356 ; b) 0,007 8 ; c) ; d) 3,784 ; e) 38,45 ; f) 0,56 Donner l écriture décimale, puis l écriture scientifique de chaque expression a) 0, ; b) ; c) 0,7 0 3 Règles de calcul sur les puissances SC Pour les exercices 3 à 7, exprimer chaque expression sous la forme a n, où a est un nombre relatif et n un entier relatif 3 a) ; b) ; c) ; d) ; e) ( ) 3 ( ) 5 ; f) a) ; b) 3 ; c) ; d) a) (4 3 ) 5 ; b) (7 ) 3 ; c) (4 6 ) 7 ; d) (5 ) 8 ; e) (( 6) ) 3 ; f) (( 3) 8 ) 6 a) ; b) 0,5 4 ; c) ( 5) ; d) 0,5 4 ( ) 4 ; e) ( 7) 5 ( 3) 5 5 ; f) 8 3 ( 4) 3 7 a) 7 ( 7) ; b) 35 ; c) 6 ; d) Parmi les expressions suivantes, laquelle est égale à ( 7x)? a) 49x ; b) 49x ; c) 7x ; d) 49x 9 Parmi les expressions suivantes, laquelle est égale à ( x ) 3? a) x3 8 x3 ; b) 8 ; c) x x3 ; d) 8 0 En remarquant que 5 7 = 5 6 5, calculer

7 SAVOIR FAIRE CHAPITRE J'apprends à Calculer une expression contenant des puissances ÉNONCÉ Calculer l expression A suivante et donner le résultat sous la forme la plus simple possible : A = ( ) SOLUTION A = ( ) A = A = A = A = A = 35 7 J ai respecté les priorités opératoires : je ne dois pas calculer 9 7! Je commence par calculer les puissances : ( ) 3 = = 8 3 = 3 = 3 3 = 9 J'applique Pour les exercices à 9, calculer chaque expression et donner le résultat sous une forme la plus simple possible A = 3 + 3² ; B = 5 + 7² ; C = 3 + 6² A = (6 3 )² ; B = 6 3 ² ; C = (6 3) ² ; D = 6 (3 )² 3 A = ( : )² ; B = ( 5 + 8) : ² ; C = : ² ; D = 5 + (8 : )² 4 A = 4² ² ; B = 6 3 ( ) 3 ; C = ( ) ; D =,5 3 + (7 4) A = 0 3 ; B = 33 6 ; 3 3 C = ( ) 3 4 ; D = + ( ) 3 6 A = 3 3 ; B = 3 3 ; C = A = + ; B = ² ; C = ; D = : ; E = ; F = A = ( ) ; B = ( ) 4 + ( ) 4 ; C = ( ) 3 + ( ) 3 ; D = ( ) 4 ( ) 4 9 A = ; B = ² ; C = ; D = (3² + 5 ) : ( + 6 ) 30 Calculer chaque expression A = 5 3 ( 4 + 4) ; B = ; C = ; D = 5 + ( 3) Donner l écriture décimale de chaque expression A = ; B = ; C = On donne : D = 5, ,83 0 Démontrer que D est un nombre entier J ai calculé le nombre D 33 Écrire sous forme décimale chacune des expressions suivantes : E = ; F = On considère les expressions A et B : A = 3 + ( 3 3 ) ; B = (7 7 5) : (7 3 ) ) Calculer l expression A ) Calculer l expression B 3) En déduire que : A B = 3 CHAPITRE CALCUL NUMÉRIQUE 9

8 SAVOIR FAIRE J'apprends à Utiliser les règles de calcul sur les puissances ÉNONCÉ On donne : A = (3 ) 3 5 (3 5) 4 Écrire l expression A sous la forme 3 n 5 p, où n et p sont des entiers relatifs SOLUTION A = (3 ) 3 5 (3 5) 4 A = 3 ( 3) A = A = A = 3 6 ( 4) 5 A = A = ( 4) Pour calculer (3 ) 3, j utilise la formule (a n ) p = a n p Pour calculer (3 5) 4, j utilise la formule (a b) n = a n b n J utilise la formule a n a p = an p, avec a = 3, puis avec a = 5 J'applique Pour les exercices 35 à 4, écrire chaque expression sous la forme a n, où a est un nombre relatif et n un entier relatif 35 SC a) ; b),8 7,8 0 ; c) ; d) ( e) ( ) 5 ( ) 3 ; f) ( 7 3) 3 ( 3) 5 ; 5) SC a) ; b),, 3 ; 4 c) ( 7) 5 4 ( 7) ; d) 5 4 ; e) ; f) ( 4) 3 ( 4) 7 37 a) ; b) SC a) 37 3 ; b) ; 8 ( 7)3 c) ( 7) ; d),4 3 8, SC a) (5 ) 4 ; b) (4 3 ) 7 ; c) (3 5 ) ; d) (( 7) 3 ) 5 ; e) (0,8 3 ) 4 ; f) ( 8 ) A = ; B = 3,4 3 3,4 5 ; 7 3,4 8 C = ; D = E = 3 ( 9 ) 8 8 ; F = 6 5 (8 5 ) Pour les exercices 4 à 44, écrire chaque expression sous la forme a n, où a est un nombre relatif et n un entier relatif 4 SC a) ; b) ; c) ( 4) 6 ; d) ( 3) 7 ( 4) 7 5) 4 3 ( 7) 4 ; b) ( 5) 7 ( ) 7 ; 3) ; d) ( ) 5 ( 8) 5 43 a) ( c) ( 4 44 SC a) 5 4 ; b) ( 5) 7 ; c) 43 5 ; d),4 3 6 Pour les exercices 45 et 46, écrire les expressions sous la forme a n b p, où a, b, n et p sont des nombres entiers relatifs 45 A = ; B = (34 ) (3 4) 7 ; C = D = 76 (3 ) ; E = (3 8) 9 ; F = 7 5 (5 ) Calculer chaque expression et donner le résultat en écriture décimale G = (3 ) 3 (0 4 ) 3 ; H = (7 4 ) (0 )

9 JE M ENTRAÎNE Calcul à l aide d écritures fractionnaires 48 SC On donne : x = 4 3 et y = 5 Calculer a) x + y ; b) x y ; c) x y ; d) x : y 49 SC On donne : x = 7 et y = 8 Calculer a) x + y ; b) x y ; c) x y ; d) x : y 50 SC On donne : x = 3 5 et y = 6 7 Calculer a) x + y ; b) x y ; c) x y ; d) x : y Pour les exercices 5 à 53, calculer chaque expression et donner le résultat sous la forme d une fraction la plus simple possible Puissances d un nombre relatif Voir Savoir faire, p 7 55 Calculer chaque nombre a) 7 ; b) ( 3) 3 ; c) 7 ; d) 0 7 ; e) 0,8 ; f) 3 ; g) ( ) 3 ; h) ( ) 3 56 Calculer chaque nombre en donnant le résultat sous la forme d une fraction a) 9 ; b) ( 3) 4 ; c) 3 ; d) Recopier et compléter chaque égalité à l aide d un exposant entier relatif a) 5 = 5 ; b) 7 = ( 3) ; c) 49 = 7 ; d) 4 = ; e) 5 7 = ( 7 5) ; f) 7 8 = ( 3 ) CHAPITRE 5 A = ; B = ; C = : 5 ; D = ( 4 3) A = ; B = : 6 5 ; C = ; D = A = ; B = C = ; D = : ( 3 + 6) La première semaine, un magasin de sport a vendu les 3 de ses chaussures de 7 course La seconde semaine, il a vendu les 3 de ce qui lui 5 restait ) Quelle proportion de chaussures reste-t-il à la fin de la première semaine? ) Quelle est la proportion de chaussures vendues la seconde semaine? 3) En déduire la proportion de chaussures vendues en deux semaines 58 Écrire chaque nombre sous la forme a n, où a et n est sont des entiers relatifs a) 3 ; b) 7 ; c) ; d) 8 59 Calculer les expressions suivantes : A = (7 + 3) ; B = ; C = ; D = (7 3) ; E = 7 3 ; F = Calculer les expressions ci-dessous A = ; B = ( 3) ; C = [ 3 ( ) 3 ] : ; D = [53 ( 5) ] 6 Calculer chaque expression et écrire le résultat sous la forme la plus simple possible A = (8 5) + ( 5) 3 + (8 9) 3 ; B = 5 ( 3 ) ; C = 5 (8 6) ; D = Calculer les expressions A et B suivantes : A = ( 3) ; B = On donne les expressions C et D suivantes : C = x 3 7x 4 et D = x x 4 ) a) Calculer C et D pour x = 3 b) Calculer C et D pour x = c) Calculer C et D pour x = 0 ) a) Peut-on affirmer que C = D? b) Choisir une autre valeur de x, puis calculer C et D Que peut-on conclure? CHAPITRE CALCUL NUMÉRIQUE

10 JE M ENTRAÎNE Écriture scientifique d un nombre décimal 64 Retrouver les écritures qui désignent le même nombre 0, , , , Écrire chaque nombre sous la forme a 0 3, où a est un nombre décimal a) ; b) 457 ; c) 6 ; d),456 Pour les exercices 66 et 67, donner l écriture scientifique de chaque nombre 66 a) ; b) 0, ; c) 438,7 ; d) ; e) 0,57 ; f) 0, a) 0,034 5 ; b) ; c),67 ; d) 56 ; e) 0,00 ; f) 0, SVT On a prélevé ml de sang d un adulte Dans cet échantillon, il y a globules rouges Le corps de cet adulte contient 5 L de sang Combien de globules rouges contient le corps de cette personne? On donnera la réponse en écriture scientifique 69 Calculer les expressions suivantes, puis donner leur écriture scientifique : G = 4, ,4 0 4 ; H =, Physique Chimie La vitesse d une sonde spatiale est d environ 0800 m/s Donner l écriture scientifique de cette vitesse exprimée en kilomètres par heure Règles de calcul sur les puissances Voir Savoir faire, p 8 Pour les exercices 7 et 7, écrire les expressions sous la forme a n, où a est un nombre relatif et n un entier relatif 7 a) a 3 a 5 ; b) (a ) 4 ; c) a 6 a ; a d) 3 a ; e) a 7 4 a ; a3 f) 5 a 7 a) a5 a 4 a 8 ; b) a 7 a 5 a 5 ; c) (a 4 ) 3 a 9 a 8 a 5 ; d) a 4 a 8 (a 8 ) a 6 73 SVT Le Laurier de Saint-Antoine produit environ minuscules graines par an On suppose que chaque graine donne naissance à une plante ) Calculer le nombre de graines produites par ces nouvelles plantes en une année ) Donner l écriture scientifique de ce nombre 74 On donne : A = 7 (7 ) 4 7 Calculer l expression A et l écrire sous la forme d une fraction la plus simple possible 75 ) On veut donner l écriture décimale de l expression B = Léo a écrit : B = = a) Expliquer la démarche juste de Léo b) Terminer son calcul ) En suivant la même méthode, calculer les expressions suivantes : 4 0 C = ; D =

11 J APPROFONDIS CHAPITRE 76 Calculer chaque expression et donner le résultat sous la forme d une fraction la plus simple possible D = ; E = ( 7 3) ; F = 45 : ; G = ( ) : ( ) 77 Trois points A, B et C d une droite graduée ont respectivement pour abscisses 4, 3 et 5 Ces trois points sont-ils régulièrement espacés sur la droite graduée? Justifier la réponse 78 On donne : r = 7 3, s = 5 et t = 3 7 Calculer les expressions suivantes : a) r + s t ; b) r s : t ; c) r s ; d) t r t s 79 Sport L équipe de France féminine de biathlon a terminé deuxième du relais 4 6 km des jeux Olympiques de 00 Lors de cette course, le temps réalisé par la première relayeuse française correspond à 4 du temps total 5 réalisé par son équipe La deuxième relayeuse a réalisé et la troisième 4 7 du temps de l équipe de France 60 La dernière relayeuse a effectué son parcours en 4 minutes Calculer le temps, en heures et minutes, réalisé par l équipe de France lors de ce relais 80 On donne : A =,4 0 4 et B = ) Calculer les expressions suivantes : a) A + B ; b) A B ; c) A B ; d) A : B ) Donner l écriture scientifique de chaque nombre trouvé à la question ) 8 Calculer chaque expression et donner son écriture scientifique K = 7 0 (0 7 ) 4 ; L = 6 0 ( 0 8 ) 3 ; M = 0,9 0 ; N = 3, (0 ) On considère cette expression numérique : A = ) a) Donner l écriture décimale de l expression A b) En déduire son écriture scientifique ) Écrire l expression A sous la forme : a) d un produit d un entier par une puissance de 0 ; b) d une somme d un entier et d une fraction inférieure ou égale à 83 Physique Chimie Un gramme d hydrogène contient 6,0 0 3 atomes d hydrogène Un gramme d hydrogène occupe un volume de, litres Calculer le nombre d atomes d hydrogène contenu dans un litre d hydrogène 84 Physique Chimie Le noyau de l atome de cuivre contient 9 protons et 34 neutrons Un proton pèse, kg et un neutron, kg Calculer la masse du noyau d un atome de cuivre 85 Physique Chimie 0 8 électrons pèsent kg La masse d un neutron est, fois plus grande que celle d un électron ) Quelle est la masse d un électron? ) Quelle est la masse (en kg) d un neutron? 86 Physique Chimie La vitesse de la lumière est environ km/s ) La lumière met un soixante-quinzième de seconde pour aller d un satellite à la Terre Calculer la distance séparant le satellite de la Terre ) La lumière met environ 8 minutes et 30 secondes pour nous parvenir du Soleil Calculer la distance entre la Terre et le Soleil On donnera le résultat en écriture scientifique CHAPITRE CALCUL NUMÉRIQUE 3

12 J APPROFONDIS 87 Physique Chimie Le tableau ci-dessous présente les rayons des orbites circulaires de trois planètes et leur temps de révolution autour du Soleil Mercure Mars Uranus Planète Mercure Mars Uranus Rayon de l orbite (en km) 5,8 0 7,3 0 8,9 0 9 Temps de révolution (en jours) ) Calculer la circonférence (en km) de l orbite circulaire de chacune de ces planètes On donnera un arrondi en écriture scientifique ) Calculer la vitesse de déplacement (en km/s) de ces planètes autour du Soleil 3) Comment ces vitesses de déplacement autour du Soleil varient-elles selon que les planètes en sont plus ou moins éloignées? 88 L unité est le centimètre On donne : AC = A 9 ) p désigne un nombre entier positif non nul a) Justifier que : ( 7) p = 49 p En déduire le signe de ( 7) p b) Justifier que : ( 7) p + = 49 p ( 7) En déduire le signe de ( 7) p + ) n désigne un nombre entier positif non nul Quel est le signe de ( 7) n? 93 Écrire chaque expression sous la forme 3 n, où n est un entier relatif A = 7 ; B = 9 4 ; C = ; D = Écrire chaque expression sous la forme n 3 p, où n et p sont des entiers relatifs A = (3 ) ; 9 B = ; C = ; D = Démontrer que : 3 = 6 5 La calculatrice ne permet pas de démontrer cette égalité J ai répondu selon si n est pair ou impair 4 B 5 C Justifier que le rectangle ABC est rectangle en B 89 Factoriser chaque expression, puis la simplifier A = ; B = ; C = ) a) Démontrer que : ( 3) 5 3 = ( ) 5 b) En déduire le calcul de A = ( 3) ) Calculer cette expression B = ( 49 7) Démontrer que : ( 5 7) 9 7 = ( 5) = ( ) SVT Une famille de bactéries mises bout à bout a une longueur de mm Cette longueur double toutes les 45 minutes Quelle sera la longueur de la chaîne obtenue au bout de 4 heures? On donnera un arrondi au mètre près 97 Une piscine ayant la forme d un pavé droit mesure 0 m de longueur, 5 m de largeur et,5 m de profondeur ) Calculer le volume d eau, en mètres cubes, contenu dans cette piscine remplie ) Chaque jour, avec l évaporation, le niveau de l eau diminue de 0,7 % Calculer le volume d eau au bout de 0 jours On donnera un arrondi au mètre cube près

13 Problème de synthèse CHAPITRE Connaissances mises en œuvre : Puissances (Chapitre ), Périmètre d un polygone (Révisions) 98 Partie A Construction d un flocon de Von Koch Suivre les étapes 0 à Étape 0 : Tracer un triangle équilatéral ABC de longueur de côté 6, cm Colorier en vert ce triangle (voir figure 0) Étape : Diviser chaque côté du triangle vert en trois segments de même longueur Sur chaque segment du milieu, construire un triangle équilatéral Colorier en rouge ces nouveaux triangles (voir figure ) Étape : Recommencer l étape précédente pour chaque côté de la figure Colorier en bleu les nouveaux triangles (voir figure ) Figure 0 Figure Figure Partie B Nombre de côtés n désigne un nombre entier positif Le polygone obtenu à l étape n est nommé polygone n On note s n le nombre de côtés du polygone n ) Déterminer les nombres s 0, s et s ) On donne la formule : s n = 4 n s 0 a) Vérifier cette formule pour n = 0, n = et n = b) Le polygone 5 a-t-il plus de côtés? Justifier la réponse Partie C Longueur d un côté On note l n la longueur d un côté du polygone n ) Déterminer les longueurs l 0, l, l et l 3 ) On donne la formule : l n = ( 3) n l 0 a) Vérifier cette formule pour n = 4 b) À partir de combien d étapes, la longueur l n d un côté sera-t-elle inférieure ou égale à un millimètre? Partie D Périmètre On note P n le périmètre du polygone n ) Déterminer les périmètres P 0, P et P ) a) Exprimer P n en fonction de s n et l n b) En utilisant les formules données aux parties B et C, calculer P n en fonction de n, s 0 et l 0 4 c) En déduire que : P n = ( 3) n P 0 3) Le périmètre du polygone n peut-il être supérieur à km? Justifier la réponse Je cherche 99 a désigne un nombre positif Le volume (en cm 3 ) d un cube est a 5 Exprimer en fonction de a l aire totale (en cm²) de ce cube 00 x désigne un nombre strictement positif Justifier que l aire de la surface bleue est égale à l aire de la surface rouge 4 0 En utilisant la calculatrice, déterminer l écriture décimale exacte du nombre 34 0 On donne les expressions suivantes : A = et B = ) À l aide de la calculatrice, calculer les expressions A et B ) Justifier que les résultats donnés par la calculatrice ne peuvent pas être justes tous les deux 3) L un de ces deux résultats est juste Lequel? Justifier la réponse 4) Expliquer l erreur commise par la calculatrice CHAPITRE CALCUL NUMÉRIQUE 5

14 JE TRAVAILLE EN AUTONOMIE Pour débuter Pour se perfectionner 03 SC On donne : A = 5 7 ; B = 6 5 ; C = 3 ; D = 4 3 Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous la forme d une fraction la plus simple possible : a) B + C ; b) A D ; c) A B ; d) C : D 04 SC Calculer et donner le résultat sous la forme d une fraction la plus simple possible E = ; F = ( 3 5 3) : Calculer chaque expression et donner le résultat sous la forme d une fraction la plus simple possible G = ; H = 4 + ² : 5 06 Calculer chaque expression et donner le résultat en écriture scientifique J = ; K = (0 7 ) 4 07 SC Écrire chaque expression sous la forme a n, où a et n sont des nombres entiers relatifs a) 3 ; b) 4 (4 3 ) 5 ; c) ; d) ; e) ( )4 ; f) 0 4 Devoir à la maison voir indications, page JE RÉDIGE ) On donne : A = 3 7 ( 5) 6 Calculer l expression A ) On donne : B = (s3 ) (r s) 3, où r et s sont s 7 r 5 des nombres relatifs non nuls Écrire l expression B sous la forme r n s p, où n et p sont des nombres entiers relatifs 3) On donne : C = ,4 0 6 Donner l écriture scientifique du nombre C Solution rédigée : voir Site élève 09 Écrire les expressions ci-dessous sous la forme 3 n 7 p, où n et p sont des nombres entiers relatifs A = 3 3 (7 6 ) ; B = 9 (3 5 ) Une citerne a la forme d un cylindre de révolution Sa hauteur est, m et sa base a un rayon de 0,6 m Cette citerne est remplie d eau Chaque jour, on prélève un dixième du volume d eau contenu dans cette citerne On note V n le volume d eau contenu dans la citerne le n-ième jour (n est un nombre entier positif) On a : V n = 0,9 n V 0 Quel volume d eau restera-t-il au bout de 0 jours? Dans un carré magique multiplicatif, les produits de ses lignes, de ses colonnes et de ses diagonales sont tous égaux Recopier et compléter le tableau ci-dessus avec des puissances de 5 et de 7 pour obtenir un carré magique multiplicatif Un clou en fer a pour masse,69 g La masse de l atome de fer est 9, kg Calculer le nombre d atomes de fer contenu dans ce clou 3 Les cellules se reproduisent par division cellulaire Lors d un cycle cellulaire, chaque cellule se partage en deux pour donner de nouvelles cellules On dispose d une culture de 300 cellules Calculer le nombre de cellules obtenues après 5 cycles cellulaires 6

15 JE FAIS LE POINT CHAPITRE J'ai appris à Calculer avec des nombres relatifs en écriture fractionnaire Donner l écriture scientifique d un nombre relatif Utiliser les puissances d un nombre relatif d exposant entier relatif Utiliser des règles de calcul sur les puissances Attention : Il peut y avoir plusieurs réponses exactes pour chaque énoncé! Les trouver toutes A B C D Si échec, revoir : 4 L expression est égale à : p 6 p 9 5 L expression ( est égale à : 3 ) : ( 3 4 ) ( 3 4 ) 6 ( 4 3) p 9 6 Le nombre ( 3) 5 est égal à : p 6 7 Le nombre 5 est égal à : 5 0, p 7 Pour les exercices 8 et 9, on donne : A = et B = L expression A est égale à : 9 L écriture scientifique de l expression B est : ,75,75 0 p 7 p 0,35 0 3,5 0, , p 7 p 0 Pour les exercices 0 à 3, on donne : C = ; D = 3 (3 4 ) ; E = (7 3 ) 3 5 (7 3) ; F = L expression C est égale à : L expression D est égale à : p 7 p p 7 p 0 L expression E est égale à : p 7 p 0 3 L expression F est égale à : p 7 p 0 corrigés : voir page 305 CHAPITRE CALCUL NUMÉRIQUE 7

16 JE PRÉPARE LE BREVET 8 4 D après brevet Grenoble En donnant les détails des calculs, mettre sous la forme d une fraction la plus simple possible chacun des nombres suivants : A = ; B = ; C = : D après brevet Allemagne ) Que faut-il ajouter à 3 7 ) Que faut-il ajouter à pour obtenir? pour obtenir? 3) Je multiplie un nombre par 3 et j obtiens Quel est ce nombre? 6 D après brevet Nouvelle-Calédonie Un propriétaire terrien a vendu le quart de sa propriété en 006, puis le tiers du reste en 007 ) Quelle fraction de sa propriété lui reste-t-il aujourd hui? ) En 008, la superficie de sa propriété est de 40 hectares Quelle était cette superficie au départ? 7 D après brevet Grenoble Quatre enfants se partagent une tablette de chocolat Le premier prend le tiers de la tablette Le second en prend le quart Le troisième prend les de ce qui reste après que 5 le premier et le deuxième se sont servis ) Lequel de ces calculs permet de trouver la part du troisième enfant? A = ; B = ( 3 4) 5 ; C = ( 3 4) : 5 ; D = ( 3 + 4) 5 ) Quelle proportion de cette tablette reste-t-il pour le quatrième enfant? 8 D après brevet Centres étrangers Un vaisseau spatial a mis 0 ans pour faire le voyage de la planète X à la Terre La planète X se situe à 4,5 années-lumière de la Terre Une année-lumière est égale à 9,5 0 km Calculer la vitesse moyenne de ce vaisseau spatial, exprimée en kilomètres par an Donner l écriture scientifique du résultat 9 D après brevet Amérique du Sud On pose : D = ( 3 ) ; E = ; F = Écrire sous la forme d une puissance d un nombre entier chacun des nombres D, E, et F 30 D après brevet Métropole ) Calculer A = ,5 ) Pour calculer le nombre A, un élève a tapé, à l aide de la calculatrice, la séquence suivante : a) Quel résultat obtient-il? b) Expliquer pourquoi il n obtient pas le bon résultat 3 D après brevet Centres étrangers La fusée européenne Ariane 5 permet de placer des satellites en orbite autour de la Terre ) Lors de la première phase du décollage de la fusée, les deux propulseurs situés de part et d autre du corps de la fusée permettent d atteindre une altitude de 70 km en 3 secondes Calculer la vitesse moyenne, exprimée en km/h, de la fusée durant la première phase du décollage On donnera l arrondi au kilomètre par heure près ) La vitesse de libération est la vitesse qu il faut donner à un objet pour qu il puisse échapper à l attraction d une planète Cette vitesse, notée v, se calcule grâce à la formule suivante : v = 3,4 0 M, r + h v est la vitesse de libération de l objet (en m/s) ; M est la masse de la planète (en kg) ; r est le rayon de la planète (en m) ; h est l altitude de l objet (en m) Pour la Terre : M = kg et r = 6,4 0 6 m La fusée Ariane 5 libère un satellite de télécommunication à une altitude h égale à,9 0 6 m a) Calculer r + h b) Quelle doit être la vitesse de libération de la fusée Ariane 5 à cette altitude? On donnera l arrondi au mètre par seconde près Écrire ce résultat en notation scientifique

17 J UTILISE LA CALCULATRICE CHAPITRE Les calculatrices utilisées au collège permettent de calculer des puissances et de donner l écriture scientifique d un résultat Casio Collège D + TI-Collège Plus SÉLECTIONNER LE MODE Sélectionner le mode «mathématiques» Taper cette séquence : SECONDE MODECONFIG Sélectionner :MthIO, puis :MathO Taper cette séquence : SECONDE MODECONFIG Sélectionner :SIMP, puis :AUTO Sélectionner le mode «affichage naturel» Taper sur À l aide de la touche, sélectionner : AFFNATUREL, puis taper sur ; SIMPAUTO, puis taper sur Taper sur quitter EXEMPLE : Calculer l expression A = Taper la séquence suivante : Taper la séquence suivante : SECONDE ( ) On obtient à l écran : 7X3 4 5X 3 On obtient à l écran : 7X3 4 5X Donc : A = Donc : A = Calculer : B = ; C = ( ) : 5 ; D = ; E = Casio Collège D + TI-Collège Plus EXEMPLE : Calculer et donner l écriture scientifique de F = 7,4 0 6,5 0 7 Sélectionner le mode scientifique Taper cette séquence : SECONDE MODECONFIG Choisir :Sci, puis Taper la séquence suivante : Sélectionner le mode scientifique Taper sur À l aide de la touche taper sur Taper sur quitter Taper la séquence suivante :, sélectionner SCI, puis On obtient à l écran : Donc : F =, ,4X06X,5X07, X0 4 On obtient à l écran : 7,4X0 6 X,5X0 7 Donc : F =,85 0 4,85X Calculer et donner l écriture scientifique de chacune des expressions suivantes : G = ,4 0 3 ; H = ; I =, 0 7 ( 0 3 ) ,8 0 9 CHAPITRE CALCUL NUMÉRIQUE 9

18 JE DÉCOUVRE La lumière et les couleurs La lumière est composée de particules, appelées photons, qui se déplacent de façon régulière en ondulant On peut mesurer expérimentalement la longueur d onde λ des ondulations d un photon : c est la distance entre deux maxima successifs Chaque couleur possède sa propre longueur d onde Par exemple, une longueur d onde de 650 nanomètres correspond à la couleur rouge Un nanomètre, noté nm, est égal à 0 9 mètre L œil humain perçoit les couleurs des longueurs d onde comprises entre 380 et 780 nanomètres 34 On définit la fréquence f de l ondulation d un photon à l aide de la formule f = c, dans laquelle : λ la fréquence f est exprimée en hertz (notée Hz) ; la vitesse de la lumière c est exprimée en m/s ; la longueur d onde λ du photon est exprimée en nm Dans le vide, la vitesse de la lumière est égale à m/s L œil humain perçoit-il une couleur de fréquence 5,5 0 4 Hz? Justifier la réponse La loi de Bode Les planètes tournent autour du Soleil De la plus proche à la plus éloignée du Soleil, les planètes sont : Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune Selon le rang n de la planète dans cette liste, on peut calculer une approximation du rayon r de l orbite de cette planète Pour cela, on utilise la loi de Titius-Bode : r = 0,4 + 0,3 n où r est exprimé en unités astronomiques L unité astronomique, notée ua, est une unité de longueur définie par : ua = km On ne peut pas appliquer la loi de Titius-Bode pour la planète Mercure pour laquelle r = 0,4 ua Sinon, on utilise cette formule en prenant n = pour Vénus Calculer, en kilomètres, les rayons des orbites de Vénus, de la Terre et de Mars 36 Le rayon de l orbite de Jupiter est 7, 0 8 km ) Vérifier que la formule de Titius-Bode ne permet pas de retrouver ce rayon pour n = 4 ) Vérifier que la formule de Titius-Bode permet de retrouver ce rayon pour n = 5 Ainsi, Mars correspond au rang 3 et Jupiter au rang 5 Pourtant, il n y a pas de planète située entre Mars et Jupiter En recherchant cette «planète manquante», l astronome allemand J E Bode (747 86) découvrit le plus grand astéroïde gravitant autour du Soleil : Cérès

19 JE TRAVAILLE EN AUTONOMIE Les indications données pour le travail en autonomie sont de différents types : des étapes intermédiaires, des conseils de méthode, des énoncés de propriétés utiles, parfois les réponses Toutes les figures se trouvent sur le site Internet élève Chapitre Calcul numérique 03 a) Indication : Mettre au même dénominateur 5 b) Indication : Mettre au même dénominateur c) Indication : Simplifier par 5 avant d effectuer les calculs d) Indication : Pour diviser par 4 3, multiplier par son inverse 04 Pour E : Indication : Commencer par la multiplication Réponse : E = 5 Pour F : Indication : Commencer par mettre au même dénominateur 6 les termes entre parenthèses Réponse : F = 5 05 Indications : G = ; H = Indications : J = ; 0 7 K = Réponses : a) 7 b) 4 5 c) 7 4 d) 5 7 e) 6 5 f) ) Indication : Commencer par les puissances, puis les multiplications et terminer par la soustraction ) Indication : Utiliser les propriétés des puissances, puis écrire séparément les puissances de r et les puissances de s 3) Indication : Commencer par factoriser l expression par une puissance de 0 09 Réponses : A = ; B = Méthode : Étape : Calculer le volume exact (en m 3 ) d eau contenu dans la citerne pleine Étape : Multiplier ce résultat par une puissance de 0,9 Chapitre Calcul littéral Équations produit nul 8 Indication : V = 3 π 4 ( 9 ) ² m 3 8 ) Étape : A = 35x x 8x Étape : Réduire cette expression ) Étape : B = (5 3x)[(x + 3) + (3x )] Étape : Réduire l expression entre crochets 83 ) Réponse : C = 7x² 0x + 5 ) Méthode : Mettre en facteur (7 + x) Réponse : D = (7 + x)(6x 8) 84 a) Méthode : Développer chaque membre de cette égalité, puis résoudre l équation obtenue b) Indication : Il s agit d une équation produit nul 85 Indication : Résoudre l équation 3x = (x + ) 86 ) Réponses : Mathieu : 6x 9 ; Agnès : (x 6) 9 ) a) Méthode : Résoudre l équation 6x 9 = b) Réponse : Agnès trouve 58,5 3) a) Méthode : Résoudre l équation 9(x 6) = 3,5 b) Réponse : Mathieu trouve 36 4) Méthode : Résoudre l équation 6x 9 = 9(x 6) 87 Étape : Noter x le nombre d années cherché Étape : Résoudre l équation suivante : 45 + x = (3 + x) + (0 + x) + (4 + x) Étape 3 : Conclure 88 ) Étape : Noter x le prix d un CD Étape : Résoudre l équation suivante : 5x +,4 = 7x 3, Étape 3 : Conclure ) Réponse : Garance possède 47,65 99

20 JE FAIS LE POINT Pour la correction des exercices «Je fais le point», vérifie si tes réponses sont justes et si tu as trouvé toutes les bonnes réponses Si ce n est pas le cas, il est important que tu comprennes les erreurs que tu as commises S évaluer, c est une autre manière d apprendre Chapitre Calcul numérique 4 A/ La multiplication est prioritaire sur la soustraction B/ Bravo! C/ D/ = = 60 et A/ Bravo! B/ 3 est négatif, donc on divise deux nombres de même signe C/ Il faut multiplier par l inverse de 3 et non pas par l inverse de D/ Bravo! A/ B/ ( 3) C/ L exposant est impair, donc le signe du résultat sera négatif D/ Bravo! 7 A/ 5 ( 5) B/ C/ Bravo! D/ Bravo! 8 A/ A = et < 75 B/ = C/ Bravo! D/ Bravo! A/ Bravo! B/ Ce n est pas l écriture scientifique de l expression B C/ = 3,5 D/ B = 3,5 0 et 3,5 =, A/ Bravo! B/ = 5 5 ( ) C/ Bravo! D/ Dans ce cas-là, on ne multiplie pas les exposants A/ Bravo! B/ 3 = 3 C/ (3 4 ) 5 = 3 4 ( 5) = 3 0 or D/ Bravo! A/ (7 3) 4 = B/ = 7 6 ( 4) = et C/ Bravo! D/ Bravo! 3 A/ 9 5 = (3²) 5 = 3 0 B/ Bravo! C/ 7 = = 3 3 et D/ Bravo! Chapitre Calcul littéral Équations produit nul 9 A/ C est son aire latérale B/ Bravo! C/ Ne pas inverser r et h 93 A/ r = 7 cm B/ Ne pas inverser r et h C/ Bravo! 94 A/ 3(4 3x) = ( 9x) = + 9x B/ 5(4x ) 0x et 3(4 3x) 3x C/ Bravo! 95 A/ (7 3x) 4x et (5 x) 3x B/ Bravo! C/ ( 3x) ( x) = 6x² 96 A/ Bravo! B/ On a : 3x(5x 7) + 3x C/Bravo! 97 A/ Lorsque x = 4, on divise par pour calculer x B/ Bravo! C/ Voir réponse A 98 A/ Par exemple, 5 ( 5) = = et 0 B/ 3 ( 3 4) + 4 = = = 7 4 et A/ Le facteur 3x peut aussi s annuler B/ Bravo! C/ 3 ( 3) = 69 et A/ 6 4 = 3 et 9 6 = 3 B/ Bravo! C/ Par exemple, le premier facteur s annule pour x = C/ Bravo! 0 A/ Bravo! B/ Bravo! C/ On multiplie (x + 5) par 3, et pas seulement 5 305

21 Évaluation du socle commun des connaissances et capacités Pour évaluer le socle commun, des exercices sont proposés et peuvent être insérés dans la pratique quotidienne de la classe Pour chaque chapitre, une connaissance mathématique et une connaissance transversale précisées à la page 3 sont ciblées Mes connaissances et capacités ont été évaluées tout au long de l année Mon professeur a complété le tableau ci-dessous pour en faire le bilan Mathématiques Connaissances et capacités Évaluations sur l année Bilan 4/ /04 Organisation et gestion de données Nombres et calculs Géométrie Grandeurs et mesures 30/09 4/ 04/0 8/05 30/09 07/ 04/0 /04 5/05 Démarche scientifique Recherche Réalisation Raisonnement Présentation 5/0 /04 07/0 30/09 0/03 8/05 4/ 0/03 Capacité validée Capacité non validée Chapitre Calculer Nombres et calculs le nombre A = sous la forme d une fraction la plus simple possible Calculer le nombre C = sous la forme d une fraction la plus simple possible 3 Exprimer sous la forme 7 n, où n est un entier relatif 4 Exprimer sous la forme 5n, où n est un entier relatif Recherche 7 Dans cet exercice, il est interdit d utiliser la calculatrice Le chiffre des unités du nombre 7 est 8 Trouver le chiffre des unités du nombre 8 8 Dans cet exercice, il est interdit d utiliser la calculatrice Quel est le chiffre des unités du nombre 5 3? Expliquer la réponse 9 Un cadenas est composé de trois roulettes Chacune de ses roulettes est composée des 0 chiffres 5 Exprimer (3 ) 4 sous la forme 3 n, où n est un entier relatif 6 Exprimer sous la forme a n, où a est un nombre et n est un entier relatif Combien peut-on faire de combinaisons différentes? 3

22 Chapitre Calcul numérique La compétence «Nombres et calculs» est validée lorsque l élève répond La compétence «Nombres et calculs» est validée lorsque l élève répond La compétence «Nombres et calculs» est validée lorsque l élève trouve 7 On ne tiendra pas compte de la méthode utilisée Pour cela, il a pu décomposer ce produit 4 La compétence «Nombres et calculs» est validée lorsque l élève répond 5 3 On ne tiendra pas compte de la méthode utilisée 5 La compétence «Nombres et calculs» est validée lorsque l élève répond 3 8 On ne tiendra pas compte de la méthode utilisée 6 La compétence «Nombres et calculs» est validée lorsque l élève répond 5 4 On ne tiendra pas compte de la méthode utilisée 7 La compétence «Recherche» est validée lorsque l élève répond 6 La réponse 6 ne sera pas acceptée 8 La compétence «Recherche» est validée lorsque l élève répond 5 Pour cela, l élève doit remarquer que : 5 = 5 et 5 se termine par 5 9 La compétence «Recherche» est validée lorsque l élève répond 0 3 ou 000 Pour cela, l élève peut utiliser les puissances de 0 ou compter tous les nombres entiers inférieurs ou égaux à 999 La réponse 999 qui correspond à l oubli de la combinaison 000 sera acceptée Chapitre Calcul littéral Équations produit nul La compétence «Nombres et calculs» est validée lorsque l élève calcule correctement 00 g pour chaque planète L oubli de l unité ne sera pas sanctionné L élève pourra rédiger des phrases ou réaliser un nouveau tableau La compétence «Nombres et calculs» est validée lorsque l élève trouve 6 L utilisation de la calculatrice est autorisée 3 La compétence «Nombres et calculs» est validée lorsque l élève répond : B = x La réponse «B = 0x x» ne permettra pas de valider cette compétence 4 La compétence «Nombres et calculs» est validée lorsque l élève répond : C = (x )(7x ) ou C = (x )(3x x 7) 5 La compétence «Recherche» est validée lorsque l élève répond 45,885 m² L utilisation de la calculatrice est autorisée L oubli de l unité ne sera pas sanctionné On ne sanctionnera pas un élève qui a donné une valeur approchée (comprise entre 45,8 m² et 45,9 m²) de cette aire Chapitre 3 Arithmétique La compétence «Nombres et calculs» est validée lorsque l élève écrit correctement tous les diviseurs communs aux deux nombres et qu il donne comme réponse : PGCD (36; 48) = Aucun oubli ne sera toléré La compétence «Nombres et calculs» est validée lorsque l élève donne la bonne réponse, c est-à-dire 6, quelle que soit la méthode utilisée 3 La compétence «Nombres et calculs» est validée lorsque l élève simplifie les fractions (en appliquant les critères de divisibilité, par exemple) même si la fraction obtenue n est pas irréductible