Développements limités. Motivation. Exo7

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1 Eo7 Développements limités Vidéo prtie. Formules de Tlor Vidéo prtie 2. Développements limités u voisinge d'un point Vidéo prtie 3. Opértions sur les DL Vidéo prtie 4. Applictions Eercices Développements limités Motivtion Prenons l eemple de l fonction eponentielle. Une idée du comportement de l fonction f () = ep utour du point = 0 est donné pr s tngente, dont l éqution est = +. Nous vons pproimé le grphe pr une droite. Si l on souhite fire mieu, quelle prbole d éqution = c 0 + c + c 2 2 pproche le mieu le grphe de f utour de = 0? Il s git de l prbole d éqution = Cette éqution à l propriété remrquble que si on note g() = ep ( ) lors g(0) = 0, g (0) = 0 et g (0) = 0. Trouver l éqution de cette prbole c est fire un développement limité à l ordre 2 de l fonction f. Bien sûr si l on veut être plus précis, on continuerit vec une courbe du troisième degré qui serit en fit = = e = + = = Dns ce chpitre, pour n importe quelle fonction, nous llons trouver le polnôme de degré n qui pproche le mieu l fonction. Les résultts ne sont vlbles que pour utour d une vleur fiée (ce ser souvent utour de 0). Ce polnôme ser clculé à prtir des dérivées successives u point considéré. Sns plus ttendre, voici l formule, dite formule de Tlor-Young : f () = f (0) + f (0) + f (0) f (n) (0) n + n ε(). L prtie polnomile f (0)+ f (0)+ + f (n) (0) n est le polnôme de degré n qui pproche le mieu f () utour de = 0. L prtie n ε() est le «reste» dns lequel ε() est une fonction qui tend vers 0 (qund tend vers 0) et qui est négligeble devnt l prtie polnomile.

2 2. Formules de Tlor Nous llons voir trois formules de Tlor, elles uront toutes l même prtie polnomile mis donnent plus ou moins d informtions sur le reste. Nous commencerons pr l formule de Tlor vec reste intégrl qui donne une epression ecte du reste. Puis l formule de Tlor vec reste f (n+) (c) qui permet d obtenir un encdrement du reste et nous terminons vec l formule de Tlor-Young très prtique si l on n ps besoin d informtion sur le reste. Soit I R un intervlle ouvert. Pour n N, on dit que f : I R est une fonction de clsse C n si f est n fois dérivble sur I et f (n) est continue. f est de clsse C 0 si f est continue sur I. f est de clsse C si f est de clsse C n pour tout n N... Formule de Tlor vec reste intégrl Théorème. Formule de Tlor vec reste intégrl Soit f : I R une fonction de clsse C n+ (n N) et soit, I. Alors f () = f () + f ()( ) + f () ( ) f (n) () ( ) n + f (n+) (t) ( t) n dt. Nous noterons T n () l prtie polnomile de l formule de Tlor (elle dépend de n mis ussi de f et ) : Remrque T n () = f () + f ()( ) + f () ( ) f (n) () ( ) n. En écrivnt = + h (et donc h = ) l formule de Tlor précédente devient (pour tout et + h de I) : f ( + h) = f () + f ()h + f () h f (n) () h h n + 0 f (n+) ( + t) (h t) n dt Eemple L fonction f () = ep est de clsse C n+ sur I = R pour tout n. Fions R. Comme f () = ep, f () = ep,... lors pour tout R : ep = ep + ep ( ) + + ep ( ) n ep t + ( t) n dt. Bien sûr si l on se plce en = 0 lors on retrouve le début de notre pproimtion de l fonction eponentielle en = 0 : ep = ! + Démonstrtion Preuve du théorème Montrons cette formule de Tlor pr récurrence sur k n : f (b) = f () + f ()(b ) + f () (b ) f (k) () b (b ) k + f (k+) (t) (b t)k dt. (Pour éviter les confusions entre ce qui vrie et ce qui est fie dns cette preuve on remplce pr b.)

3 3 Initilistion. Pour n = 0, une primitive de f (t) est f (t) donc b f (t) dt = f (b) f (), donc f (b) = f () + b f (t) dt. (On rppelle que pr convention (b t) 0 = et 0! =.) Hérédité. Supposons l formule vrie u rng k. Elle s écrit f (b) = f ()+f ()(b )+ + f (k ) () (k )! (b ) k + b f (k) (t) (b t)k dt. (k )! On effectue une intégrtion pr prties dns l intégrle b f (k) (t) (b t)k (k )! dt. En posnt u(t) = f (k) (t) et v (t) = (b t)k (k )!, on u (t) = f (k+) (t) et v(t) = (b t)k ; lors b f (k) (b t)k (t) dt = [ f (k) (b t)k (t) (k )! = f (k) (b )k () + b + ]b b f (k+) (b t)k (t) dt f (k+) (b t)k (t) dt. Ainsi lorsque l on remplce cette epression dns l formule u rng k on obtient l formule u rng k. Conclusion. Pr le principe de récurrence l formule de Tlor est vrie pour tous les entiers n pour lesquels f est clsse C n+..2. Formule de Tlor vec reste f (n+) (c) Théorème 2. Formule de Tlor vec reste f (n+) (c) Soit f : I R une fonction de clsse C n+ (n N) et soit, I. Il eiste un réel c entre et tel que : f () = f () + f ()( ) + f () ( ) f (n) () ( ) n + f (n+) (c) (n+)! ( )n+. Eemple 2 Soient, R. Pour tout entier n 0 il eiste c entre et tel que ep = ep + ep ( ) + + ep ( ) n + ep c (n+)! ( )n+. Dns l pluprt des cs on ne connîtr ps ce c. Mis ce théorème permet d encdrer le reste. Ceci s eprime pr le corollire suivnt : Corollire Si en plus l fonction f (n+) est mjorée sur I pr un réel M, lors pour tout, I, on : f () Tn () n+ M (n + )! Eemple 3 Approimtion de sin(0, 0). Soit f () = sin. Alors f () = cos, f () = sin, f (3) () = cos, f (4) () = sin. On obtient donc f (0) = 0, f (0) =, f (0) = 0, f (3) (0) =. L formule de Tlor ci-dessus en = 0 à l ordre 3 devient : f () = ! + f (4) (c) 4 3 4!, c est-à-dire f () = 6 + f (4) (c) 4 24, pour un certin c entre 0 et.

4 4 Appliquons ceci pour = 0,0. Le reste étnt petit on trouve lors sin(0,0) 0,0 (0,0)3 6 = 0, On peut même svoir quelle est l précision de cette pproimtion : comme f (4) () = sin lors f (4) (c). Donc ( ) f () !. Pour = 0,0 cel donne : ( sin(0,0) 0,0 (0,0) 3 ) (0,0) Comme (0,0)4 24 4,6 0 0 lors notre pproimtion donne u moins 8 chiffres ects près l virgule. Remrque Dns ce théorème l hpothèse f de clsse C n+ peut-être ffiblie en f est «n + fois dérivble sur I». «le réel c est entre et» signifie «c ], [ ou c ], [». Pour n = 0 c est ectement l énoncé du théorème des ccroissements finis : il eiste c ], b[ tel que f (b) = f () + f (c)(b ). Si I est un intervlle fermé borné et f de clsse C n+, lors f (n+) est continue sur I donc il eiste un M tel que f (n+) () M pour tout I. Ce qui permet toujours d ppliquer le corollire. Pour l preuve du théorème nous urons besoin d un résultt préliminire. Lemme. Églité de l moenne Supposons < b et soient u, v : [, b] R deu fonctions continues vec v 0. Alors il eiste c [, b] tel que b u(t)v(t) dt = u(c) b v(t) dt. Démonstrtion Notons m = inf t [,b] u(t) et M = sup t [,b] u(t). On m b v(t) dt b u(t)v(t) dt M b v(t) dt (cr v 0). Ainsi m b u(t)v(t) dt b v(t) dt M. Puisque u est continue sur [, b] elle prend toutes les vleurs comprises entre m et M (théorème des vleurs intermédiires). Donc il eiste c [, b] vec u(c) = b u(t)v(t) dt b. v(t) dt Démonstrtion Preuve du théorème Pour l preuve nous montrerons l formule de Tlor pour f (b) en supposnt < b. Nous montrerons seulement c [, b] u lieu de c ], b[. Posons u(t) = f (n+) (t) et v(t) = (b t)n. L formule de Tlor vec reste intégrl s écrit f (b) = T n () + b u(t)v(t) dt. Pr le lemme, il eiste c [, b] tel que b u(t)v(t) dt = u(c) b v(t) dt. Ainsi le reste est b u(t)v(t) dt = f (n+) (c) ] b (b t) n b dt = f (n+) (c) [ (b t)n+ (n+)! = f (n+) (c) (b )n+ (n+)!. Ce qui donne l formule recherchée..3. Formule de Tlor-Young

5 5 Théorème 3. Formule de Tlor-Young Soit f : I R une fonction de clsse C n et soit I. Alors pour tout I on : f () = f () + f ()( ) + f () ( ) f (n) () ( ) n + ( ) n ε(), où ε est une fonction définie sur I telle que ε() 0. Démonstrtion f étnt un fonction de clsse C n nous ppliquons l formule de Tlor vec reste f (n) (c) u rng n. Pour tout, il eiste c = c() compris entre et tel que f () = f () + f ()( ) + f () ( ) f (n ) () (n )! ( ) n + f (n) (c) ( ) n. Que nous réécrivons : f () = f () + f ()( ) + f () ( ) f (n) () ( ) n + f (n) (c) f (n) () ( ) n. On pose ε() = f (n) (c) f (n) (). Puisque f (n) est continue et que c() lors lim ε() = Un eemple Soit f :],+ [ R, ln(+ ) ; f est infiniment dérivble. Nous llons clculer les formules de Tlor en 0 pour les premiers ordres. Tous d bord f (0) = 0. Ensuite f () = + donc f (0) =. Ensuite f () = donc f (0) =. (+) 2 Puis f (3) () = +2 donc f (3) (0) = +2. Pr récurrence on montre que f (n) () = ( ) n (n )! (+) 3 (+) n et donc f (n) (0) = ( ) n (n )!. Ainsi pour n > 0 : f (n) (0) n n (n )! = ( ) n n n = ( ) n. Voici donc les premiers polnômes de Tlor : T 0 () = 0 T () = T 2 () = 2 2 T 3 () = Les formules de Tlor nous disent que les restes sont de plus en plus petits lorsque n croît. Sur le dessins les grphes des polnômes T 0, T, T 2, T 3 s pprochent de plus en plus du grphe de f. Attention ceci n est vri qu utour de 0. = = 0 = ln( + ) = 0 = 2 2 Pour n quelconque nous vons clculer que le polnôme de Tlor en 0 est T n () = n k= k k ( ) k = ( )n n n.

6 6.5. Résumé Il donc trois formules de Tlor qui s écrivent toutes sous l forme f () = T n () + R n () où T n () est toujours le même polnôme de Tlor : T n () = f () + f ()( ) + f () ( ) f (n) () ( ) n. C est l epression du reste R n () qui chnge (ttention le reste n ucune rison d être un polnôme). R n () = f (n+) (t) ( t) n dt Tlor vec reste intégrl R n () = f (n+) (c) (n + )! ( )n+ Tlor vec reste f (n+) (c), c entre et R n () = ( ) n ε() Tlor-Young vec ε() 0 Selon les situtions l une des formultions est plus dptée que les utres. Bien souvent nous n vons ps besoin de beucoup d informtion sur le reste et c est donc l formule de Tlor-Young qui ser l plus utile. Notons que les trois formules ne requièrent ps ectement les mêmes hpothèses : Tlor vec reste intégrl à l ordre n eige une fonction de clsse C n+, Tlor vec reste une fonction n+ fois dérivble, et Tlor-Young une fonction C n. Une hpothèse plus restrictive donne logiquement une conclusion plus forte. Cel dit, pour les fonctions de clsse C que l on mnipule le plus souvent, les trois hpothèses sont toujours vérifiées. Nottion. Le terme ( ) n ε() où ε() 0 est souvent brégé en «petit o» de ( ) n et est 0 noté o(( ) n ). Donc o(( ) n o(( ) ) est une fonction telle que lim n ) ( ) = 0. Il fut s hbituer à n cette nottion qui simplifie les écritures, mis il fut toujours grder à l esprit ce qu elle signifie. Cs prticulier : Formule de Tlor-Young u voisinge de 0. On se rmène souvent u cs prticulier où = 0, l formule de Tlor-Young s écrit lors f () = f (0) + f (0) + f (0) f (n) (0) n + n ε() où lim 0 ε() = 0. Et vec l nottion «petit o» cel donne : f () = f (0) + f (0) + f (0) f (n) (0) n + o(n ) Mini-eercices. Écrire les trois formules de Tlor en 0 pour cos, ep( ) et sh. 2. Écrire les formules de Tlor en 0 à l ordre 2 pour +, tn. 3. Écrire les formules de Tlor en pour

7 7 4. Avec une formule de Tlor à l ordre 2 de +, trouver une pproimtion de,0. Idem vec ln(0, 99). 2. Développements limités u voisinge d un point 2.. Définition et eistence Soit I un intervlle ouvert et f : I R une fonction quelconque. Définition Pour I et n N, on dit que f dmet un développement limité (DL) u point et à l ordre n, s il eiste des réels c 0, c,..., c n et une fonction ε : I R telle que lim ε() = 0 de sorte que pour tout I : f () = c 0 + c ( ) + + c n ( ) n + ( ) n ε(). L églité précédente s ppelle un DL de f u voisinge de à l ordre n. Le terme c 0 + c ( ) + + c n ( ) n est ppelé l prtie polnomile du DL. Le terme ( ) n ε() est ppelé le reste du DL. L formule de Tlor-Young permet d obtenir imméditement des développements limités en posnt c k = f (k) () : Proposition Si f est de clsse C n u voisinge d un point lors f dmet un DL u point à l ordre n, qui provient de l formule de Tlor-Young : où lim ε() = 0. f () = f () + f ()! ( ) + f () ( ) f (n) () ( ) n + ( ) n ε() Remrque. Si f est de clsse C n u voisinge d un point 0, un DL en 0 à l ordre n est l epression : f () = f (0) + f (0) + f (0) f (n) (0) n + n ε() 2. Si f dmet un DL en un point à l ordre n lors elle en possède un pour tout k n. En effet où lim η() = 0. f () = f () + f () ( ) + + f (k) () ( ) k! + f (k+) () (k + )! ( )k+ + + f (n) () ( ) n + ( ) n ε() } {{ } =( ) k η()

8 Unicité Proposition 2 Si f dmet un DL lors ce DL est unique. Démonstrtion Écrivons deu DL de f : f () = c 0 + c ( )+ + c n ( ) n +( ) n ε () et f () = d 0 + d ( )+ + d n ( ) n + ( ) n ε 2 (). En effectunt l différence on obtient : (d 0 c 0 ) + (d c )( ) + + (d n c n )( ) n + ( ) n (ε 2 () ε ()) = 0. Lorsque l on fit = dns cette églité lors on trouve d 0 c 0 = 0. Ensuite on peut diviser cette églité pr : (d c ) + (d 2 c 2 )( ) + + (d n c n )( ) n + ( ) n (ε 2 () ε ()) = 0. En évlunt en = on obtient d c = 0, etc. On trouve c 0 = d 0, c = d,..., c n = d n. Les prties polnomiles sont égles et donc les restes ussi. Corollire 2 Si f est pire (resp. impire) lors l prtie polnomile de son DL en 0 ne contient que des monômes de degrés pirs (resp. impirs). Pr eemple cos est pire et nous verrons que son DL en 0 commence pr : cos = ! 6 6! +. Démonstrtion f () = c 0 + c + c c c n n + n ε(). Si f est pire lors f () = f ( ) = c 0 c + c 2 2 c ( ) n c n n + n ε(). Pr l unicité du DL en 0 on trouve c = c, c 3 = c 3,... et donc c = 0, c 3 = 0,... Remrque. L unicité du DL et l formule de Tlor-Young prouve que si l on connît le DL et que f est de clsse C n lors on peut clculer les nombres dérivés à prtir de l prtie polnomile pr l formule c k = f (k) (). Cependnt dns l mjorité des cs on fer l inverse : on trouve le DL à prtir des dérivées. 2. Si f dmet un DL en un point à l ordre n 0 lors c 0 = f (). 3. Si f dmet un DL en un point à l ordre n, lors f est dérivble en et on c 0 = f () et c = f (). Pr conséquent = c 0 + c ( ) est l éqution de l tngente u grphe de f u point d bscisse. 4. Plus subtil : f peut dmettre un DL à l ordre 2 en un point sns dmettre une dérivée seconde en. Soit pr eemple f () = 3 sin. Alors f est dérivble mis f ne l est ps. Pourtnt f dmet un DL en 0 à l ordre 2 : f () = 2 ε() (l prtie polnomile est nulle) DL des fonctions usuelles à l origine Les DL suivnts en 0 proviennent de l formule de Tlor-Young. ep = +! n 3! n ε()

9 9 ch = n 4! + + (2n)! + 2n+ ε() sh =! + 3 3! + 5 2n+ 5! + + (2n+)! + 2n+2 ε() cos = n 4! + ( )n (2n)! + 2n+ ε() sin =! 3 3! + 5 2n+ 5! + ( )n (2n+)! + 2n+2 ε() ln( + ) = n 3 + ( )n n + n ε() ( + ) α = + α + α(α ) α(α )...(α n+) n + n ε() + = ( ) n n + n ε() = n + n ε() + = n 3 5 (2n 3) + + ( ) 2 n n + n ε() Ils sont tous à pprendre pr cœur. C est fcile vec les remrques suivntes : Le DL de ch est l prtie pire du DL de ep. C est-à-dire que l on ne retient que les monômes de degré pir. Alors que le DL de sh est l prtie impire. Le DL de cos est l prtie pire du DL de ep en lternnt le signe +/ du monôme. Pour sin c est l prtie impire de ep en lternnt ussi les signes. On noter que l précision du DL de sin est meilleure que l ppliction nïve de l formule de Tlor le prévoit ( 2n+2 ε() u lieu de 2n+ ε()) ; c est prce que le DL est en fit à l ordre 2n + 2, vec un terme polnomil en 2n+2 nul (donc bsent). Le même phénomène est vri pour tous les DL pirs ou impirs (dont sh,cos,ch ). Pour ln( + ) n oubliez ps qu il n ps de terme constnt, ps de fctorielle u dénominteurs, et que les signes lternent. Il fut ussi svoir écrire le DL à l ide des sommes formelles (et ici des «petits o») : n k ep = k= + o( n ) et ln( + ) = n k= k k ( ) k + o(n ) L DL de (+) α est vlide pour tout α R. Pour α = on retombe sur le DL de (+) = Mis on retient souvent le DL de qui est très fcile. Il se retrouve ussi vec l somme d une suite géométrique : n = n+ = n+ = + n ε(). Pour α = 2 on retrouve ( + ) 2 = + = Dont il fut connître les trois premiers termes DL des fonctions en un point quelconque L fonction f dmet un DL u voisinge d un point si et seulement si l fonction f ( + ) dmet un DL u voisinge de 0. Souvent on rmène donc le problème en 0 en fisnt le chngement de vribles h =. Eemple 4. DL de f () = ep en. On pose h =. Si est proche de lors h est proche de 0. Nous llons nous rmener +.

10 0 à un DL de ep h en h = 0. On note e = ep. ep = ep( + ( )) = ep()ep( ) = e ep h = e ( + h + h2 ) hn hn ε(h) ) ( )2 ( )n = e ( + ( ) ( ) n ε( ), lim ε( ) = DL de g() = sin en π/2. Schnt sin = sin( π 2 + π 2 ) = cos( π 2 ) on se rmène u DL de cos h qund h = π 2 0. On donc sin = ( π 2 )2 + +( ) n ( π 2 )2n (2n)! +( π 2 )2n+ ε( π 2 ), où lim π/2 ε( π 2 ) = DL de l() = ln( + 3) en à l ordre 3. Il fut se rmener à un DL du tpe ln(+h) en h = 0. On pose h = (et donc = +h). On l() = ln( + 3) = ln ( + 3( + h) ) = ln(4 + 3h) = ln ( 4 ( + 3h 4 )) = ln4 + ln ( + 3h ) 4 = ln4 + 3h 4 3h ) 2 2( 4 + 3h ) 3 3( 4 + h 3 ε(h) = ln4 + 3( ) ( ) ( )3 + ( ) 3 ε( ) où lim ε( ) = 0. Mini-eercices. Clculer le DL en 0 de ch pr l formule de Tlor-Young. Retrouver ce DL en utilisnt que ch = e e Écrire le DL en 0 à l ordre 3 de 3 +. Idem vec 3. Écrire le DL en 2 à l ordre 2 de Justifier l epression du DL de à l ide de l unicité des DL de l somme d une suite géométrique. 3. Opértions sur les développements limités 3.. Somme et produit On suppose que f et g sont deu fonctions qui dmettent des DL en 0 à l ordre n : f () = c 0 + c + + c n n + n ε () g() = d 0 + d + + d n n + n ε 2 () Proposition 3 f + g dmet un DL en 0 l ordre n qui est : (f + g)() = f () + g() = (c 0 + d 0 ) + (c + d ) + + (c n + d n ) n + n ε(). f g dmet un DL en 0 l ordre n qui est : (f g)() = f () g() = T n ()+ n ε() où T n () est le polnôme (c 0 + c + + c n n ) (d 0 + d + + d n n ) tronqué à l ordre n. Tronquer un polnôme à l ordre n signifie que l on conserve seulement les monômes de degré n.

11 Eemple 5 Clculer le DL de cos + en 0 à l ordre 2. On sit cos = ε () et + = ε 2 (). Donc : cos ( + = ) ( ε () + 2 ) ε 2 () = ε 2 () ( ) ε 2 () ( + 2 ε () + 2 ) ε 2 () on développe = ε 2 () on développe encore ε 2 () + 2 ε () ε () 8 4 ε () + 4 ε ()ε 2 () = + ( ) 2 2 on regroupé les termes de degré 0 et, 2 } {{ } prtie tronquée à l ordre ε 2 () ε 2 () + 2 ε () ε () 8 4 ε () + 4 ε ()ε 2 () } {{ } reste de l forme 2 ε() et ici les ut = ε() On en fit écrit beucoup de choses superflues, qui à l fin sont dns le reste et n vient ps besoin d être eplicitées! Avec l hbitude les clculs se font très vite cr on n écrit plus les termes inutiles. Voici le même clcul vec l nottion «petit o» : dès qu pprît un terme 2 ε () ou un terme 3,... on écrit juste o( 2 ) (ou si l on préfère 2 ε()). cos ( + = ) ( o( 2 ) + 2 ) o( 2 ) on développe = o( 2 ) o( 2 ) + o( 2 ) = o( 2 ) L nottion «petit o» évite de devoir donner un nom à chque fonction, en ne grdnt que s propriété principle, qui est de décroître vers 0 u moins à une certine vitesse. Comme on le voit dns cet eemple, o( 2 ) bsorbe les éléments de même ordre de grndeur ou plus petits que lui : o( 2 ) o( 2 ) = o( 2 ). Mis il fut bien comprendre que les différents o( 2 ) écrits ne correspondent ps à l même fonction, ce qui justifie que cette églité ne soit ps fusse!

12 Composition On écrit encore : f () = C()+ n ε () = c 0 +c + +c n n + n ε () g() = D()+ n ε 2 () = d 0 +d + +d n n + n ε 2 () Proposition 4 Si g(0) = 0 (c est-à-dire d 0 = 0) lors l fonction f g dmet un DL en 0 à l ordre n dont l prtie polnomile est le polnôme tronqué à l ordre n de l composition C(D()). Eemple 6 Clcul du DL de h() = sin ( ln( + ) ) en 0 à l ordre 3. On pose ici f (u) = sin u et g() = ln( + ) (pour plus de clrté il est préférble de donner des noms différents u vribles de deu fonctions, ici et u). On bien f g() = sin ( ln( + ) ) et g(0) = 0. On écrit le DL à l ordre 3 de f (u) = sin u = u u3 3! + u3 ε (u) pour u proche de 0. Et on pose u = g() = ln( + ) = ε 2 () pour proche de 0. On ur besoin de clculer un DL à l ordre 3 de u 2 (qui est bien sûr le produit u u) : u 2 = ( ε 2 () ) 2 = ε 3 () et ussi u 3 qui est u u 2, u 3 = ε 4 (). Donc h() = f g() = f (u) = u u3 3! + u3 ε (u) = ( ) ε() = ε(). Eemple 7 Soit h() = cos. On cherche le DL de h en 0 à l ordre 4. On utilise cette fois l nottion «petit o». On connît le DL de f (u) = + u en u = 0 à l ordre 2 : f (u) = + u = + 2 u 8 u2 + o(u 2 ). Et si on pose u() = cos lors on h() = f ( u() ) et u(0) = 0. D utre prt le DL de u() en = 0 à l ordre 4 est : u = o( 4 ). On trouve lors u 2 = o( 4 ). Et insi h() = f ( u ) = + 2 u 8 u2 + o(u 2 ) = + ( ) ( 8 4 4) + o( 4 ) = o( 4 ) = o( 4 ) 3.3. Division Voici comment clculer le DL d un quotient f /g. Soient f () = c 0 + c + + c n n + n ε () g() = d 0 + d + + d n n + n ε 2 () Nous llons utiliser le DL de +u = u + u2 u 3 +.

13 3. Si d 0 = on pose u = d + + d n n + n ε 2 () et le quotient s écrit f /g = f +u. 2. Si d 0 est quelconque vec d 0 0 lors on se rmène u cs précédent en écrivnt g() = d 0 + d d d n d 0 n + n ε 2 () 3. Si d 0 = 0 lors on fctorise pr k (pour un certin k) fin de se rmener u cs précédents. Eemple 8. DL de tn en 0 à l ordre 5. d 0. Tout d bord sin = ε(). D utre prt cos = ε() = + u en posnt u = ε(). Nous urons besoin de u 2 et u 3 : u 2 = ( ε() ) 2 = ε() et en fit u 3 = 5 ε(). (On note busivement ε() pour différents restes.) Ainsi cos = + u = u+u2 u 3 + u 3 ε(u) = ε() = ε() ; Finlement tn = sin cos = ( ε() ) ( ε() ) = ε(). 2. DL de + 2+ en 0 à l ordre = (+) Si l on souhite clculer le DL de sin sh sin sh = ( 2 (+) ( ) 2 ( ) 3 ( ) o( )) 4 = o(4 ) = 3 3! + 5 5! + o(5 ) + 3 3! + 5 5! + o(5 ) = = ( 2 3! + 4 5! + o(4 ) ) en 0 à l ordre 4 lors on écrit ( 2 3! + 4 5! + o(4 ) ) ( + 2 3! + 4 5! + o(4 ) ) + 2 3! + 4 5! + o(4 ) = = o(4 ) Autre méthode. Soit f () = C()+ n ε () et g() = D()+ n ε 2 (). Alors on écrit l division suivnt les puissnces croissntes de C pr D à l ordre n : C = DQ + n+ R vec degq n. Alors Q est l prtie polnomile du DL en 0 à l ordre n de f /g. Eemple 9 DL de à l ordre 2. On pose C() = et g() = D() = + 2 lors C() = D() ( ) + 3 ( + 2). On donc Q() = , R() = + 2. Et donc lorsque l on divise cette églité pr C() on obtient f () g() = ε() Intégrtion Soit f : I R une fonction de clsse C n dont le DL en I à l ordre n est f () = c 0 + c ( ) + c 2 ( ) c n ( ) n + ( ) n ε().

14 4 Théorème 4 Notons F une primitive de f. Alors F dmet un DL en à l ordre n + qui s écrit : F() = F() + c 0 ( ) + c ( ) 2 où lim η() = c 2 ( ) c n ( ) n+ n + + ( ) n+ η() Cel signifie que l on intègre l prtie polnomile terme à terme pour obtenir le DL de F() à l constnte F() près. Démonstrtion On F() F() = f (t)dt = 0( )+ + n n+ ( )n+ + (t )n+ ε(t)dt. Notons η() = ( ) n+ (t ) n ε(t)dt. Alors η() ( ) n+ (t )n sup t [,] ε(t) dt = sup ( ) n+ t [,] ε(t) (t )n dt = n+ sup t [,] ε(t). Mis sup t [,] ε(t) 0 lorsque. Donc η() 0 qund. Eemple 0 Clcul du DL de rctn. On sit que rctn = + 2. En posnt f () = + 2 et F() = rctn, on écrit rctn = n + 2 = ( ) k 2k + 2n ε(). Et comme rctn(0) = 0 lors rctn = n ( ) k k=0 2k+ 2k+ + 2n+ ε() = k=0 Eemple L méthode est l même pour obtenir un DL de rcsin en 0 à l ordre 5. rcsin = ( 2 ) 2 = 2 ( 2 ) + 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) ε() = ε(). Donc rcsin = ε(). Mini-eercices. Clculer le DL en 0 à l ordre 3 de ep() +, puis de cos(2) et cos() sin(2). 2. Clculer le DL en 0 à l ordre 2 de + 2cos, puis de ep ( + 2cos ). 3. Clculer le DL en 0 à l ordre 3 de ln( + sin ). Idem à l ordre 6 pour ( ln( + 2 ) ) Clculer le DL en 0 à l ordre n de ln(+3 ) 3. Idem à l ordre 3 vec e Pr intégrtion retrouver l formule du DL de ln( + ). Idem à l ordre 3 pour rccos. 4. Applictions des développements limités Voici les pplictions les plus remrqubles des développements limités. On utiliser ussi les DL lors de l étude locle des courbes prmétrées lorsqu il des points singuliers.

15 5 4.. Clculs de limites Les DL sont très efficces pour clculer des limites nt des formes indéterminées! Il suffit juste de remrquer que si f () = c 0 + c ( ) + lors lim f () = c 0. Eemple 2 Limite en 0 de ln( + ) tn + 2 sin2 3 2 sin 2. Notons f () g() cette frction. En 0 on f () = ln(+) tn + 2 sin2 = ( o(4 ) ) ( o(4 ) ) + ( o(3 ) ) 2 = (2 3 4 )+o( 4 ) = o( 4 ) et g() = 3 2 sin 2 = 3 2( + o() ) 2 = o( 4 ). Ainsi f () g() = o( 4 ) 3 4 +o( 4 ) = 5 2 +o() 3+o() en notnt o() une fonction (inconnue) tendnt vers 0 qund f () 0. Donc lim 0 g() = Note : en clculnt le DL à un ordre inférieur (2 pr eemple), on n urit ps pu conclure, cr on urit obtenu f (), ce qui ne lève ps l indétermintion. De fçon générle, on clcule g() = o(2 ) o( 2 ) les DL à l ordre le plus bs possible, et si cel ne suffit ps, on ugmente progressivement l ordre (donc l précision de l pproimtion) Position d une courbe pr rpport à s tngente Proposition 5 Soit f : I R une fonction dmettnt un DL en : f () = c 0 + c ( )+ c k ( ) k +( ) k ε(), où k est le plus petit entier 2 tel que le coefficient c k soit non nul. Alors l éqution de l tngente à l courbe de f en est : = c 0 +c ( ) et l position de l courbe pr rpport à l tngente pour proche de est donnée pr le signe f (), c est-à-dire le signe de c k ( ) k. Il 3 cs possibles. Si le signe est positif lors l courbe est u-dessus de l tngente. Si le signe est négtif lors l courbe est en dessous de l tngente.

16 6 Si le signe chnge (lorsque l on psse de < à > ) lors l courbe trverse l tngente u point d bscisse. C est un point d infleion. Comme le DL de f en à l ordre 2 s écrit ussi f () = f () + f ()( ) + f () 2 ( )2 + ( ) 2 ε(). Alors l éqution de l tngente est ussi = f () + f ()( ). Si en plus f () 0 lors f () grde un signe constnt utour de. En conséquence si est un point d infleion lors f () = 0. (L réciproque est fusse.) Eemple 3 Soit f () = Déterminons l tngente en 2 du grphe de f et précisons l position du grphe pr rpport à l tngente. On f () = , f () = 2 2 2, donc f ( 2 ) = 3 0 et k = 2. On en déduit le DL de f en 2 pr l formule de Tlor-Young : f () = f ( 2 )+ f ( 2 )( 2 )+ f ( 2 ) ( 2 )2 + ( 2 )2 ε() = 3 6 ( 2 ) 3 2 ( 2 )2 + ( 2 )2 ε(). Donc l tngente en 3 2 est = 6 ( 2 ) et le grphe de f est en dessous de l tngente cr f () = ( ε()) ( 2 )2 est négtif utour de = Déterminons les points d infleion. Les points d infleion sont à chercher prmi les solutions de f () = 0. Donc prmi = 0 et =. Le DL en 0 est f () = (il s git juste d écrire les monômes pr degrés croissnts!). L éqution de l tngente u point d bscisse 0 est donc = (une tngente horizontle). Comme 2 3 chnge de signe en 0 lors 0 est un point d infleion de f. Le DL en : on clcule f (), f (),... pour trouver le DL en f () = 2( ) + 2( ) 3 + ( ) 4. L éqution de l tngente u point d bscisse est donc = 2( ). Comme 2( ) 3 chnge de signe en, est ussi un point d infleion de f.

17 7 = = tngente en tngente en 2 tngente en 4.3. Développement limité en + Soit f une fonction définie sur un intervlle I =] 0,+ [. On dit que f dmet un DL en + à l ordre n s il eiste des réels c 0, c,..., c n tels que où ε ( ) tend vers 0 qund +. Eemple 4 f () = c 0 + c + + c n n + n ε( ) f () = ln ( 2 + ) ( ) = ln2 + ln + 2 = ln ( ) n n2 n + n ε( n ), où lim ε( ) = 0 ( ) = ln 2 + = ln(2) 0 Cel nous permet d voir une idée ssez précise du comportement de f u voisinge de +. Lorsque + lors f () ln2. Et le second terme est + 2, donc est positif, cel signifie que l fonction f () tend vers ln2 tout en restnt u-dessus de ln2. Remrque. Un DL en + s ppelle ussi un développement smptotique. 2. Dire que l fonction f () dmet un DL en + à l ordre n est équivlent à dire que

18 8 l fonction f ( ) dmet un DL en 0+ à l ordre n. 3. On peut définir de même ce qu est un DL en. Proposition 6 On suppose que l fonction f () f () dmet un DL en + (ou en ) : = k + ε( k k ), où k est le plus petit entier 2 tel que le coefficient de soit non nul. Alors k lim + f () ( 0 + ) = 0 (resp. ) : l droite = 0 + est une smptote à l courbe de f en + (ou ) et l position de l courbe pr rpport à l smptote est donnée pr le signe de f (), c est-à-dire le signe de k k. = f () = 0 + Démonstrtion ( ) On lim + f () 0 = lim + k + k ε( k ) = 0. Donc = 0 + est une smptote à l courbe de f. Ensuite on clcule l différence f () 0 = k + k ε( k ) = ( k + k ε( k )). Eemple 5 Asmptote de f () = ep 2. = + = ep 2 = 0

19 9. En +, f () = ep 2 = ep 2 ( = ) ( 3 ε( ) ) 3 ε( ) = = ε( ) Donc l smptote de f en + est = +. Comme f () = + ε( ) qund +, le grphe de f reste en dessous de l smptote En. f () = ep = ep une smptote de f en. On f () + + = + ε( f reste u-dessus de l smptote. = ε( ). Donc = est ) qund ; le grphe de Mini-eercices. Clculer l limite de sin 3 lorsque tend vers 0. Idem vec k =,2,3,...). ( 2. Clculer l limite de lorsque tend vers. Idem pour ln + lorsque tend vers 0. + sh 2 k ), puis (pour tn Soit f () = ep + sin. Clculer l éqution de l tngente en = 0 et l position du grphe. Idem vec g() = sh. 4. Clculer le DL en + à l ordre 5 de 2. Idem à l ordre 2 pour ( + ). 5. Soit f () = Déterminer l smptote en + et l position du grphe pr rpport à cette smptote. Auteurs Rédction : Arnud Bodin Bsé sur des cours de Guoting Chen et Mrc Bourdon Relecture : Pscl Romon Dessins : Benjmin Boutin