Equations différentielles stochastiques rétrogrades à croissance quadratique et applications

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1 Equaions différenielles sochasiques rérogrades à croissance quadraique e applicaions Marie Amélie Morlais To cie his version: Marie Amélie Morlais. Equaions différenielles sochasiques rérogrades à croissance quadraique e applicaions. Mahémaiques [mah]. Universié Rennes 1, 27. Français. <el > HAL Id: el hps://el.archives-ouveres.fr/el Submied on 15 Oc 27 HAL is a muli-disciplinary open access archive for he deposi and disseminaion of scienific research documens, wheher hey are published or no. The documens may come from eaching and research insiuions in France or abroad, or from public or privae research ceners. L archive ouvere pluridisciplinaire HAL, es desinée au dépô e à la diffusion de documens scienifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanan des éablissemens d enseignemen e de recherche français ou érangers, des laboraoires publics ou privés.

2 N d Ordre : 3555 T H È S E Présenée DEVANT L UNIVERSITÉ DE RENNES I pour obenir le grade de DOCTEUR DE L UNIVERSITÉ DE RENNES I Menion Mahémaiques e Applicaions par Marie-Amélie MORLAIS Insiu de Recherche Mahémaique de Rennes École Docorale MATISSE U.F.R. de Mahémaiques TITRE DE LA THÈSE : Equaions différenielles sochasiques rérogrades à croissance quadraique e applicaions. Souenue le 12 Ocobre 27 devan la Commission d Examen COMPOSITION DU JURY : Mme Monique JEANBLANC Rapporeur M. Marin SCHWEIZER Rapporeur M. Rainer BUCKDAHN Examinaeur M. Arnaud DEBUSSCHE Examinaeur M. Ying HU Direceur de hèse M. Nizar TOUZI Examinaeur

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4 Table des maières I Inroducion générale 7.1 Objecifs e moivaions Quelques champs d applicaion Rappels préliminaires Rappel des résulas dans le cadre quadraique Le cadre Les résulas d exisence e de sabilié Résulas d unicié e de comparaison Préliminaires de mahémaiques financières Inroducion des conceps de base Présenaion du problème éudié Ouils héoriques Les résulas majeurs de la hèse II Éude en filraion CONTINUE 43 1 Inroducion Le cadre coninu Les EDSR éudiées Éude de l EDSR quadraique Résulas héoriques dans le cas borné Preuve des différens résulas Esimaions à priori Preuve de l unicié Preuve du résula d exisence Annexe à la preuve de l exisence Seconde éude : condiion erminale non bornée Preuve du résula principal d exisence Propriéés complémenaires d inégrabilié

5 4 TABLE DES MATIÈRES 3 Applicaion en Finance Le cas de l uilié exponenielle Descripion du marché financier La soluion du problème d opimisaion Cas des uiliés logarihme e puissance Nouveaux problèmes : le cadre Uilié puissance : Uilié logarihme : Prix d indifférence vis à vis de l uilié III Éude en filraion DISCONTINUE 17 4 Inroducion Moivaion e descripion de l éude Cadre e préliminaires Le cadre héorique Préliminaires Le problème d opimisaion éudié Eude héorique de l EDSR Premiers résulas héoriques Propriéés Énoncé des résulas Preuve des résulas héoriques Esimaions à priori Le résula d unicié Le résula d exisence Annexe au héorème d exisence Nouvelle éude héorique lorsque : n(r \ {} = Approche du problème Inroducion d une première approximaion Preuve du raisonnemen de sabilié Conclusion à la preuve de l exisence Mise en oeuvre de la procédure de découpage Eude héorique dans le cadre non compac Moivaions e résula Preuve du nouveau résula d exisence Applicaion à la maximisaion de l uilié Le modèle financier : cas compac Résoluion du problème d opimisaion Expression de la soluion au problème d opimisaion Caracérisaion des sraégies opimales

6 TABLE DES MATIÈRES Cadre non compac : applicaion au problème d opimisaion Hypohèses e énoncés des résulas Preuve des deux résulas Conclusion 185

7 6 TABLE DES MATIE RES

8 Première parie Inroducion générale 7

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10 .1. OBJECTIFS ET MOTIVATIONS 9.1 Objecifs e moivaions L obje de cee hèse es l éude de ceraines Équaions Différenielles Sochasiques Rérogrades (noées EDSR dies à croissance quadraique e une moivaion pariculière de cee éude se rouve dans le champ des applicaions : nous donnerons des applicaions de l éude héorique de ces objes en mahémaiques financières e, plus pariculièremen, à un problème d opimisaion de porefeuille. Rappelons ici brièvemen dans quel conexe la noion d EDSR a éé inroduie. On se place sur un espace probabilisé (Ω, F, P, sur lequel es consrui un mouvemen brownien W (d dimensionnel Sur ce espace, une EDSR à horizon déerminise T es définie par une équaion don la forme générique es la suivane Y = ξ + f(s,y s,z s ds Z s dw s, e don les paramères son la condiion erminale Y T = ξ e un généraeur f = f(s, y, z, qui es une foncion (évenuellemen aléaoire. Originairemen inroduie dans [BIS] puis dans le cas général dans [PAR9], la héorie des EDSR s es beaucoup développée depuis : de nombreux raffinemens dans les hypohèses on permis d élargir la classe d EDSR admean des soluions. Le cadre classique es celui des EDSR lipschiziennes au sens où le généraeur de l EDSR es supposé lipschizien (par rappor aux variables y e z. Les objecifs principaux de cee hèse son : d une par, l éude d une classe spécifique d EDSR (pour laquelle on va chercher à raffiner progressivemen les hypohèses sur le généraeur e avec l objecif complémenaire de généraliser le cadre brownien, d aure par, l éude déaillée d une applicaion en mahémaiques financières, pour deux modèles de marché financier..1.1 Quelques champs d applicaion Avan de procéder à des rappels précis concernan les définiions, hypohèses e résulas héoriques déjà éablis sur les EDSR, on se propose ici de présener quelques exemples bien connus d applicaions de la héorie des EDSR. Un des inérês de l éude des EDSR es le rapprochemen frucueux avec un aure domaine des Mahémaiques : il exise ainsi un lien enre un cerain ype d EDSR (nommées EDSR markoviennes e des EDP dies semilinéaires (ce lien a éé éudié dans [PAR92] e généralisé dans le cadre d EDSR quadraique dans [KOB]. Plus précisémen, on peu relier, via des formules dies de Feynman Kac, la soluion de elles EDSR à la soluion d EDP semilinéaires e, ce qui es d auan plus inéressan, es la possibilié d appliquer des méhodes provenan à l origine des EDP pour résoudre

11 1 les EDSR associées. On souligne que, dans le cas d une EDSR quadraique, i.e. lorsque le généraeur f := f(s,y, z a une croissance de l ordre de z 2 alors considéran l EDP associée (don la soluion u s exprime en foncion de la soluion de l EDSR, la non linéarié conien un erme de l ordre de u 2 : ce ype de non linéarié es difficile à raier e ceci es une des raisons moivan l éude des EDSR à croissance quadraique, pour lesquelles on dispose d ouils spécifiques. Un second exemple d applicaion se rouve dans le domaine du conrôle sochasique. Considérons ainsi le problème de conrôle opimal (éudié dans l aricle [FUH] consisan à minimiser la foncion de coû suivane : J = inf (E ( g(, X,u d + φ(x T, u (ω K où K désigne un sous ensemble fermé de R m dans lequel ou processus de conrôle noé u prend ses valeurs e, où on suppose que X es le processus défini par l EDS suivane : { dx = b(, X (1 d + σ(, X [ dw + r(, X,u d ], X = x, équaion dans laquelle le processus u désigne le conrôle. Afin de résoudre ce problème, on inrodui alors la foncion ψ (représenan le hamilonien du sysème comme sui : ψ(, x, z = inf (g(, x, u + z r(, x, u. u (ω K La réponse au problème de conrôle s exprime en ermes de la soluion (Y, Z de l EDSR suivane : (2 { dy = ψ(, X,Z d + Z dw Y T = φ(x T e elle es donnée par l expression : J = Y. Pour résoudre ce problème de conrôle, il fau éablir l exisence d une soluion au sysème formé des deux équaions (1 e (2 : dans ce sysème qui es appelé sysème forward backward, le processus X soluion de l équaion (1 de ype forward inervien dans la seconde équaion de ype backward (ce ype de sysème es éudié au chapire II de [ELK97b]. On noe que, sous l hypohèse que la foncion g inervenan dans l expression du coû es à croissance quadraique en x e u, il es simple de monrer que le hamilonien ψ es conrôlé par un erme quadraique en z e, de ce fai, l EDSR qui es à résoudre es une fois encore de ype quadraique. D aure par, l exisence d un conrôle opimal u es jusifiée par la proposiion 5.2 de l aricle [FUH]. Dans cerains problèmes issus de la finance, on es amené à considérer une classe pariculière d EDSR, à savoir les EDSR à croissance quadraique

12 .1. OBJECTIFS ET MOTIVATIONS 11 (par rappor à la variable z : ceci es une aure raison moivan l éude héorique de ces objes. Dans cee hèse, on s inéressera ainsi à l exension des résulas précédemmen obenus dans [KOB] à une classe plus générale d EDSR..1.2 Rappels préliminaires On commence par donner quelques uns des résulas majeurs auxquels nous ferons référence par la suie. Communémen, on se place sur un espace probabilisé noé (Ω, F, P sur lequel on suppose êre défini un mouvemen Brownien sandard W (d-dimensionnel d 1 don la filraion naurelle F saisfai les condiions usuelles de compléude e de coninuié à droie. Dans oue la suie e sauf menion pariculière, on se donne T un emps déerminise (appelé aussi l horizon e l ensemble des processus consruis son adapés à la filraion F = (F [,T] e ne son alors considérés que sur [,T]. Dans ce conexe, on cherche à résoudre l EDSR suivane (d horizon déerminise T (Eq.1 Y = ξ + f(s,y s,z s ds Z s dw s, don les paramères son le généraeur f, qui es une foncion (s,ω,y, z f(s,ω,y, z mesurable par rappor à la ribu P B(R k B(R k d, e la condiion erminale ξ, qui es une variable F T -mesurable. Classiquemen, B(R k désigne l ensemble des boréliens de l espace R k e P désigne l ensemble des prévisibles de (Ω [,T], F B([,T]. On rappelle que la dimension de l EDSR es donnée par la dimension du processus soluion Y On considère le cadre classique où une soluion es définie sur S 2 (R k H 2 (R k d. Ces espaces son définis ci-dessous par S 2 (R k = {Y,processus adapés càdlàg, els que :} { E ( sup Y s 2 < }, s [,T] H 2 (R k d = {Z,processus prévisibles (k d -dimensionnels e.q : E( Z s 2 ds < }, e on noe Hloc 2 (Rk d l espace défini comme sui : Hloc 2 (Rk d := Z,processus prévisibles (k d -dimensionnels e.q : { Z s 2 ds < -p.s.}. La soluion d une elle EDSR es un couple (Y, Z de processus apparenan à S 2 (R k H 2 (R k d e saisfaisan les condiions minimales suivanes : s f(s,y s,z s apparien à L 1 ([,T], P-p.s., les processus son adapés à la filraion F e saisfon l équaion (Eq.1. Une paricularié remarquable des EDSR es que la donnée d une équaion suffi à déerminer, sous de

13 12 bonnes condiions sur les paramères (celles-ci son précisées au héorème.1 ci-dessous, un couple de processus soluion. Sous ces hypohèses, le processus Z apparaissan dans l inégrale par rappor au mouvemen brownien W es alors localemen de carré inégrable, dès lors qu on impose le caracère adapé des soluions. L exemple le plus simple pour lequel on obien une soluion (Y, Z à l EDSR de paramères (f,ξ correspond au cas où le généraeur es ideniquemen nul e où la condiion erminale ξ es de carré inégrable. Dès lors, l unique soluion de l équaion Y = ξ Z s dw s, es donnée par Y = E(ξ F e le héorème de représenaion des maringales browniennes donne l exisence (e l unicié à indisinguabilié près d un processus Z saisfaisan Z H 2 (R k d (i.e. de carré inégrable el que Y = E(ξ F = E(ξ + Z s dw s. On rappelle les premiers résulas concernan l éude des EDSR (que l on supposera k dimensionnelles avec k 1. L un de premiers résulas, obenu dans [PAR9], es donné par le héorème suivan : Théorème.1 Sous les hypohèses suivanes sur les paramères f e ξ associés à l EDSR (Eq.1 (A Le généraeur f saisfai la condiion suivane die de Lipschiz en les variables y e z λ >,, y, y, z, z, f(, y,z f(, y,z λ ( y y + z z. (L (B Les paramères f e ξ saisfon la condiion d inégrabilié suivane E ( ξ 2 + f(r,, 2 dr <. l EDSR (Eq.1 possède une e une seule soluion dans l espace S 2 (R k H 2 (R d. Sous de bonnes hypohèses d inégrabilié sur les paramères de l EDSR (à savoir (f, ξ, il es encore possible de consruire des soluions dans les espaces S p (R k e H p (R k d, qui son ceux définis comme les espaces munis des normes suivanes : Y S p = E ( sup s [,T] Z H p (R k d = E ( ( Y s p 1 p, Z s 2 ds p p.

14 .1. OBJECTIFS ET MOTIVATIONS 13 Ces espaces son, en pariculier, mériques comples, lorsque < p < 1, e de Banach (pour p 1. (pour des résulas précis, on renvoie à [PAR99]. Un nouveau résula d exisence e d unicié es obenu sous une nouvelle hypohèse (M die de monoonie sur le généraeur (hypohèse remplaçan (L e reliée aux accroissemens en y. Cee hypohèse di que f es lipschizien par rappor à z e monoone par rappor à y, au sens suivan : µ R,, y,y,z (y y (f(, y,z f(, y,z µ y y 2. (M K >,, y, z,z, f(, y,z f(, y,z K z z. Une éape essenielle dans l éablissemen de ces résulas es l exisence d esimaions a priori précises des normes de ces soluions. Lemme.1 Supposons que les paramères (f, ξ de l EDSR (Eq.1 saisfon les hypohèses (A e (B du héorème.1 alors pour oue soluion (Y, Z de l EDSR (dans l espace S 2 (R k H 2 (R d, il exise une consane universelle noée C u elle que pour β assez grand on ai : E ( sup e β Y 2 + T C u E ( e βt ξ 2 + e β Z 2 d e βt f(,, 2 d. Ces esimaions a priori son égalemen rès uiles pour l éude des EDSR quadraiques. D aure par, pour le cas pariculier des EDSR unidimensionnelles (k = 1, on dispose de résulas de comparaison. Enfin, on rappelle que sous de bonnes condiions d inégrabilié sur les paramères de l EDSR, on obien le même genre d esimaions a priori en cherchan des soluions (Y, Z définies sur les espaces S p (R k H p (R k d (p > 1. Pour conclure ces rappels préliminaires, on menionne les résulas obenus dans [ROY6], dans le cadre des EDSR à saus unidimensionnelles (en horizon déerminise T, T >, auxquelles nous ferons référence dans la seconde parie de la hèse. Dans ce cadre, les EDSR considérées son définies sur un espace di de Wiener-Poisson, espace qui es muni d un mouvemen Brownien W e d une mesure aléaoire de Poisson Ñp(ds, dx indépendane du mouvemen brownien. On noe F la filraion engendrée par ces deux processus indépendans (compléée par la famille des négligeables e saisfaisan ainsi les hypohèses usuelles. La forme des EDSR (unidimensionnelles sur ce espace filré es donnée par : (Eq.2 Y = ξ+ f(s,y s,z s,u s ds Z s dw s U s (xñp(dx,ds. R\{}

15 14 On ne considère que des EDSR unidimensionnelles, car ce cadre pariculier es requis pour éablir le résula de comparaison, qui es un ouil esseniel dans l éude des EDSR à croissance quadraique e don on donne un énoncé dans cee secion au héorème.3. On reprend les noaions du chapire 2 de [IKE] en appelan encore n(dx (ou plus simplemen n la mesure d inensié associée à la mesure compensée de Poisson Ñp. On rappelle qu une mesure aléaoire de Poisson N p es, en pariculier, une mesure de compage associée à un processus poncuel p : Ω R + R \ {}. On donne un exemple où il es simple de définir le processus poncuel p ainsi que l ensemble aléaoire D p associé qui représene l ensemble des insans de saus de p. Soi X un processus de Lévy défini sur un espace filré sandard e à valeurs d dimensionnelles, i.e. le processus X es càdlag adapé e à accroissemens indépendans e saionnaires. On lui associe la mesure de ses saus (qui es noée N p qui es la mesure de compage suivane [,T], A B(R d, N p ([,] A = s, X s A 1 { Xs }, e où l ensemble D p défini par D p := {s,x s X s } représene l ensemble aléaoire des saus (ce exemple es donné au chapire 2 secion 4 de [IKE]. Le caracère croissan de la mesure de compage perme de donner un sens à l inégrale suivane, φ s (xn p (ds, dx := φ s (x1 (s,x Dp, R\{} s dès que : s φ s(x 1 (s,x Dp <. (P-p.s. Une aure définiion de l inégrale exise e cee dernière nécessie d inroduire une nouvelle noaion. On désigne ainsi par ˆN p le compensaeur prévisible associé à la mesure N p e on appelle Ñp la mesure (compensée de maringale définie comme sui Ñ p (ds, dx = N p (ds, dx ˆN p (ds, dx. On peu donner un sens en an que maringale de carré localemen inégrable à l inégrale sochasique suivane. φ s (xñp(ds, dx, R\{} pour ou processus φ prévisible saisfaisan la condiion : ( φ s (x 2 ˆNp (ds, dx <, P-p.s. R\{} [,T] Pour une mesure aléaoire de Poisson, le compensaeur es déerminise e, dans oue nore éude, on suppose qu il exise une mesure n (die de Lévy

16 .1. OBJECTIFS ET MOTIVATIONS 15 elle que ˆN p (ds, dx = n(dxds. D aure par, pour oue EDSR don la forme es donnée par (Eq.2 e sous des hypohèses qui son précisées dans l énoncé du héorème.2 (analogues à celles du héorème.1, une soluion es un riple de processus (Y, Z, U apparenan à S 2 (R L 2 (W L 2 (Ñp. On précise ci-dessous la définiion des espaces hilberiens L 2 (Ñp e L 2 (W : L 2 (W = {Z, Z processus prévisibles e.q. ( E Z s 2 ds [,T] < } L 2 (Ñp = {U, processus P B(R \ {} mesurables e saisfaisan : ( E U s (x 2 n(dxds < }, [,T] R\{} où P désigne l ensemble des évènemens prévisibles sur Ω [,T]. Le riple (Y, Z, U es el que Y es un processus càdlag e Z e U son des processus prévisibles. Dans la suie, on noe, par souci de simplificaion, L 2 (n au lieu de : L 2 (R, R \ {},n(dx. On inrodui alors la noaion F pour désigner la filraion naurelle engendrée par le brownien W e la mesure aléaoire de Poisson N p e compléée. De façon analogue au cas brownien, l espace de Wiener-Poisson possède la propriéé de représenaion prévisible des maringales, à savoir que oues les maringales K de carré (localemen inégrable s écriven sous la forme suivane : K = K + L s dw s + M s (xñp(ds, dx, R\{} où les processus L e M son des processus prévisibles e au minimum de carré (localemen inégrable. Dans le cadre où la filraion es seulemen coninue à droie, les noions de processus prévisibles e adapés ne coinciden pas nécessairemen. En pariculier e dans oue nore éude, les processus Z e U apparaissan dans l EDSR (Eq.2 son pris prévisibles e de carré (localemen inégrable de sore que les deux inégrales sochasiques associées son des maringales de carré (localemen inégrable. Dans ce cadre, les deux résulas suivans on éé éablis dans [ROY3] : Des résulas d exisence e d unicié, sous l hypohèse que le généraeur es lipschizien par rappor à la variable z (e monoone par rappor à y. Un résula de comparaison dans le cadre unidimensionnel. On rappelle les énoncés de ces deux principaux résulas, auxquels nous ferons appel lors de l éude héorique d EDSR quadraiques (dans le conexe d une filraion disconinue pariculière associée à l espace de Wiener-Poisson qui a éé présené ci-dessus.

17 16 Théorème.2 On considère l EDSR à saus unidimensionnelle suivane Y = η + f(s,y s,z s,u s ds Z s dw s U s (xñp(dx,ds. R\{} On suppose que η apparien à L 2 (F T (i.e. η es une variable F T -mesurable e de carré inégrable e que le généraeur f saisfai l hypohèse noée (H ex consiuée des rois poins suivans : 1. f es lipschizien par rappor aux variables z e u, au sens suivan : K, [,T], y R, z, z R d, u,u L 2 (n f(, y,z, u f(, y,z,u K ( ( z z + (u u (x 2 n(dx R\{} 2. f es coninue par rappor à y e il exise un processus φ prévisible e à valeurs posiives el que : E( φ 2 sds < + e : 1 2. f(, y,z, u φ + K ( ( y + z + u(x 2 n(dx R\{} 3. f es monoone par rappor à y, au sens suivan : α R,, y, y R, z,u R d L 2 (n (y y (f(, y,z, u f(, y,z, u α y y 2 Sous ces condiions, il exise une soluion (Y, Z, U qui es à valeurs dans S 2 (R H 2 (R d L 2 (Ñp e qui, de plus, es unique dans ce espace. Dans le cadre d une filraion coninue à droie, le généraeur f es mesurable respecivemen à P B(R B(R d B(L 2 (n(dx (P désigne l ensemble des élémens prévisibles de Ω [,T]. On inrodui ci-dessous une nouvelle hypohèse noée (H comp concernan le généraeur, avan d énoncer le résula de comparaison éabli dans [ROY6]. (i E f(s,,, 2 ds <. (H comp (ii f es lipschizien respecivemen par rappor à y e z (iii f saisfai l hypohèse (A γ donnée ci-dessous.

18 .1. OBJECTIFS ET MOTIVATIONS 17 Cee dernière hypohèse (A γ es définie par les condiions : C 1, C 2.q. 1 < C 1 e C 2, y R, z R d, u, u L 2 (n f(, y,z, u f(, y,z, u γ y,z,u,u (u u (xn(dx, (A γ R\{} où γ y,z,u,u : Ω [,T] L 2 (n es.q. : il es mesurable par rappor à chacune de ces variables e C 1 (1 x γ (x C 2 (1 x La noaion γ y,z,u,u signifie que le processus prévisible γ peu dépendre de ous les paramères indiqués. Ceci éan posé, on énonce alors le résula de comparaison suivan (la référence es [ROY6] : Théorème.3 On considère deux EDSR avec saus de paramères respecifs (f 1,η 1 e (f 2,η 2, où les condiions erminales η 1 e η 2 appariennen à L 2 (F T e elles que f 1 saisfai (H ex, f 2 saisfai (H comp. On suppose, de plus, que (Y 1,Z 1,U 1 e (Y 2,Z 2,U 2 son des soluions respecives des EDSR de paramères (f 1,η 1 e (f 2,η 2 e saisfon : ( η1 η 2 e s, f 1 (s,y 1 s,z 1 s,u 1 s f 2 (s,y 1 s,z 1 s,u 1 s P-p.s. On obien alors : [,T], Y 1 Y 2, P-p.s. Si, de plus, Y 1 = Y 2, alors : [,T], Y 1 = Y 2 conséquen : Z 1 = Z 2 e U 1 = U 2. (P-p.s. e, par La dernière asserion es appelée résula de comparaison sric. Au vu des hypohèses faies, la preuve résule de l applicaion d une procédure classique de linéarisaion au généraeur f 2. On obien le même résula sous l hypohèse symérique suivane : f 1 saisfai (H comp (e f 2 saisfai (H ex e l inégalié suivane es vérifiée f 1 (s,y 2 s,z 2 s,u 2 s f 2 (s,y 2 s,z 2 s,u 2 s P-p.s. e pour ou s. L une des conséquences direces du résula de comparaison fourni par ce héorème.3 es le résula d unicié (obenu pour : f 1 = f 2 e η 1 = η 2. Comme dans le cadre brownien, la preuve du héorème.2 d exisence repose sur l exisence d esimaions a priori précises des normes des soluions. Les hypohèses nécessaires au résula de comparaison son neemen plus conraignanes que dans le cas brownien. Ceci es l une des difficulés majeure de l éude des EDSR à croissance quadraique e avec saus. Dans la secion qui sui, nous rappelons les principaux résulas ayan éé éablis sur les EDSR quadraiques (dans le cadre brownien e on insise sur les schémas des preuves qui son adapables à des cadres d éude beaucoup plus généraux, ce qui fera l obje du ravail mené dans cee hèse.

19 18.2 Rappel des résulas dans le cadre quadraique.2.1 Le cadre Dans le cadre brownien (éudié noammen par [KOB], une EDSR du ype (Eq.1 es die quadraique lorsque le généraeur f saisfai la condiion : (C y, z R R d, f(s,y, z α s + b y + γ 2 z 2, P-p.s. e pour ou s, où b, γ son des consanes posiives e α es un processus adapé posiif saisfaisan la propriéé d inégrabilié suivane : C >, α s ds C, P-p.s. La conraine (C n es pas la plus générale qui soi. Cee condiion fourni un exemple de conraines sur le généraeur d une EDSR permean d éablir un résula d exisence (dans le cadre d une filraion brownienne. Dans oue l éude des EDSR quadraiques e pour pouvoir se référer aux résulas classiques de comparaison (els que celui énoncé au héorème.3, on ne considère que des EDSR unidimensionnelles. La soluion d une elle EDSR es un couple (Y, Z de processus adapés e apparenan à S (R H 2 (R d e on rappelle la définiion de ces espaces : S (R = {Y, processus càdlag adapé el que : esssup s,ω ( Y s (ω < }. H 2 (R d = {Z, processus prévisibles saisfaisan : E( Z s 2 ds < }..2.2 Les résulas d exisence e de sabilié Avan de redonner les résulas majeurs d exisence concernan les EDSR quadraiques, on précise les hypohèses à poser sur les paramères des EDSR éudiées. Hypohèses préliminaires Soien c une foncion croissane coninue, a e b deux processus adapés e à valeurs dans L 1 ([,T]. Le généraeur f vérifie l hypohèse (H.1 si, pour ous (s,y, z apparenan à [,T] R R d, on a : (H.1 f(s,y, z = a(sy + F (s,y, z, avec : F (s,y, z b(s + c( y z 2, P-p.s. e pour ou s. ainsi que (y, z f(s, y, z es coninue (pour ou s. On noe que, sous cee hypohèse, le généraeur es conrôlé par la somme d un erme quadraique en z e d un processus φ : (s,y a(sy + b(s

20 .2. RAPPEL DES RÉSULTATS DANS LE CADRE QUADRATIQUE19 qui es coninu (puisque linéaire en la variable y. Le résula d exisence (héorème.4 énoncé au paragraphe suivan a éé généralisé dans [LEP98] au cadre d un généraeur f seulemen coninu e à croissance die surlinéaire par rappor à y : i.e., le processus φ qui domine f(.,., : (s,ω,y f(s,y es croissan e vérifie la condiion suivane dy φ(y = +. (un exemple de elle foncion es : y y ln(y. Dans oue la suie, sauf menion conraire, la condiion erminale es supposée bornée e on appelle soluion de l EDSR (Eq.1 de généraeur saisfaisan (H.1, ou couple de processus adapés (Y, Z apparenan à S (R H 2 (R d e el que f(, Y,Z apparienne à L 1 ([,T]. Enoncés des résulas Bien que les résulas présenés dans cee secion peuven s éendre à des EDSR à horizon aléaoire, on ne considère que les résulas concernan un emps T déerminise, qui es le cas raié par la suie. Lorque l on parle de la filraion F, on enend la filraion resreine à [,T] (à savoir : F = (F [,T]. Théorème.4 Supposons que les paramères (f, ξ de l EDSR (Eq.1 soien els que le généraeur f vérifie l hypohèse (H.1, c : R + R + es une foncion croissane coninue e : ξ L (F T, alors l EDSR possède au moins une soluion (Y, Z apparenan à S (R H 2 (R d. D aure par, il exise une soluion minimale (Y, Z (resp. une soluion maximale (Y, Z qui es caracérisée par la propriéé suivane : Si on considère une EDSR de paramères (g, ζ qui vérifie : f g e : ξ ζ (resp. f g e ξ ζ e pour laquelle on connai une soluion (Y g, Z g, alors on a les relaions suivanes : Y Y g (resp. Y Y g. Ce héorème assure ainsi l exisence d une soluion minimale à oue EDSR à croissance quadraique saisfaisan l hypohèse (H.1. La démonsraion de ce héorème s appuie rès foremen sur le lemme (di de sabilié par monoonie suivan (on renvoie aussi à [KOB] : Lemme.2 Soien (f, ξ e (f n, ξ n n les données d EDSR vérifian les condiions suivanes : (1 Pour ou s e presque sûremen, la suie de généraeurs (f n n converge de façon monoone vers f (avec f coninue sur les compacs de [,T] R R d, sup ξ n L (F T e ξ n ξ (P-p.s.. n (2 Il exise k : R + R + elle que : k L 1 ([,T] e une consane C,

21 2 C >, de sore que : n N, (s,y, z [,T] R R d, f n (s,y, z k s + C z 2. (3 Pour ou n, l EDSR caracérisée par (f n, ξ n possède une soluion (Y n, Z n dans S (R H 2 (R d. Cee soluion es elle que (Y n n es monoone (de même sens de monoonie que (f n e saisfai : M >, n, Y n S M. Sous les condiions (1, (2 e (3, il exise un couple de processus (Y, Z S (R H 2 (R d qui es une soluion de l EDSR donnée par (f, ξ e cee soluion es elle que : lim Remarques sup n s [,T] Y n s Y s = P-p.s., lim E( Z n s n Z s 2 ds =. (i.e. Z n Z dans L 2 (W. Jusifions brièvemen le erme de résula de sabilié : l objecif de ce lemme es de prouver un résula de convergence des soluions d une suie d EDSR de paramères (f n, ξ n vers une soluion de l EDSR, don les paramères (f,ξ son obenus comme limie au sens précisé dans le poin (1 du lemme précéden. Du fai que cee consrucion es basée sur une approximaion, on obien seulemen un résula d exisence (e non d unicié alors que, dans le cadre Lipschiz, l uilisaion appropriée (dans un espace de Banach d un héorème de Picard (qui es un héorème de poin fixe fourni à la fois l exisence e l unicié. Touefois, l uilisaion d une procédure d approximaion monoone perme d obenir l exisence de soluions minimales ou maximales (dans l aricle [BRI6], ceci es réalisé à l aide d une procédure classique d inf-convoluion. Elémens de preuve L objecif de cee secion es de fournir quelques déails sur les méhodes usuelles uilisées dans cee hèse : dans les différenes preuves d exisence don nous nous inspirerons, la procédure consise esseniellemen à jusifier successivemen les éapes suivanes : l exisence d esimaions a priori pour oue soluion (Y, Z. Tou processus Y soluion d une elle EDSR es ainsi comparé à la soluion d une équaion différenielle ordinaire.

22 .2. RAPPEL DES RÉSULTATS DANS LE CADRE QUADRATIQUE21 la consrucion d une suie de soluions (Y n,z n à des EDSR classiques (avec des généraeurs f n suffisammen réguliers, i.e lipschiziens par rappor à y e z : cee éape consise en l approximaion du généraeur par une suie monoone (f n de généraeurs saisfaisan les hypohèses classiques (elles qu énoncées au héorème.1. la jusificaion d un résula de sabilié par monoonie : la propriéé de monoonie es obenue en exploian les résulas de comparaison éablis dans le cadre sandard e ce résula de sabilié repose esseniellemen sur la convergence (fore dans L 2 (W de la suie de processus (Z n consruies à l éape précédene. Cee méhode s inspire noammen d ouils héoriques provenan de l analyse de ceraines EDP (semilinéaires e elle a éé originairemen employée dans [KOB] puis aussi dans [LEP98], pour des généraeurs quadraiques en z e à croissance (au plus surlinéaire en y. Afin de jusifier ces résulas, il es d aure par rès commode d uiliser les ouils spécifiques du calcul sochasique (elle que la formule d Iô ainsi que du résula de comparaison dans le cadre classique des EDSR (dies Lipschiz unidimensionnelles. On donne mainenan une exension du résula d exisence. La preuve de ce résula peu êre rouvée dans l aricle [BRI6]. On énumère ci-dessous les nouvelles hypohèses sur les paramères : le généraeur f saisfai l hypohèse (H.2 suivane (un peu moins générale que (H.1 (H.2 { α, β,γ >, ( β γ α els que f(s,y, z α + β y + γ 2 z 2, P-p.s. e pour ou s. la condiion erminale ξ n es plus supposée bornée, mais elle saisfai seulemen la condiion suivane, donnan l exisence d un momen exponeniel (C 1 λ, λ > γe βt.q. E(e λ ξ <. On défini les espaces dans lesquels on cherche des soluions sous ces dernières hypohèses : S(R = p,p>1 S p (R e H(R d = p,p>1 H p (R d, où les espaces S p (R e H p (R d son définis comme sui : S p (R = {Y,processus adapés els que : E ( sup Y s p < }. s [,T] H p (R d = {Z,processus prévisibles saisfaisan : E( Z s 2 ds p 2 < }.

23 22 Il es clair, d une par, que pour ou p, p > 1, l espace S (R es sricemen inclu dans S p (R. D aure par, ou processus Y el que (Y, Z es une soluion de l EDSR, don les paramères (f, ξ saisfon (C 1 e (H.2, n a aucune raison d êre borné en général. Cee hypohèse (H.2 perme noammen l éablissemen d esimaions a priori précises quan aux normes des soluions e, ou comme dans [KOB], la procédure qui condui à ces esimaions repose sur la comparaison avec la soluion d une équaion différenielle ordinaire. L un des poins echniques esseniel de cee preuve donnée dans [BRI6] es l uilisaion d une procédure de localisaion : cee dernière consise en l inroducion d une suie (τ k de emps d arrê bien choisie, de sore que la famille des EDSR dies arrêées au emps τ k aien à nouveau une condiion erminale bornée. Théorème.5 Sous ces nouvelles hypohèses (H.2 e (C 1 sur les paramères (f,ξ, l EDSR (Eq.1 possède une soluion (Y, Z dans S(R H(R d. Du fai de la consrucion de cee soluion, qui es obenue comme limie d une suie de soluions d EDSR, l unicié n es plus garanie, ou au moins, plus par le raisonnemen employé lorsque la condiion erminale es bornée. En effe, anicipan ici sur les résulas e méhodes décris dans la secion qui sui, l apparenance à l espace des maringales BMO de l inégrale sochasique. Z s dw s n es plus vérifié dans le cadre d une condiion erminale non bornée. Cee noion de maringale BMO es inroduie au paragraphe.2.3 qui sui dans la définiion.1 e cee dernière noion es essenielle dans le cadre des preuves des résulas d unicié qui son présenées ci-dessous (ces preuves son basées sur le héorème de Girsanov..2.3 Résulas d unicié e de comparaison On présene d abord le résula d unicié donné dans [KOB] dans le cadre brownien, don on reprécise les hypohèses ci dessous. On di que f saisfai (H.3 avec les processus adapés noés c f e c z, e avec les consanes C f, C z, si pour ou (s,y, z, (s,y, z [,T] R R d, on a : { f(s,y, z cf (s + C f z 2, P-p.s e pour ou s. f z (s,y, z c z(s + C z z, P-p.s. e pour ou s. f saisfai (H.4 si, pour ou ǫ >, (ǫ arbirairemen proche de, il exise c ǫ, c ǫ L 1 ([,T] el que, pour ou (s,y, z [,T] R R d on ai : f y (s,y, z c ǫ(s + ǫ z 2 P-p.s. e pour ou s (ceci fourni un conrôle de la dérivée parielle de la foncion f = f(s,y, z par rappor à la seconde variable. On rappelle ici qu une sur-soluion (resp.

24 .2. RAPPEL DES RÉSULTATS DANS LE CADRE QUADRATIQUE23 une sous-soluion d une EDSR donnée par f e ξ es un riple de processus adapés (Y, Z, C T qui vérifie en oure : Y = ξ + f(s,y s,z s ds Z s dw s + dc s (resp. dc s, où (C [,T] es un processus coninu à droie e croissan (C RCI(R. Un riple de processus éan à la fois sur e sous soluion es une soluion de nore EDSR. Avec ces noaions, voici l énoncé du principe de comparaison (qui donne aussi l unicié d une soluion Théorème.6 Soien (f 1, ξ 1 e (f 2, ξ 2 les données de deux EDSR du ype (Eq.1 e on suppose que les asserions ci-dessous son vérifiées : 1. Pour ou (s,y, z [,T] R R d, on a ( ξ 1 ξ 2 e f 1 (s,y, z f 2 (s,y, z P-p.s. 2. Il exise c f L 1 ([,T], c z L 2 ([,T], c ǫ L 1 ([,T], ainsi que deux réels C F e C z, els que f 1 e f 2 saisfai les hypohèses (H.i pour i = 3,4. Si, de plus, le riple (Y 1, Z 1, C 1 T qui apparien H (R H 2 (R d RCI(R (resp. (Y 2, Z 2, C 2 apparenan au même espace es une soussoluion (resp. une sur soluion de l EDSR donnée par (f 1, ξ 1 (resp. par (f 2, ξ 2, on obien alors : [,T], Y 1 Y 2, P-p.s. Afin de résoudre le problème de l unicié, il es possible d apporer des condiions moins conraignanes que celles imposan la différeniabilié de f dans le héorème.6 : par exemple, dans [HU5], le problème de l unicié es résolu sous la condiion suivane : C >, s f(s,y, z f(s,y, z C(1 + z + z z z, P-p.s. L EDSR éudiée dans ce cadre es oujours considérée en horizon déerminise. D aure par e dans l aricle précié, le généraeur es explicie puisqu il es inrodui lors de la résoluion d un problème spécifique de mahémaiques financières e cee condiion es donc aisée à vérifier. On ermine cee secion en inroduisan une nouvelle noion qui es celle de maringale BMO. Cee définiion de maringale BMO es donnée en oue généralié au chapire 7 (définiion 76 dans [DEL8] (i.e. pour une maringale quelquonque e évenuellemen disconinue : celle-ci nécessie de considérer le croche droi noé [M] (qui correspond au processus de variaion quadraique.

25 24 Définiion.1 M es une maringale BMO si e seulemen si l une des deux définiions suivanes es vérifiée : 1. Dans le cas général, il exise une consane c, c >, elle que pour ou F-emps d arrê τ, esssup(e Fτ ([M,M] T [M,M] τ c 2. Ω La norme BMO es la plus peie consane c elle que cee inégalié es vérifiée (quelque soi le F-emps d arrê τ. 2. Dès que le croche oblique M es défini, il exise une consane c, c >, elle que pour ou F-emps d arrê τ, esssup(e Fτ ( M T M τ c 2 e : M τ 2 c 2, Ω M τ désignan le sau évenuel du processus M au emps τ. Si les deux inégaliés son vraies pour ou emps d arrê τ avec la consane c, alors la norme BMO es majorée par 2c. L espace pariculier BMO(W correspond au cadre des maringales browniennes (de carré localemen inégrables. On sai que, pour oue maringale M brownienne de carré inégrable, définie sur [,T] e elle que M =, le héorème de représenaion prévisible des maringales fourni l exisence d un processus φ (de carré inégrable el que : M =. φ s dw s. Dans ce conexe, l espace BMO(W consise en l ensemble des maringales M ayan la représenaion précédene e qui saisfon de plus τ F-emps d arrê c >, E( M T M τ F τ = E( φ s 2 ds F τ c. τ Cee définiion es valable lorsque le croche di oblique e noé M exise, ce qui es le cas lorsque M es coninue e de carré (localemen inégrable. D aure par, pour oue maringale M de carré (localemen inégrable, le croche oblique (noé M exise e c es dans ce cas que l on se place dans la hèse. Dans le cadre d une EDSR considérée en filraion brownienne, où le généraeur n es pas lipschizien, l exisence d un héorème de comparaison es assurée par 1 d une par, le conrôle des accroissemens du généraeur, 2 d aure par, les esimaions dans l espace BMO de l inégrale sochasique Z W, pour oue soluion (Y, Z d une EDSR (de ype quadraique.

26 .3. PRÉLIMINAIRES DE MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 25.3 Préliminaires de mahémaiques financières La moivaion de l éude héorique menée dans cee hèse provien noammen de l applicaion de ces résulas en mahémaiques financières (e, en pariculier, à des problèmes d opimisaion de porefeuille. Ceux-ci on pour objecif de répondre à des problèmes de couverure d acif coningen. L obje de cee secion consise à rappeler les noions ainsi que les ouils nécessaires à la résoluion de ce ype de problèmes..3.1 Inroducion des conceps de base Le conexe es celui d un marché financier qui consise en la donnée des objes suivans : 1. Un espace probabilisé sandard (Ω, F, P e une dae de maurié T (encore appelé horizon. 2. Un processus de prix S = (S [,T] adapé à une filraion F (qui saisfai les condiions habiuelles e son équaion d évoluion (i.e., en général, une EDS. Quelques remarques L horizon T du marché financier es fixé e déerminise. Tous les processus éudiés son supposés adapés par rappor à la filraion F = (F [,T] donnée (prévisibles dans le cas où la filraion es disconinue. Le processus S représene le prix des acifs risqués présens sur le marché financier : en règle générale, si on noe S le prix de l acif non risqué, don le aux d inérê es r := (r( e saisfai : exp( r s ds < (pour ou dans [,T], alors la valeur S acualisée à la dae es donnée par S = S S = e R rsds S S. Par souci de simplificaion, on supposera désormais, sans resricion dans l éude menée, que : r (de sore que S e S coinciden. On précise ci-dessous la forme du processus de prix dans l un des modèles de marché financier courammen uilisé, à savoir celui de Black e Scholes. Ce processus noé S es unidimensionnel e donné par ds = S ( bd + σdw,

27 26 où les processus de drif e de variance apparaissan dans l EDS son des consanes, respecivemen égales à b e σ (avec σ e où W es un mouvemen brownien sandard. D aure par, ce processus s écri sous la forme exponenielle suivane : S = S exp ( σw + (b σ2 2. Hypohèses usuelles Sur le marché financier, le processus de prix S es généralemen une semimaringale d dimensionnelle qui s écri sous la forme : S = S + M + A, (1 avec M une maringale elle que : M M 2 loc, i.e. M es une maringale locale de carré inégrable (M es coninue dès que S l es e A qui représene la parie à variaion finie (A peu êre pris prévisible lorsque S es spéciale. On renvoie le leceur à [ANS] pour la jusificaion du fai que le processus S représenan le prix des acifs risqués sur le marché es une semimaringale, sous l hypohèse classique de non arbirage. De ce fai, nous pouvons uiliser les ouils classiques de calcul sochasique (en pariculier, la formule d Iô. De plus, dans le cadre de semimaringales spéciales, qui es le cadre dans lequel on se place, la noion de croche oblique M d une maringale (locale M de carré inégrable es bien définie. (ce croche oblique es défini par [DEL8] comme projecion duale prévisible du croche droi ou processus de variaion quadraique. Dans la définiion qui sui, on inrodui les noions de processus de richesse d un agen e de sraégie associée (pour le cas où il y a d acifs risqués sur le marché : Définiion.2 On appelle sraégie π d un agen financier ou processus d-dimensionnel F-prévisible el que l inégrale sochasique X π ds s := π s S s avec S de forme donnée par (1 ai un sens : on suppose que la condiion suivane soi vérifiée E ( d i=1 πi s Ss i 2 d S i s <. Le processus (de richesse X π es défini, pour ou : X π = x + π s ds s S s, où x désigne la richesse iniiale de l agen, qui es une consane réelle en an que variable F -mesurable.

28 .3. PRÉLIMINAIRES DE MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 27 Cee définiion du processus de richesse n es valable que sous l hypohèse pariculière r. Si ce n es pas le cas, l équaion du processus de richesse X π a éé donnée noammen dans le cadre brownien dans [ELK] dx = r X d + π σ ( dw + η d, où r désigne le aux d inérê de l acif non risqué, chaque composane du veceur π représene les monans invesis dans chaque acif risqué (la noaion π désignan la ransposiion e η désigne le processus appelé processus risque premium. Le processus X := Xe R. rsds saisfai donc une EDS dirigée par le mouvemen brownien W du même ype que X. L une des hypohèses fondamenales dans l éude des marchés financiers es celle d absence d opporunié d arbirage. On di qu une sraégie π défini une opporunié d arbirage lorsque les condiions ci-dessous son saisfaies X π =,, X π, P-p.s. e P(X π T > >. De nombreux aricles se son inéressés à d aure raducion de cee hypohèse (dans le conexe de marchés financiers rès généraux. Sans renrer dans le déail des preuves exisanes (on renvoie à [DEL94a] ou [STRI9] e qui son relaivemen echniques, on précise que cee noion de non arbirage es reliée à l exisence d au moins une mesure de maringale locale pour le processus S. L un des problèmes auquel les financiers s inéressen es celui de la couverure d un acif coningen, c es-à-dire d une variable B F T -mesurable e qui représene le conra ou engagemen financier. Ce problème revien à chercher une sraégie π elle que : π.q. B = XT π ds s := x + π s. S s Un el acif B es alors di réplicable e un marché es di comple lorsque ous les acifs coningens son réplicables. Dans un el marché e s il exise une mesure de maringale, le prix de l acif B es donné, à la dae, par la représenaion suivane : P = E Q (B F = E Q (X π T F = X π, où Q es l unique mesure équivalene qui es une densié de maringale pour S. En pariculier, dans le modèle de Black e Scholes, le processus de prix coninu S es donné par l EDS unidimensionnelle suivane (dirigée par un brownien W ds s S s := σdw s + bds, où b, σ son des consanes. Sous ces hypohèses sur les paramères e sous la condiion σ >, le modèle es comple e libre d arbirage, e de plus la

29 28 densié de la mesure de probabilié équivalene es donnée à la dae T par la relaion suivane : Z T = dpθ dp = exp( θw T θ2 2 T, où le processus θ es consan e égal à σ 1 b. Le processus Z qui es l exponenielle sochasique de θ W (exponenielle noée dans la suie Z := E( θ W es ainsi une vraie maringale. On donne à la secion.3.3 la définiion de l exponenielle sochasique ainsi qu un crière permean de conclure que le processus Z es une densié de maringale. Lorsque ce crière es vérifié, la mesure noée P θ (de densié Z es alors une mesure équivalene de maringale (ou encore mesure risque neure. Dans le cadre de nore éude, nous nous plaçons au conraire dans le cas de marchés incomples, dans lequel il n y a plus nécessairemen réplicabilié de l acif coningen B. Les sources d incompléude peuven êre d origines diverses : se référan à l aricle [HU5], ce peu êre le cas noammen en filraion brownienne lorsque le nombre d acifs risqués es sricemen inférieur à la dimension du brownien considéré, mais aussi lors de présence de conraines supplémenaires sur le porefeuille (on peu ainsi imposer une resricion sur l ensemble des valeurs prises par les sraégies ou encore lors de présence sur le marché d évènemens non prévisibles : un exemple es fourni par la héorie du risque de crédi (cee noion es éudiée dans [BIE]. Du poin de vue de la mahémaique financière, cee condiion d incompléude se radui par le fai qu il n y a pas unicié d une mesure de maringale équivalene pour le processus de prix S, ce qui indui donc qu il n y a pas unicié du prix d un acif. Dans ce conexe, on défini la noion d inervalle de prix assuran le non arbirage. On noe P e l ensemble consiué des mesures de maringales équivalenes : P e = {Q, dq dp es une densié de maringale e Q P}. Conrairemen au cas de marché comple, les prix saisfaisan cee condiion de non arbirage son les réels compris dans l inervalle ouver e, sous la condiion d absence d arbirage, non rédui à un singleon, défini comme sui : ] inf E Q (B, sup E Q (B[ = ]h low,h upp [, Q P e Q P e où l on reprend la erminologie de [ELK]. Le prix h low (resp. h upp désigne le prix de surréplicaion pour l acheeur (resp. prix de surréplicaion pour le vendeur. En effe pour le vendeur, le prix de l acif représene le monan iniial minimal d argen à posséder pour s assurer que la vene au prix B se fera sans pere, il es défini aussi comme sui : h upp = inf {x, Xπ,x x T B},

30 .3. PRÉLIMINAIRES DE MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 29 alors que le prix de l acheeur es défini par h low = sup{x, X π, x T B}. x Dans le cas d un marché sans opporunié d arbirage e comple, ou acif coningen B es réplicable e le prix de l acif B es donné en ermes de l unique mesure de maringale équivalene ˆP par : E ˆP(B = h low = h upp. Dans ce cas, l inervalle es prix assuran le non arbirage es rédui à un singleon qui es appelé prix de l acif financier. On jusifie dans la secion qui sui l une des raisons de l éude du problème de maximisaion de l uilié d un porefeuille..3.2 Présenaion du problème éudié Dans le conexe d un marché incomple, i.e. du fai de l absence de sraégie de réplicaion, on va chercher à redéfinir la noion de sraégie opimale. Ceci es l une des moivaions conduisan à s inéresser à des problèmes d opimisaion de l uilié (d un porefeuille. Le problème pariculier qui nous inéresse es celui de la maximisaion de l uilié de porefeuille (sous conraines. Nous raions de façon majoriaire e dans chacune des grandes paries de cee hèse le cas de l uilié exponenielle. On évoque ouefois le cas de deux aures foncions d uilié : l uilié puissance e l uilié logarihme son ainsi considérées à la secion 3.3 de la première parie de la hèse, dans le cas pariculier où il n y a pas d acif coningen (à savoir lorsque : B. Ce problème d opimisaion es rès largemen éudié dans des conexes différens e avec diverses méhodes de résoluion e on disingue ci-dessous deux approches du problème : (1 une approche consisan à inroduire le problème dual associé au problème d opimisaion, lorsque ce dernier es formulé de manière saique. On cie comme références (non exhausives les aricles [DEL97] ou [SCH], dans lesquels l éude a éé menée dans le conexe de marchés financiers rès généraux. (2 une approche qualifiée de dynamique e qui es basée sur le principe de la programmaion dynamique (l uilisaion de ce principe provien de la héorie du conrôle sochasique e une formulaion en es donnée dans la proposiion 3.3 de [ELK97c]. Dans le cadre markovien, ce principe perme de jusifier la forme de l équaion de Hamilon-Jacobi- Bellman saisfaie par la foncion valeur (un exemple de elle équaion (sous forme inégro-différenielle es fourni par l équaion 4.4 dans [BEC4] dans le cadre d un marché présenan des saus. L un des inérês des EDSR (non linéaires es la possibilié de s affranchir du cadre markovien.

31 3 On s aache, dans ce qui sui, à présener le problème de maximisaion de l uilié exponenielle sous conraines. Dans ou le paragraphe, la noaion U α désigne l uilié exponenielle (de paramère α, α > définie pour ou x par : U α (x := exp( αx. Ce paramère α es une mesure du degré d aversion au risque. On jusifie ci-dessous cee erminologie pour le paramère α : le problème consise à chercher la valeur opimale de l uilié du porefeuille, une fois livré l acif coningen B, à la dae d échéance T. Or, au vu de la définiion de U α, cee valeur opimale es d auan plus faible que α es grand. Auremen di, plus ce coefficien α es grand, plus on pénalise les réalisaions faibles (cee noion de pénalisaion es présenée dans [ELK], aricle qui appore des résulas pour ce problème d opimisaion en employan les deux approches e dans le cadre de conraines convexes sur le porefeuille. Cadre e hypohèses On se place dans le cadre d un marché financier (comme inrodui dans la secion précédene, la filraion noée F es quelquonque (évenuellemen disconinue mais saisfai les hypohèses usuelles de compléude e de coninuié à droie. On noe oujours par d le nombre des acifs (risqués présen sur le marché, par S le processus de prix (d dimensionnel associé e par T l horizon. D aure par, dans nore éude, les sraégies son supposées prendre leurs valeurs dans un ensemble de conraines, noé C, qui es un sous ensemble de R d fermé e non nécessairemen convexe (cee dernière condiion n es pas classique e jusifie l approche dynamique qui es choisie pour résoudre le problème. Les objecifs 1 Caracérisaion de la foncion valeur (V B (x variable aléaoire F - mesurable qui es définie à la dae ( [,T] comme sui : (P1 V B ds (x = ess sup E F u (U α (x + π u B. π A S u x es une variable F mesurable. (Ean donnée une famille de variables (Y i i, la noaion esssup Y i es inroduie dans [DEL8] pour désigner i l unique variable Y qui majore Y i, pour ou i, e elle que oue aure variable Y saisfaisan la même propriéé vérifie : Y Y. 2 Caracérisaion des sraégies opimales (noées π qui son définies sur [, T] e réponden aux crières suivans : π es admissible (i.e. π apparien à A au sens de la définiion.3 ci-dessous (cee noion d admissibilié consiue un des problèmes délicas. π réalise le supremum (qui es donc un maximum dans le problème

32 .3. PRÉLIMINAIRES DE MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 31 (P1 Définiion.3 L ensemble des sraégies admissibles A consise en l ensemble des processus d-dimensionnels π := (π s s [,T] F prévisibles, saisfaisan que : π s C, P-p.s. ainsi que les condiions suivanes d inégrabilié 1 E ( d i=1 πi s Ss i 2 d S i s <. 2 L ensemble {exp( αx π τ,pour ou F -emps d arrê τ} es une famille uniformémen inégrable. Pour des raisons d ordre echnique liées à la résoluion du problème, on élargi la classe habiuelle des sraégies admissibles. De façon générale, l ensemble des processus π d-dimensionnels admissible saisfon une condiion du ype suivan : C.q. s, s, X π s C, c es-à-dire qu on impose un seuil minimal pour le processus de richesse. On précise les noaions pour le rese de cee secion : les sraégies considérées son définies sur [, T] e le processus de richesse X π := X π,,x qui es associé à la sraégie π, es défini par s [, T], X π s = x + s π u ds u S u, Afin de caracériser la foncion valeur du problème, on emploie la méhode déjà employée dans un cadre brownien par [HU5]. Celle ci se base sur des propriéés reliées au principe de programmaion dynamique. La méhode consise à conruire une famille adéquae (R π π de processus définis sur, T] adapés e saisfaisan (MD (i π, π A, R π = R, avec : R variable F -mesurable e, ((R π indépendan de π (ii R π T = exp( α(x π T B, (iii R π es une surmaringale, pour ou π A, e : π, π A, elle que : R π es une maringale. Pour raduire la dernière condiion qui provien des méhodes associés à la programmaion dynamique, il s agi d employer la formule d Iô pour une famille (R π de processus adéquas : l ouil esseniel pour écrire les condiions de surmaringale e de maringale es la décomposiion de Doob Meyer (on se réfère aux héorèmes 6 e 7 de [PRO] pour des énoncés précis de cee décomposiion.