Équations différentielles

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1 V. Équaions différenielles 1 Primiive d une foncion Définiion 1. On appelle primiive d une foncion f une soluion de l équaion différenielle y = f. Exercice 1. Déerminer une soluion de l équaion différenielle y () = d inconnue y de la variable. Remarque 1. On noera parfois abusivemen y = au lieu de y () = Lorsque nous aurons défini la noion de coninuié e développé la héorie de l inégraion, nous pourrons démonrer le héorème suivan : Théorème 1. Toue foncion f coninue adme des primiives, si F 1 e F 2 son deux primiives de la foncion f alors il exise une consane k R elle que F 2 = F 1 +k. Exercice 2. Déerminer les primiives sur R de la foncion f définie par f() = Exercice 3. Déerminer les primiives sur ]0;+ [ de la foncion f définie par f() =. (on pourra uiliser les foncions puissances) Exercice 4. Déerminer les primiives sur R de la foncion f définie par f() = 2. En déduire que la +1 foncion f adme une unique primiive F sur R elle que F(1) = 1. Exprimer F(). Exercice 5. Dériver la foncion F : (a + b)e. Monrer qu il exise des valeurs de a e b elles que F () = e. En déduire les primiives sur R de la foncion f définie par f() = e. Exercice 6. Dériver la foncion F : (acos+bsin)e. Monrer qu il exise des valeurs de a e b elles que F () = (sin)e. En déduire les primiives sur R de la foncion f définie par f() = (sin)e. 1/10 suptsi1718mahs05

2 2 Équaions linéaires du premier ordre Rappelons ou d abord que nous avons défini la foncion exponenielle à parir d une équaion différenielle du premier ordre : Définiion 2. L équaion différenielle y = y avec la condiion iniiale y(0) = 1 adme une unique soluion sur R, on l appelle foncion exponenielle e on la noe exp() ou e avec e = exp(1). La foncion exponenielle va donc jouer un rôle fondamenal dans la résoluion des équaions différenielles. 2.1 Équaions linéaires du premier ordre sans second membre Théorème 2. On considère une foncion a coninue sur un inervalle I à valeurs dans R ou C, alors l équaion différenielle y +a()y = 0 adme pour soluions les foncions y définies par y() = λe A() où A es une primiive de a sur I e λ un nombre réel ou complexe. Exercice 7. Résoudre les équaions différenielles suivanes sur R : y 2y = 0 y +(1+i)y = 0 ( 2 +1)y +y = 0 Propriéé 1. On considère une foncion a coninue sur un inervalle I à valeurs dans R ou C, alors l équaion différenielle y +a()y = 0 avec la condiion iniiale y( 0 ) = α adme une unique soluion. Exercice 8. Résoudre l équaion différenielle y y = 0 sur [0;+ [ avec la condiion iniiale y(1) = e. Exercice 9. Résoudre l équaion différenielle y = 0 sur R avec la condiion iniiale y (0) = Équaions linéaires du premier ordre avec second membre La première méhode de résoluion appelée méhode de variaion de la consane consise à chercher une soluion de l équaion avec second membre sous une forme modifiée de la soluion de l équaion sans second membre en remplaçan la consane muliplicaive par une foncion : Propriéé 2. On considère deux foncions a e b coninues sur un inervalle I à valeurs dans R ou C, alors l équaion différenielle y +a()y = b() adme pour soluions les foncions y définies par y() = f()e A() où A es une primiive de a e f une primiive de la foncion be A. Remarque 2. La formule f = be A n es pas à connaîre, en praique on procède de la façon suivane : On cherche la soluion générale y H de l équaion sans second membre associée. On remplace la consane de y H par une foncion f() afin d obenir la forme de la soluion y de l équaion avec second membre. On dérive la forme précédene. On remplace y e y dans l équaion différenielle, on consae que f() disparaî e on obien f (). On en dédui f puis y. Exercice 10. Résoudre l équaion différenielle (E) : y + 1 y = sur l inervalle ]0;+ [ en uilisan la méhode de variaion de la consane. 2/10 suptsi1718mahs05

3 La seconde méhode de résoluion appelée méhode de la soluion pariculière consise à chercher une soluion pariculière de l équaion avec second membre ce qui perme ensuie de se ramener à une équaion sans second membre : Théorème 3. On considère deux foncions a e b coninues sur un inervalle I à valeurs dans R ou C, alors l équaion différenielle y +a()y = b() adme pour soluions les foncions y définies par y() = ỹ()+y H () où ỹ es une soluion pariculière de l équaion différenielle e y H la soluion générale de l équaion différenielle sans second membre associée. Exercice 11. On considère l équaion différenielle (E) : y + 1 y = sur l inervalle ]0;+ [. Déerminer une soluion pariculière de l équaion différenielle (E) sous la forme ỹ() = m 2. En déduire les soluions de l équaion différenielle (E). Propriéé 3. On considère deux foncions a e b coninues sur un inervalle I à valeurs dans R ou C, alors l équaion différenielle y +a()y = b() avec la condiion iniiale y( 0 ) = α adme une unique soluion. Exercice 12. On considère l équaion différenielle (E) : y +y = e sur l inervalle ]0;+ [. Déerminer une soluion pariculière de l équaion différenielle (E) sous la forme ỹ() = me. En déduire les soluions de l équaion différenielle (E). Résoudre l équaion différenielle y +y = e avec la condiion iniiale y(0) = 1. Le principe de superposiion peu êre uile lors de la recherche d une soluion pariculière : Propriéé 4. On considère rois foncions a, b 1 e b 2 coninues sur un inervalle I à valeurs dans R ou C. Si y 1 es une soluion de l équaion différenielle (E 1 ) : y +ay = b 1 e y 2 une soluion de l équaion différenielle (E 2 ) : y +ay = b 2 alors y 1 +y 2 es une soluion de l équaion différenielle (E) : y +ay = b 1 +b 2. Exercice 13. On considère l équaion différenielle (E) : y y = 2cos() sur R. Déerminer une soluion pariculière de l équaion différenielle y y = e i sous la forme ỹ 1 () = me i. Déerminerunesoluion pariculière de l équaion différenielley y = e i sous la forme ỹ 2 () = me i. En déduire une soluion pariculière ỹ de l équaion différenielle (E). Résoudre l équaion différenielle (E). 3 Équaions linéaires du second ordre à coefficiens consans 3.1 Équaions linéaires du second ordre à coefficiens consans sans second membre Théorème 4. On considère rois nombres a, b e c réels ou complexes avec a 0 e on noe = b 2 4ac, alors l équaion différenielle ay + by + cy = 0 adme pour soluions les foncions y définies par : Si 0, y() = λe r 1 +µe r 2 avec λ e µ des nombres réels ou complexes e r 1, r 2 les soluions de l équaion ar 2 +br +c = 0. Si = 0, y() = (λ +µ)e r 0 avec λ e µ des nombres réels ou complexes e r 0 la soluion double de l équaion ar 2 +br +c = 0. Définiion 3. L équaion du second degré associée à une équaion différenielle linéaire du second ordre à coefficiens consans es appelée équaion caracérisique. Exercice 14. Résoudre les équaions différenielles suivanes : y 3y +2y = 0 y +2y +y = 0 y +2iy 2y = 0 3/10 suptsi1718mahs05

4 Propriéé 5. On considère rois nombres a, b e c réels ou complexes avec a 0, alors l équaion différenielle ay +by +c = 0 avec la condiion iniiale y( 0 ) = α e y ( 0 ) = β adme une unique soluion. Exercice 15. Résoudre l équaion différenielle y 5y + 6y = 0 avec la condiion iniiale y(0) = 5 e y (0) = 12. Théorème 5. On considère rois nombres a, b e c réels avec a 0 e on noe = b 2 4ac, alors l équaion différenielle ay + by +cy = 0 adme pour soluions à valeurs réelles les foncions y définies par : Si = 0, y() = (λ+µ)e r0 avec λ e µ des nombres réels e r 0 la soluion double de l équaion ar 2 +br +c = 0. Si > 0, y() = λe r1 +µe r2 avec λ e µ des nombres réels e r 1, r 2 les soluions de l équaion ar 2 +br +c = 0. Si < 0, y() = réels. ( Acos ( 2a )+Bsin ( 2a )) e b 2a avec A e B des nombres Exercice 16. Résoudre l équaion différenielle y +4y +5y = 0 où y es une foncion à valeurs réelles. Corollaire 1. Les soluions de l équaion différenielle y +ω 2 y = 0 avec ω R e y une foncion à valeurs dans R son les foncions y définies par y() = Acos(ω)+Bsin(ω) avec A e B des nombres réels. Exercice 17. Résoudre l équaion différenielle y +2y = 0 où y es une foncion à valeurs réelles. 3.2 Équaions linéaires du second ordre à coefficiens consans avec second membre La méhode de variaion de la consane perme de se ramener à une équaion différenielle linéaire d ordre 1 : Propriéé 6. On considère rois nombres a, b e c réels ou complexes avec a 0 e une foncion d coninue sur un inervalle I à valeurs dans R ou C, alors l équaion différenielle ay +by +cy = d() adme pour soluions les foncions y définies par y() = f()e r où r es une soluion de l équaion ar 2 +br +c = 0 e f une primiive d une soluion de l équaion différenielle y + ( 2r + b a ) y = 1 a d()e r. Remarque 3. L équaion différenielle y + ( 2r + b a) y = 1 a d()e r n es pas à connaîre, en praique il fau exprimer y sous la forme y() = f()e r, dériver deux fois puis remplacer dans l équaion différenielle afin d obenir une équaion différenielle d ordre 1 vérifiée par f. Exercice 18. On considère l équaion différenielle (E) : y +2y +y = 2 sur R. Déerminer les soluions de l équaion sans second membre associée à (E). On pose y() = f()e. Calculer y () puis y (), remplacer dans l équaion différenielle (E) e en déduire l équaion différenielle vérifiée par f. En déduire les soluions de l équaion différenielle (E). 4/10 suptsi1718mahs05

5 La méhode de la soluion pariculière perme de se ramener à une équaion différenielle sans second membre : Théorème 6. On considère rois nombres a, b e c réels ou complexes avec a 0 e une foncion d coninue sur un inervalle I à valeurs dans R ou C, alors l équaion différenielle ay +by +cy = d() adme pour soluions les foncions y définies par y() = ỹ() + y H () où ỹ es une soluion pariculière de l équaion différenielle e y H la soluion générale de l équaion différenielle sans second membre associée. Exercice 19. On considère l équaion différenielle (E) : y +2y +y = 2 sur R. Déerminer une soluion pariculière ỹ de l équaion différenielle (E) sous la forme d une foncion consane. En déduire les soluions de l équaion différenielle (E). Propriéé 7. On considère rois nombres a, b e c réels ou complexes avec a 0 e une foncion d coninue sur un inervalle I à valeurs dans R ou C, alors l équaion différenielle ay +by +c = d() avec la condiion iniiale y( 0 ) = α e y ( 0 ) = β adme une unique soluion. Exercice 20. On considère l équaion différenielle (E) : y 6y +8y = e sur R. Déerminer une soluion pariculière de l équaion différenielle (E) sous la forme ỹ() = me. En déduire les soluions de l équaion différenielle (E). Résoudre l équaion différenielle y 6y +8y = e avec la condiion iniiale y(0) = 1 e y (0) = 2. Le principe de superposiion peu êre uile lors de la recherche d une soluion pariculière : Propriéé 8. On considère rois nombres a, b e c réels ou complexes avec a 0 e deux foncions d 1 e d 2 coninues sur un inervalle I à valeurs dans R ou C. Si y 1 es une soluion de l équaion différenielle (E 1 ) : ay + by + cy = d 1 e y 2 une soluion de l équaion différenielle (E 2 ) : ay + by + cy = d 2 alors y 1 +y 2 es une soluion de l équaion différenielle (E) : ay +by +cy = d 1 +d 2. Exercice 21. On considère l équaion différenielle (E) : y +y +y = 3cos 2sin sur R dans laquelle y es à valeurs réelles. Exprimer 3cos 2sin sous la forme C 1 e i + C 2 e i avec C 1,C 2 C en uilisan les formules d Euler. Déerminer une soluion pariculière de l équaion différenielle y +y +y = ( 3 2 +i)ei sous la forme ỹ 1 () = me i. Déerminer une soluion pariculière de l équaion différenielle y +y +y = ( 3 2 i)e i sous la forme ỹ 2 () = me i. En déduire une soluion pariculière ỹ de l équaion différenielle (E). Résoudre l équaion différenielle (E). Remarque 4. Dans l exercice précéden, il es plus rapide de chercher direcemen une soluion pariculière de l équaion différenielle (E) sous la forme ỹ() = αcos+βsin. 5/10 suptsi1718mahs05

6 Exercices supplémenaires Exercice 22 Déerminer les primiives sur R de la foncion f : Exercice 23 Déerminer les primiives sur R de la foncion f : 2cos(3) 3sin(2). Exercice 24 Déerminer les primiives sur R de la foncion f : 2 ( 3 +1) 3. Exercice 25 Déerminer les primiives sur R de la foncion f : Exercice 26 ( ) ( 2 +1) 2. Déerminer les primiives sur R de la foncion f : Exercice 27 Déerminer les primiives sur ]0;+ [ de la foncion f : ln. Exercice 28 ( ) Déerminer les primiives sur ]0;+ [ de la foncion f : ln 2. Exercice 29 ( ) Déerminer les primiives sur R de la foncion f : e 1 e +1. Exercice 30 ( ) Déerminer les primiives sur R de la foncion f : 2 e. (on pourra chercher F() sous la forme F() = (a 2 +b+c)e ) Exercice 31 ( ) Déerminer les primiives sur R de la foncion f : (2cos 3sin)e. (on pourra chercher F() sous la forme F() = (acos+bsin)e ) Exercice 32 Résoudre l équaion différenielle y sin(3)y = 0 sur R. 6/10 suptsi1718mahs05

7 Exercice 33 Résoudre l équaion différenielle y + Exercice y = 0 sur ] 1;1[ avec la condiion iniiale y( 1 2) = 1. Résoudre l équaion différenielle y + 1 y = sur l inervalle ] ;0[ au moyen de la méhode de variaion de la consane. Exercice 35 Résoudre l équaion différenielle y +2y = sur R. (on pourra chercher une soluion pariculière ỹ sous la forme d un foncion consane) Exercice 36 Résoudre l équaion différenielle ( 2 +1)y +y = 1 sur R. (on pourra chercher une soluion pariculière ỹ sous la forme d un foncion consane) Exercice 37 Résoudre l équaion différenielle y +y = 2 sur R. (on pourra chercher une soluion pariculière ỹ sous la forme d un foncion rinôme du second degré) Exercice 38 ( ) Résoudre l équaion différenielle y y = e sur R. Exercice 39 ( ) Résoudre l équaion différenielle y +y = 2cos() sur R. Exercice 40 ( ) Résoudre l équaion différenielle ( 2 +1)y +y = sur R. Exercice 41 ( ) Résoudre l équaion différenielle (e +1)y +e y = e 1 sur R. Exercice 42 ( ) Résoudre l équaion différenielle cos() y sin() y = 1 sur l inervalle ] π 2 ; π [. 2 Exercice 43 ( ) Résoudre l équaion différenielle y an() y = Exercice 44 ( ) 1 ] cos()+1 sur l inervalle π 2 ; π [. 2 Résoudre l équaion différenielle ( 1) 2 y +( 2)y = 0 sur l inervalle ]1;+ [. 7/10 suptsi1718mahs05

8 Exercice 45 Résoudre l équaion différenielle y +y 2y = 0 sur R. Exercice 46 Résoudre l équaion différenielle y 2y +y = 0 sur R. Exercice 47 Résoudre l équaion différenielle y 2y +2y = 0 sur R où y es à valeurs réelles. Exercice 48 Résoudre l équaion différenielle y y 2y = 0 sur R avec les condiions iniiales y(0) = 1 e y (0) = 1. Exercice 49 Résoudre l équaion différenielle y +y 2y = e sur R au moyen de la méhode de variaion de la consane. Exercice 50 Résoudre l équaion différenielle y y 2y = e sur R. Exercice 51 ( ) Résoudre l équaion différenielle y +2y 3y = sur R. Exercice 52 ( ) Résoudre l équaion différenielle y 4y +4y = e 2 sur R. Exercice 53 ( ) Résoudre l équaion différenielle y +y = e +e sur R où y es à valeurs réelles. Exercice 54 Résoudre l équaion différenielle y + 9y = 5cos(2) sur R avec les condiions iniiales y(0) = 2 e y (0) = 2. Exercice 55 ( ) Résoudre l équaion différenielle y +4y +5y = cos() e 2 sur R. Exercice 56 ( ) On considère deux soluions y 1 e y 2 d une équaion différenielle linéaire d ordre 2 sans second membre a()y +b()y +c()y = 0. Monrer que w = y 1 y 2 y 1 y 2 es soluion d une équaion différenielle linéaire d ordre 1 que l on déerminera. 8/10 suptsi1718mahs05

9 Réponses 1) y() = ) F() = arcan+ce. 3) F() = Ce. 4) F() = 1 2 ln ( ) F() = ( 1)e. ) +1. 6) F() = 1 2 (sin cos)e. 7) y() = λe 2, λ(cos 2 2 +isin 2 2 )e, λe arcan. 8) y() = e ) aucune soluion. 10) f () = 2 d où y() = Ce. 11) ỹ() = d où y() = Ce. 12) y() = 1 ( 2 e +e ). 13) ỹ 1 () = 1 2 (1+i)ei e ỹ 2 () = 1 2 ( 1+i)e i d où ỹ() = cos+sin e y() = cos+sin+λe. 14) y() = λe +µe 2, (λ+µ)e, λe (1 i) +µe ( 1 i). 15) y() = 3e 2 +2e 3. 16) y() = (Acos+Bsin)e 2. 17) y() = Acos ( 2 ) +Bsin ( 2 ). 18) f vérifie l équaion différenielle y = 2e d où y() = 2+(λ+µ)e. 19) ỹ() = 2 d où y() = 2+(λ+µ)e. 20) y() = 1 3 e e e4. 21) ỹ 1 () = ( i) e i e ỹ 2 () = ( ( ( i) e i d où ỹ() = 2cos +3sin e y() = 2cos+3sin + 3 ( 3 Acos 2 )+Bsin 2 ))e ) F() = 1 2 arcan(2)+ce. 23) F() = 2 3 sin(3)+ 3 2 cos(2)+ce. 24) F() = 1 12 (3 +1) 4 +Ce. 25) F() = 1 2( 2 +1) +Ce. 26) F() = arcan 1 2 ln(1+2 )+Ce. 27) F() = 1 2 (ln)2 +Ce. 28) F() = 1 ln +Ce. 29) F() = +2ln ( e +1 ) +Ce. 30) F() = ( 2 2+2)e +Ce. 31) F() = ( 1 2 cos+ 5 2 sin) e +Ce. 32) y() = λe 1 3 cos(3). 33) y() = e arccos() π 3. 34) y() = Ce. 35) y() = 1 2 +λe /10 suptsi1718mahs05

10 36) y() = 1+λe arcan(). 37) y() = λe. ( ) 2 38) y() = 2 +λ e. 39) y() = cos+sin+λe. 40) y() = arcan()+λ ) y() = e +λ e ) y() = +λ cos. 43) y() = an 2 +λ cos en remarquan que cos cos+1 = 1 1 2(cos 2 )2. 44) y() = λe en remarquan que 2 ( 1) 2 = ( 1) 2. 45) y() = λe +µe 2. 46) y() = (λ+µ)e. 47) y() = (Acos+Bsin)e. 48) y() = 1 3 e e2. 49) y() = λe 2 +µe e. 50) y() = λe +µe e. 51) y() = λe +µe 3. ( ) 52) y() = λ+µ+ 3 e ) y() = 1 2 e e +λcos+µsin. 54) y() = cos(2)+cos(3)+ 2 3 sin(3). (( ) ) 55) y() = 2 +λ sin+µcos e 2 en remarquan que cos es la parie réelle de e i. 56) a()w +b()w = /10 suptsi1718mahs05