6.Fonctions exponentielles

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1 6.Fonctions ponntills. Ls fonctions ponntills n avc >0. Définition : La fonction st n fonction défini sr. Sa corb rprésntativ st obtn n n rliant par n lign contin t réglièr ls points d coordonnés n, por. Ctt fonction st applé fonction ponntill d bas. Cas > Cas < Points : rprésntation graphi d la sit Corb : rprésntation graphi d la fonction n. Dérivabilité Proposition : On admt ls fonctions sont dérivabls sr. Conséncs : cs fonctions sont donc contins sr point. t admttnt n tangnt n cha 3. Rlation fonctionnll Rmar : on sait déjà si a t b sont ds ntirs t >0, rlation por ls réls. ab a b. On élargit ctt Cors Trminal ES E. Polin O. Lga Pag

2 Propriété : (admis) Por tot nombr rél t, la fonction ponntill d bas (>0) vérifi la rlation fonctionnll f f f c st-à-dir On dit ls fonctions ponntills transformnt n somm n n prodit. Propriété : conséncs désign n nombr rél strictmnt positif. Por tot réls t, on a 0 0,5 t n particlir n n n Por tot ntir rlatif n, Prvs : car soit (propriété admis). Donc 0 t 0 car donc t n carré st tojors positif. On sait nfin 0. car comm t 0, on a. 4. Sns d variation d la fonction ponntill Théorèm : On admt l sns d variation d la fonction, défini sr, st l mêm cli d la sit géométri associé. Si 0, la fonction st strictmnt décroissant sr Si, la fonction st constant sr Si, la fonction st strictmnt décroissant sr. 0 < < > Cors Trminal ES E. Polin O. Lga Pag

3 j = O i O i Empls : La fonction st strictmnt décroissant sr, car 0<0,9< La fonction st strictmnt croissant sr, car,9>.. La fonction ponntill. Propriété - définition Il ist n ni fonction i admt por nombr dérivé n 0. On not la bas d ctt fonction ponntill t, 78 On dit la fonction ponntill d bas st la fonction ponntill. Ell s not : p : j = Conséncs La fonction ponntill st dérivabl sr t son nombr dérivé n 0 st : p0 p0 0 p p p0,5 Por tot nombr rél, 0 La fonction ponntill st strictmnt croissant car 0 Propriétés algébris : Ells s dédisnt immédiatmnt ds propriétés ds fonctions : n n. Dérivé d la fonction ponntill Propriété : La fonction ponntill st égal à sa fonction dérivé. Ainsi por tot nombr rél, p Cors Trminal ES E. Polin O. Lga Pag 3

4 Démonstration : a désign n nombr rél. L nombr dérivé n a d la fonction ponntill st la limit ah a a h a h p and h tnd vrs 0 d a h pa a t h. h h h h On sait p 0, c'st-à-dir la limit and h tnd vrs 0 d otint st égal à. On n dédit la limit and h tnd vrs 0 d t h st a. h h 3. Corb rprésntativ Tabla d variation d la fonction ponntill Eation d la tangnt T 0 à C a point A(0 ;) p 0 donc T 0 : 0 soit Eation d la tangnt T à C a point B( ;) p donc T : soit Propriété : a b Por tot rél a t b, a b a b Por tot rél a t b, a b A C p B Applications : Résodr dans ls éations t inéations sivants : 0 5 0, La fonction Notation : désign n fonction défini sr n intrvall I. La fonction défini sr I st noté.. Fonction dérivé Propriété (admis) : SI la fonction st dérivabl sr n intrvall I, alors la fonction st dérivabl sr I t por tot nombr rél d I : Consénc : Ls fonctions t ont l mêm sns d variation sr l intrvall I. Cors Trminal ES E. Polin O. Lga Pag 4

5 Empl : Détrminr la dérivé d f() = 4-. En dédir ls variations d f. Primitivs On a v a paragraph précédnt. Par consént, ls primitiv d sont ls fonctions d la form (C étant n constant réll lcon). p Propriété (admis) : Si sr n intrvall n fonction f st tll f, alors ls primitivs F d f sr I sont définis par F C (C étant n constant réll lcon) Empl : Détrminr la primitiv d f()= Empls tps Ls fonctions : avc n nombr rél strictmnt positif. Cs fonctions sont d la form avc. Ells sont donc dérivabls sr t por tot nombr rél : f d où f 0 Ls fonctions f avc >0 sont donc strictmnt décroissants sr. 0 f - f 0 Por tot >0, ls corbs rprésntativs ds fonctions f passnt par. Ls fonctions avc n nombr rél strictmnt positif. Cors Trminal ES E. Polin O. Lga Pag 5

6 Cs fonctions sont d la form avc. Ells sont donc dérivabls sr t por tot nombr rél : g. Or 0 d où g st d sign d. Ls fonctions g avc >0 sont croissant sr ;0 t décroissants sr ; 0 g g 0 0 Por tot >0, ls corbs rprésntativs ds fonctions g admttnt l a ds ordonnés por a d smétri. En fft, d nombrs réls opposés ont la mêm imag par cs fonctions. Cors Trminal ES E. Polin O. Lga Pag 6