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1 Cours CHAPITRE 0 Programme de début d'année, analyse Nombres complexes Calculs algébriques sur les nombres complexes Fonne trigonométrique d'un nombre complexe non nul Applications trigonométriques des nombres complexes Interprétation géométrique des nombres complexes Fonctions usuelles Logarithme népérien Exponentielle Logarithme de base a Exponentielle de base a Fonctions puissances Comparaison locale des fonctions logarithmes, puissances, exponentielles Fonctions hyperboliques directes Fonctions hyperboliques réciproques Fonctions circulaires directes Fonctions circulaires réciproques Exponentielle complexe Équations différentielles linéaires Équations différentielles linéaires du premier ordre Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants et à second membre exponentielle-polynôme 36 CHAPITRE 1 Les nombres réels Préambule Nombres réels Existence et unicité de IR Propriétés élémentaires des nombres réels Propriétés fondamentales de IR Droite numérique achevée IR 59 CHAPITRE 2 Les nombres complexes Préambule Corps des nombres complexes Définition Conjugaison, partie réelle, partie imaginaire 63

2 Module Arguments 67 Interprétation géométrique des nombres complexes Plan complexe Interprétations géométriques de l'addition et de la soustraction dans C Interprétation géométrique de la multiplication dans C Applications z f az + b CNS d'alignement de trois points du plan complexe CNS de cocyclicité ou alignement de quatre points du plan complexe 70 Puissances et racines Exponentielle d'un imaginaire pur Racines n èmes d'un complexe non nul Racines n èmes de Groupe des racines n èmes de 1 77 Applications trigonométriques des nombres complexes Développement de cos ne, sin ne, tan ne Linéarisation de cos pe, sin pe, cos pe sin qe CHAPITRE 3 Suites numériques Convergence, divergence Définitions Propriétés d'ordre des suites réelles convergentes Propriétés algébriques des suites convergentes ou de limite infinie Exemples élémentaires de suites 92 Monotonie Suites réelles monotones Suites adjacentes 100 Suites extraites Quelques types usuels de suites Suites récurrentes affines du premier ordre à coefficients constants Suites récurrentes linéaires du second ordre à coefficients constants Suites récurrentes du type Un+1 = f(u n ) CHAPITRE 4 Fonctions réelles ou complexes d'une variable réelle Algèbre des fonctions Algèbre jkx Relation d'ordre dans IR x Parité Périodicité Applications en escalier sur un segment Applications polynomiales, fonctions rationnelles

3 4.1.7 Monotonie Applications majorées, minorées, bornées Limites Notion de limite Ordre et limite Opérations algébriques sur les fonctions admettant une limite Cas des fonctions monotones Continuité Définitions Opérations algébriques sur les applications continues Continuité sur un intervalle Continuité sur un segment Application réciproque Applications lipschitziennes 155 CHAPITRE 5 Dérivation Dérivées Dérivée en un point Propriétés algébriques des fonctions dérivables en un point Application dérivée Dérivées successives Classe d'une fonction Différentielle Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis Théorème de Rolle Théorème des accroissements finis Variations des fonctions Étude de la monotonie pour une fonction dérivable Étude des extremums pour une fonction dérivable Fonctions convexes Définition Utilisation de dérivées dans l'étude de la convexité Inégalités de convexité 195 CHAPITRE 6 Intégration Intégration des applications en escalier sur un segment Algèbre des applications en escalier sur un segment Intégrale d'une application en escalier sur un segment Intégration des applications continues par morceaux sur un segment Algèbre des applications continues par morceaux sur un segment Approximation d'une application continue par morceaux sur un segment par des applications en escalier Intégrale d'une application continue par morceaux sur un segment Propriétés algébriques

4 CHAPITRE Propriétés relatives à l'ordre Relation de Chasles Sommes de Riemann 213 Extension aux fondions à valeurs complexes Intégration et dérivation Intégrale fonction de la borne d'en haut Primitives Changement de variable Intégration par parties Formule de Taylor avec reste intégral Approximation d'une intégrale, méthode des rectangles, méthode des trapèzes 228 Fonctions usuelles Logarithme népérien Exponentielle Logarithmes et exponentielles de base a Logarithme de base a Exponentielle de base a 238 Puissances Comparaison locale des fondions logarithmes, puissances, exponentielles Fondions hyperboliques diredes Fondions hyperboliques réciproques Argsh Argch Argth 249 Fondions circulaires diredes Fondions circulaires réciproques Arcsin Arccos Arctan 257 Exponentielle complexe Il CHAPITRE Comparaison locale des fonctions Prépondérance, domination Définitions Opérations relatives à la prépondérance et à la domination Exemples usuels 266 Équivalence Définition Opérations relatives à l'équivalence

5 8.2.3 Équivalents usuels Exemples d'utilisation d'équivalents Développements limités Généralités Le théorème de Taylor-Young Dérivation et primitivation pour un DL(O) Opérations sur les fonctions admettant un DLn(O) Exemples d'utilisation de développements limités Notion de développement asymptotique Développement asymptotique dans l'échelle des x x n, nez Développement asymptotique dans l'échelle des x xl', œ E lr Exemples de développements asymptotiques utilisant des logarithmes ou des exponentielles Étude pratique d'une fonction de lr. dans lr f représentation graphique 295 CHAPITRE 9 Calculs de primitives Préambule Changement de variable Primitivation par parties Liste des primitives usuelles Primitivation des fonctions rationnelles Exemples: primitivation de fonctions rationnelles en certaines fonctions usuelles Fonctions rationnelles en sin x et cos x Fonctions rationnelles en sh x et ch x Fonctions rationnelles en e ax, œ E C* 318 ax +b Fonctions rati'onnelles en x et n ex +d Fonctions rationnelles en x et J ax 2 + bx + e 321 CHAPITRE 10 Équations différentielles Équations différentielles linéaires du premier ordre Généralités Résolution de l'équation sans second membre Résolution de l'équation avec second membre Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants et à second membre de type exponentielle-polynôme Généralités Résolution de l'équation sans second membre Résolution de l'équation avec second membre exponentielle- polynôme

6 CHAPITRE Notions sur les fonctions de deux variables réelles Espace 1R 2, suites dans 1R Espace]R Parties ouvertes Suites dans ]R2 353 Limites, continuité Limites Continuité 355 Il.2.3 Continuité partielle 357 Dérivées partielles premières Définitions Applications de classe Cl sur un ouvert de ]R2 361 Dérivées partielles successives Il.4.1 Généralités Applications de classe C k sur un ouvert de ]R2 372 Il.4.3 Interversion des dérivations 373 Extremums des fonctions numériques de deux variables réelles Extremums locaux Étude à l'ordre Extremums globaux 378 Analyse vectorielle Il.6.1 Définitions Formules d'analyse vectorielle Potentiel scalaire CHAPITRE Compléments de _calcul intégral Intégrales curvilignes Arcs orientés, courbes orientées Définition de l'intégrale curviligne Propriétés algébriques de l'intégrale curviligne Circulation d'un champ de vecteurs le long d'une courbe orientée Calculs d'aires planes 392 Intégrales doubles Définition de l'intégrale double Propriétés élémentaires de l'intégrale double Changement de variables dans une intégrale double Formule de Green-Riemann 403 Intégrales triples Définition de l'intégrale triple Propriétés élémentaires de l'intégrale triple Changement de variables dans une intégrale triple

7 Solutions des exercices Chapitre 0 Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6 Chapitre 7 Chapitre 8 Chapitre 9 Chapitre 10 Chapitre 11 Chapitre 12 Index des notations Index alphabétique