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- Beatrice Morneau
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1 Cours CHAPITRE 0 Programme de début d'année, analyse Nombres complexes Calculs algébriques sur les nombres complexes Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul Applications trigonométriques des nombres complexes Interprétation géométrique des nombres complexes Fonctions usuelles Logarithme népérien Exponentielle Logarithme de base a Exponentielle de base a Fonctions puissances Comparaison locale des fonctions logarithmes, puissances, exponentielles Fonctions hyperboliques directes Fonctions hyperboliques réciproques Fonctions circulaires directes Fonctions circulaires réciproques Exponentielle complexe Équations différentielles linéaires Équations différentielles linéaires du premier ordre Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants et à second membre exponentielle-polynôme 36 CHAPITRE 1 Les nombres réels Préambule Nombres réels Existence et unicité de ~ Propriétés élémentaires des nombres réels Propriétés fondamentales de Droite numérique achevée IR 60 CHAPITRE 2 Les nombres complexes Préambule Corps des nombres complexes Définition Conjugaison, partie réelle, partie imaginaire 65
2 2.2.3 Module Arguments Interprétation géométrique des nombres complexes Plan complexe Interprétations géométriques de l'addition et de la soustraction dans C Interprétation géométrique de la multiplication dans C Applications z ~ az + b CNS d'alignement de trois points du plan complexe CNS de cocyclicité ou alignement de quatre points du plan complexe Puissances et racines Exponentielle d'un imaginaire pur Racines n èmes d'un complexe non nul Racines n èmes de Groupe des racines n èmes de Applications trigonométriques des nombres complexes Développement de cos n(), sin n(), tan n() Linéarisation de cos P(), sin P(), cos P() sin q() 80 CHAPITRE 3 Suites numériques Convergence, divergence Définitions Propriétés d'ordre des suites réelles convergentes Propriétés algébriques des suites convergentes ou de limite infinie Exemples élémentaires de suites Monotonie Suites réelles monotones Suites adjacentes Suites extraites Quelques types usuels de suites Suites récurrentes affines du premier ordre à coefficients constants Suites récurrentes linéaires du second ordre à coefficients constants Suites récurrentes du type Un+l = f(u n } 114 CHAPITRE 4 Fonctions réelles ou complexes d'une variable réelle Algèbre des fonctions Algèbre OC X Relation d'ordre dans IRx Parité Périodicité Applications en escalier sur un segment Applications polynomiales, fonctions rationnelles 129
3 4.1.7 Monotonie Applications majorées, minorées, bornées Limites Notion de limite Ordre et limite Opérations algébriques sur les fonctions admettant une limite Cas des fonctions monotones Continuité Définitions Opérations algébriques sur les applications continues Continuité sur un intervalle Continuité sur un segment Application réciproque Continuité uniforme Applications lipschitziennes 159 CHAPITRE 5 Dérivation Dérivées Dérivée en un point Propriétés algébriques des fonctions dérivables en un point Application dérivée Dérivées successives Classe d'une fonction Différentielle Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis Théorème de Rolle Théorème des accroissements finis Variations des fonctions Étude de la monotonie pour une fonction dérivable Étude des extremums pour une fonction dérivable Fonctions convexes Définition Utilisation de dérivées dans l'étude de la convexité Inégalités de convexité 202 _ CHAPITRE 6 Intégration Intégration des applications en escalier sur un segment Algèbre des applications en escalier sur un segment Intégrale d'une application en escalier sur un segment Intégration des applications continues par morceaux sur un segment Algèbre des applications continues par morceaux sur un segment Approximation d'une application continue par morceaux sur un segment par des applications en escalier Intégrale d'une application continue par morceaux sur un segment
4 6.2.4 Propriétés algébriques Propriétés relatives à l'ordre Relation de Chasles Sommes de Riemann Extension aux fonctions à valeurs complexes Intégration et dérivation Intégrale fonction de la borne d'en haut Primitives Changement de variable Intégration par parties Formule de Taylor avec reste intégral Approximation d'une intégrale, méthode des rectangles. méthode des trapèzes 237 CHAPITRE 7 Fondions usuelles Logarithme népérien Exponentielle Logarithmes et exponentielles de base a Logarithme de base a Exponentielle de base a Puissances Comparaison locale des fonctions logarithmes, puissances, exponentielles Fonctions hyperboliques directes Fonctions hyperboliques réciproques Argsh Argch Argth Fonctions circulaires directes Fonctions circulaires réciproques Arcsin Arccos Arctan Exponentielle complexe 270 CHAPITRE 8 Comparaison locale des fondions Prépondérance, domination l.! Définitions Opérations relatives à la prépondérance et à la domination Exemples usuels Équivalence Définition 277
5 8.2.2 Opérations relatives à l'équivalence Équivalents usuels Exemples d'utilisation d'équivalents Développements limités Généralités Le théorème de Taylor-Young Dérivation et primitivation pour un DL(0) Opérations sur les fonctions admettant un DLn (0) Exemples d'utilisation de développements limités Notion de développement asymptotique Développement asymptotique dans l'échelle des x f----+ x n, nez Développement asymptotique dans l'échelle des x f----+ x''', ct E lr Exemples de développements asymptotiques utilisant des logarithmes ou des exponentielles Étude pratique d'une fonction de IR dans IR, représentation graphique 305 CHAPITRE 9 Calculs de primitives Préambule Changement de variable Primitivation par parties Liste des primitives usuelles Primitivation des fonctions rationnelles Exemples: primitivation de fonctions rationnelles en certaines fonctions usuelles Fonctions rationnelles en sin x et cos x Fonctions rationnelles en sh x et ch x Fonctions rationnelles en e ax, ct E C* ax+b Fonctions rationnelles en x et n-- ex +d Fonctions rationnelles en x et J ax 2 + bx + e 331 CHAPITRE 10 Équations différentielles Équations différentielles linéaires du premier ordre Généralités Résolution de l'équation sans second membre Résolution de l'équation avec second membre Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants et à second membre de type exponentielle-polynôme Généralités Résolution de l'équation sans second membre Résolution de l'équation avec second membre exponentielle- polynôme
6 Définition de l'intégrale triple Propriétés élémentaires de l'intégrale triple Changement de variables dans une intégrale triple 416 CHAPITRE 11 Notions sur les fonctions de deux variables réelles Espace JR2, suites dans JR Espace]R2 360 Il.1.2 Parties ouvertes Suites dans ]R Limites, continuité Limites Continuité Continuité partielle Dérivées partielles premières 370 Il.3.1 Définitions Applications de classe Cl sur un ouvert de ]R Dérivées partielles successives Généralités 381 Il.4.2 Applications de classe C k sur un ouvert de ]R2 382 Il.4.3 Interversion des dérivations Extremums des fonctions numériques de deux variables réelles 387 Il.5.1 Extremums locaux 387 Il.5.2 Étude à l'ordre Extremums globaux Analyse vectorielle 391 Il.6.1 Définitions 391 Il.6.2 Formules d'analyse vectorielle 392 Il.6.3 Potentiel scalaire 392 CHAPITRE 12 Compléments de calcul intégral Intégrales curvilignes Arcs orientés. courbes orientées Définition de l'intégrale curviligne Propriétés algébriques de l'intégrale curviligne Circulation d'un champ de vecteurs le long d'une courbe orient~ Calculs d'aires planes Intégrales doubles Définition de l'intégrale double Propriétés élémentaires de l'intégrale double Changement de variables dans une intégrale double Formule de Green-Riemann Intégrales triples 415
7 Solutions des exercices Chapitre 0 Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6 Chapitre 7 Chapitre 8 Chapitre 9 Chapitre 10 Chapitre 11 Chapitre 12 Index des notations Index alphabétique
Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
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