Chapitre 8. Nombres complexes

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1 Chaptre 8 Nombres complexes Corrgés des exercces-tests a) Faux Deux nombres opposés ont des snus opposés : sn( x) sn( x ) Contre-exemple : cos cos et ou cos cos et c) Faux ; donc la mesure prncpale de l angle u OM est et 5 a) Vra Les vecteurs OM et O sont colnéares et ont le même sens O=1 et OM r donc OM r O b) Vra Les coordonnées de sont (cos( );sn( )) donc les coordonnées de M sont ( rcos( ); r sn( )) a) Vra cos( a) cos ( a) sn ( a ) cos ( a) (1 cos ( a )) cos ( a ) 1 b) Vra cos( a) cos ( a) sn ( a ) = (1 sn ( a)) sn ( a ) 1sn ( a ) 1cos( a) Donc sn ( a ) Vra >0 donc l équaton a deux solutons : x 1 1 et ( ) 1 x ( ) a) Vra a donc s a > 0 alors 0 Dans ce cas l équaton admet deux solutons dstnctes dans R S a=10 l équaton s écrt 10x x or 10 0 QCM 1 sn sn cos cos sn 1 = = Réponse exacte : b) 1 cos( a) cos ( a ) donc cos 1 cos 8 1 = = Comme cos 0 alors cos 8 8 Réponse exacte : a) Corrgés des «Pour se tester» 9 Questons sur le cours a) Le conjugué de est a b et le module de est a b b) s et seulement s est réel c) 0 s et seulement s est magnare pur d) r(cos( ) sn( )) est une forme trgonométrque d un nombre complexe s r est un réel strctement postf e) Le module de est r et un argument de est Nathan 01 Transmath Term S Ensegnement spécfque Corrgés Chaptre 8 // Page 1 sur 5

2 0 Vra ou faux a) Faux Contre-exemple : 5 1 donc 5 et 1 arg()=arg() et S arg()=arg( ) ( mod ) alors l exste k>0 tel que =k c) Vra S est un réel strctement postf alors arg()=0 (mod ) S est un réel strctement négatf alors arg()= (mod ) d) Vra M S alors M Il en résulte que M appartent au cercle de centre d affxe + et de rayon 1 QCM (une seule réponse exacte) 1 Le conjugué de la somme est la somme des conjugués et ; donc Réponse exacte : b) 5 ( ) e e e e = 5 5 cos sn Réponse exacte : b) Sot le pont d affxe 1 sgnfe que M Cela veut dre que M appartent au cercle de centre et de rayon Réponse exacte b) et B ont pour affxes respectves et La drote d étant la médatrce de [B] M BM ce qu se tradut par ( ) sot Réponse exacte : b) QCM (au mons une réponse exacte) 1 L égalté a) sgnfe que M appartent à la médatrce de *B+ or l ensemble E est une demdrote prvée de O Réponses exactes : b) et c) sgnfe que M appartent au cercle de centre O et de rayon arg( ) k où k décrt Z sgnfe que M appartent à une drote prvée de O Donc l ensemble cherché est l ntersecton de cette drote prvée de O et du cercle de centre O et de rayon Il s agt donc d une pare de ponts Réponse exacte : c) c e (1 ) a Donc OC O d où les ponts O et C sont algnés B ba 1 1 C c a BC c b 1 1 Donc le trangle BC est équlatéral Sot le pont D d affxe d= D d a 1 10 CD d c 10 Donc le pont D est équdstant de et C Réponses exactes : a) b) et c) Nathan 01 Transmath Term S Ensegnement spécfque Corrgés Chaptre 8 // Page sur 5

3 Corrgés des exercces 5 1 (1 ) (1 ) 1 1 (1 )(1 ) 1 ( ) = a) équvaut à : ( ) ( ) 1 ( ) 1 La soluton est 1 b) L équaton ( ) s écrt : ( ) ce qu équvaut à ( ) sot : ( )( ) La soluton est c) L équaton ( )( 8 ) 0 équvaut à : 0 ou 8 0 sot 1 8 ou L équaton admet deux solutons : 1 et + d) Pour l équaton s écrt : 8 ou encore (1 ) (1 ) sot La soluton est a) L équaton 1 s écrt 1 0 ( ) ou encore 0 sot 0 ce qu est mpossble L équaton n a pas de soluton b) En écrvant l égalté entre les conjugués des deux membres l équaton : s écrt ( ) ( ) sot ou encore ( )( ) 1 Pour et l équaton s écrt : sot 0 ce qu équvaut à On obtent deux solutons complexes 1 1 conjuguées : ou Note Le théorème page 5 permet de résoudre drectement l équaton 1 0 En effet <0 donc l équaton a deux solutons complexes conjuguées : 1 et et sn ( ) (1 sn ( )) = cos ( ) S ou donc une soluton double On obtent 0 1 s 0 l équaton admet sn( ) sn( ) et s S et alors 0 et l équaton admet deux solutons complexes conjuguées : sn( ) cos ( ) sn( ) cos( ) ou sn( ) cos( ) L une des solutons est : sn( ) cos( ) (cos( ) sn( )) e e e ( ) l autre est e 7 1 ( ) ( ) e ( u ; OB ) (mod ) donc arg( B) (mod ) Nathan 01 Transmath Term S Ensegnement spécfque Corrgés Chaptre 8 // Page sur 5

4 Comme B 1 alors : 1 B e cos sn = C est le symétrque de B par rapport à l axe des 1 ordonnées donc C D 1 1 E C 1 F B arg( ) 0 arg( B) arg( C) 5 arg( D) arg( E) arg( F) Une forme trgonométrque de 1 est : cos sn Sot un argument de 1 : 1 1 cos et sn( ) Il en résulte qu une forme trgonométrque de est 1 cos sn et arg arg( 1) arg( ) (mod ) = = 1 1 On dédut qu une forme trgonométrque de est cos sn (1 ) 1 1 = L égalté entre la forme algébrque et la forme trgonométrque trouvées s écrt : cos sn = 1 1 On dédut que : cos et sn a) 1 et donc 1 e d où : e 1 e arg(1 ) (mod ) e e e 1 b) 1 e donc : 1 e e 1e 1 1e 1e e c) e e e e e 5 1 e e 5 d) 1e 1e e 1e 5 1e 1e e 1 1 Nathan 01 Transmath Term S Ensegnement spécfque Corrgés Chaptre 8 // Page sur 5

5 9 1 B 1 ( ) C B 1 = 10 C 1 ( ) 1 1 ( ) 10 B BC = 1 1 C = ( ) ( ) 0 Donc B C BC On dédut d après la récproque du théorème de Pythagore que BC est un trangle rectangle en En plus B=C donc l est socèle rectangle 9 1a) On consdère le pont d affxe L égalté équvaut à M = On dédut que l ensemble cherché est le cercle de centre et de rayon b) On consdère le pont B d affxe L égalté 1 équvaut à BM=1 On dédut que l ensemble cherché est le cercle de centre B et de rayon 1 c) On consdère les ponts J et C d affxes respectves et L égalté équvaut à JM=CM On dédut que l ensemble cherché est la médatrce du segment [JC] d) On consdère le pont D d affxe + L égalté ( ) équvaut à DM=OM On dédut que l ensemble cherché est la médatrce du segment [OD] a) Deux nombres complexes conjugués ont le même module donc : ( ) b) D après a) l égalté s écrt : ce qu est équvalent à JM= où J est l mage de Cela sgnfe que M appartent au cercle de centre J et de rayon c) donc l égalté : équvaut à sot BM=CM où les ponts B et C sont les mages respectves de et On dédut que l ensemble cherché est la médatrce du segment [BC] Nathan 01 Transmath Term S Ensegnement spécfque Corrgés Chaptre 8 // Page 5 sur 5